正态分布概率公式(部分)

2021-10-31 来源：步旅网

图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线

正态曲线可用方程式表示。当 n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程：

f(x)= （6.16 ）

式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14159 ……； e — 常数，等于 2.71828 ……； μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的 μ ，但对某一定总体的 μ 是一个常数； δ 也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的 δ ，但对某一定总体的 δ 是一个常数。

上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作 N( μ , δ2 ) ，读作“具平均

数为 μ，方差为 δ2 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。

（二）正态分布的特性

1 、正态分布曲线是以 x= μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。因的数值无

论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数 μ 的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ点上。

2 、正态分布曲线有一个高峰。随机变数 x 的取值范围为（ - ∞， + ∞ ），在（ - ∞ ， μ ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ 时， f(x) 最大；在（ μ ， + ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。

3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ 处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当 x →± ∞ 时， f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到 + ∞。

4 、正态曲线是由 μ 和 δ 两个参数来确定的，其中 μ确定曲线在 x 轴上的位置 [ 图 6-3] ， δ 确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。 μ 和 δ 不同时，就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其 μ 和 δ 确定以后才能确定。

5 、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于 1 ，正态分布与 x 轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也应该是等于 1 。

而变量 x 出现在任两个定值 x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的概率或面积，完全由曲线的 μ 和 δ 确定。常用的理论面积或概率如下：

区间 μ ± 1 δ 面积或概率 =0.6826

μ ± 2 δ μ ± 3 δ μ ± 1.960δ μ ±2.576 δ =0.9545

=0.9973

=0.9500

=0.9900

图 6-3 标准差相同（ δ=1 ）而平均数

图 6-4 平均数相同（ μ =0 ）而标准差

不同的三条正态曲线不同的三条正态曲线

（三）正态分布的概率计算

正态分布是连续性变数的理论分布，计算其概率的原理和方法不同于二项分布。它不能计算变量取某一定值，即某一点时的概率，而只能计算变量落在某一区间内的概率（即概率密度）。