一类直径可以任意大的双圈图及其线图的Wiener指标

２０１５年ｌ２月　陕西理工学院学报（自然科学版）　Ｄｅｃ．２０１５　第３１卷第６期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈａａｎｘｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏｌ＿３１　Ｎｏ．６　［文章编号］１６７３—２９４４（２０１５）０６—００５７—０３　一类直径可以任意大的双圈图　及其线图的Ｗｉｅｎｅｒ指标　苏晓海　（陕西理工学院数学与计算机科学学院，陕西汉中７２３０００）　［摘　要］　一个连通图Ｇ的Ｗｉｅｎｅｒ指标是指Ｇ中所有顶点对之间距离的总和，即　（Ｇ）＝　一＞　ｄ（“，　）。研究了一类直径可以任意大的双圈图Ｇ　的Ｗｉｅｎｅｒ指标，证明了Ｇ　满足性　Ｉ＿ｃｖ（Ｇ）　质　（Ｇ　）＝Ｗ（Ｌ（Ｇ叫）），其中Ｌ（Ｇ　）表示图Ｇ叫的线图。　［关键词］　Ｗｉｅｎｅｒ指标；　双圈图；　线图　［中图分类号］Ｏ１５７．５　［文献标识码］Ａ　本文所涉及的图都是简单的无向连通图。设图Ｇ的顶点集和边集分别记为Ｖ（Ｇ）和Ｅ（Ｇ）。图Ｇ　的圈数Ａ定义为Ａ（Ｇ）＝Ｉ　Ｅ（Ｇ）Ｉ—ｌ　Ｖ（Ｇ）ｌ＋１。设图Ｇ中顶点／Ｚ和　是连通的，则从／Ｚ到　的最短路　的长度称为／３，到　的距离，记为ｄ　（　，　）（或简记为ｄ（“，　））。在图Ｇ中从顶点　到所有顶点的距离之　和称为这个顶点　的距离，记为ｄ　（　）＝　’ｄ。（ｕ，　）。图Ｇ的线图，记为Ｌ（Ｇ），是这样定义的：它的　—ｕｅＶ（Ｃ）　顶点集是图Ｇ的边集Ｅ（Ｇ），且它的两个顶点是相邻的当且仅当它们在Ｇ中有一个公共的顶点。一个　图的直径是指图中任意两点间的最大距离。Ｗｉｅｎｅｒ指标的概念首次于１９４７年由化学家Ｗｉｅｎｅｒ提出。　Ｗｉｅｎｅｒ指标Ｗ（Ｇ）是众所周知的基于距离的拓扑指标，它是以描述非循环有机分子的结构而引入的　。　Ｗｉｅｎｅｒ指标被定义为图Ｇ中所有无序顶点对的距离的总和，即　——　１——　（Ｇ）＝　｛ｕ，　ｒ　（Ｇ）＞　　ｄ（　，　）＝÷一Ｅ　＞Ｖ（Ｇ）　ｄ。（　）。　在最近的４０年里，Ｗｉｅｎｅｒ指标的数学性质和化学应用都得到了深人研究。如今，Ｗｉｅｎｅｒ指标是一　个最好理解和最常用的分子模型描述符。在模拟物理化学、药理及生物学特性的有机分子方面，发现　Ｗｉｅｎｅｒ指标有许多应用　２剖。有两组密切相关的问题，已经引起了研究者很长一段时间的关注：Ｗｉｅｎｅｒ　指标如何依赖于一个图的结构和Ｗｉｅｎｅｒ指标如何随着图形的变形而变化？在数学化学研究中有趣的　方法之一是用参数计算来刻画分子图的派生结构。线图可以较好地反映原图的分枝，这是一个导出分　子图形结构很好的例子。线图的这种不变性已经被用于评价结构复杂的分子图形、结构排序和设计新　颖的拓扑指数　。　本文主要研究并找出满足下列性质：　（　（Ｇ））＝　（Ｇ），　（１）　且有规定的圈数Ａ＝２的图。在文献［８］中已经表明，树（Ａ＝０）及其线图的Ｗｉｅｎｅｒ指数总是不同的。　收稿日期：２０１５－０３－２９　基金项目：陕西省教育厅科学研究计划项目（１５ＪＫ１　１４３）　作者简介：苏晓海（１９７９一），男，云南省普洱市人，陕西理工学院讲师，硕士，主要研究方向为图论及其应用。　・５７・　陕西理工学院学报（自然科学版）　第３１卷　对于单圈图，除了简单的圈图之外，均满足　（Ｌ（Ｇ））＜Ｗ（Ｇ）　。因此，如果一个图Ｇ含有圈，除非是　简单的圈图，满足等式（１），则它至少有两个圈（Ａ＝２）　。阶为９的最小的满足性质（１）的双圈图有　２６个　。一系列阶数渐增的双圈图已经在文献［８］中构造出来了。阶数为１２的最小的满足性质（１）　的三圈图有７２个　。本文主要目的是研究阶数渐增且直径可以任意大的双圈图及其线图的Ｗｉｅｎｅｒ　指标。　引理１ｌ２，　设图Ｇ是由图Ｇ　的一个顶点　和Ｇ：的一个顶点　重合到一起组成的，则　Ｗ（Ｇ）＝Ｗ（Ｇ　）＋Ｗ（Ｇ　）＋（Ｉ　Ｖ（Ｇ　）Ｉ一１）ｄ　，（　）＋（Ｉ　Ｖ（Ｇ　）ｌ一１）ｄ　（“），　（２）　其中ｄ。　（“）表示从顶点ｔｔ到图Ｇ。的所有顶点的距离之和，而ｄ　．（　）表示从顶点　到图Ｇ：的所有顶点　的距离之和。　引理２　设Ｐ　和５　分别是阶为ｎ的路和星图，则　ｗ（ｐ　）＝（）　１２　）＝Ｊ　　１（ｎ２　—１一）），　（Ｓ　）＝（ｎ一１）　。　