第三单元 正比例与反比例
教材分析
正比例和反比例是《数学课程标准》“数与代数”领域的重要内容。具体目标有四点：1.在实际情境中理解什么是按比例分配，并能解决简单的问题；2.通过具体问题认识成正比例、反比例的量；3.能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值；4.能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，并进行交流。正比例和反比例历来是小学数学里的重要内容之一。通过对正比例与反比例知识的学习，可以加深学生对比例的理解及对数量关系的认识，初步渗透函数思想，为今后学习中学数学和物理、化学打下基础。与教学大纲比较，《标准》对这部分内容的教学要求有所提高。不仅要求学生认识正比例关系的图像，还能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计出另一个量的值。淡化脱离现实背景判断比例关系，而通过大量的例子以及图形给学生丰富的感知经验。学生通过对两个数量保持商一定或积一定的变化，理解正比例和反比例关系，不安排应用正、反比例关系解决实际问题。
本单元主要内容有：正比例的意义，找出生活中成正比例的实例，根据正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量估计另一个量的值；反比例的意义，找出生活中成正比例的实例；正、反比例关系的字母表达式。这些内容都可使学生体会到正、反比例的意义既是正比例知识和反比例知识的逻辑起点，同时也分别是判断两种量是成正比例的量还是成反比例的量、学习正比例图像、解决正比例和反比例问题的依据和基础。学习这部分知识时，学生根据正反比例的意义判断两种量是不是成正反比例比较困难。教学时，一方面要用好教科书提供的素材，另一方面还可以根据学习的需要补充一些学生熟悉的生活素材，引导学生利用生活经验更好地理解成正比例、反比例关系中的两种相关联的量之间的变化规律。教材中相关变量之间关系用数值（表格）、图像、解析（关系式）三种方式来表示，更有助于学生理解成正、反比例的量的变化规律，对函数思想获得初步的了解。
本单元教材在内容编排上有以下特点：
1.重视教学内容的思想价值。在“正比例、反比例”的研究中，充满着已知与未知、特殊与一般、具体与抽象的对立与统一，充满着运动、变化的思想。以“正比例”为例，其图像的呈现形式，从表面上看是静止的一条线，但从列表、描点到连线这一过程看，却是运动的、变化的。再进一步考察，画成的图像从表面上看是完整的，其实是局部的、不完整的。因为它还可以延伸，即不断地运动、发展、变化。
2.强调对模式与关系的体会、理解。函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。正比例、反比例中隐含的数学函数思想，对学生后续学习数学、物理、化学等学科有重要的促进作用。学习正比例、反比例，数学思维方式发生重要转折，即思维从静止走向运动，从离散走向连续，从运算走向关系。在《标准》中，通过绘图、估计值、找实例交流等不同于以往的教学活动，帮助学生体会两个变量之间相互依存的关系，丰富关于变量的经历，为以后学习函数概念打下基础。
3.注重在具体情境中去体验、理解有关知识。第一，引导学生全面经历正比例及其图像、反比例等内容的探索过程，如认识成正比例关系的量时，活动一只
六年级数学下册教案
是让学生理解路程是怎样随着时间的变化而变化的，活动二之后，教材才给出了正比例关系的一般化描述。同样，教学正、反比例的意义后，并没有给出字母表达式，而是在正、反比例的意义之后，安排了一节练习课，在学生更好地理解了正比例、反比例关系中的两种相关联的量之间的变化规律后总结字母表达式。第二，选取现实生活中具有正、反比例关系的素材，让学生了解这些知识在现实生活中的背景，知道这些内容是怎么产生的。
教学目标：
1.通过具体情境认识成正比例、反比例的量，能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，并进行交流。
