最新圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线的应用

【考点透视】

一、考纲指要

1.会按条件建立目标函数研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用\"数形结合\"、\"几何法\"求某些量的最值.

2.进一步巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法.

二、命题落点

1.考查地理位置等特殊背景下圆锥曲线方程的应用,修建公路费用问题转化为距离最值问题数学模型求解，如例1;

2.考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，如例2;

3.考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力，如例3.

【典例精析】

例1：(2004?福建)如图,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东300方向

2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )

A.(2-2)a万元 B.5a万元

C. (2+1)a万元 D.(2+3)a万元

解析:设总费用为y万元,则y=a?MB+2a?MC

∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.,

∴曲线PG是双曲线的一支,B为焦点,且a=1,c=2.

过M作双曲线的焦点B对应的准线l的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得=e,即MB=2MD.

∴y=a?2MD+ 2a?MC=2a?(MD+MC)≥2a?CE.(其中CE是点C到准线l的垂线段).

∵CE=GB+BH=(c-)+BC?cos600=(2-)+2×=. ∴y≥5a(万元).

答案:B.

例2：(2004?北京,理17)如图,过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1),B(x2，y2).

(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,

求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.

解析:(1)当y=时,x=.

又抛物线y2=2px的准线方程为x=-,由抛物线定义得,

所求距离为.

(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.

由y12=2px1,y02=2px0,相减得:,

故.同理可得,

由PA、PB倾斜角互补知 , 即,

所以, 故.

设直线AB的斜率为kAB, 由,,相减得, 所以.将代入得,

所以kAB是非零常数.

例3：(2004?广东)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)

解析：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).

设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,

故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360.

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,

依题意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,

故双曲线方程为.用y=-x代入上式,得x=±680,

∵|PB|>|PA|,∴x=-680,y=680, 即P(-680,680), 故PO=680.

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680 m处.

【常见误区】

1.圆锥曲线实际应用问题多带有一定的实际生活背景, 考生在数学建模及解模上均不

同程度地存在着一定的困难, 回到定义去, 将实际问题与之相互联系,灵活转化是解决此类难题的关键;

2.圆锥曲线的定点、定量、定值等问题是隐藏在曲线方程中的固定不变的性质, 考生往往只能浮于表面分析问题,而不能总结出其实质性的结论,致使问题研究徘徊不前,此类问题解决需注意可以从特殊到一般去逐步归纳,并设法推导论证.

【基础演练】

1.(2005?重庆) 若动点()在曲线上变化，则的最大值为( )A. B.

C. D.2

2.(2002?全国)设,则二次曲线的离心率的取值范围为( )A. B.C. D.

3.(2004?精华教育三模)一个酒杯的轴截面是一条抛物线的`一部分,它

的方程是x2=2y,y∈[0,10] 在杯内放入一个清洁球,要求清洁球能

擦净酒杯的最底部(如图),则清洁球的最大半径为( )

A. B.1 C. D.2

4. (2004?泰州三模)在椭圆上有一点P,F1、F2是椭圆的左右焦点,△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有 ( )

A.2个 B.4个 C.6个 D.8个

5.(2004?湖南) 设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1,2,3,...),使|FP1|,|FP2|, |FP3|,...组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为 .

6.(2004?上海) 教材中\"坐标平面上的直线\"与\"圆锥曲线\"两章内容体现出解析几何的本质是 .

7.(2004?浙江)已知双曲线的中心在原点,

右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,

点M(m,0)到直线AP的距离为1,

(1)若直线AP的斜率为k,且|k|?[],

求实数m的取值范围;

(2)当m=+1时,△APQ的内心恰好是点M,

求此双曲线的方程.

8. (2004?上海) 如图, 直线y=x与抛物

线y=x2-4交于A、B两点, 线段AB的垂直平

分线与直线y=-5交于Q点.

(1)求点Q的坐标;

(2)当P为抛物线上位于线段AB下方

(含A、B) 的动点时, 求δOPQ面积的最大值.

9.(2004?北京春) 2003年10月15日9时,\"神舟\"五号载人飞船发射升空,于9时9分50秒准确进入预定轨道,开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示,椭圆中心在原点.近地点A距地面200km,远地点B距地面350km.已知地球半径R=6371km.

(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程;

(2)飞船绕地球飞行了十四圈后,于16日5时59分返回舱与推进舱分离,结束巡天飞行,飞船共巡天飞行了约,问飞船巡

天飞行的平均速度是多少km/s?(结果精确

到1km/s)(注:km/s即千米/秒)

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