引理３　设　是阶为ｎ的树，则Ｗ（Ｓ　）≤Ｗ（　）≤Ｗ（Ｐ　）。　考虑图Ｇ…具体结构见图１。通过构造，它是圈数为Ａ：２，阶为２ｒ＋ｔ＋５的图，其直径ｄ＝ｒ＋ｔ＋３，　对于每一组ｒ和ｔ，当ｒ和ｔ无限增大时，直径ｄ也无限增大，其线图Ｌ（Ｇ　）的具体结构见图２。图Ｇ　和　Ｌ（Ｇ　）的子图见图３一图４。　图１　图Ｇ　图２　Ｇ　的线图Ｌ（Ｇ　）　ｒ　Ｇ　图３　Ｇ　的子图　和Ｇ　图４　Ｌ（Ｇ　）的子图Ｇ２和Ｇ３　定理１　如果△　（Ｇ）＝　（　（Ｇ））一　（Ｇ），则ＡＷ（Ｇ　）＝一ｒ一吾　十　２＋７。　证明因为［１４　（　）＝了１　ｒ＋３ｒ　＋　２　ｒ３＋了１￡＋２　＋ｒ２ｔ＋　１　２＋ｒｔ２十　１　３，　第６期　苏晓海　一类直径可以任意大的双圈图及其线图的Ｗｉｅｎｅｒ指标　凡　２ｒ＋ｔ＋１，　州＋２，＋丢“　，　，４　和引理１，有　其中图Ｇ的顶点个数（阶）记为ｎｃ。由　（Ｇ　）＝１４，ｎ　。＝５，ｄ。　（ｕ）＝　ｒ＋　“　１）＝　２　Ｗ（Ｇ　．　）＝Ｗ（Ｔ）＋Ｗ（Ｇ１）＋４（２ｒ＋ｔ）＋４（ｒ　＋ｒ￡＋　÷ｒ＋３ｒ２＋　ｒ３＋÷　＋２　＋ｒ２ｔ＋　１　２＋ｒｔ２＋　￡。＋１４＋８ｒ＋４ｆ＋４ｒ２＋４　＋８ｒ＋２　２＋２　＝　ｒ＋７ｒ２＋　ｒ３＋　＋６　＋ｒ２ｔ＋　５　２＋ｒｔ２＋　１　３＋　４，　类似的，由ｗ（ｃ　）＝一了２　ｒ＋ｒ２＋　２　ｒ３一　１￡＋ｒ２ｔ＋ｒｔ２＋１６　３，　＝２ｒ＋ｔ，　。＝　，（Ｇ２）＝２９，ｎＧ：＝７，ｄｃ２（　）＝８，和引理１，有　Ｗ（Ｌ（Ｃ　））＝２９一　２　ｒ＋ｒ２＋　ｒ３一　２—３　１　＋　吖　一　３　（　）＝ｒ２＋　＋　ｆ２一号　，　＋ｒ２ｔ＋ｒｔ２＋吉　３＋　８（２ｒ＋ｆ一１）＋６（ｒ２＋　＋　２一　１）：　＋　７　专　所以，ＡＷ（Ｇ　）＝Ｗ（Ｌ（Ｇ　））一　于是，得到如下结论：　定理２　当　＝　一１，ｒ＝ｉｋ（ｋ一５）＋９（　≥６是任意自然数）时，无限图族Ｇ　满足Ａｗ（Ｇ　）：０，即　一６　（Ｌ（Ｇ　））＝Ｗ（Ｇ　）。　证明在定理ｌ中，如果一卜一手　＋　１　２＋７＝ｏ，那么易解得满足等式的所有解为：　ｆ＝ｋ一１，　ｒ＝｛一（ｋ　一５ｋ＋１８）＝｛一Ｊｉ｝（ｋ一５）＋９，　其中ｋＩ＞６是任意自然数。下面只需要说明ｒ一定是正整数即可：由于ｋ和　一５两个整数必有一个是偶　数，所以卜一定是正整数。定理得证。　［　参６９（１）：１７－２０．　考文献　］　［１］　ＷＩＥＮＥＲ　Ｈ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐａｒａｆｆｉｎ　ｂｏｉｌｉｎｇ　ｐｏｉｎｔｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ａｍｅｒｉｃａｎ　Ｃｈｅｍｉｃａｌ　Ｓｏｃｉｅｔｙ，１９４７，　ＤＯＢＲＹＮＩＮ　Ａ　Ａ，ＥＮＴＲＩＮＧＥＲ　Ｒ，ＧＵＴＭＡＮ　Ｉ．Ｗｉｅｎｅｒ　ｉｎｄｅｘ　ｏｆ　ｔｒｅｅｓ：ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ　Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ，２００１　（６６）：２１１－２４９．　ＤＯＢＲＹＮＩＮ　Ａ　Ａ，ＧＵＴＭＡＮ　Ｉ，Ｋｌａｖ￣ａｒ　Ｓ，ｅｔ　ａ１．Ｗｉｅｎｅｒ　ｉｎｄｅｘ　ｏｆ　ｈｅｘａｇｏｎａｌ　ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ　Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ，２００２（７２）：２４７－　２９４．　Ｎｉｋｏｌｉ６　Ｓ，Ｔｒｉｎａｊｓｔｉｇ　Ｎ，Ｍｉｈａｌｉ￣Ｚ．Ｔｈｅ　Ｗｉｅｎｅｒ　ｉｎｄｅｘ：ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｓ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｒｏａｔ　Ｃｈｅｍ　Ａｃｔａ，１９９５（６８）：１０５—　１２９．　ＢＥＲＴＺ　Ｓ　Ｈ，ＷＲＩＧＨＴ　Ｗ　Ｆ．Ｔｈｅ　ｇｒａｐｈ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　ｓｙｎｔｈｅｔｉｃ　ａｎａｌｙｓｉｓ：ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｏｌｅｃｕｌａｒ　ｃｏｎ．　