2019-2020学年山东省青岛市市北区七年级（下）期末数
学试卷
1. 下列事件为必然事件的是( )
A. 射击一次，中靶
B. 画一个三角形，其内角和是180∘ C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D. 12人中至少有2人的生日在同一个月
2. 下列运算正确的是( )
A. 𝑎2⋅𝑎3=𝑎6 B. 𝑎5+𝑎3=𝑎8 C. (𝑎4)2=𝑎6
D. 𝑎5÷𝑎5=1(𝑎≠0)
3. 下面图标中，是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
4. 用三角板作△𝐴𝐵𝐶的边AC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是( )A.
B.
C.
D.
5. 下面四个实验中，实验结果概率最小的是( )
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A. 如(1)图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果
绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率
B. 如(2)图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落
在蓝色区域的概率
C. 如(3)图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正
方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率
D. 有7张卡片，分别标有数字1，2，3；4，6，8，9；将它们背面朝上洗匀后，
从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率 6. 如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是
两格点，如果C也是图中的格点，且使得△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是( )
A. 6
B. 7 D. 9
C. 8
7. 下列各情景分别可以用哪一幅图来近似的刻画？正确的顺序是( )
①汽车紧急刹车(速度与时间的关系) ②人的身高变化(身高与年龄的关系) ③跳过运动员跳跃横杆(高度与时间的关系) ④一面冉冉上升的红旗(高度与时间的关系)
A. abcd B. dabc C. dbca D. cabd
8. 乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知
𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐸=92∘，∠𝐷𝐶𝐸=115∘，则∠𝐸的度数是( )
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A. 32∘ B. 28∘ C. 26∘ D. 23∘
9. 小颖已有两根长度分别为5cm、7cm的木棒，再给一根多长的木棒，能方便她把三
根木棒首尾相接摆成一个三角形？请你提供一个合适的木棒长度.你提供的长度是______ 𝑐𝑚.
10. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.0000000052𝑚𝑚，数据0.0000000052用
科学记数法表示为______.
11. 如图，直线𝑙1//𝑙2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30∘角的三角尺按如
图所示的位置摆放，若∠1=58∘，则∠2的度数为______.
12. 如图，已知△𝐴𝐵𝐶的两条边𝐴𝐶=8，𝐵𝐶=6，现将△𝐴𝐵𝐶沿DE折叠，使点A与点
B重合，则△𝐵𝐶𝐸的周长是______ .
13. 如图．直线𝑙1//𝑙2.以直线𝑙1上的点A为圆心，适当长为半径在右侧画弧，分别交𝑙1，
𝑙2于点B，𝐶.连结AC，𝐵𝐶.若∠1=56∘，则∠𝐴𝐵𝐶的度数是______.
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14. 把一幅七巧板按如图所示进行①∼⑦编号，①∼⑦号分别对应着七巧板的七块，如
果编号④对应的面积等于4，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于______ .
15. 如图，用每张长6cm的纸片，重叠1cm粘贴成一条纸带，纸带的长度𝑦(𝑐𝑚)与纸片
的张数x之间的关系式是______.
16. 如图，P为∠𝑀𝑂𝑁内部的已知点，连接OP，A为OM上的点，B为ON上的点，当
△𝑃𝐴𝐵周长的最小值与OP的长度相等，∠𝑀𝑂𝑁的度数为______ ∘.
17. 如图，已知点M，N和∠𝐴𝑂𝐵，求作一点P，使P到M，N的
距离相等，且到∠𝐴𝑂𝐵的两边的距离相等．(要求尺规作图，并保留作图痕迹)
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18. 计算：
(1)计算：(−2020)0−()−1；
31
(2)计算：(−𝑎2𝑏)2⋅2𝑎𝑏÷(−3𝑎𝑏3)； (3)计算：(2𝑥+1)2−4(𝑥−1)(𝑥+1)； (4)运用乘法公式计算：1232−122×124；
(5)先化简，再求值：(𝑥−2𝑦)2−𝑥(𝑥+3𝑦)−4𝑦2，其中𝑥=−4，𝑦=2.
