数列的求和导学案

高一（ ）班 姓名 ____________ 学号 _____________ 一、学习目标：

（1）. 熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；

(2). 能运用错位相减、裂项相消、倒序相加等重要的数学方法进行求和运算；（重点） （3）熟记一些常用的数列的和的公式． 二、学习过程

数列求和的方法： 1、公式法：

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.

na1annn1na1d 22na1q1②等比数列求和公式：Sna11qnaaq

1nq11q1q常见的数列的前n项和：123……+n=， 1+3+5+……+(2n-1)=_______

①等差数列求和公式：Sn__________

122232……+n2=2、错位相减法：

n(n1)(2n1)等.

6这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

若cnbnan，其中bn是等差数列，an是公比为q等比数列，令 Snb1a1b2a2bn1an1bnan

则qSn b1a2b2a3bn1anbnan1 两式相减并整理即得 例1、（2008年全国Ⅰ第19题第（2）小题，满分6分） 已知 ann2

小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列cn的公比q；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.

1

n1，求数列｛an｝的前n项和Sn.

针对训练1、求和：Snx2x23x3nxnx0,x1

3、裂项相消法：

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用

c于类似（其中an是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列

aann11例2、数列an的通项公式为an，求它的前n项和Sn

n(n1)

用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：

11________，特别地当k1时，__________

nnknn111___________，特别地当k1时_________ （2）nknn1n（1）

针对训练2、求数列

2

112,123,,1nn1,的前n项和.

4、分组求和法：

有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

123n例3、求和：Sn2354356352n35



23n针对训练3、求和：Sna1a2a3an



5、倒序相加法：

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).

2x例4、已知函数fxx 22（1）证明：fxf1x1；

（2）求f

3

1102f108f109f的值. 10小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和. 针对训练4、求sin1sin2sin3sin88sin89的值

（二）练习巩固

1.设Sn1357(1)n(2n1)，则Sn＝_______________________.

111 . 2.

1447(3n2)(3n1)3.

222221111...=__________ 243546(n1)(n3)4. 数列1,(12),(1222),,(12222n1),的通项公式an ， 前n项和Sn

1352n1,2,3,,n,;的前n项和为_________ 22226.数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a13,b11，an为正整数，

5

数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S264. （1）求an,bn；（2）求证

（四） 课堂小结和课外作业 请同学们总结本节课学习的内容

数列求和的方法及其特征：___________________

三、课外作业：

1. 作业本：课本61页习题2.5组 第4题 2. 《学习与评价》p 达标训练（1）--（12）； p 拓展训练

练习巩固答案

4

1113. S1S2Sn41、(1)nn2、n2n311111nn1S3 3、 4、 5.。 21;22nnn3n12223n2n36解：（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，

an3(n1)d，bnqn1

ban1q3nd3(n1)dqd6426q依题意有ban①

S2b2(6d)q64由(6d)q64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一， 解①得d2,q8

故an32(n1)2n1,bn8n1 （2）Sn35(2n1)n(n2) ∴

1111111 S1S2Sn132435n(n2)11111111(1) 232435nn211113(1) 22n1n24

数列的求和（教师版）

高一（ ）班 姓名 ____________ 学号 _____________ 一、学习目标：

（1）. 熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；

(2). 能运用错位相减、裂项相消、倒序相加等重要的数学方法进行求和运算；（重点） （3）熟记一些常用的数列的和的公式． 二、学习过程

数列求和的方法： 1、公式法：

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.

na1annn1na1d 22na1q1②等比数列求和公式：Sna11qnaaq

1nq11q1qn(n1)2常见的数列的前n项和：123……+n=， 1+3+5+……+(2n-1)=n

2①等差数列求和公式：Sn

5

n(n1)(2n1)3333123……+n=，123……+n=62222n(n1)等.

222、错位相减法：

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

若cnbnan，其中bn是等差数列，an是公比为q等比数列，令 Snb1a1b2a2bn1an1bnan

则qSn b1a2b2a3bn1anbnan1 两式相减并整理即得

例1、（2008年全国Ⅰ第19题第（2）小题，满分6分） 已知 ann2n1，求数列｛an｝的前n项和Sn. （解：Sn120221(n1)2n2n2n1 ①

2Sn121222(n1)2n1n2n ②

②—①得

Snn2n120212n1n2n2n1）

小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列cn的公比q；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.

针对训练1、求和：Snx2x23x3nxnx0,x1

3、裂项相消法：

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似c（其中an是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列

anan1例2、数列an的通项公式为an1，求它的前n项和Sn

n(n1)

（解：Sna1a2a3an1an 11111 122334n1nnn1111111111 22334n1nnn11n 1） n1n1 =1 6

用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：

1111111k1，特别地当时， nn1nn1nnkknnk111（2）nkn，特别地当k1时n1n

nknkn1n（1）



针对训练2、求数列解：设an112,123,,1nn1,的前n项和.

1nn1111则 Sn （裂项求和）

1223nn1 ＝(21)(32)(n1n)

n1n （裂项）

＝n11 4、分组求和法：

有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

123n例3、求和：Sn2354356352n35

123n（解：Sn2354356352n35

2462n35152535n

11155nn13115

nn31n2n1 4523n针对训练3、求和：Sna1a2a3an

5、倒序相加法：

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).

2x例4、已知函数fxx 22（1）证明：fxf1x1；

（2）求f

1102f108f109f的值. 107

解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

19285fffff10101010101289令Sffff

101010109821则Sffff

10101010两式相加得：

5f1 102S91f1099f9 所以S.

2102222小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和. 针对训练4、求sin1sin2sin3sin88sin89的值

解：设Ssin1sin2sin3sin88sin89…………. ①

将①式右边反序得 Ssin89sin88sin3sin2sin1………② （倒序） 又因为 sinxcos(90x),sin2xcos2x1 ①+②得 （倒序相加）

222222222222S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89

∴ S＝44.5 （二）练习巩固

1.设Sn1357(1)n(2n1)，则Sn＝_______________________.

111 . 2.

1447(3n2)(3n1)3.

1111...=__________ 243546(n1)(n3)4. 数列1,(12),(1222),,(12222n1),的通项公式an ， 前n项和Sn 1352n1,2,3,,n,;的前n项和为_________ 22226.数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a13,b11，an为正整数，

5

数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S264. （1）求an,bn；（2）求证

（四） 课堂小结和课外作业 请同学们总结本节课学习的内容

数列求和的方法及其特征：___________________

8

1113. S1S2Sn4

三、课外作业：

2. 作业本：课本53页习题4.2B组 第1、2题 2. 《学习与评价》p 达标训练（1）--（12）； p 拓展训练

练习巩固答案

1、(1)nn2、n2n311111nn1S3 3、 4、 5.。 21;22nnn3n1223n2n36解：（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，

an3(n1)d，bnqn1

ba3ndn1qd依题意有b3anq(n1)dq6426①

S2b2(6d)q64由(6d)q64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一， 解①得d2,q8

故an32(n1)2n1,b1n8n （2）Sn35(2n1)n(n2) ∴

1111111SS32435n(n2) 12Sn112(113121413151n1n2) 12(111132n1n2)4

9

2