数学分析课本(华师大三版)-习题及答案02

习题

§1数列极限概念

1(1)n1、设an=，n=1，2，…，a=0。

n（1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N： 1=，2=，3=；

（2）对1，2，3可找到相应的N，这是否证明了an趋于0应该怎样做才对； （3）对给定的ε是否只能找到一个N 2、按ε—N定义证明：

3n2n3nn!（1）lim=1；（2）lim；（3）； limnn1n2n21nnn2（4）limsin

nn=0；（5）limn=0（a>0）。

nan3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： （1）lim1n12nn；（2）limnn3；（3）limn11；（4）； limn3nn312。

（5）limn；（6）limnn10；（7）limnn4、证明：若liman= a，则对任一正整数k，有limank= a。

nn5、试用定义1证明： （1）数列{

1(1)n}不以1为极限；（2）数列{n}发散。 n(1)n6、证明定理，并应用它证明数列{1}的极限是1。

n7、证明：若liman= a，则lim|an|= |a|。当且仅当a为何值时反之也成立

nn8、按ε—N定义证明： （1）lim(n1nn)=0；

（2）lim123n=0；

nn3

（3）liman=1，其中 nn1,n为偶数， nan=

n2n，n为奇数。 n

§2收敛数列的性质

1、求下列极限：

n33n2112n(2)n3n（1）lim；（2）lim；（3）lim； 2n1n1n4n32n3nnn(2)3（4）lim(n2nn)；（5）lim(n1n2n10)；

nn1112n2。 （6）lim22n1112n3332、设liman= a，limbn= b，且aN时有annn3、设{an}为无穷小数列，{bn}为有界数列，证明：{anbn}为无穷小数列。 4、求下列极限： （1）lim(n111)； 1223n(n1)（2）lim(242822n2)；

n（3）lim(n1232n1)； 2n221； n（4）limnn1（5）lim(n111)； n2(n1)2(2n)2（6）lim(n1n121n221nn2)。

5、设{an}与{bn}中一个是收敛数列，另一个是发散数列。证明{an±bn}是发散数列，又问{anbn}和{

an}（bn≠0）是否必为发散数列 bn6、证明以下数列发散： （1）{(1)nnn(1)n}；（2）{n}；（3）{cos}。 n147、判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）： （1）若{a2k1}和{a2k}都收敛，则{an}收敛；

（2）若{a3k2}，{a3k1}和{a3k}都收敛，且有相同极限，则{an}收敛 8、求下列极限： （1）limn132n1； 242np!（2）limp1nnn!；

