“独立重复试验与二项分布”教学设计

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来洪臣

（东北育才学校）摘

要：独立重复试验与二项分布是概率论中的重要内容.在自然现象和社会现象中，大量的随

机变量都服从或近似服从二项分布，它的实际应用广泛，理论上也非常重要.本节课设计了掷骰子试验、掷磁扣试验，让学生在试验中发现问题、分析问题、解决问题，引导学生逐步经历独立重复试验与二项分布概念的形成过程，并能利用伯努利概率公式解决生活中的赛制安排问题.

关键词：独立重复；二项分布；伯努利；试验

一、教学内容解析

本节课的内容是人教B版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—3）》（以下统称“教材”）中的“独立重复试验与二项分布”.在自然现象和社会现它的实际应用广泛，理论也非常重要.本节课从教材中的例题的变式和生活实际入手，了解独立重复试验，推导概率公式，掌握二项分布，建立数学模型，认知数学理论，进而应用于实际.本节课的重点是独立重复试验，以及对伯努利概型和有关二项分布问题的理解.

判断一个具体问题是否服从二项分布.

（2）通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，使学生充分体会知识的发现过程，并体会由特殊到一般、由具体到抽象的数学思想方法.学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会不舍的钻研精神.

象中，大量的随机变量都服从或近似服从二项分布，数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而

三、学生学情分析

通过前面的学习，高二学生已经掌握了如下概率和统计的基础知识：等可能事件的概率、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、条件概率、相互独立事件的概率的求法等有关内容.高中学生虽然具有一定的抽象思维能力，但是对于学生来说从实际中抽象出数学模型还是比较困难的，需要教师的启发引导.在启发引导下学生能够概括n次独立重复试验的

二、教学目标设置

本节课教学目标设置如下.

（1）理解n次独立重复试验及二项分布模型，会

收稿日期：2019-01-17

作者简介：来洪臣（1983—），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.

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中国数学教育·高中版2019年第4期（总第196期）

特点，能够总结出n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式.本节课的教学难点是二项分布模型的

构建.

四、教学策略分析

从掷硬币和掷骰子的试验入手，引导学生总结归纳独立重复试验的概念，深刻理解独立重复试验的内涵.遵循从特殊到一般的认识规律，学生由浅入深地探索伯努利概型的概率公式并引入二项分布.学生利用所学知识解决他们熟悉的生活实例中的概率问题，体会“数学来源于生活，并服务于生活”的理念，进而产生成就感.

五、教学过程设计

1.问题引入：创设情境导入新课将一枚均匀的硬币随机掷100次，正面

出现多少次的概率最大？

掷骰子试验：抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A=“3点向上”.

（1）掷骰子1次，事件A发生的概率是多少？（2）掷骰子2次，事件A恰好发生2次的概率是多少？（3）掷骰子3次，事件A恰好发生2次的概率是多少？（4）掷骰子n次，事件A恰好发生2次的概率是多少？（5）掷骰子n次，事件A恰好发生k次的概率是多少？

师生互动：教师让一名学生做掷骰子试验，引导

学生分析多次试验结果之间的关系.教师层层追问，学生在回答中逐步探索出n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式.

【设计意图】学生初步体验独立重复试验模型，为概念的提出完成铺垫.通过一组精心设计的问题链引导和激发学生的参与意识和创新意识，培养学生探究问题的能力，提升他们思维的层次.在解决问题的过程中，激发学生的研究兴趣，培养学生的科学理性精神，体会交流、合作和竞争等意识.

2.问题概念的形成和深化

1：掷骰子的试验有什么样的特点？问题2：你能归纳出n次独立重复试验的概念吗？

问题3：你能举出独立重复试验的例子吗？师生互动：教师引导学生总结出n次独立重复试验的概念.让学生归纳出独立重复试验的特点，学生举出生活中独立重复试验的例子，并对一些独立重复

试验进行判断.

