2018重庆中考数学(B卷)解析

数 学 试 题（B卷）

（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）

注意事项

1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；

3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回．

24acbb参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（－，），对称轴为x

4a2a＝－

b． 2a一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） ．．．．．．．1．（2018·重庆B卷，1，4）下列四个数中，是正整数的是 （ ） A．－1 B．0 C．【答案】D．

【解析】易知－1是负整数，

1 D．1 21是分数，1是正整数，而整数包括正整数、0和负整数，故选D． 2【知识点】实数的概念 整数 正整数．

2．（2018·重庆B卷，2，4）下列图形中，是轴对称图形的是 （ ）

A． B． C． D．

【答案】D． 【解析】根据轴对称图形的定义，沿某条直线将图形折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形才是轴对称图形，故只有选项D满足要求，因此选D． 【知识点】图形的变换 轴对称图形．

3．（2018·重庆B卷，3，4）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图形中有3张黑色正方形纸片，第②个图形中有5张黑色正方形纸片，第③个图形中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中黑色正方形纸片的张数为（ ）

①②③④

A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】B．

【解析】根据第1个图形中小正方形的个数为2×1＋1，第1个图形中小正方形的个数为2×1＋1，第2个图形中小正方形的个数为2×2＋1；第3个图形中小正方形的个数为2×3＋1，……，第n个图形中小正方形的个数为2n＋1，故第6个图形中小正方形的个数为2×6＋1＝13，故选B． 【知识点】规律探究题 代数式 代数式的值．

4．（2018·重庆B卷，4，4）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ）

A．对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 C．对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查 D．对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查 【答案】D．

【解析】选项A、B、C中，调查的对象的数量多，分布广，不适合普查；选项D中，由于对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查，每一个零部件都不能有任何的疏忽懈怠，必须一个一个检查，要采用普查方式，故选择D．

【知识点】普查与抽样调查

5．（2018·重庆B卷，5，4）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的

情况下，若将此广告牌的四边都扩大到原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是 （ ）

A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元 【答案】C．

【解析】∵将此广告牌的四边都扩大到原来的3倍后面积为原长方形面积的9倍，而120×9＝1080（元），∴扩大后长方形广告牌的成本是1080元．故选C． 【知识点】有理数的应用

6．（2018·重庆B卷，6，4）下列命题是真命题的是 （ ） A．如果一个数的相反数等于这个数的本身，那么这个数一定是0 B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1 C．如果一个数的平方等于这个数的本身，那么这个数一定是0

D．如果一个数的算术平方根等于这个数的本身，那么这个数一定是0 【答案】A．

【解析】易知A选项正确，因为倒数等于其本身的数是±1，平方数等于其本身的数有0和1，算术平方根等于其本身的数有0和1，故选A．

【知识点】有理数的概念 相反数 倒数 平方数 算术平方根

7．（2018·重庆B卷，7，4）估计56－24的值应在 （ ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】C．

【解析】∵56－24＝56－26＝36＝54，而7＝49＜54＜64＝8，∴56－24在7和8之间，故选C．

【知识点】二次根式的计算 估算

8．（2018·重庆B卷，8，4）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值是4或7时，输出的y的值相等，则b等于 （ ）

A．9 B． 7 C．－9 D．－7

输入x的值y=x2(x-3)y=2x+b(-35)输出y的值8题图

【答案】C．

【解析】由题意得2×4＋b＝6－7，解得b＝－9，故选C．

【知识点】代数式 求代数式的值 程序求值题 函数值 分段函数

9．（2018·重庆B卷，9，4）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝1﹕0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰

角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45） （ ）

A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米

ABCi=1:0.75DE9题图

【答案】A． 【解析】过点C作CN⊥DE于点N，延长AB交ED的延长线于点M，则BM⊥DE于点M，则MN＝BC＝20米．∵斜坡CD的坡比i＝1﹕0.75，∴令CN＝x，则DN＝0.75x．在Rt△CDN中，由勾股定理，得x2＋(0.75x)2＝102，解得x＝8，从而CN＝8米，DN＝6米．∵DE＝40米，∴ME＝MN＋ND＋DE＝66米，AM＝(AB＋8)米．在Rt△AME中，tanE＝即