19. 按逻辑填写步骤和理由
如图，𝑎//𝑏，点A在直线a上，点B、C在直线b上，且𝐵𝐴⊥𝐶𝐴，点D在线段BC上，连接AD，且AC平分∠𝐷𝐴𝐹.请证明：∠3=∠5.
1
证明：
∵𝐵𝐴⊥𝐶𝐴(已知)
∴∠𝐵𝐴𝐶=∠2+∠3=90∘(①______ ) ∵∠1+∠𝐵𝐴𝐶+∠4=180∘(平角的定义)
∴∠1+∠4=180∘−∠𝐵𝐴𝐶=180∘−90∘=90∘
∵𝐴𝐶平分∠𝐷𝐴𝐹(已知) ∴∠1=②______ (③______ ) ∴∠3=∠4(④______ ) ∵𝑎//𝑏(已知) ∴∠4=∠5(⑤______ ) ∴∠3=∠5(⑥______ )
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20. “五⋅一”期间，某书城为了招徕顾客，设立了一个可
以自由转动的转盘(如图，转盘被平均分成12份)，并规定：读者每购买100元图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得45元、30元、25元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书. (1)写出任意转动一次转盘获得购书券的概率；
(2)写出任意转动一次转盘获得45元，30元，25元的概率.
21. 小明家距离学校8千米，今天早晨，小明骑车上学图中，自行车出现故障，恰好路
边有便民服务点，几分钟后车修好了，他以更快的速度匀速骑车到校．我们根据小明的这段经历画了一幅图象(如图)，该图描绘了小明行驶的路程(千米)与他所用的时间(分钟)之间的关系．请根据图象，解答下列问题： (1)小明行了多少千米时，自行车出现故障？修车用了几分钟？ (2)小明从早晨出发直到到达学校共用了多少分钟？ (3)小明修车前、后的行驶速度分别是多少？
(4)如果自行车未出现故障，小明一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到多少分钟？
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22. 如图，已知：点E，D，B，F在同一条直线上，𝐴𝐷//𝐶𝐵，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷，𝐷𝐸=𝐵𝐹.
(1)判断线段AD与BC的数量关系，并说明理由； (2)判断线段AE与CF的位置关系，并说明理由.
23. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解
数学问题．
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(1)请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式．
(2)用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你写出这三个代数式(𝑎+𝑏)2、(𝑎−𝑏)2、ab之间的等量关系． (3)根据(2)中你探索发现的结论，完成下列问题： ①当𝑎+𝑏=5，𝑎𝑏=−6时，则𝑎−𝑏的值为______. ②设𝐴=
24. (1)如图1，已知以△𝐴𝐵𝐶的边AB、AC分别向外作等腰直角△𝐴𝐵𝐷与等腰直角△𝐴𝐶𝐸，
∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸=90∘，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：𝐵𝐸=𝐷𝐶，且𝐵𝐸⊥𝐷𝐶.
𝑥+2𝑦−3
4
，𝐵=𝑥−2𝑦−3，计算：(𝐴+𝐵)2−(𝐴−𝐵)2的结果．
请补充完整证明“𝐵𝐸=𝐷𝐶，且𝐵𝐸⊥𝐷𝐶”的推理过程； 证明：∵△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸都是等腰直角三角形(已知) ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐴𝐸=𝐴𝐶(等腰直角三角形定义) 又∵∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸=90∘(已知)
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∴∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵𝐴𝐶=______ (等式性质) 即：______
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐶(______ )
∴𝐵𝐸=𝐷𝐶(全等三角形的对应边相等) ∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐷𝐶(全等三角形的对应角相等) 又∵∠𝐵𝐹𝑂=∠𝐷𝐹𝐴(______ )
∠𝐴𝐷𝐹+∠𝐷𝐹𝐴=90∘(直角三角形的两个锐角互余) ∴∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐵𝐹𝑂=90∘(等量代换) ∴______ 即𝐵𝐸⊥𝐷𝐶
