2016届云南省统测理数(二)

数学（理）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项 是符合题目要求的.

1. 已知角的终边经过点P3,4,则tan2（ ）

248824 B． C． D． 733734i2. 已知i为虚数单位，复数z在复平面内对应的点位于（ ）

2iA．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 已知a,b是平面向量,如果a6,b3,a2b2ab,那么a与b的数量积等

于（ ）

A．2 B．1 C．2 D．32 4. 已知等差数列an的前n项和为Sn,S1122,a412, 如果当nm时,Sn 最小，那么

m的值为（ ）

A．10 B．9 C．5 D．4 5. 若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（ ）

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A．

3495 B． C． D． 7920116. 下图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图）正视图、侧视图、俯视图都是等腰直角三角形，如果这三个等腰直角三角形的斜边长都为32,那么这个几何体的表面积为（ ）

A．9393272727 B． C． D．93 22227. 现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券,则此人得奖金额的数 学期望为（ ）

A．6 B．

3941 C． D．9 558. 设F1,F2是椭圆E的两个焦点，P为椭圆E上的点，以PF1为直径的圆经过F2,若

tanPF1F225,则椭圆E的离心率为（ ） 15A．5555 B． C． D． 654359. 设2x1a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5,则a1a3a5（ ） A．121 B．122 C．243 D．244 10. 已知体积为46的长方体的八个顶点都在球O的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为23、43,那么球O的体积等于（ ）

A．

1671173233 B． C． D．

3232第2页（共10页）

11. 已知焦点在y轴上的双曲线C的中心是原点O，离心率等于5，以双曲线C的一个2焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（ ）

y2x2x22A．1 B．y1

1644y2x22C．x1 D．y21

4412. 已知fxln1x2x2ln3ln51,af,bf,cf2, 2x135下列结论正确的是（ ）

A．bac B．cab C．abc D．cba

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 某工厂生产的A、B、C三种不同型号的产品数量之比依次为2:3:5,为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A、B、C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有16件，则n的值为 ．

14. 设数列an的通项公式为ann2bn，若数列an是单调递增数列,则实数b的取值范围为

．

15. 若函数fx4sin5ax43cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为实数a的值为 ．

3,则

x42y2216. 已知实数x,y满足约束条件x0,那么xy10x6y的最小值

y0为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、

c ,msinB,5sinA5sinC 与n5sinB6sinC,sinCsinA垂直.

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（1）求sinA的值；

（2）若a22,求ABC的面积S的最大值.

18. （本小题满分12分）―个盒子里装有若干个均匀的红球和白球,每个球被取到的概率相等.若从盒子里随机取一个球,取到的球是红球的概率为到的球至少有一个是白球的概率为

1,若一次从盒子里随机取两个球，取310. 11（1）该盒子里的红球、白球分别为多少个？

（2）若一次从盒子中随机取出3个球，求取到的白球个数不少于红球个数的概率.

19. （本小题满分12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，D为AA1的中点,E为BC的中点.

（1）求证：直线AE平面BDC1；

（2）若三棱柱 ABCA1B1C1 是正三棱柱， AB2,AA14,求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值.

20. （本小题满分12分）已知抛物线x4y 的焦点为F，准线为l,经过l上任意一点P作抛物线x4y的两条切线，切点分别为A、B. （1）求证：以AB为直径的圆经过点P；

222（2）比较AFFB与 PF的大小 .

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21. （本小题满分数,Fx2ex112分）已知

e是自然对数的底

xlnx,fxax13.

（1）设TxFxfx,当a12e1时, 求证：Tx在0,上单调递增； （2）若x1,Fxfx,求实数a的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图,ABC是O的内接三角形，BT是 O的切线，P是线段AB上一点,经过P作

BC的平行直线与BT交于E点，与AC交于F点.

（1）求证：PEPFPAPB； （2）若AB42,cosEBA

1,求O的面积. 3

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直用坐标系xOy中，直线l的参数方程为x3t3(t为参数〕.在以原点O为极点,x轴

y4t923，圆A的半径为3. 的正半轴为极轴的极坐标系中，圆心A的极坐标为2,（1）直接写出直线l的直角坐标方程，圆A 的极坐标方程； （2）设B是线l上的点，C是圆A上的点，求BC的最小值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知常数a是实数，fxx2a,fx42a的解集为x|4x0 . （1）求实数a的值；

（2）若 fxf2xxm对任意实数x都成立，求实数m的取值范围.

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云南省2016届高三第二次统一检测数学（理）参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

1-5.ADACD 6-10.CBDBA 11-12.CB 二、填空题（每小题5分，共20分）

312113.80 14.3, 15. 16.

