2.1 二阶矩阵与平面列向量 (6)

1.了解矩阵产生背景.2.会用矩阵表示一些实际问题.

3.了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示.

[基础·初探]

1.矩阵的有关概念矩阵的定义在数学中，我们把形如，，这样的矩形数字(或字母)阵列称做矩阵一般地，我们用黑体大写拉丁字母A，B，…或者(aij)来表示矩阵，其中i，j分别表示元素aij所在的行与列同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素.所有元素都为0的矩阵叫做零矩阵，记为0把像这样只有一行的矩阵称为行矩阵.把像这样只有一列的矩阵称为列矩阵，并用希腊字母±，²，…来表示矩阵的表示矩阵的行、列、元素零矩阵行矩阵列矩阵2.矩阵的相等1

对于两个矩阵A，B，只有当A，B的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A和B才相等，此时记作A＝B.

3.矩阵与平面向量的关系

由于点P(x，y)平面向量，因此，既可以表示点(x，y)，也可以表示以O(0，0)为起点、以P(x，y)为终点的向量，故在不引起混淆的情况下，对它们不加以区别.

[思考·探究]

1.矩阵(a23)与矩阵(a32)一样吗？

【提示】　不一样，因为矩阵(a23)表示2行3列矩阵，而矩阵(a32)表示3行2列矩阵.

2.对于m×n矩阵，由多少个元素组成？【提示】　对于1×2矩阵有1×2个元素组成；对于1×3矩阵有1×3个元素组成；对于2×2矩阵有2×2个元素组成；对于2×3矩阵有2×3个元素组成；……

对于m×n矩阵有m×n个元素组成.

3.两个矩阵中的元素相同时，矩阵相等吗？

【提示】　不一定.两个同行同列且元素相同的矩阵，只要相同元素的对应位置不同，这两个矩阵就不相等，如≠.两个不同行(或者不同列)的矩阵一定是不相等的，如以零矩阵为例：[0，0]和，尽管两个矩阵的元素均为0，但两者不相等.

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　疑问2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　疑问3：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2

用矩阵表示图形　用矩阵表示如图2-1-1中的直角△ABC，其中A(－4，0)，B(0，2)，C(1，0)

【导学号：30650000】

图2-1-1

【精彩点拨】　⇒

【自主解答】　因为直角△ABC由点A，B，C惟一确定，点A，B，C可以分别用列向量

±＝，²＝，³＝来表示，所以△ABC可以表示为M＝.

矩阵可以认为是由几个点的坐标构成的列向量组成，反过来，矩阵可以表示几个点，或它们构成的平面图形.

若像例1中那样用矩阵M＝表示平面中的图形，那么该图形有什么几何特征？

【解】　矩阵M＝表示由点(0，0)，(1，2)，(3，2)，(2，0)四个点构成的一个平行四边形.

用矩阵表示实际问题　某物流公司负责从两个矿区向三个企业配送煤：从甲矿区向企业A、B、C送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨；从乙矿区向企业A、B、C送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨.试用矩阵表示上述数据关系.

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【精彩点拨】　求解的关键将实际问题中的几个量转化为矩阵中的元素.【自主解答】　设甲、乙两个矿区分别向A，B，C三个城市的送煤量组成行向量±，²，

则±＝，²＝.

故甲、乙两个矿区向A，B，C三个城市的送煤量用矩阵表示为.

用矩阵表示实际问题的一般思路是：先将实际问题中的几个量(或将实际问题数字化后得到向量)组成行向量(或列向量)，再将其用矩阵表示.

某班A，B，C，D四名学生的成绩统计表如下：成绩统计表：

姓名科目语文数学英语A829095B758990C929592D637290试用矩阵表示上述数据. 【导学号：30650004】

【解】　矩阵可以表示为

矩阵相等的确定与应用　设A＝，B＝，且A＝B，求p，q，x，y.【精彩点拨】　利用二阶矩阵相等的定义，构建方程(组)求解.【自主解答】　∵A＝B，∴得

根据矩阵相等求矩阵中字母的值的一般思路是利用矩阵相等的定义，构建待求字母的方程(组)从而求解.

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已知矩阵A＝，B＝，若A＝B，试求a，b，c，d的值.

【导学号：30650001】

【解】　因为A＝B，即＝，从而有

由此解得　a＝－1，b＝－1，c＝，d＝－.

[真题链接赏析]

　(教材第10页习题第5题)设

A＝，B＝，若A＝B，求x，y，m，n的值.

　已知A＝，±，²∈(0，2󰀀À)，B＝，若A＝B，求±，²的值.

【命题意图】　本题主要考查矩阵相等的概念，以及方程思想.【解】　∵A＝B，∴∴∴

∴±＝2k1À＋，k1∈Z，²＝－2k2À－，k2∈Z.又±，²∈(0，2󰀀À)，∴±＝，²＝À.

1.已知A＝，则矩阵A是一个________行________列矩阵，a24＝________.

【导学号：30650002】

【解析】　根据矩阵定义知A为一个二行四列矩阵，a24＝8.【答案】　二　四　8

2.在二阶矩阵中，第二行、第一列的数是_______.【解析】　a21＝3.【答案】　3

3.下列为列矩阵的有________(只填正确答案的序号).①[0　0]；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.

5

【解析】　由列矩阵的定义知，②③⑥为列矩阵，故填②③⑥.【答案】　②③⑥

4.已知矩阵A＝，矩阵B＝.若A＝B，则x＝________，y＝________.【解析】　因为A＝B，则

【答案】　8　2

我还有这些不足：

(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　我的课下提升方案：

(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6