(2)探究：若以△𝐴𝐵𝐶的边AB、AC分别向外作等边△𝐴𝐵𝐷与等边△𝐴𝐶𝐸，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠𝐵𝑂𝐷的度数？
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答案和解析
【答案】
1. B 8. D
2. D
3. C 4. D 5. C 6. C 7. C
9. 5(答案不唯一) 10. 5.2×10−9 11. 92∘ 12. 14 13. 62∘ 14. 32 15. 𝑦=5𝑥+1 16. 30
17. 解：如图所示，点P即为所求作的点．
18. 解：(1)(−2020)0−(3)−1
=1−3
=−2；
(2)(−𝑎2𝑏)2⋅2𝑎𝑏÷(−3𝑎𝑏3) =𝑎4𝑏2⋅2𝑎𝑏÷(−3𝑎𝑏3)
=−𝑎4；
32
1
(3)(2𝑥+1)2−4(𝑥−1)(𝑥+1) =4𝑥2+4𝑥+1−4𝑥2+4
=4𝑥+5；
(4)1232−122×124
=1232−(123−1)×(123+1)
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=1232−1232+1
=1；
(5)(𝑥−2𝑦)2−𝑥(𝑥+3𝑦)−4𝑦2，
=𝑥2−4𝑥𝑦+4𝑦2−𝑥2−3𝑥𝑦−4𝑦2
=−7𝑥𝑦，
当𝑥=−4，𝑦=2时，原式=−7×(−4)×2=14.
1
1
19. 垂直的性质 ∠2角平分线的定义 等角的余角相等 两直线平行，内错角相等 等量
代换
20. 解：(1)任意转动一次转盘获得购书券的概率是12=2；
(2)任意转动一次转盘获得45元的概率是12； 获得30元的概率是12=6； 获得25元的概率是
3122
1
1
61
=.
4
1
21. 解：(1)由图可知，小明行了3千米时，自行车出现故障，
修车用了15−10=5(分钟)；
(2)小明共用了30分钟到学校；
(3)修车前速度：3÷10=0.3千米/分， 修车后速度：5÷15=千米/分；
31
(4)8÷30−
803310
=
103
803
(分种)，
=(分钟)，
10
故他比实际情况早到3分钟．
22. 证明：(1)𝐴𝐷=𝐵𝐶.
理由如下： ∵𝐴𝐷//𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐵𝐷，
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在△𝐴𝐷𝐵和△𝐶𝐵𝐷中 ∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐵𝐷{∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐶𝐵， 𝐷𝐵=𝐵𝐷
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐵𝐷(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐶；
(2)𝐴𝐸//𝐶𝐹.
理由如下：
∵∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐵𝐷，∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐸𝐷𝐴=180∘，∠𝐶𝐵𝐷+∠𝐹𝐵𝐶=180∘， ∴∠𝐸𝐷𝐴=∠𝐹𝐵𝐶， 在△𝐸𝐷𝐴和△𝐹𝐵𝐶中 𝐷𝐸=𝐵𝐹
{∠𝐸𝐷𝐴=∠𝐹𝐵𝐶， 𝐷𝐴=𝐵𝐶
∴△𝐸𝐷𝐴≌△𝐹𝐵𝐶(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐸=∠𝐹， ∴𝐴𝐸//𝐶𝐹.
23. 解：(1)图1：(𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2；
图2：(𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2； 图3：(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2， (2)图4：(𝑎+𝑏)2−(𝑎−𝑏)2=4𝑎𝑏； (3)±7； ②∵𝐴=
𝑥+2𝑦−3
4
，𝐵=𝑥−2𝑦−3，
∴(𝐴+𝐵)2−(𝐴−𝐵)2=4×𝐴×𝐵 =4×
𝑥+2𝑦−3
×(𝑥−2𝑦−3) 4
=(𝑥+2𝑦−3)(𝑥−2𝑦−3) =[(𝑥−3)+2𝑦][(𝑥−3)−2𝑦] =(𝑥−3)2−(2𝑦)2
=𝑥2−6𝑥+9−4𝑦2.
24. ∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐵𝐴𝐶；∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐸；SAS；对顶角相等；∠𝐵𝑂𝐹=∠𝐷𝐴𝐹=90∘
【解析】
1. 解：A、射击一次，中靶，是随机事件；
B、画一个三角形，其内角和是180∘，是必然事件；
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C、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件； D、12人中至少有2人的生日在同一个月，是随机事件； 故选：𝐵.
