5.轨迹方程.参数法

第五讲:轨迹方程.参数法

若动点的运动变化依赖于某个变量,此时,设出这个变量为t,并把t视为己知,着力求出动点P(x,y),的坐标,即x=f(t),y-g(t),此为轨迹的参数方程,消去参数t,化简整理即得动点的普通方程,这种求轨迹方程的方法我们称为参数法.

一.参数思想

例1:(2001年上海交通大学保送生考试试题)2y=x2-6xcost-9sin2t+8sint+9(t∈R,t为参数).

(Ⅰ)求顶点轨迹;

(Ⅱ)求在y=12上截得最大弦长的抛物线及其长.

解析:(Ⅰ)抛物线:2y=x2-6xcost-9sin2t+8sint+92y=(x-3cost)2+8sint(x-3cost)2=2(y-4sint)抛物线的顶点

(3cost,4sint)顶点轨迹为椭圆:

x2y2+=1; 16922

(Ⅱ)当y=12时,x-6xcost+9cost+8sint-24=0弦长=(6cost)24(9cos2t8sint24)=9632sint≤82,sint=-1抛物线:x=2y+8.

2

类题:

1.(1989年广东高考试题)(文)设圆C的方程为x-2xcosθ+y+2(1+2sinθ)y=0,其中,0<θ<2π. (Ⅰ)当θ变化时,求圆C的圆心的轨迹方程;

(Ⅱ)如果又有圆S:x+y+2y=0,求θ的值,使得圆C与圆S的公共弦的长度取最大值. 2.(1989年广东高考试题)(理)设圆C的方程为x+y-2x((Ⅰ)当θ变化时,求圆C的圆心的轨迹方程;

(Ⅱ)设θ1,θ2,θ3都是区间(0,π)内的实数,且成公差不为0的等差数列.当θ依次取值θ1,θ2,θ3时所对应的圆C的半径依次为r1,r2和r3,试问:r1,r2,r3是否成等比数列？为什么？

2

2

2

2

2

2

1cos1cos2)-2ytan+()=0,其中,0<θ<π.

1cos1cos2 二.直线中点 例

x2y22:(2006年江西高考试题)如图,椭圆Q:22=1(a>b>0)的右焦点为 y abF(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P为线 B 段AB的中点. O F D x (Ⅰ)求点P的轨迹H的方程; A (Ⅱ)若在Q的方程中,令a=1+cosθ+sinθ,b=sinθ(0≤θ≤

2

2

2).确定θ的值,使原点距椭圆Q的右准线l最远.此时,

设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大？

解析:(Ⅰ)①当ABx轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),直线m:y=k(x-c),由+ack-ab=0x1+x2=

a2b2222

22

yk(xc)222222

(ak+b)x-2ackx 222222bxayab02a2ck2a2k2b2y1+y2=k(x1+x2-2c)=-2

2

2b2cka2k2b22

;由x=

x1x2yya2ck2b2ckx=222,y=12=-222= 22yakbakb22

22

2

kk=

b2xay2x[a(

2

2

b2xay2)+b]=ac(

2

b2xay2)bx+ay-bcy=0;②当AB⊥x轴时,P(c,0),满足bx+ay-bcy=0轨迹H

22222

的方程:bx+ay-bcy=0; (Ⅱ)右准线l:x=

a1cossin==c1cos22222

2cos222sin2cos2cos2=2(sin+cos)=2sin(+)当θ=时,原点距椭圆

222242 18 第五讲:轨迹方程.参数法

Q的右准线l最远,为2,此时,D(2,0),椭圆Q:=

8(t21)(t22)2xty1x22222

+y=1;设直线m:x=ty+1,由2(t+2)y+2ty-1=0|y1-y2| 22x2y20112s2S2(t21)22

(令t+1=s)=≤=,当且仅当s=1,即t=0时,等号成立;所以,S△ABD=|y1-y2|S△ABD=222222(s1)(t2)(2s)当直线m⊥x轴时,三角形ABD的面积最大.