AM， EMAB8AB8，解得AB＝21.7，故选A． tan24，从而0.45＝

6666ABMCi=1:0.75NDE

【知识点】解直角三角形 坡度

10．（2018·重庆B卷，10，4）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB

为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝23，则线段CD的长是 （ ）

A．2 B．3 C．

33 D．3 22CDAOB

10题图

【答案】B．

【解析】如下图，连接OD，则由AD切⊙O于点D，得OD⊥AC．

CDAOB

∵在Rt△AOD中，∠A＝30°，AD＝23，tanA＝

OD， AD ∴OD＝AD•，tanA＝23×tan30°＝23× ∴AO＝2OD＝4，AB＝OA＋OB＝6． ∵∠AOD＝90°－∠A＝60°， ∴∠ABD＝

3＝2． 31∠AOD＝30°． 2 ∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠ABD＝60°． ∴∠C＝90°＝∠ADO． ∴OD∥BC． ∴

234ADAO． ，即DC2DCOB ∴DC＝3．

【知识点】圆 圆的切线 相似三角形

11．（2018·重庆B卷，11，4）如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝

k（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE＝x3DE，则k的值为 （ ）

A．

515 B．3 C． D．5 24yAEDBOCx

11题图

【答案】C． 【解析】．∵菱形ABCD的边AD⊥y轴，点C的横坐标为5， ∴BC＝5，DE＝1． ∵BE＝3DE， ∴BE＝3．

令OB＝m，则OE＝m＋3，C(5，m)，D(1，m＋3)，由C、D两点均在双曲线y＝解得m＝

k上，得5m＝m＋3，x315，从而k＝5m＝，故选C． 44【知识点】反比例函数 菱形 反比例函数的图像与性质

11x1(x1)12．（2018·重庆B卷，12，4）若数a使关于x的不等式组3有且仅有三个整数解，且使关22xa3(1x)于

y

的分式方程

3ya121有整数解，则满足条件的所有a的值之和是 y22y（ ）

A．－10 B．－12 C．－16 D．－18 【答案】B．

【解析】解不等式组，得－3≤x≤＜－3．

解方程

a3a3，由该不等式组有且仅有三个整数解，得－1≤＜0，从而－8≤a553ya12a1，得y＝＋5． y22y2又∵y≠2，即

a＋5≠2， 2∴a≠－6． 又∵y为整数，

∴满足条件的整数a为－8和－4，其和为－12．故选B． 【知识点】一元一次不等式组的解法 分式方程的解法

二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上）． 13．（2018·重庆B卷，13，4）计算：1＋20＝ ．

【答案】2．

【解析】∵原式＝1＋1＝2，∴答案为2． 【知识点】实数的运算 绝对值 零指数

14．（2018·重庆B卷，14，4）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．

AEDB14题图

C

【答案】8－2π．

【解析】∵正方形ABCD的边长为4，

∴∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，AB＝AD＝4．

45421 ∴S阴影＝SRt△ABD－S扇形BAE＝×4×4－＝8－2π．

3602

【知识点】圆的有关计算 扇形面积 正方形

15．（2018·重庆B卷，15，4）某企业对一工人在五个工作日里生产零件的数量进行调查，并绘制了如图所示的折线统计图，则在这五天里该工人每天生产零件的平均数年是 个．