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2. 解：𝐴.𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，故本选项不合题意；
B.𝑎5与𝑎3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； C.(𝑎4)2=𝑎8，故本选项不合题意； D.𝑎5÷𝑎5=1(𝑎≠0)，故本选项符合题意． 故选：𝐷.
分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则判断即可．
本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3. 解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形； 故选：𝐶.
根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合解答．
本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4. 解：A，B，C都不是△𝐴𝐵𝐶的边AC上的高，只有选项D符合题意．
故选：𝐷.
根据高线的定义即可得出结论．
本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
5. 解：A、如(1)图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的
结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率为0.4.
B、如(2)图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为3≈0.33.
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1
C、如(3)图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率为
5
212
=
524
≈0.2.
D、有7张卡片，分别标有数字1，2，3；4，6，8，9；将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率为≈0.28，
72
因为0.2最小， 故选：𝐶.
利用概率公式求出概率后即可判断．
本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6. 解：①AB为等腰△𝐴𝐵𝐶底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△𝐴𝐵𝐶其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 故选：𝐶.
当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形。
当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
7. 解：A、人的身高随着年龄的增加而增大，到一定年龄不变，故与②符合；
B、红旗升高随着时间的增加而增大，到一定时间不变，故与④符合；
C、运动员跳跃横杆时高度在上升到最大高度然后上升到最大高度之后高度减小，与③符合；
D、汽车紧急刹车时速度随时间的增大而减小，与①符合． 故选𝐶.
A、根据人的身高变化关系； B、根据红旗高度与时间的关系；
C、跳过运动员跳跃横杆时高度与时间的关系； D、汽车紧急刹车时速度与时间的关系．
本题考查了变量间关系的图象，解答本题的关键是分析每种情形下因变量与自变量的变化关系．
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8. 解：如图，延长DC交AE于F，
∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐸=92∘， ∴∠𝐶𝐹𝐸=92∘，
∵∠𝐸+∠𝐶𝐹𝐸+∠𝐹𝐶𝐸=180∘=∠𝐷𝐶𝐸+∠𝐹𝐶𝐸， 又∵∠𝐷𝐶𝐸=115∘，
∴∠𝐸=∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐶𝐹𝐸=115∘−92∘=23∘， 故选：𝐷.
延长DC交AE于F，依据𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐸=92∘，可得∠𝐶𝐹𝐸=92∘，再根据三角形内角和及平角性质，即可得到∠𝐸=∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐶𝐹𝐸.
本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
9. 解：∵两个长分别为5cm和7cm的木棒，再取一根木棒与前两根搭成一个三角形，
∴第三根木棒的长x应满足：2𝑐𝑚<𝑥<12𝑐𝑚. ∴5𝑐𝑚适合，
故答案为：5(答案不唯一).
利用三角形三边关系进而得出x的取值范围．
此题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题关键．
10. 解：0.0000000052=5.2×10−9；
故答案是：5.2×10−9.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11. 解：如图，
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∵𝑙1//𝑙2，
∴∠1=∠3=58∘， ∵∠4=30∘，
∴∠2=180∘−∠3−∠4=180∘−58∘−30∘=92∘.
故答案为：92∘.
根据两条直线平行，同位角相等可得∠1=∠3，再根据平角定义即可求出∠2的度数． 本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
12. 解：∵将△𝐴𝐵𝐶沿DE折叠，使点A与点B重合，
∴𝐴𝐸=𝐵𝐸，
∴△𝐵𝐶𝐸的周长=𝐵𝐶+𝐶𝐸+𝐵𝐸=𝐵𝐶+𝐶𝐸+𝐴𝐸=𝐵𝐶+𝐴𝐶=6+8=14， 故答案为14.
由折叠的性质可得𝐴𝐸=𝐵𝐸，即可求解．
本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
13. 解：∵直线𝑙1//𝑙2.