类题:

1.(1981年全国高考试题)给定双曲线x-2

y2=1. 2(Ⅰ)过点A(2,1)的直线l与此双曲线交于P1、P2两点,求线段P2P2的中点P的轨迹方程;

(Ⅱ)过点B(1,1)能否作直线m,使m与此双曲线交于Q1、Q2两点,且点B是线段Q2Q2的中点？若存在,求m的方程;若不存在,说明理由.

y2b22

2.(2001年上海春招试题)己知椭圆的方程为x+=1,点P(a,b)的坐标满足a+≤1,过点P的直线l与椭圆交于A、

222

B两点,点Q为线段AB的中点,求: (Ⅰ)点Q的轨迹方程;

(Ⅱ)点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.

三.斜率参数

例3:(1991年上海高考试题)如图,设有一动直 y 线l过定点A(2,0),且与抛物线y=x+2相交于不 C 同的两点B和C,点B、C在x轴上的射影分别是 P B1、C1,P是线段BC上的点,适合关系式

BPBB=1. PCCC12

求△POA的重心Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么 B 图形. C1 O B1 A x 解析:设B(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0),Q(x,y),直线l:y=k(x-2),则

yk(x2)BB1y12x12==;由x-kx+2(k+1)=0 2CC1y22x2yx2BPBB2x1PCx0= =1BP=

PCCC12x22

(-k)-8(k+1)>0k∈(-∞,4-26)∪(4+26,+∞),且x1+x2=k,x1x2=2(k+1);由

x12x1x2x24k212kk143462(xxxx)2[k2(k1)]2x2=1212==2;又因x=0==(1+)∈(, y0=k(x0-2)=

2x14kk4k43k43k4334(x1x2)12x2y4k4446446464)∪(,),y=0=,消去k得12x-3y-4=0Q的轨迹方程12x-3y-4=0,x∈(,)∪(,).

k433333333类题:

1,(2007年湖南高考试题)己知双曲线x-y=2的右焦点为F,过点F的动直线与双曲线相交于A、B两点,点C的坐标为(1,0).

(Ⅰ)证明:CACB为常数;

(Ⅱ)若动点M满足:CMCACBCO(其中,O为坐标原点),求点M的轨迹方程. 2.(2007年武汉大学保送生考试试题)过双曲线x-2

2

2

y22

=λ(λ>0,λ为常数)的左焦点F作斜率为k(k≠0)的动直线l与双3曲线的左、右支分别交于A、B两点,点M满足OM=OA+OB,其中O为坐标原点. (Ⅰ)求点M的轨迹方程;

(Ⅱ)是否存在这样的直线l,使四边形OAMB为矩形？若存在,求出直线l的斜率;若不存在,请说明理由.

第五讲:轨迹方程.参数法 19 四.选择参数

例4:(2009年重庆高考试题)己知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为y=4(Ⅰ)若点C、D的坐标分别是(0,-3)、(0,3),

求|MC||MD|的最大值; Q M (II)如图,点A的坐标为(1,0),B是圆x+y=1

上的点,N是点M在x轴上的射影,点Q满 N O A x 足条件:OQOMON,QABA=0,求线段QB的 B 中点P的轨迹方程.

2

2

.

33,离心率e=

3,M是椭圆上的动点. 2解析:(Ⅰ)设椭圆的方程为

2

a2433x2y2a=1(a>b>0),由题知:=,=a=2,c=3b=1椭圆的方程为22c32bacy21.2

x+=1C、D是椭圆的两个焦点|MC|+|MD|=2a=4|MC||MD|≤(|MC|+|MD|)=4,当且仅当|MC|=|MD|,即M(1,0)

44时,|MC||MD|取得最大值4;

(II)设M(x1,y1)N(x1,0),因M是椭圆x+

2

22

.

y2422

=1上的点x1+y1=1;由OQOMONQ(2x1,y1);设B(x2,y2)BA=

4(1-x2,-y2),QA=(1-2x1,-y1);B是圆x+y=1上的点x2+y2=1,又由QABA=0(1-2x1)(1-x2)+y1y2=02x1x2+y1y2= 2x1+x2-1.设点P(x,y),则x==