ｐｌｅｘｉｔｙ　ａｎｄ　ｓｙｎｔｈｅｔｉｃ　ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ［Ｊ］．Ｇｒａｐｈ　Ｔｈｅｏｒｙ　Ｎｏｔｅｓ，１９９８（３５）：３２４８．　ＥＳＴＲＡＤＡ　Ｅ，ＧＵＥＶＡＲＡ　Ｎ，ＧＵＴＭＡＮ　Ｉ．Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ　ｏｆ　ｅｄｇｅ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｖｉｔｙ　ｉｎｄｅｘ　Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ　ｔｏ　ｌｉｎｅ　ｇｒａｐｈ　ｉｎｄｉｃｅｓ　ａｎｄ　ＱＳＰＲ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｅｍｉｃｌａ　Ｉｎｆｏｍａｔｒｉｏｎ　ａｎｄ　Ｍｏｄｅｌｉｎｇ，１９９８，３８（３）：４２８４３１．　ＧＵＴＭＡＮ　Ｉ，ＥＳＴＲＡＤＡ　Ｅ．Ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ　ｉｎｄｉｃｅｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅ　ｇｒａｐｈ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｌｅｃｕｌａｒ　ｇｒａｐｈ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｅｍｉｃａｌ　Ｉｎ—　ｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｍｏｄｅｌｉｎｇ，１９９６，３６（３）：５４１－５４３．　（下转第６６页）　・５９・　陕西理工学院学报（自然科学版）　第３１卷　Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ　ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ　ｏｎ　ｌｏｗ—ｃａｒｂｏｎ　ｅｃｏｎｏｍｙ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｏｕｔｈｅｒｎ　Ｓｈａａｎｘｉ　ｐｒｏｖｉｎｃｅ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｖｉｓｉｏｎ　ＹＡＮＧ　Ｇａｎｇ　（Ｓｃｈ０ｏｌ　０ｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｈａａｎｘｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，　Ｈａｎｚｈｏｎｇ　７２３０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｓｔｕｄｙ　ｈａｓ　ｂｕｉｌｔ　ａｎ　ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ　ｉｎｄｅｘ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｌｏｗ—ｃａｒｂｏｎ　ｅｃｏｎｏｍｙ　ｂｙ　ｄｏｉｎｇ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ。　１ｅｓｓ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｏｆ　ｉｎｄｅｘｅｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｆｕｚｚｙ　ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｙ　ｕｓｅｓ　ｒｅ　ｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ　ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ＡＨＰ　ｔｏ　ｇｅｔ　ｗｅｉｇｈｔｓ　ｏｆ　ｅａｃｈ　ｉｎｄｅｘ　ａｎｄ　ｅａｃｈ　ｓｕｂｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｎｄｅｘ　ｓｖｓｔｅｍ．