数量/个37363534333231星期一星星期期二三星星期期四五日期15题图

【答案】34．

【解析】由图可知这组数据是36，34，31，34，35，故x＝

11(36＋34＋31＋34＋35)＝×170＝34，因此答案55为34．

【知识点】．统计 平均数 折线统计图

16．（2018·重庆B卷，16，4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于 ．

EADC16题图

B

【答案】23．

【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线， ∴CD＝

1AB＝DA＝DB． 2 令∠B＝x°，则∠DCB＝∠B＝x°，

由翻折知，DE＝DB，∠ECD＝∠DCB＝x°＝∠CED． ∵DE∥AC，

∴∠ACE＝∠CED＝x°．

∴由∠ACB＝90°，得3x＝90，x＝30，从而∠B＝30°，于是AC＝ 在Rt△ABC中，tanB＝

1AB． 2AC，得AC＝BC tanB＝6tan30°＝23． BC ∴AC∥DE，AC＝DE，从而四边形ACDE是平行四边形． 又∵CD＝DE，

∴四边形ACDE是菱形． ∴AE＝AC＝23．

EAOD 【知识点】翻折 直角三角形 菱形 三角函数

17．（2018·重庆B卷，17，4）一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校．小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲．妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来的一半．小玲继续以原速度步行前往学校．妈妈与小玲之间的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之间的函数关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为 米．

CBy/米1200101530x/分

17题图

【答案】200．

【解析】由图可知：玲玲用30分钟从家里步行到距家1200米的学校，因此玲玲的速度为40米/分；妈妈在玲玲步行10分钟后从家时出发，用5分钟追上玲玲，因此妈妈的速度为40×15÷5＝120米/分，返回家的速度为120÷2＝60米/分．设妈妈用x分钟返回到家里，则60x＝40×15，解得x＝10，此时玲玲已行走了25分钟，共步行25×40＝1000米，还离学校1200－1000＝200（米），故答案为200． 【知识点】一次函数的实际应用

18．（2018·重庆B卷，18，4）为实现营养套餐的合理搭配，某电商推出两款适合不同人群的甲、乙两种袋装的混合粗粮．甲种袋装粗粮每袋含有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种袋装粗粮每袋含有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本分别等于袋中的A、B、C三种粗粮的成本之和．已知每袋甲粗粮的成本是每千克A种粗粮成本的7.5倍，每袋乙种粗粮售价比每袋甲种粗粮的售价高20%，乙种袋装粗粮的销售利润率是20%．当销售这两款袋装粗粮的销售利润率为24%时，该电商销售甲、

商品的售价商品的成本价乙两种袋装粗粮的袋数之比是 ．（商品的销售利润率＝ 100%）

商品的成本价【答案】4﹕7．

【解析】设1千克A粗粮的成本为m元，则甲袋成本为7.5m元，且B、C两种粗粮各1千克的成本之和为7.5m－3m＝4.5m元，从而乙袋粗粮的成本为m＋2×4.5m＝10m元，由乙种袋装粗粮的销售利润率是20%，得乙种袋装粗粮的销售利润为10m×20%＝2m元；而由每袋乙种粗粮售价比每袋甲种粗粮的售价高20%，知甲种袋装粗粮的售价为12m÷(1＋20%)＝10m元，其利润为2.5m元，现将以上信息列表如下：

每袋粗粮组成成分（千克）ABC每袋每袋成本售价（元）（元）每袋利润（元）甲袋3117.5m10m2.5m乙袋12210m12m2m

设甲袋装粗粮销售x袋，乙袋装粗粮销售y袋时，销售这两款袋装粗粮的销售利润率为24%，根据题意，得

2.5mx2my24%，整理，得7x＝4y，从而x﹕y＝4﹕7，故答案为4﹕7．

7.5mx10my【知识点】方程组的应用 销售问题

三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

19．（2018·重庆B卷，19，8）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．

EAFHBCGD19题图

【思路分析】本题解答分四步走：一是由三角形内角和定理，求出∠EGF＝55°；二是由角平分线定义，得∠EGD＝55°；三是由平行线性质，得∠EHB＝55°；四是由三角形外角性质，求得∠EFB＝∠EGB－∠E＝55°－35°＝20°．

