线性代数矩阵性及应用举例

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华 北 水 利 水 电 学 院

线性代数解决生活中实际问题

课 程 名 称： 线性代数

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2012年11月7日

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关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨

摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。 关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵

矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。

定义1 n级方阵A称为可逆的，如果n级方阵B，使得 AB=BA=E （1） 这里E是n级单位矩阵。

定义2 如果B适合（1），那么B就称为A的逆矩阵，记作A。 定理1 如果A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。 逆矩阵的基本性质：

性质1 当A为可逆阵，则A1111. A11性质2 若A为可逆阵，则A,kA(k为任意一个非零的数)都是可逆阵，且(A)A

(kA)111A(k0). k1性质3 (AB)B1A1，其中A，B均为n阶可逆阵. (A1).

性质4 (A')由性质3有 定理2

1 若A1,A2An(n2)是同阶可逆阵，则A1,A2An是可逆阵，且(A1A2

下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法

利用定义1，即找一个矩阵B，使AB=E，则A可逆，并且A方法二 伴随矩阵法

定义3 设A(aij)是n级方阵，用Aij表示A的(i,j)元的代数余子式(i,j1n)，

1B。

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A11矩阵A12A1nA21A22A2nAn1An2称为A的伴随矩阵，记作A*。 Ann定理3 矩阵A可逆的充分必要条件是A0，并且当A可逆时,有

A11A*。 A定理证明见[1].

定理3不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。

由定理3逆矩阵判定的方法还有：

推论3.1 n级矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的秩为n。 推论3.2 矩阵A可逆的充要条件是它的特征值都不为0。

推论3.3 n级矩阵A可逆的充分必要条件是它的行(或列)向量组线性无关。 方法三 初等变换法

定义4 对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换：

(1)

交换矩阵的两行(列)；

(2)以一个非零的数k乘矩阵的某一行(列)；

(3) 把矩阵的某一行（列)的k倍加到另一行(列)。

定理4 方阵A可逆的充分必要条件是A可表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。

E)，其次对这个 具体方法是：欲求A的逆矩阵时，首先由A作出一个n2n矩阵，即(A矩阵施以行初等变换(且只能用行初等变换)，将它的左半部的矩阵A化为单位矩阵，那么原来右半部的单位矩阵就同时化为A：

1(AE)行初等变换(EA1)

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AE列初等变换或者

EA1例1

231求矩阵A的逆矩阵，已知A013。

125解：

500123110012500112(AE)013010013010013010

125001231100019102

1250011250013010013000611200116

01165120611001021130016563216231131100610102100161346331 211631346331 21163161 A1216注：在事先不知道n阶矩阵是可逆的情况下，也可直接用此方法。如果在初等变换过程中

发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A不可逆。 方法四 利用解线性方程组来求逆矩阵 若n阶矩阵A可逆，则AA1E，于是A1的第j列是线性方程组AXj的

解，j1,2n.因此我们可以去解线性方程组AX，其(b1bn)，把所得的解的公

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式中的b1,b2bn分别用1,00；0,1,00；…；0,00,1代替，便可求得A1的第1,2n列，这种方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单一点。

例2

30求矩阵A=000100031000310的逆矩阵。

00310003TT解： 设X(x1,x2,x3,x4,x5) B(b1,b2,b3,b4,b5)

解方程组AX=B

x135(34b133b232b33b4b5)3x1x2b13xxb432x3(3b3b33b4b5)23222即3x3x4b3 解得 x333(32b33b4b5)3xxbx432(3b4b5)4541x3b53x5b55然后把B(b1,b2,b3,b4,b5)列，分别用1(1,0,0,0,0) 2(0,1,0,0,0)

3(0,0,1,0,0) 4(0,0,0,1,0) 5(0,0,0,0,1)代入得到矩阵A1的第1,2,3,4,5行，分

别用x1(3,3,3,3,3) x2(0,3,3,3,3)

123451234x3(0,0,31,32,33) x4(0,0,0,31,32) x5(0,0,0,0,31)

3101即A000323100033323100343332310354333 3231这种方法特别适用于线性方程组AX=B的解容易求解的情形。 方法五 分块求逆法

当一个可逆矩阵的阶数较大时，即使用初等变换求它的逆矩阵仍然计算量较大。如果把该矩阵分块，再对分块矩阵求逆矩阵，则能减少计算量。而且形如AA100 A20BB2B1A11 M1A0210A11 M20A22A12 A227

A11M3A21A120 M4A021A12的分块矩阵，使用分块矩阵较方便。现用M1为A22例，来说明求逆矩阵的方法，其它的矩阵可依此类推。 设有n阶可逆矩阵M1A21解：设M11A1101MA,A，其中为阶可逆方阵，求。 r,s11122A22X11X211X121M，则与M1有相同分法，则 1X220X11A22X21Er0 EsX12A11X11X22A21X11A22X21 A21X12A22X22A11X12 M1M1A11A21 En0A11X11ErA11X120得一个线性方程组为

A21X11A22X210A21X12A22X22Es1X11A11X12011由于A11,A22可逆，故A11,A22存在，解得 11X21A22A21A111X22A2211A11A1AA1222111从而M10 1A22方法六 利用哈密尔顿—凯莱定理求逆矩阵法

哈密尔顿—凯莱定理 设A是数域P上一个nn矩阵，f()项式，则f(A)A(a11a22ann)Ann1EA是A的特征多

(1)nAE0。

n如果A可逆，则A的特征多项式的常数项an(1)A0，由定理知

nn1 f(A)A1An1AnE0

于是 1n(An11An2n1E)AE

1因此得 A1n(An11An2n1E) ()

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此式给出了A1的多项式计算方法。

例3

110已知A430，求A1。

102解：矩阵A的特征多项式为： f()EA34252

因320，所以矩阵A可逆，由()式知

6201121 A(A4A5E)=820

22311方法七 “和化积”法

有时遇到这样的问题：要求判断方阵之和A+B的可逆性并求逆矩阵，此时可将A+B直接化为

(AB)CE，由此有A+B可逆，且(AB)1C，或将方阵之和A+B表为若干个已知的可逆

阵之积，再有定理2知A+B可逆，并可得出其逆矩阵。 例4

k证明：若A0，则EA是可逆阵，并求(EA)。

2k11证明： (EA)(EAAA  E-A是可逆矩阵且(EA))E

1EAA2Ak1

总之，矩阵可逆性的判断及求逆矩阵的方法很多，不仅仅只是以上列举的几种方法，大家在做题过程中，可根据题目的需要灵活选用方法来求解。 参考文献：

[1]丘维声. 高等代数[M]. 高等教育出版社，1985. [2]北京大学数学系. 高等代数[M]. 高等教育出版社，1988. [3]杨明顺. 三角矩阵求逆的一种方法. 渭南师范学院学报，2003.

[4]杨彗. 矩阵的非奇异性判定及求逆矩阵的几种方法. 云南师范大学学报，2002.

The ones that go against matrix judge and ask the discussion

going against the matrix method

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ABSTRACT: Judging reversibly and against the asking and solving one of the main contents

that is higher algebra of matrix. This text provides and judges whether matrix is reversible and asks several kinds of methods to go against matrix.

KEYWORDS: Inverse matrix Adjoint matrix Elementary matrix

Partitioned matrix

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