2.能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值。
3.在判断成正比例或成反比例量的过程中，能进行有条理的思考，能对结论的合理性作出有说服力的说明。
4.能探索出解决问题的有效方法，并试图寻找其他办法。
5.对现实生活中成正、反比例的事物有好奇心，认识到许多实际问题可以借助画图的方法来解决。
教学重点：
理解正、反比例的意义，学会根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成比例。用画图的方法解决正比例关系问题。
【学情分析】
1．学生在学习本单元之前已经学习了比和比例的有关知识，会解决按比例分配的简单数学问题。
2．有一些朴素的正、反比例概念。学生在中已经积累了一些这方面的经验，比如坐车时间越长，行走的距离就越远。
第一课时 正比例
学科 年级 班级 课题 课时 认识正比例 主备人 责任人 课型 审核人 新授 1．结合具体实例，经历认识成正比例的量的过程。 2．知道正比例的意义，能判断两种量是否成正比例关系，能找出生活中学习 成正比例的实例，并进行交流。 目标 3．对显示生活中成正比例关系的事物有好奇心，在判断成正比例量的过程中，能进行有条理的思考。 学习 重点 结合具体实例，经历认识成正比例的量的过程。 六年级数学下册教案
学习 知道正比例的意义，能判断两种量是否成正比例关系 难点 学习 多媒体课件 准备 课前 三分钟 自 主 实 践 课本第18页例1的两个里程表。 1.从这两个里程表中，你了解到什么？ 2.算一算，这辆汽车1小时跑了多少千米？ 3.你能将表格空白部分填写出来吗? 4.观察表格中的数据，你发现了什么？ 学习要点与学法指导 口述教材内容，既激发学习兴趣，更有利于学生理解问题，解决问题师生共同完成，生成课程资源，把更多的时间用于新知的学习。在已有经验和知识的背景下，初步感受时间和路程的关系。 1．提出“写出相对应的路程和时间的比，并求出比值”的要求，师生共同完成。2．观察写出的比和求出的比值，交流发现了什么？教师说明：90既是比值，又是速度，然后得出比值都是90的结果。3．在教师的启发下，由学生归纳出路程、时间和速度的关系式：路程／时间=速度（一定）4．提出“议一议”的问题，鼓励学生用自己的语言说明。结合行程问题，教师参照教材上的表述介绍路程和时间这两种量成正比例。 在学生自主计算和观察的基础上，自主总结关系式，获得积极的学习经验判断是否成正比例的过程，既前置小研究 学 习 过 程 时间（时） 2 3 4 5 6 路程 180 270 360 （千米） 小组探究: 小组 1.写出相对应的路程和时间的比，并求出比交流 值。 2.观察写出的比和比值，你发现了什么？ 3.写出一个关于路程、时间和速度的关系式。谁来说说是什么？ 4.这个关系式中，什么量是变化的，什么量是不变的？ 5.谁来说说在速度一定的情况下，路程和时间有什么关系？ 班级 展示 2.自动笔的单价为1.6元，请完成下表。 数量2 3 4 5 6 7 8 （支） 总价 3.2 4.8 6.4 （元） 六年级数学下册教案
是对已有知识的进一步深化，又为认识正比例关系提供经验。分析归纳课例的共同点，是由个别到一般的概况过程。 给学生充分发现的机会。变换方式理解正比例的定义，有利于应用知识解决问题。 全班交流，重点指导1．让学生看试一试中的题，先自己判断并学生用正比例的定义和同学交流。 进行判断。第（3）题2.让学生读练一练表中的数据，说一说知道只是要学生说出“每了什么，然后讨论第（1）个问题。 月支出的钱数越多（少），剩下的钱数就越少（多），所以不成正比例”或说出“每月支出的钱数和剩下的钱数不是相除的关系”即可。 1.判断下面各题中的两个量是否成正比例， 并说明理由。（1）一袋面粉的质量一定，面粉的总质量和 袋数。 （2）一个人的身高和年龄。（3）小麦每公顷的产量一定，小麦的公顷数 和总产量。 （4）平行四边形的高一定，它的面积和底。（5）书的总页数一定，已经看的页数和未看 的页数。2. 正方形的周长和边长成正比例吗？面积 和边长呢？为什么？3.找一找生活中成正比例的例子，并与同伴 交流。 1.买一支自动笔1.6元，请同学们算一算买2支、3支、5支、6支、7支、8支各花多少钱？ 2.观察表中数据，你发现了什么规律？3. 写出一个式子表示总价、数量和单价之间的关系吗？试一试！ 3.买自动笔的总价和买自动笔的数量这两种量成正比例吗？为什么？ 4.分析一下上面的两个例子和数量关系式，你们发现它们有什么共同点？ 5.谁来说一说判断两个量是不是成正比例关系需要具备哪几个条件？ 巩固 拓展 自主 检测 板书设计 认识正比例 六年级数学下册教案
两种相关联的的量,比值一定 教学反思 总评
第二课时 画图表示正比例的量
学科 数学 六 年级 班级 课题 课时 画图表示正比例的量 1 主备人 责任人 课型 审核人 新授 1．结合具体实例，经历判断两种量是否成正比例，“在方格纸上表示数据”。并回答问题的过程。 学习 2．能根据给出的正比例关系的数据在方格纸上画图，能根据其中一个量的值目标 估计另一个量的值。 3．体会用图描述事物的直观性，认识到成正比例关系的问题可以借助画图解决。 “在方格纸上表示数据”。 学习 会判断两种量是否成正比例，重点 学习 能根据给出的正比例关系的数据在方格纸上画图，能根据其中一个量的值估计另一个量的值。 难点 学习 多媒体课件，方格纸。 准备 学 习 过 课前 三分钟 自 主 实 践 学习要点与学法指导 一、回顾旧知识，过渡新知识！【学法指导】 1、什么样的两个量才是成正比例的量？正（独学、对学、群学、前置比例关系？ 展示等环节要求明确） 判断下面每题中的两种量是不是成正比对学检查 小研究 2、例，说明理由。 （1）小明跳绳的速度和他的体重。 独立完成 六年级数学下册教案
程 （2）每盒铅笔的支数相同，盒数和铅笔的对组检查 总支数。 （3）每米彩带4元，填写下表。 独立完成 购买彩带的长度和应付的钱数成正比例对组检查 吗？说出理由。 二、增添新知识，解决新问题 组内交流 1、试着把上表的数据在方格纸上表示出来。 3、表示正比例关系的图象有什么特点？ 2、不计算，看图估计：我知道买1.5米彩带要花多少元，买5.5米呢？ 3、提问题，并解决。 教师详细介绍，让学生明白方格纸横轴和竖轴1．用小黑板出示空白方格图，教师边说边表示数据的方法。让学写出横轴和竖轴的数和表示的量。2．教师生知道数轴的名称，方介绍数轴的名称。3．采取先讲解，学生再便下面的语言描述。在小组 尝试的方法，师生共同完成。4．让学生观教师的指导下，经历在交流 察描出的点，说一说发现了什么。教师连方格纸上表示数据的过接各点画出一条直线，再让学生观察，使程。在观察点和线的过学生了解各点连线是一条直线。然后讨论程中，了解成正比例的“说一说”的第（2）个问题。 量在方格纸上画图表示的形态。 1．讨论：买1.5米、2.5米彩带所花的钱在问题讨论的过程中，数是不是都可以在直线找到相应的点？得进一步理解数与点之间到肯定性答案。2．教师介绍看图估计买的关系，为根据一个量1.5米彩带花的钱数。边介绍边画图。3．让估计另一个量作铺垫。班级 学生看图估计买1.5米彩带花了多少钱，通过示范，使学生学会展示 并说一说是怎样想的？4．让学生自己看图根据一个量值估计另一估计买5.5米彩带花了多少钱？交流时，个值的方法。使学生获说一说是怎样做的？ 得积极的学习体验，感受数学学习的价值。给六年级数学下册教案
学生尝试的机会，使学生获得积极的讨论方法。 先观察表格在自己试着把表中的数据在方格纸 三、实战练习：完成课后练一练。上表示出来,组内交流 随机抽查展示【达标测评】 1.表中的数据可以用上面的图像表示。 （1）图中的A点表示1小时行80千米，B点表示5小时行400千米，其他各点呢？ （2）图中所描的点在一条直线上吗？ （3）根据图像判断，这辆汽车2.5小时行驶多少千米，行驶440千米需要多少小时？ 2.小李师傅生产零件的情况如下。 （1）完成下表。 2）把上表中的数据在下面的方格纸上表示出来。 （3）连接各点，你发现什么？ （4）估计一下，2.5小时大约做多少个零件？5.5小时呢？ 巩固 拓展 自主 检测 六年级数学下册教案