【解题过程】

19．解：∵在△EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝35°，

∴∠EGF＝90°－∠E＝55°． ∵GE平分∠FGD，

∴∠EGF＝∠EGD＝55°． ∵AB∥CD，

∴∠EHB＝∠EGD＝55°． 又∵∠EHB＝∠EFB＋∠E，

∴∠EFB＝∠EGB－∠E＝55°－35°＝20°．

【知识点】平行线 三角形内角和 角平分线

20．（2018·重庆B卷，20，8）某学校开展以素质提升为主题的研学活动，推出了以下四个项目供学生选择：A．模拟驾驶；B．军事竞技；C．家乡导游；D．植物识别．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．八年级（3）班班主任刘老师对全班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1） 八年级（3）班学生总人数是___________，并将条形统计图补充完整；

（2）刘老师发现报名参加“植物识别”的学生中恰有两名男生，现准备从这些学生中任意挑选两名担任活动记录员，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率．

八年级（3）班研学项目选择情况的条形统计图人数1412108642OABCD项目4DC1214 A30%B八年级（3）班研学项目选择情况的扇形统计图

【思路分析】数．（1）由条形图可知，A选项有12人；由扇形图可知，A选项占全班人数的30%，两者相除即可得到全班总人数为40；再用全班人数分别减去A、B、D三个选项的人数可知C选项的人数为10人，在条形图中补图即可；（2）由条形图知D选项有4人，且男生有2人，用列表法或画树状图法，可求得恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率为

20题图

2． 3【解题过程】 20．解：（1）∵12÷30%＝40（人），40－12－14－4＝10（人），

∴八年级（3）班学生总人数是40，补图如下：

八年级（3）班研学项目选择情况的条形统计图人数1412108642OABCD项目4121014

（2）由题意可知从4名学生（其中男、女生各2人）任选2人，记男生为a1，a2，女生为b1，b2，现列表和画树状图分别如下：

a1a1a2b1b2(a2,a1)(b1,a1)(b2,a1)a2(a1,a2)b1(a1,b1)(a2,b1)b2(a1,b2)(a2,b2)(b1,b2)(b1,a2)(b2,a2)(b2,b1)

开始第1人：a1a2b1b2a2b1b2a1b1b2a1a2b2b1a1a2第2人：(a1,a2)(a1,b1)(a1,b2)(a2,a1)(a2,b1)(a2,b2)结果：(b1,a1)(b1,a2)(b1,b2)(b2,a1)(b2,a2)(b2,b1)

由上面表格或树状图可知，共有12种等可能结果，其中“恰好选中1名男生和1名女生担任活动记

录员”的共有8种，故P(恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员)＝

82＝． 123【知识点】统计 概率 条形统计图 扇形统计图 列表法或画树状图求概率

四、解答题（本大题5个小题，每小题10分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

2a8a164a121．（2018·重庆B卷，21，10）计算：（1）(x＋2y)2－(x＋y)(x－y)；（2）(a－1－)÷．

a1a1【思路分析】（1）利用乘法公式将式子展开，然后合并同类项即可得到结果；（2）按分式的运算法则和运算顺序

进行计算即可，注意结果的化简． 【解题过程】 21．解：（1）原式＝x2＋4xy＋4y2－(x2－y2)＝x2＋4xy＋4y2－x2＋y2＝4xy＋5y2．

（2）原式＝

(a1)(a1)(4a1)a1 2a1(a4)a(a4)a1 a1(a4)2 ＝

＝

a． a4【知识点】整式的乘法 乘法公式 分式的运算

22．（2018·重庆B卷，22，10）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝

1x与直线l2交点A的横坐标为22，将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标为－2，直线l2与y轴交于点D． （1）求直线l2的解析式； （2）求△BDC的面积．

yDAOCBl2l1l3x22题图 【思路分析】（1）先求出点A的坐标，再由平移求出直线l3的为y＝

1x－4，进而求出点C的坐标；直线l2的2解析式为y＝kx＋b，将A、C两点坐标代入得方程组解答即可锁定直线l2的解析式；（2）先求出B、D两点坐标，进而得到线段BD的长，C点的横坐标的绝对值即为△BDC的边BD上的高，由三角形的面积公式计算即可． 【解题过程】 22．解：（1）在y＝