∴∠1=∠𝐶𝐴𝐵=56∘，
∵直线𝑙1上的点A为圆心，适当长为半径在右侧画弧，分别交𝑙1，𝑙2于点B，𝐶.连结AC，𝐵𝐶. ∴𝐴𝐶=𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐶=
180∘−56∘
2
=62∘，
故答案为：62∘.
根据平行线的性质得出∠𝐶𝐴𝐵=56∘，利用𝐴𝐶=𝐴𝐵进行解答即可． 此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠𝐶𝐴𝐵=56∘解答．
14. 解：设正方形的边长为a，
则④是平行四边形，它的面积=2𝑎×4𝑎=4， ∴𝑎2=32， 故答案为32.
由七巧板的作图原理，可知④是平行四边形，并且它的一边长是正方形边长的一半，这条边上的高是正方形边长的4，再由平行四边形面积即可求解．
本题考查七巧板中的几何图形；能够理解七巧板的构图原理是解题的关键．
1
1
1
15. 解：根据纸带的长度y随着纸片的张数x的变化规律得，
𝑦=6𝑥−(𝑥−1)=5𝑥+1，
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故答案为：𝑦=5𝑥+1.
根据纸带的长度y随着纸片的张数x的变化规律，得出相应的函数关系式． 本题考查列函数关系式的方法，理解题目中的数量关系是得出函数关系式的前提．
16. 解：如图，分别作P关于OM、ON的对称
点𝑃1、𝑃2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，
∴△𝑃𝐴𝐵即为所求的三角形，此时△𝑃𝐴𝐵周长=𝑃1𝑃2，
根据对称性知道：
∠𝐴𝑂𝑃1=∠𝐴𝑂𝑃，∠𝐵𝑂𝑃=∠𝐵𝑂𝑃2， ∠𝑃1𝑂𝑃2=2∠𝑀𝑂𝑁，𝑂𝑃1=𝑂𝑃2=𝑂𝑃， ∵△𝑃𝐴𝐵周长的最小值与OP的长度相等， ∴𝑃1𝑃2=𝑂𝑃， ∴𝑂𝑃1=𝑂𝑃2=𝑃1𝑃2， ∴△𝑃1𝑂𝑃2是等边三角形， ∴∠𝑃1𝑂𝑃2=60∘， ∴∠𝑀𝑂𝑁=30∘， 故答案为：30.
如图，分别作P关于OM、ON的对称点，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，由此即可得到△𝑃𝐴𝐵的周长取最小值时的情况，由△𝑃𝐴𝐵周长的最小值与OP的长度相等得出△𝑃1𝑂𝑃2是等边三角形，根据对称性可知∠𝑃1𝑂𝑃2=2∠𝑀𝑂𝑁，即可求出∠𝑀𝑂𝑁=30∘.
此题主要考查了轴对称和最短线路问题；解题的关键是根据两点之间线段最短得到𝐴𝑃+𝐵𝑃+𝐴𝐵时最小值，利用等腰三角形和轴对称的知识即可求解．
17. 本题考查了复杂作图，主要有线段垂直平分线的作法，角平分线的作法，都是基本
作图，需熟练掌握．
连接MN，作线段MN的垂直平分线EF，再作∠𝐴𝑂𝐵的平分线OC，EF与OC的交点即为点𝑃.
18. (1)先根据零指数幂和负整数指数幂进行计算，再求出即可；
(2)先算乘方，再算乘除即可；
(3)先根据完全平方公式和平方差公式算乘法，再合并同类项即可； (4)先变形，再根据平方差公式求出即可；
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(5)先根据整式的运算法则进行化简，再代入求出即可．
本题考查了零指数幂，平方差公式，完全平方公式，负整数指数幂，实数的混合运算和整式的混合运算和求值等知识点，能正确根据知识点进行计算和化简是解此题的关键．
19. 证明：∵𝐵𝐴⊥𝐶𝐴(已知)，
∴∠𝐵𝐴𝐶=∠2+∠3=90∘(①垂直的性质)， ∵∠1+∠𝐵𝐴𝐶+∠4=180∘(平角的定义)， ∴∠1+∠4=180∘−∠𝐵𝐴𝐶=180∘−90∘=90∘， ∵𝐴𝐶平分∠𝐷𝐴𝐹(已知)，
∴∠1=②∠2(③角平分线的定义)， ∴∠3=∠4(④等角的余角相等)， ∵𝑎//𝑏(已知)，
∴∠4=∠5(⑤两直线平行，内错角相等)， ∴∠3=∠5(⑥等量代换).