111122222222

(2x1+x2),y=(y1+y2)x+y=[(2x1+x2)+(y1+y2)]=[4x1+y1+x2+y2+2(2x1x2+y1y2)] 224422

113122122

[5+2(2x1+x2-1)]=[5+2(2x-1)]=x+(x-)+y=1,即点P的轨迹方程是(x-)+y=1. 44422类题:

1.(2006年陕西高考试题)如图,三定点A(2,1)、B(0,-1)、C(-2,1); y 三动点D、E、M满足:ADtAB,BEtBC,DMtDE,t∈[0,1]. C A (Ⅰ)求动直线DE斜率的变化范围; O x (Ⅱ)求动点M的轨迹方程. B 2.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)在圆C:(x-1)+y=2上有两个动点A和B,且满足条件∠AOB=90(O为坐标原点).求以OA、OB为邻边的矩形OAPB的顶点P的轨迹方程.

2

2

0

五.参数方程

例5:(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)抛物线y=x2与过点P(-1,-1)的直线l交于P1,P2两点.

(Ⅰ)求直线l的斜率k的取值范围; (Ⅱ)求在线段P1P2上满足条件

112+=的点Q的轨迹方程. PP1PP2PQ解析: (Ⅰ)直线l的方程为y+1=k(x+1),与抛物线方程y=x2联立得x2-kx-(k-1)=0,由(-k)2+4(k-1)>0,解得k>-2+

22,或k<-2-22; (Ⅱ)设直线P1P2:2cos2x1tcossin2cos222

,t1t2= -1+tsinθ=(-1+tcosθ)tcosθ-(sinθ+2cosθ)t+2=0t1+t2=2y1tsincos4111tt11112+=+=12=(sinθ+2cosθ);由+=;设Q(x,y),则|PQ|=t |PQ|=

sin2cos2t1t2PP1PP2t1t2PP1PP2PQt=

x1tcos4tsinθ+2tcosθ=4;由(y+1)+2(x+1)=42x+y=1;又因点Q在线段P1P2内x∈

sin2cosy1tsin(-2-1,-1)∪(-1,2-1)点Q的轨迹方程:2x+y=1,x∈(-2-1,-1)∪(-1,2-1).

20 第五讲:轨迹方程.参数法 类题:

1.(1985年上海高考试题)已知直线y=x+m与曲线x+2y+4y-1=0交于A、B两点,P是直线AB上的点,且|PA||PB|=2.当m变化时,求P的轨迹方程.

2.(2011年天津高考试题)在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)(a>b>0)为动点,F1,F2分别为椭圆已知△F1PF2为等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆的离心率e;

(Ⅱ)设直线PF2与椭圆相交于A、B两点,M是直线PF2上的点,满足AMBM=-2,求点M的轨迹方程.

x2a2y2b22

2

+=1的左右焦点.

六.切线条件

例6:(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)从直线l:

点分别为A、B,试求线段AB中点M的轨迹方程.

yxx2y2+=1上任意一点p向椭圆C:+=1引切线PA,PB,切1282416解析:设M(s,t),则以M为中点的弦AB所在直线方程为

=1sxtys2t2axby=+;设P(a,b),则切点弦AB所在直线方程为+ 241624162416yasbtasbtxab1111=,==,=;由点P在直线l:+=1上+ 24241212s2t288128128s2t21616s2t2s2t22416241624162416yststxs2t2x2y211+=1+=+M的轨迹方程:+=+. 12824161282416128s2t2s2t224162416=1类题:

1.(2006年全国I高考试题)在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-3)和F2(0,3)为焦点,离心率为

3的椭圆,设2椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在P点处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向OMOAOB.求: (Ⅰ)点M的轨迹方程; (Ⅱ)|OM|的最小值.

2.(2008年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设P为椭圆相交于M,N两点,⊙O在M,N两点处的切线相交于点Q. (Ⅰ)求点Q的轨迹方程;

(Ⅱ)若P是第一象限的点,求△OPQ的面积的最大值.

y2x222+=1上的一个动点,过点P作椭圆的切线与⊙O:x+y=1234