（3）lim[(n1)n],01；

n（4）lim(1)(12)(12),||1。

nn9、设a1,a2,,am为m个正数，证明： limnnna1na2am=max{a1,a2,,am}。

n10、设liman= a 。证明：

n（1）limn[nan]= a ； nnn（2）若a>0，an>0，则lim

§3数列极限存在的条件

1、利用lim(1nan=1。

1n)= e求下列极限： n1n1)；

nnn1n1（3）lim(1)； （4）lim(1)n；

nnn12n1n（5）lim(12)。

nn（1）lim(1)； （2）lim(1n1n2、试问下面的解题方法是否正确： 求lim2n。

n解：设an=2n及liman= a。由于an= 2an1，两边取极限（n→∞）得a = 2 a，所

n以a = 0。

3、证明下列数列极限存在并求其值： （1）设a1=2，an1=2an，n=1，2，…； （2）设a1=c（c>0），an1=can，n=1，2，…；

cn（3）an=（c>0），n=1，2，…。

n!4、利用{(11n1n)}为递增数列的结论，证明{(1)}为递增数列。 nn15、应用柯西收敛准则，证明以下数列{an}收敛：

sin1sin2sinn2n； 222111（2）an=1222。

23n（1）an=

6、证明：若单调数列{an}含有一个收敛子列，则{an}收敛： 7、证明：若an>0，且limnan=l>1，则liman=0。

nan18、证明：若{an}为递增（递减）有界数列，则 liman=sup{an}（inf{an}）。

n又问逆命题成立否

9、利用不等式b证明：{(1n1-an1>（n+1）an（b-a），b>a>0

1n11)}为递减数列，并由此推出{(1)n}为有界数列。 nn1n3)|<。 nn1n11n131n提示：利用上题可知e<(1)；又易证(1)<+(1)。

nnnn10、证明：|e-(111、给定两正数a1与b1（a1>b1），作出其等差中项a2=

a1b1与等比中项2b2a1b1，一般地令

an1anbn，bn1anbn，n=1，2，…。 2证明：liman与limbn皆存在且相等。

nn12、设{an}为有界数列，记

an=sup{an，an1，…}，an=inf{an，an1，…}。

证明：（1）对任何正整数n，an≥an；

（2）{an}为递减有界数列，{an}为递增有界数列，且对任何正整数n，m有an≥am；

（3）设an和an分别是{an}和{an}的极限，则a≥a；

（4）{an}收敛的充要条件是a=a。

 总练习题

1、求下列数列的极限： （1）limnnn5（2）limn；（3）lim(n22n1n)。 n3；

nen3n2、证明：

（1）limnq=0（|q|<1）；（2）limn2nn1lgn=0（a≥1）；（3）=0。 limannnn!3、设liman= a，证明：

n（1）limna1a2an= a（又问由此等式能否反过来推出liman= a）；

nnnn（2）若an>0（n=1，2，…），则lim4、应用上题的结论证明下列各题：

a1a2an= a。

1（1）lim（3）limn11123n=0；（2）limna=1（a>0）；

nn1n!nnnnn=1； （4）lim=0；

（5）limnn!nn= e； （6）lim123n=1；

nn（7）若limnbn1= a（bn>0），则limnbn= a；

nbn（8）若lim（an-an1）= d，则limnnan= d。 nn5、证明：若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，且lim（an-bn）=0， 则liman与limbn都存在且相等。

nn6、设数列{an}满足：存在正数M，对一切n有

An|a2a1||a3a2||anan1|≤M。 证明：数列{an}与{An}都收敛。

7、设a>0，σ>0，a1=

11(a)，an1(an)，n=1，2，…。

2an2a证明：数列{an}收敛，且其极限为。

8、设a1>b1>0，记 an=

2an1bn1an1bn1，bn=，n=2，3，…。

an1bn12证明：数列{an}与{bn}的极限都存在且等于a1b1。

9、按柯西收敛准则叙述数列{an}发散的充要条件，并用它证明下列数列{an}是发散的：

（1）an=(1)n；（2）an=sinnnnn11；（3）an=1。 22n10、设liman= a，limbn= b。记

Sn= max{an，bn}，Tn= min{an，bn}，n=1，2，…。 证明：（1）limSn= max{ a ，b }；（2）limTn= min{ a ，b }。

nn提示：参考第一章总练习题1。

习题答案

§1数列极限概念

3、（1）0，无穷小数列；（2）1；（3）0，无穷小数列； （4）0，无穷小数列；（5）0，无穷小数列；（6）1；（7）1。

§2收敛数列的性质

1、（1）

111；（2）0；（3）；（4）；（5）10；（6）2。 4324、（1）1；（2）2；（3）3；（4）1；（5）0；（6）1。 8、（1）0（提示：先证明

1132n1<）； 242n2n1（2）1（提示：n!； p!(n2)(n2)!(n1)!n!2(n1)!n!）

p1n（3）0（提示：先证明0<(n1)nn（4）

§3数列极限存在的条件

1）；

nn11（提示：记pn(1)(1)2(1)2，则(1)pn12）。 11；（2）e；（3）e；（4）e；1。 e13、（1）2；（2）(114c)；（3）0。

21、（1）

总练习题

1、（1）3；（2）0；（3）0。

典型习题解答

1、（§1第2（1）题）按ε—N定义证明：lim证明：由于|

nn=1 n1n111-1|=<，所以对于任给的0，取N=[]+1，则当n>Nn1n1nnn时，||<，所以lim=1。

nn1n12、（§1第4题）证明：若liman= a，则对任一正整数k，有limank= a。

nn证明：若liman= a，则由定义知：任给0，存在N，当n>N时，|an- a|<。

n于是当n>N时，n+k>n>N，所以|ank-a|<，故limank= a。

n3、（§2第1（4）题）lim(n2nn)。

n解：lim(n2nn)=limnnn2nnn=

1111n=

1。 24、（§2第2题）设liman= a，limbn= b，且aN

nn时有an1（b-a）> 0，根据两个已知极限分别存在的N1、N2， 21当n>N1时，|an- a|<0，从而an< a +0=（a + b）；

21当n>N2时，|bn- b|<0，从而bn> b -0=（a + b）。

21取N = max{N1，N2}，当n>N时，必有an<（a + b）2证明：取0=

因此当n>N时有an2时，

11<1-<1，且limn2n1=limn1=1。 2n故由迫敛性定理知，limnn11=1。 n6、（§3第3（1）题）证明下列数列

设a1=2，an1=2an，n=1，2，…；

极限存在并求其值。

证明：已知a1=2<2，设an<2，则an1=2an<2，所以{an}有上界2； 而

an12=>1（an<2），于是{an}是递增且有上界的数列。 anan由单调有界定理知{an}极限存在。设其为a ，对等式an1=2an两边取极限有

a2=2a，解之得a1=0（舍去），a2=2，故liman=2。

n