安徽省淮北市2012届高三第一次模拟考试理科数学2012.1

数学试卷（理科）

考试说明：

1．本试卷共150分，考试时间120分钟。

2．在答题卡相应位置填写学校、姓名，填涂9位考场座位号。 3．请将本试卷答案答到答题卷上指定位置，否则不计分。

第1卷（选择题共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集U=R，集合A={x|xx10}，B={x|oA.{x|l≤x≤3) B.{x|l≤z<3) C,{x|lai1i1bi（a，b是实数，i是虚数单位），则复数z=a+bi对应的点在 ( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．若数列{an）是等比数列，且a2=2，a1a2=9，则数列（an）的公比是 ( ) A．

333322 B． c．或一 D．一或 2222334．已知定义域为R的函数y=f(x)在(1，+∞)上是增函数，且函数y=f(x+1)是偶函数，那么 ( )

A.f(O)5．某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体外接球的表面 积是 ( )

22

A、cm B．2cm

22

C．3cm D．4cm

6．已知m、n表示直线，α、β、γ 表示平面，给出下列四个命题，其中真．命题为 ( ) ．．

①α∩β=m，n≌αn⊥m则a⊥β ②a⊥β，a∩γ=m，β∩γ=n 则n⊥m ③m⊥a，m⊥β，则α∥β ④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 7．已知

cos22sin(4)15则tan等于

tan2 A、-8 B、8 C、

11 D、- 88第 1 页 共 9 页

安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 8．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确．．．的是 ( ) ．

9．已知圆的方程x+y=4，若抛物线过定点A（-1，0），B(1，0)且以该圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是 ( )

2

2

A．

x23y241 (y≠o) B．

x24y231 (y≠o)

C．

x23y241 (x≠o) D．

x24y231 (x≠o)

10.在△ABC中，已知ABAC=9，sin B= cos A·sin c，S△ABC=6，P为线段AB上的点，

11CACBy，则的最小值为 ( ) 且CPxxy|CA||CB| A．

777373 B． C． D． 61212363第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，把答案填在答题卡相应题号的位置上） 11．在（x1x）·(2x-l)的展开式中，X项的系数为__________

32

12.设0为坐标原点，点M坐标为(2，1)，点N(x，y)满足不等式组：

x-4y+3≤0

2x+y-12≤O 则OMON的最大值为__________

x≥1

13．执行如右图所示的程序框图，输出的i的值为____．

14.如图所示的茎叶图记录了一组数据，关于这组数据，其中说法正确的序号是

078999101223

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安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com ①众数是9；②平均数是10；③中位数是9或10；④标准差是3.4． 15.如图所示，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，△CPD的面积为f(x)，则f(x)的定义域为____；f′(x)的零点是 ．

三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16.（本题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A，B，C依次成等差数列．

2

(1)若sinB-sinAsinC，试判断△ABC的形状； (2)若△ABC为钝角三角形，且a>c，试求sin2C23sinA2cosA21的取值范围． 2

17.（本题满分12分）在淮北市高三“一模”考试中，某校甲、乙、丙、丁四名同学，在学校年级名次依次为l，2，3，4名，如果在“二模”考试中的前4名依然是这四名同学． (1)求“二模”考试中恰好有两名同学排名不变的概率；

(2)设“二模”考试中排名不变的同学人数为X，求X分布列和数学期望，

18．（本题满分12分）设函数f(x)1xaxe 1x (1)写出定义域及f′(x)的解析式， (2)设a>O，讨论函数y=f(x)的单调性．

19.（本题满分13分）如图所示，三棱柱ABC—A1B1Cl中，

0

AB=AC=AA1=2，面ABC1⊥面AAlClC，∠AAlCl=∠BAC1=60，AC1相交于0．

(1)求证.BO上面AAlClC；

(2)求三棱锥C1—ABC的体积；

(3)求二面角A1—B1C1—A的余弦值．

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与A1C

安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 20.（本题满分13分）已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于

1，它的一个顶点恰好是2抛物线x283y的焦点．

(1)求椭圆C的方程;

(2)点P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，A、B是椭圆上位 于直线PQ两侧的动点， (i)若直线AB的斜率为

12，求四边形APBQ面积的最大值; (ii)当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜否为定值，请说明理由．

21.（本题满分13分）设函数f(x)xa(x2)方程f(x)=x有唯一的解，

已知f(x(x2n)=xn+1(n∈N﹡)且f1)3 (1)求证：数列{

1x}是等差数列；

n (2)若an43xnx,bn1，求sn=b1+b2+b3+„+bn;

nanan1(3)在(2)的冬件下,若不等式

k1(1n对一切n∈N﹡

1a1)(11a1)...(1a1)22n均成立，求k的最大值．

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率是

安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 淮北市2012届高三数学测试答案（理科）

一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D C A C B A

二.填空题

11. 2 12. 12 13. 7 14. ①② 15. (2,4) ; 3

三．解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16． 解：（1）∵sinBsinAsinC，∴ bac.