11x中，当x＝2时，y＝1；易知直线l3的解析式为y＝x－4，当y＝－2时，x＝4，故223k2kb1A(2，1)，C(4，－2)．设直线l2的解析式为y＝kx＋b，则，解得2，故直线l2的解析式为y

4kb2b4＝－

3x＋4． 211BD•xC＝×8×4＝16． 22（2）易知D(0，4)，B(0，－4)，从而DB＝8．由C(4，－2)，知C点到y轴的距离为4， 故S△BDC＝

【知识点】一次函数的应用 平移 一次函数解析式的求法

23．（2018·重庆B卷，23，10）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．

（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？

（2）到2018年5月底前，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1﹕2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%．求a的值． 【思路分析】（1）根据“沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍”列不等式，并求不等式的最小整数解即可；（2）先求出到2018年5月底前，该县修建的沼气池40个，修建垃圾集中处理点10个；再求出前5个月修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用；最后根据题意，列出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值．

【解题过程】 23．解：（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则修建垃圾集中处理点(50－x)个，根据题意，得x≥4(50－x)，解得x≥40．答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．

（2）由题意可知，到2018年5月底前，该县修建的沼气池40个，修建垃圾集中处理点10个，若令修建的沼气池每个y元，则修建的垃圾集中处理点的每个2y元，从而由题意得40y＋10×2y＝78，解得y＝1.3，即到2018年5月底前，修建的每个沼气池与垃圾集中处理点的费用分别为1.3万元和2.6万元． 根据题意，得40•(1＋5a%)•1.3(1＋a%)＋10•(1＋8a%)•2.6(1＋5a%)＝78•(1＋10a%)． 令a%＝t，则52(1＋5t)(1＋t)＋26(1＋8t)(1＋5t)＝78(1＋10t)，整理，得 10t2－t＝0，解得t1＝0.1，t2＝0（不合题意，舍去），从而a%＝0.1，a＝10． 答：a的值为10．

【知识点】一元一次不等式的应用 一元二次方程的应用

24．（2018·重庆B卷，24，10）如图，在□ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH． （1）若BC＝122，AB＝13，求AF的长； （2）求证：EB＝EH．

AFGEDB

24题图

CH

【思路分析】（1）在Rt△FBC中，由sin∠FCB＝

2BF，求出BF＝122×sin45°＝122×＝12；在Rt

2BC△ABF中，由勾股定理，得AF＝AB2BF2132122＝5．

（2）本题有两种证法，一是在BF上取点M，使AM＝AG，连接ME、GE．通过证明四边形AMEG是正方形，

进而得到∠AMB＝∠HCE＝45°，BM＝CE，AM＝CH，于是△AMB≌△CHE，从而EH＝AB，进而EB＝EH．第二种方法是连接EG，GH．通过证明△GBE≌△GHE（SAS）锁定答案． 【解题过程】 24．解：（1）∵BF⊥AC，

∴∠BFC＝∠AFB＝90°．

在Rt△FBC中，sin∠FCB＝

BF，而∠ACB＝45°，BC＝122， BC∴sin45°＝BF． 1222＝12． 2∴BF＝122×sin45°＝122×在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF＝AB2BF2132122＝5．