故答案为：垂直的性质；∠2；角平分线的定义；等角的余角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换．
根据题意和图形可以将题目中的证明过程补充完整，从而可以解答本题．
本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. (1)根据概率公式直接求解即可；
(2)用红色区域的份数除以总分数即可得出获得45元的概率；用黄色区域的份数除以总分数即可得出获得30元的概率；用率色区域的份数除以总分数即可得出获得25元的概率．
此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率𝑃(𝐴)=𝑛.解决本题的关键是得到相应的概率．
𝑚
21. (1)根据自行车出现故障后路程s不变解答，修车的时间等于路程不变的时间；
(2)路程等于8千米时的时间即为用的时间； (3)利用速度=路程÷时间分别列式计算即可得解；
(4)求出未出故障需用的时间，然后用实际情况的时间减正常行驶的时间即可进行判断． 本题考查了函数图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，解题的关键是准确识图，从图象获取必须的信息．
22. (1)根据平行线的性质得出∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐵𝐷，根据全等三角形的判定得出△𝐴𝐷𝐵≌△
𝐶𝐵𝐷，根据全等三角形的性质得出即可；
(2)求出∠𝐸𝐷𝐴=∠𝐹𝐵𝐶，根据全等三角形的判定得出△𝐸𝐷𝐴≌△𝐹𝐵𝐶，根据全等三角形
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的性质得出∠𝐸=∠𝐹即可．
本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
23. 【分析】
本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在一起，要学会观察图形． (1)根据图形面积直接得出即可；
(2)用两种方法表示阴影部分的面积可得结论； (3)①根据(2)中的等量关系代入计算可得结论； ②同理根据(2)中的公式代入可得结论． 【解答】 (1)(2)见答案；
解：(3)①由(2)知：(𝑎+𝑏)2−(𝑎−𝑏)2=4𝑎𝑏， ∵𝑎+𝑏=5，𝑎𝑏=−6， ∴52−(𝑎−𝑏)2=4×(−6)， (𝑎−𝑏)2=25+24=49，
∴𝑎−𝑏=±7.
故答案为±7. ②见答案．
24. (1)解：∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐸，SAS，对顶角相等，∠𝐵𝑂𝐹=∠𝐷𝐴𝐹=90∘；
(2)证明：如图2，∵以AB、AC为边分别向外做等边△𝐴𝐵𝐷和等边△𝐴𝐶𝐸， ∴𝐴𝐷=𝐴𝐵，𝐴𝐸=𝐴𝐶，∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐴𝐸𝐶=60∘，∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐶=60∘， ∴∠𝐷𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐸， 在△𝐷𝐴𝐶和△𝐵𝐴𝐸中， 𝐴𝐷=𝐴𝐵
{∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐸， 𝐴𝐶=𝐴𝐸
∴△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐶𝐷=𝐵𝐸，∠𝐵𝐸𝐴=∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐸𝐶𝑂+∠𝑂𝐸𝐶 =∠𝐷𝐶𝐴+∠𝐴𝐶𝐸+∠𝑂𝐸𝐶
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=∠𝐵𝐸𝐴+∠𝐴𝐶𝐸+∠𝑂𝐸𝐶 =∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐴𝐸𝐶 =60∘+60∘ =120∘. ∴∠𝐵𝑂𝐶=60∘.
(1)根据三角形全等的有关知识填空．
(2)根据等边三角形的性质得出𝐴𝐷=𝐴𝐵，𝐴𝐸=𝐴𝐶，∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐴𝐸𝐶=60∘，∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐶=60∘，求出∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐸，根据SAS推出△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐸，根据全等三角形的性质得出∠𝐵𝐸𝐴=∠𝐴𝐶𝐷，求出∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐸𝐶𝑂+∠𝑂𝐸𝐶=∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐴𝐸𝐶，代入求出即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
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