高考数学 《恒成立问题备考策略》

主标题：不等式恒成立问题备考策略

副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。 关键词：不等式，不等式恒成立，备考策略 难度：3 重要程度：5 内容：

1.一元二次不等式axbxc0恒成立 ； 一元二次不等式axbxc0恒成立 ； 一元二次不等式axbxc0恒成立 ； 一元二次不等式axbxc0恒成立 ；

2222思维规律解题

一、分离参数

例1、已知函数fxlgx取值范围。

解：根据题意得：x2a2，若对任意x2,恒有fx0，试确定a的xa21在x2,上恒成立， x即：ax3x在x2,上恒成立，

39设fxx3x，则fxx

2422当x2时，fxmax2 所以a2

例2、已知x,1时，不等式12aax24x0恒成立，求a的取值范围。

t1， t2解：令2t，

xx,1 t0,2 所以原不等式可化为：a2a要使上式在t0,2上恒成立，只须求出ftt1在t0,2上的最小值即可。 2tt111111ft2

tttt24ftminf2二、分类讨论

2211, t233132 aa a

44222例3、若x2,2时，不等式xax3a恒成立，求a的取值范围。

解：设fxx2ax3a，则问题转化为当x2,2时，fx的最小值非负。 （1） 当a72即：a4时，fxminf273a0 a又a4所以a23a2a0 3a24不存在；

a（2） 当22即：4a4时，fxminf26a2 又4a4 4a2

a（3） 当2 即：a4时，fxmin2a47a4 综上所得：7a2

三、确定主元

f2 a7又7a0例4、若不等式2x1mx21对满足m2的所有m都成立，求x的取值范围。 解：设fmmx12x1，对满足m2的m，fm0恒成立，

22x212x10f201713x 解得：

222f202x12x10四、利用集合与集合间的关系

例5、当x,3时，logax1恒成立，求实数a的取值范围。 解：

131logax1

a3111（1） 当a1时，xa，则问题转化为,3,a 11 a3

a3aa31a11130a1（2） 当0a1时，ax，则问题转化为,3a,

a33a13a综上所得：0a五、数形结合

1或a3 3132例6、若不等式3xlogax0在x0,内恒成立，求实数a的取值范围。

2解：由题意知：3xlogax在x0,内恒成立，

13在同一坐标系内，分别作出函数

y3x2和ylogax

观察两函数图象，当x0,时，若

13a1函数ylogax的图象显然在函

数y3x图象的下方，所以不成立；

当0a1时，由图可知，ylogax的图象必须过点,或在这个点的上方，则，

211331111 1a  a3327271综上得：1a

27loga