Ｂ、ｒ　ｎｅｗｌｙ－ｆｏｍｕｌａｔｅｄ　ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｉｎｄｅｘ　ｓｙｓｔｅｍ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｓｕｍ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ，ｗｅ　ｈａｖｅ　ａｓｓｅｓｓｅｄ　ｃｉｔｖ　ｌｏｗ－ｅａｒｂ０ｎ　ｅｃｏｎｏｍｙ　ｏｆ　ｅａｃｈ　ｓｕｂｓｙｓｔｅｍ　ａｎｄ　ｅａｃｈ　ｃｉｔｙ　ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌｌｙ　ｆｒｏｍ　２００７　ｔｏ　２０１２　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｏｕｔｈｅｒｎ　Ｓｈａａｎｘｉ　Ｄｒｏｖｉｎｃｅ．　Ｆｉｎａｌｌｙ　ａ　ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ　ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｉｔｙ　ｌｏｗ—ｃａｒｂｏｎ　ｅｃｏｎｏｍｙ　ｏｖｅｒ　ｔｈｅ　ｓｉｘ　ｙｅａｒｓ　ｉｎ　ｓ０ｕｔｈｅｎ　Ｓｈａａｎｘｉ　Ｄｒｏｖｉｎｃｅ　ｉｓ　ｍａｄｅ　ａｎｄ　ａｍｕｈｉｐｌｅ　ｂｒｏｋｅｎ　ｌｉｎｅ　ｇｒａｐｈｓ　ｉｓ　ｄｒａｗｎ　ｔｏ　ｓｈｏｗ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｓ．　Ｉｔ　ｄｏｅｓ　ａｎ　０ｖｅｒａ１１　ｃｏｌｎｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｃｉｔｙ　ｌｏｗ．ｃａｒｂｏｎ　ｅｃｏｎｏｍｙ，　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｏｕｔｈｅｒｎ　Ｓｈａａｎｘｉ　ｐｒｏｖｉｎｃｅ，ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌｙ　（￣ｃｕｓｉｎｇ　ｏｎ　ｓｐａｃｅ　ｓｃａｂ，）ａｎｄ　ｖｅｒｔｉｃａｌｌｙ（ｆｏｃｕｓｉｎｇ　ｏｎ　ｔｉｍｅ　ｓｃａｌｅ）．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｌｏｗ．ｃａｒｂｏｎ　ｅｃｏｎｏｍｙ；ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ；　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｈｉｅｒａｒｃｈｙ　ｐｒｏｃｅｓｓ；ｆｕｚｚ—　Ｙ　ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｂｒｏｋｅｎ　ｌｉｎｅ　ｇｒａｐｈ　（上接第５９页）　［８］ＢＵＣＫＩ　ＥＹ　Ｆ．Ｍｅａｎ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ｏｆ　ｌｉｎｅ　ｇｒａｐｈｓ［Ｊ］．Ｇｒａｐｈ　Ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，１９８１，１（３２）：１５３・１６２．　［９］ＧＵ　ｆＭＡＮ　Ｉ．Ｄｉｓｔａｎｃｅ　ｏｆ　ｌｉｎｅ　ｇｒａｐｈｓ［Ｊ］．Ｇｒａｐｈ　Ｔｈｅｏｒｙ　Ｎｏｔｅｓ，１９９６（３１）：４９—５２．　『ｌ０］ＧＵＴＭＡＮ　Ｉ，Ｐａｖｌｏｖｉ６　Ｌ．Ｍｏｒｅ　ｏｎ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ｏｆ　ｌｉｎｅ　ｇｒａｐｈｓ［Ｊ］．Ｇｒａｐｈ　Ｔｈｅｏｒｙ　Ｎｏｔｅｓ，１９９７（３３）：１４—１８．　