平行四边形典型例题

【例1】如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则图中全等三角形有（ ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

【分析】由平行四边形的对边平行、对角线互相平分，可得全等三角形有：△ABD和△CDE，△ADC和△CBA ，△AOD 和△BOC 、△AOB 和△COD ．

【答案】C

【例2】如图，□ABCD中，∠B、∠C的平分线交于点O ，BO 和CD 的延长线交于E ，

求证：BO=OE ．

【分析】证线段相等，可证线段所在三角形全等．可证△COE ≌△COB ．已知OC 为公共边， ∠OCE=∠OCB，又易证∠E=∠EBC．问题得证．

【证明】在□ABCD中，∵AB//CD，

∴ ，

又∵ （角平分线定义）．

∴ ，

又∵ ，

∴△ ≌△

∴ ．

说明：证线段相等通常有两种方法：（1）在同一三角形中证三角形等腰；（2）不在同一三角形则证两三角形全等．本题也可根据等腰三角形“三线合一”性质证明结论．

【例3】如图，在ABCD中，AE⊥BC于E ，AF⊥DC 于F ，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，

求△DEC 的面积．

【解】在 中， ， 、 ．

在Rt △ABE 中， ， ．

∴ ， ．

∴ ．

在 △ 中， ．

∴ ．

故 ．

【例4】已知：如图，D 是等腰△ABC 的底边BC 上一点，DE//AC ，DF//AB ．

求证：DE+DF=AB．

【分析】由于 ， ，从而可以利用平行四边形的定义和性质，等腰三角

形的判定和性质来证．

【解】∵ ，

∴四边形 是平行四边形．

∴ ．

∵ ，∴ ．

∵ ，∴ ．

∴ ．

∴ ．

说明：证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是：把三条线段中较长的线段分为两段，证明这两段分别等于另两条线段．

【例5】如图，已知： 于

，求证：

．

中， 、 相交于 点， 于 ，

【分析】

【解】因为四边形

是平行四边形，

所以 ， ．

又因为 、 交于 点，

所以 ．

又因为 ， ，

所以 ．

于是△ ≌△ ．

从而 ．

【例6】已知：如图，AB//DC ，AC、BD交于O，且AC=BD。

求证：OD=OC.

证明：过B作 交DC延长线于E，则 。

∵ ， ，

AODB ∴

1CE ∵ ， ∴

∴ ∴

∴

说明：本题条件中有“夹在两条平行线之间的相等且相交的线段”，由于位置交错而一时用不上，为此通过作平行线，由“夹在两条平行线间的平行线段相等”将线段AC平移到BE，得到等腰△BDE，使问题得解．

【例7】如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，

求证：四边形AFCE是菱形．

AOED解：略。

B

FC

【例8】如图所示，□ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，

证明：四边形EFGH是矩形。

A

BEFHGDC【例9】如图所示，已知矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过顶点C，作BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E，交BD于G，证明：AC=CE。

DGOABCE