（2）方法一：如下图，在BF上取点M，使AM＝AG，连接ME、GE．

AGDFEMBCH∵∠BFC＝90°，∠ACB＝45°，

∴△FBC是等腰直角三角形． ∴FB＝FC．

∵在□ABCD中，AD∥BC， ∴∠GAC＝∠ACB＝45°． ∴∠AGB＝45°．

∵AM＝AG，AF⊥MG，

∴∠AMG＝∠AGM＝45°，MF＝GF．∴∠AMB＝∠ECG＝135°． ∵BA＝BE，BF⊥AE， ∴AF＝EF．

∴四边形AMEG是正方形． ∴FM＝FE． ∴BM＝CE． 又∵CH＝AG， ∴CH＝AM．

∴△AMB≌△CHE． ∴EH＝AB． ∴EH＝EB．

方法二：如下图，连接EG，GH．

AGDFEBCH∵BF⊥AC于点F，BA＝BE， ∴∠ABF＝∠EBF． ∵GB＝GB，

∴△GBA≌△GBE（SAS）． ∴∠AGB＝∠EGB．

在△FBC中，∵∠BFC＝90°，∠ACB＝45°， ∴∠FBC＝45°．

∵在□ABCD中，AD∥BC，

∴∠GAC＝∠ACB＝45°，∠AGB＝∠FBC＝45°． ∴∠EGB＝45°． ∵CH＝AG，

∴四边形AGHC是平行四边形． ∴∠BHG＝∠GAC＝45°． ∴∠BHG＝∠GBH＝45°． ∴GB＝GH，∠BGH＝90°． ∴∠HGE＝∠BGE＝45°． ∵GE＝GE，

∴△GBE≌△GHE（SAS）． ∴EH＝EB．

【知识点】勾股定理 等腰三角形的性质 全等三角形 平行四边形 25．（2018·重庆B卷，25，10）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”． （1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；

（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D(m)＝

m，求满足D(m)是完全平方数的所有m． 33【思路分析】（1）先根据“极数”的定义，较易写出千位与十位上的数字之和为9且百位与个位上的数字之和为9的四位数三个，答案不唯一；再设n的千位数字为s，百位数字为t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数），用代数式表示出n，化简后因式分解，即可证明n是99的倍数；（2）先求出D(m)＝10(9－s)＋9－t，化简后得D(m)＝

m，其中m＝1000s＋100t＋33m＝3(10s＋t＋1)；再根据D(m)是完全平方数，且10s＋t＋1是一个两位数，33从而10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52，即10s＋t＋1＝12或27或48或75，于是得到方程组s1或

t12s2s4s7或或，解方程组即可锁定符合条件的所有m． t17t18t15【解题过程】

25．解：（1）答案不唯一，如5346，1782，9405，等．任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下： 设n的千位数字为s，百位数字为t（1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数），则n＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，而10s＋t＋1是整数，故n是99的倍数．

（2）易由（1）设m＝1000s＋100t＋10(9－s)＋9－t＝990s＋99t＋99＝99(10s＋t＋1)，其中1≤s≤9，0≤t≤9且s、t均为整数，从而D(m)＝

m＝3(10s＋t＋1)，而D(m)是完全平方数，故3(10s＋t＋1)是完全平方数． 33∵10＜10s＋t＋1＜100， ∴30＜3(10s＋t＋1)＜300．

∴10s＋t＋1＝3×22、3×32、3×42、3×52． ∴(s，t)＝(1，1)，(2，6)，(4，7)，(7，4)． ∴m＝1188，2673，4752，7425．

【知识点】整式的运算 完全平方数 不等式的解法 新定义运算题 二元一次方程的特殊解

五、解答题（本大题1个小题，共12分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 26．（2018·重庆B卷，26，12）抛物线y＝－6223x－x＋6与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），63与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；