55三、解答题

17.解：（1）msinB,5sinA5sinC与n5sinB6sinC,sinCsinA垂

222直,mn5sinB6sinBsinC5sinC5sinA0, 即

sin2Bcos2Ccos2A226sinBsinC.

52b2c2a236bc根据正弦定理得bca. 由余弦定理得cosA.

2bc55

1mmn318. 解：（1）设该盒子里有红球m个, 有白球n个.根据题意得.解方程组得2C1m102Cmn11m4,n8. 红球4个,白球8个.

（2）设“从盒子中任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A,则

1C83C82C442PA. 3C1255因此,从盒子中任取3个球,取到的白球个数不少于红球个数的概率为

42. 5519. 解：（1）证明：设BC1的中点为F，连接EF,DF.则EF是BCC1中位线，根据已知

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得EFDA,且 EFDA.四边形ADFE是平行四边形AEDF,DF平面

BDC1,AE平面BDC1,直线AE平面BDC1.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,

由已知得B0,0,0,D0,2,2,C13,1,4.

BD0,2,2,BC13,1,4.设平面BDC1的一个法向量为nx,y,z,则

nBD,nBC1.

2y2z0x3,取z1,解得.n3,1,1是平面BDC1的一个法向量. 3xy4z0y1由已知易得m0,0,1是平面ABC的一个法向量. 设平面BDC1和平面ABC所成二面角

mn525的大小为,则cos. .0,sin55mn25. 5平面BDC1和平面ABC所成二面角的正弦值为20. 解：（1）证明：根据已知得l的方程为y1.设Pa,1,Ax1,y1,Bx2,y2,且

y1121x1,y2x22. 44由yy11y112x11x得y',从而kPAx1,kPA1,x11,y1x12,化简得422x1a2x1a4第7页（共10页）

2x122ax140.同理可得x22ax240.x1,x2为方程x22ax40的根.

x1x22a,x1x24.PAPBx1a,y11x2a,y21x1ax2ay11y21x1x2ax1x2x1x22a1622x12x21142a2a214a2810, 444PAPB,即PAPB,以AB为直径的圆经过点P.

（2）根据已知得

F0,1.

22x1x2x1x22x1x2AFFBx1,1y11x2,y21x1x2y1y2y1y21x1x21642222又由（1）知：x1x22a,x1x24,AFFB4a,PFa4,AFFBPF.

a12e,TxFxfx,Tx2e21. 解：（1）

1x1lnx2e1x2e12.

1x0,T'x2ex12e1.2ex12e1关于x单调递增,

x11x0,T'x2ex12e10,Tx在0,上单调递增.

xx11（2）设HxFxfx,则H'x2ex11a.设hx2ex11a,

xx

则h'x2ex1增,

11x1.x1,2e2,1,h'x1.hx在1,内单调递22xx当x1时,hxh1. 即H'x4a,当a4时,H'x4a0. 当a4时, Hx在1,内单调递增. 当a4,x1时,HxH1, 即

Fxfx.x1,H'x2ex11 2ex12a0得

1a2ex12a.当a4时, 由x又2ex12a关于x单调递增, 当a4,1x1lna1时, Hx单调递减. 2第8页（共10页）

设x01lna1,则Hx0H10,即Fx0fx0. 2a当a4时,x01ln11,Fx0fx0 不成立.

2综上, 若x1,Fxfx,a的取值范围,4.

22. 解：（1）ABC是O的内接三角形，BT是 O的切线，B为切点.CBT 是弦切角.

ACBT,由已知得EFBC.PEBCBT.PEBA.又

EPBAPF,PEBPAF.PEPB.PEPFPAPB. PAPF（2）延长BO与O交于D,连接AD,则BD是O的直径, 且BAD90,BT是

O的切线,B 为为切

点,DBEB.EBAABD90.ABD90EBA.cosABD

cos90EBAsinEBA,在RtBAD中,cosABD根据已知和cosEBAABAB. .BDBDcosABD221得sinEBA.又

33AB42,BDABAB3426.O的直径为

cosABDsinEBA226.O的面积为9.

23. 解：（1）直线l的坐标方程为4x3y150, 圆A的极坐标方程为22cos23sin50. （2）圆心A的直角坐标为A1,3,A直线l的距离d1933,根据圆的几何意义得5BC

的最小值等于d3433433.BC的最小值为. 5524. 解：（1）由fx42a得x2a42a.2a4x2a42a,即

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4x44a.

由已知得44a0,解得a1,a1.

（2）由fxf2xxm得x22x1xm,设

4,x2gxx22x1x2x,2x1,gx的最大值为2.

2x4,x1fxf2xxm对任意实数x都成立,m2.

实数m的取值范围2,.

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