（5）自己提出问题，并解答。 板书设计 画图表示正比例的量 在方格纸上画图表示成正比例关系的量，并且能根据其中一个量的值估计另一个量的值。 教学反思 总评
第三课时 认识成反比例的量
学科 数学 六 年级 班级 课题 课时 认识成反比例的量 1 主备人 责任人 课型 审核人 新授 1．结合具体问题，经历认识和判断成反比例的量的过程。 2．知道反比例的意义，能判断两种量是否成反比例，能找出生活中成反比例学习 量的实例，并与同学进行交流。 目标 3．对现实生活中成反比例关系的事物有好奇心，在判断成反比例量的过程中，能进行有条理的思考。 学习 重点 学习 难点 学习 准备 学 习 过 程 知道反比例的意义，能判断两种量是否成反比例 能判断两种量是否成反比例，能找出生活中成反比例量的实例，并与同学进行交流。 找一本《安徒生童话》，把四个人看书表格画在小黑板上（图用文字），找一张10元人民币。 课前 三分钟 自 主 实 践 学习要点与学法指导 前置小研究 学习指南： 安徒生童话亮亮 红红 聪聪 丫丫 1.小组交流。建议3分钟 选 2.全班交流。预计3分钟 描述：当书的总页数一每天看的页12 15 18 20 定，每天看的页数和要看数 的天数有什么变化规律。在学生充分发言的基础需要的天数 15 12 10 9 上，教师介绍：每天看书六年级数学下册教案
1.亮亮、红红、聪聪和丫丫各看一本《安的页数与需要的天数这徒生童话选》。 两种量成反比例。 2.每天看书的页数与看书天数的乘积就是这本书的页数，你们能总结出一个数量关系式吗？ 3.谁能用自己的话说一说，当书的总页数一定时，每天看的页数和看的天数之间有什么变化规律？ 面值 5251角 角 角 元 5元 学生说，教师填在表格中。 提出：分析两个例子和数量关系式，你发现它们有小组 什么共同点？学生讨论交流 4.老师这有一张10张的人民币，如果要的基础上，总结、概括成反比例的意义，并说明成把它换成5角的，能换几张？ 5.那要换成2角的，5角的，1元的呢？ 反比例的两种量他们的6.仔细观察表中数据，你都发现了么？ 关系叫做反比例关系。 7.观察这个数量关系式，谁能说一说什么量是一定的？什么量是变化的，怎样变化的？ 8.通过看书的事情，我们知道了什么样的两个量叫反比例，现在老师提一个问题：零钱的面值与换的张数这两种量成提出成反比例的量具备班级 反比利吗？为什么？和同桌说一说 什么条件。给学生充分发展示 9.现在请同学们分析一下上面的两个例表意见的机会。 子和数量关系式，你发现它们有什么共同点？ 10.我们认识了什么叫做反比例关系的量，你能举一个生活中反比例的例子吗？先和同学交流一下。 巩固 1．让学生自己判断“试一试”中的三组交流学生判断的结果，重拓展 数量。． 点说一说是怎样判断的。1．练一练第1题，先让学生自己判断，自主 再全班交流，重点关注第3～6题。2．练 检测 一练第2题，先让学生自己读题并判断。张100 50 数 认识成反比例的量 每天看的页数×需要的天数＝书的总页数（一定） 钱的面值×张数=10(元) 板书设计 一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量相对应的积也一定，就说这两种量成反比例，这两种量就叫做成反比例的量。它们的关系称为反比例关系。 六年级数学下册教案
教学反思 总评
第四课时 整理与复习