（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1．当PE＋

1EC的值最大时，求四边形P O1B1C周长的最小值，并求2出对应的点O1的坐标；

（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△OMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．

yDCyB2O2C1yPEAOBxCO3MHCAFO1B1OBxANOBx26题图1 26题图2 26题图3

【思路分析】（1）过点D作DE⊥y轴于点E，由题意易知点C(0，6)，再根据抛物线的顶点公式求出D点坐

标，最后在Rt△CDE中，由勾股定理，易求出CD的长度；（2）①在y＝－

6223x－x＋6中，令y＝0，63得到关于x的一元二次方程，求解得A、B两点的坐标；②再设直线AC的解析式为y＝kx＋6，将A点坐标代

入即可得到k的值为

36223362

；③令P(t，－t－t＋6)， E(t，t＋6)，从而PE＝－t－3t，363366461EC＝－(t＋22)2＋，由二次函数的性质易

632并根据两点间的距离公式求出EC的长；④计算出PE＋

知当t＝－22时，PE＋

461EC取最大值，此时P(－22，6)，且PC∥x轴，易知PC＝22，O1B1

32＝OB＝2，要使四边形PO1B1C周长的值最小，就是要求PO1＋B1C的值最小，此时利用平移、轴对称知识，先将点P向右平移2个单位长度，得点P（则PO1＝P1B1．再作P1关于x轴的对称点P（1－2，6)，2－2，－6)，则P1B1＝P2B1．连接P2C与x轴的交点即为使PO1＋B1C的值最小的点B1．⑤在Rt△P1P2C中，由勾

22股定理，得PO1＋B1C＝P2C＝(26)(2)＝26，从而四边形P O1B1C周长的最小值为32＋26，

所求的点O1的坐标为(－32，0)． 2（3）分类讨论如下：如答图3，通过计算可得O2M＝226时，NA＝NM；如答图4，若点C与M点重合时，MA＝MN，此时，O2M＝O2C＝

1AC＝6；如答图5，通过计算可得O2M＝226时，NA＝NM；2如答图6，通过计算可得O2M＝66时，MA＝MN，此时C1，H，N重合．综上，符合条件的O2M的长为或336或22＋6或22－6．

第26题答图3 第26题答图4

【解题过程】

第26题答图5 第26题答图6

26．解：（1）如下图，过点D作DE⊥y轴于点E，由题意易知点C(0，6)．

2362324()6()2b4acb463632， ∵， 2a4a3662()4()66∴D(－2，466)，从而CE＝，DE＝2． 332∴在Rt△CDE中，由勾股定理，得CD＝(2)(6226． )33yDECAOBx （2）在y＝－

62236223x－x＋6中，令y＝0，得－x－x＋6＝0， 6363 解得x1＝－32，x2＝2，从而A(－32，0)，B(2，0)． 令直线AC的解析式为y＝kx＋6，则－32k＋6＝0，解得k＝

3． 3 ∴直线AC的解析式为y＝

3x＋6． 3 令P(t，－6223362t－t＋6)， E(t，t＋6)，从而PE＝－t－3t， 6336 EC＝t2(323t66)2t． 33 ∴PE＋

6231t EC＝－t－3t－632＝－

6243646t－t＝－(t＋22)2＋． 6363461EC取最大值，此时P(－22，6)．

32 ∴当t＝－22时，PE＋

∴PC＝22，O1B1＝OB＝2．

要使四边形PO1B1C周长的值最小，就是要求PO1＋B1C的值最小，将点P向右平移2个单位长度，得点P1（－2，6)，则PO1＝P1B1．再作P1关于x轴的对称点P2（－2，－6)，则P1B1＝P2B1．连接

P2C与x轴的交点即为使PO1＋B1C的值最小的点B1．∴B1（－2，0)，将B1向右平移2个单位长度即得点222O1．此时，PO1＋B1C＝P2C＝(26)(2)＝26，从而四边形P O1B1C周长的最小值为32＋26，

所求的点O1的坐标为(－32，0)． 2yPEAFO1B1OBxP1C

（3）O2M的长为P2

6或6或22＋6或22－6． 3【知识点】二次函数；一元二次方程的解法；勾股定理；平移；旋转；轴对称；最值问题；等腰三角形；分类思想；数形结合思想；探究性问题；压轴题；