［１　１］ＤＯＢＲＹＮＩＮ　Ａ　Ａ，ＧＵＴＭＡＮ　Ｉ，Ｊｏｖａｇｅｖｉ￣Ｖ．Ｂｉｃｙｃｌｉｃ　ｇｒａｐｈｓ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｌｉｎｅ　ｇｒａｐｈｓ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　Ｗｉｅｎｅｒ　ｉｎｄｅｘ［Ｊ］・Ｄｉｓｋｒｅｔｎ・　Ａｎａｌｉｚ　Ｉｓｓｌｅｄ．Ｏｐｅｒ　Ｓｅｒ，１９９７，４（２）：３－９．　『１２　１　ＤＯＢＲＹＮＩＮ　Ａ　Ａ，Ｍｅｌ’ｎｉｋｏｖ　Ｌ　Ｓ．Ｗｉｅｎｅｒ　ｉｎｄｅｘ，ｌｉｎｅ　ｇｒａｐｈｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｙｃｌｏｍａｔｉｅ　ｎｕｍｂｅｒ［Ｊ］．ＭＡＴＣＨ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ａｎｄ　ｉｎ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｃｈｅｍｉｓｔｒｙ，２００５，５３（１）：２０９—２１４．　［１　３］ＤＯＢＲＹＮＩＮ　Ａ　Ａ，Ｍｅｌ’ｎｉｋｏｖ　Ｌ　Ｓ．Ｗｉｅｎｅｒ　ｉｎｄｅｘ　ｆｏｒ　ｇｒａｐｈｓ　ａｎｄ　ｔｈｅｉｒ　ｌｉｎｅ　ｇｒａｐｈｓ　ｗｉｔｈ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　ｌａｒｇｅ　ｃｙｃｌｏｍａｔｉｃ　ｎｕｍｂｅｒｓ　［Ｊ　Ｊ．Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｌｅｔｔｅｒｓ，２００５，１８（３）：３０７—３１２．　［１４］　邓汉元．一类化学图及其线图的Ｗｉｅｎｅｒ指数［Ｊ］．湖南师范大学：自然科学学报，２００９，３２（３）：２３－２６．　［责任编辑：谢平］　Ｂｉｃｙｃｌｉｃ　ｇｒａｐｈｓ　ａｎｄ　Ｗｉｅｎｅｒ　ｉｎｄｅｘ　ｏｆ　ｔｈｅｉｒ　ｌｉｎｅ　ｇｒａｐｈｓ　ｆｏｒ　ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ　ｌａｒｇｅ　ｄｉａｍｅｔｅｒ　ＳＵ　ｘｉａｏ．ｈａｉ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｈａａｎｘｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，　Ｈａｎｚｈｏｎｇ　７２３０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　Ｗｉｅｎｅｒ　ｉｎｄｅｘ　ｏｆ　ａ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｇｒａｐｈ　Ｇ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｓｕｍ　ｏｆ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ａｌｌ　ｕｎｏｒｄｅｒｅｄ　ｐａｉｒｓ　ｏｆ　ｖｅｒｔｉｃｅｓ　ｉｎ　Ｇ，ｔｈａｔ　ｉｓ　Ｗ（Ｇ）＝　ｄ（Ｍ，　）．Ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｓｔｕｄｉｅｓ　Ｗｉｅｎｅｒ　ｉｎｄｅｘ　ｏｆ　ｂｉｃｙｃｌｉｃ　ｇｒａｐｈｓ　Ｇ　ｒ．１　ｗｈｉｃｈ　ｈａｓ　ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ　ｌａｒｇｅ　ｄｉａｍｅｔｅｒ．Ｉｔ　ｐｒｏｖｅｓ　ｔｈａｔ　Ｇ　ｒ．１　ｍｅｅｔｓ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　（Ｇ　ｒ．１）＝　（Ｌ（Ｇ　ｒ．Ｉ）），ｗｈｅｒｅ　Ｌ（Ｇ　ｒ‘１）ｉｓ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅ　ｇｒａｐｈｓ　ｏｆ　Ｇ　ｒ１１．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：　Ｗｉｅｎｅｒ　ｉｎｄｅｘ；　ｂｉｃｙｃｌｉｃ　ｇｒａｐｈ；ｌｉｎｅ　ｇｒａｐｈ　．６６・