学科 数学 六 年级 班级 课题 课时 整理与复习 主备人 责任人 课型 审核人 复习 1．结合具体事例，经历讨论和总结正、反比例关系式及字母表达式的过程。 2．在常见数量关系的三种量中，知道某一种量一定情况下，其他两种量成什学习 么比例关系，理解正、反比例字母表达式和含义。 目标 3．在讨论和判断正、反比例量的过程中，能进行有条理的思考，能清楚地表达判断和思考的过程与结果。 学习 在常见数量关系的三种量中，知道某一种量一定情况下，其他两种量成什么比例关系 重点 学习 在常见数量关系的三种量中，知道某一种量一定情况下，其他两种量成什么比例关系 难点 学习 准备 课前 三分钟 自 主 实 践 1．分别提出“什么样的量是成正比例的量，什么样的量是成反比例的量”，指导回答。2．让学生总结成正比例、反比例量的相同点和不同点，重点了解不同点。 学习要点与学法指导 学 习 过 程 通过正、反比例定义的复习，进一步形成概念，提高语言表达前置的规范化。通过分析小研究 总结，进一步理解具有正、反比例关系的量的特点，培养数学思维。 （一）购物问题。 在分析数据，指出数小组 1．让学生观察表（1）中的数据，先说一说据变化的过程中，使交流 给出了什么，知道了什么，要说一说是怎样学生加深了对反比例六年级数学下册教案
知道的。2．让学生描述数量的变化情况，并判断数量和总结成什么比例。3.让学生观察表（2）中的数据，先说一说给出了什么，知道了什么，再描述数量的变化情况，并判断单价和数量成什么比例。 4．分别讨论“议一议”中的三个问题，让学生回答并说明判断的理由。 5．教师概括：在单价、数量、总价三个量中，只要知道其中一个量不变，就能判断出其他两个量成什么比例关系，并引出行程问题。 （二）行程问题。 1．让学生读书，然后说一说从中知道了什么，怎样知道的。 2．让学生用比例的定义判断路程和时间成什么比例。 3．鼓励学生在路程、时间、速度三个量中，找出其他成正比例的情况，然后再找出反比例的情况。4．教师概括的在路程、时间、速度这三个量中，只要知道其中一个一定的量，就能判断其他两个量成什么比例关系。5.如果，我们用x、y表示两种相关联的量，用k表示一定的量，你们能写出正比例和反比例的字母表达式吗？试一试！ 1．练一练第1题. 2．练一练第2题， 4．练一练第4题。 巩固 拓展 关系的理解。给学生充分自主归纳知识并交流的机会，考查学生能否进行有条理的思考，能否对自己的结论做出有说服力的说明。提升学生的数学经验，发展数学思维。 班级 展示 培养学生回答问题和语言表达的能力，在具有挑战性的数学活动中，培养学生独立思考，自主建构知识的能力。提升数学经验，发展数学思维，提高解决问题的能力。 先让学生说一说汽车运货问题中有哪些数量，再提出第2题的要求，学生自己总结，最后交流。 先指导学生找出相关联的量和一定的量，再分别解决问题。 先帮助学生理解题，让学生明白大齿轮与小齿轮转数的关系，因为3:1=3，所以大齿轮转1圈，小齿轮转3圈，再提出问题，让学生回答 自主 检测 1.填空： （1）在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中，当底面周长一定时，（ ）和（ ） 成（ ）比例；当（ ）一定时，（ ）和（ ）成（ ）比例；当（ ）一六年级数学下册教案
定时，（ ）和（ ）成（ ）比例。 （2）在被除数、除数、商这三种量中，当（ ）一定时，（ ）和（ ）成正比例；当（ ）一定时，（ ）和（ ）成反比例。 （3）ab=c，当c一定时a和b成（ ）比例；当a一定时b和c成（ ）比例；当b一定时a和c成（ ）比例。 2.判断下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？ （1）分数的分母一定，分子和分数值。 （2）圆的周长和半径。 （3）7a－5b＝0，(a和b均不为0)，a和b。 （4）小明跑步的速度与年龄。 （5）一堆粮食，每次运的数量和运的次数。 （6）比的前项一定，比的后项与比值。 （7）班级人数一定，出勤人数和缺勤人数。 （8）在同一幅地图上，图上距离和实际距离。 （9）树的高度和它生长的年数。 （10）x=5÷y，x和y 板书设计 正、反比例的复习 X×Y=K(一定) 教学反思 总评
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