【设计意图】引导学生主动参与，归纳出独立重复试验的概念，通过对概念的分析，总结出独立重复试验的特点.学生能举出独立重复试验的例子，加深了对独立重复试验概念的理解.

3.公式：一般地，如果在公式的推导

1次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次

的概率为P(k)=Ckk

n-k

nnp(1-p)(k=0，1，2，…，n).

例1在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的

投保人的死亡率，假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6，试问3个投保人中：

（1）全部活到65岁的概率；（2）恰有2个活到65岁的概率；（3）恰有1个活到65岁的概率；（4）都活不到65岁的概率；（5）活到65岁的人数的分布列.

在n次独立重复试验中事件A发生的次数X是一个随机变量.设q=1-p，于是得到随机变量X的分布列如下.

X…n

P

C00k

np0q

n

C1p1…1q

n-1

n…

Ckpkq

n-k

n…

Cnnnpq

0由于第二行数是二项展开式[(1-p)+p]n

中的各对

应项的值，所以称这样的随机变量X服从二项分布，

记作X~B(n，p)，其中n，p为参数.师生互动：学生规范作答例1，解释n，p，k.学生规范作答后，借助展板，解释作答过程.学生分析、研究问题，通过合作解决问题.教师巡视，加强对学生的个别指导.

【设计意图】例1是教材中的例子，使学生在应用公式前理解清楚n，p，k.学生根据分布列的特点，得出二项分布的定义.

4.例2

公式的应用实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比

赛，规定3局2胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出，并

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停止比赛）.按照比赛规则，求甲获胜的概率.

变式：在例2中规定5局3胜制，求甲获胜的概率.师生互动：师生分析、研究问题，让一名学生上台展示解题过程.

【设计意图】通过生活中的赛制安排问题向学生渗透了数学就在我们身边的理念，让学生体会到数学的工具性作用，引导学生“会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”.

（1）独立重复试验的概念.

kk

（2）Pn(k)=Cnp(1-p)n-k

7.课后作业

必做题：教材第56页和第57页的练习A和练习B；选做题：教材第57页的“探索与研究”中的高尔顿板试验.

书面作业的必做题要求所有学生都要完成，选做题则只要求学有余力的学生完成.

【设计意图】设计必做题与选做题，既巩固所学知识，又给学有余力的学生以发展的空间，使不同程度的学生都能得到提高.

5.归纳总结

(k=0，1，2，…，n).

六、课堂教学目标检测

通过学生的举例感受学生对n次独立重复试验概念的理解，如果学生能很顺畅地举出正确的实例，我们就进行下一环节.

例1是教材中的例子，目的是检测学生如何在实际问题中使用伯努利概型公式，明确n，p，k的含义.让一名学生在黑板上展示自己的书写过程，第（5）小题设计成求分布列，目的是让学生对前面的分布列的知识进一步复习，也为接下来研究二项分布做铺垫.

例2的设计目的是检测学生对分步使用伯努利概型问题的掌握情况，通过上课反馈发现学生一开始对这类问题的掌握很一般.通过设计“3局2胜制”赛制的问题，发现学生不太清楚什么是“3局2胜制”，学生弄清楚后，教师进一步提出“5局3胜制”和“7局4胜制”的赛制形式，学生通过类比能顺利解决这一类问题.同时，学生对生活中常见的比赛规则有了进一步的认识.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学

（3）ξ~B(n，p)，其中n，p为参数.

师生互动：先由学生自己总结，再由师生共同归纳完善.

【设计意图】学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理.注重数学思想方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力.

6.解决课前提出的问题出现多少次的概率最大？

师生互动：学生通过运算彻底解决课前问题，教师利用信息技术演示出现每一次的概率值，并通过函数图象直观展示出来，如下图所示.

课前问题：将一枚均匀的硬币随机掷100次，正面

【设计意图】学生感受到解决问题的喜悦，提升学生的数学抽象、数学建模、数据分析等数学核心素养.

课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

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