∵A,B,C依次成等差数列，∴2BACB,B由余弦定理bac2accosB，

222228

D 9 B 10 C

3.

a2c2acac，∴ac.

∴ABC为正三角形. 6分 （2）sin2CAA13sincos 2222 =

1cosC31sinA 222 =312sinAcosA 223313sinAcosAsinA 24431sinAcosA 44 =

=

1sin(A) 26225A ∵A,∴，

23366 = ∴

13113，sinA. sinA26242642∴代数式sin13CAA33sincos的取值范围是，. 12分

222244217．解：（1） “二模”考试中恰好有两名同学排名不变的情况数为：C46（种）

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安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 24 “二模”考试中排名情况总数为：A44所以“二模”考试中恰好有两名同学排名不变的概率为p61 5分 244（2） “二模”考试中排名不变的同学人数X可能的取值为：4， 2，1，0

1 241p(X2)

481p(X1)

2431113p(X0)1()

24438p(X4)X分布列

X p

X的数学期望EX=00

1

2

4

3 81 31 41 2431111241 12分 83424ax22aax18．解 （1）f(x)的定义域为(,1)(1,),f(x)e（3分） 2(1x)（2）①当0a2时，f(x)0，所以f(x)在(-,1),(1,+)上为增函数 5分

2② 当a2 ，由f(x)0得ax2a0,xa2a2 8分 或xaa

f(x)在(,a2a2),(,1),(1,)上为增函数，在(a2,a2)上是减函数12分 aaaa019. 解(1)证明:由题意得四边形AA1C1C为菱形,又AA1C160

AA1C1为正三角形,又BAC1600 BA1C1为正三角形,BOAC1

又面ABC1面AA1C1C,BO面AA1C1C 5分 (2)由(1)得VC1ABCVBACC1132231 8分 34第 6 页 共 9 页

安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com (3)（法一）以O为坐标原点如图,则

建系

A(0,1,0),C1(0,1,0),,A1(3,0,0),B1(3,1,3) 10分 面A1B1C1的一个法向量为n1(1,3,1),面AB1C1的一个法向量为n2(1,0,1)

设二面角A1B1C1A的平面角为,则cos(1,3,1)(1,0,1)5210 13分 5（法二）连接AB1交A1B与F,易得C1OA1F,AB1A1F A1F面AB1C1,又C1OOF, 作FG//C1O交B1C1于G，连接A1G 得FGB1C1,A1GB1C1 则A1GF即为二面角AB1C1A1 易得FG1,A1F1610,故A1G A1B225cosA1GF10 13分 5x2y220．解：(1）设椭圆C的方程为221(ab0)，则b23. ab由

c12,ac2b2，得a4 a2x2y21. 4分 ∴椭圆C的方程为

1612(2)（i）解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为y1xt， 2第 7 页 共 9 页

安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com x2y21，得x2txt2120 代入

1612由0，解得4t4 6分 由韦达定理得x1x2t,x1x2t212.

四边形APBQ的面积S16x1x23483t2 2∴当t0，Smax123. 8分

（ii）解：当APQBPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k

则PB的斜率为k，PA的直线方程为y3k(x2)

y3k(x2)(1)由x2y2

1(2)1612（1）代入（2）整理得(34k)x8(32k)kx4(32k)480

2228(2k3)k 11分

34k28k(2k3)8k(2k3)同理PB的直线方程为y3k(x2)，可得x22 2234k34kx1216k21248k,xx∴x1x2 122234k34kkABy1y2k(x12)3k(x22)3k(x1x2)4k1

x1x2x1x2x1x221. 13分 21 2所以AB的斜率为定值

221. 解：（1）证明：由题意得：ax(2a1)x0 a0有唯一解，得af(x)2xn2x，xn1 x2xn2第 8 页 共 9 页

安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 1xn111111，即 xn2xn1xn21数列为等差数列 4分

xn（2）又f(x1)2x122，即，解得x11 3x123故

21n1，即xn n1xn2anSn43xn11111() 2n1，bnanan1(2n1)(2n1)22n12n1xn111111n(1) 8分 23352n12n12n1（3）（理）12n0 an12n1( 故原不等式即为对一切nN，不等式k1111)(1)(1)a1a2an2n1恒成立，

(设h(n)1111)(1)(1)a1a2an2n1，易知h(n)0

h(n1)2(n1)2(n1)2(n1)1

22h(n)2n12n34(n1)14(n1)即h(n)随n递增，故h(n)h(1)23， 3所以k的最大值为

23 13分 3第 9 页 共 9 页