二十一专题）
初中数学全套知识点汇编 目 录
1. 第一部分 代数篇 14 1.1 专题一 代数初步知识 14 代数式
14
代数式的值 14 方程 14 方程的解 14 公式 14 解方程
15
15
解简易方程的基本方法 列代数式 15 1.2 专题二 有理数 0 15 比较大小 15 代数和 倒数 16 非负数
16 15
15
非正数 分数 16 负倒数 负数 17 精确度 绝对值
16
16
17 17
科学记数法 17 立方表 偶数 18 平方表 奇数 19 数轴 19 相反数 有理数
19 19 18 18
有理数乘法法则 20 有理数除法法则 20 有理数的乘法运算律 20 有理数的乘方 21 有理数的混合运算
21
有理数的加法运算律 21 有理数加法法则 21 有理数减法法则 22
有效数字 22 整数 22 正数 22
1.3 专题三 整式的加减 常数项
22
22
22
代数式的恒等变形 单项式
23
单项式的次数 23 多项式
23
多项式的次数 23 多项式的项 23 合并同类项 23 降幂排列 24 去括号法则 24 升幂排列 24 添括号法则 24 同类项 系数 24 整式 25 整式的加减 25
1.4 专题四 一元一次方程 25 不定方程 25
24
代数方程 25 等式 25 等式的性质 26 方程的根 26 方程同解原理 26 恒等式
26
解一元一次方程的一般步骤 26 列出一元一次方程解应用题的方法 矛盾方程 27 条件等式 27 同解方程 27 线性方程 27 一元一次方程 28 移项 28 整式方程 28
1.5 专题五 二元一次方程组 28 二元一次方程 28 二元一次方程组 28 二元一次方程组的解 29 二元一次方程组的两种解法 29 二元一次方程组解的情况 30 解二元一次方程组的基本思想 30
27
列方程组解应用题的步骤 30 三元一次方程 30 三元一次方程组 31 三元一次方程组的解法 31 中国古代的一次方程组
31
1.6 专题六 一元一次不等式和一元一次不等式组 不等式
32
不等式的基本性质 32
不等式的解集 33 不等式的同解原理 33
解不等式 33 解不等式组 33 同解不等式 33 一元一次不等式 33
一元一次不等式的解法步骤 33 一元一次不等式组
34
一元一次不等式组的解法步骤 34 一元一次不等式组的解集 34 一元一次不等式组的四种情况 34 1.7 专题七 整式的乘除 35
0次幂
35
单项式除以单项式
35
32 单项式的乘法 35 单项式与多项式相乘 35 多项式除以单项式 36 多项式除以多项式 36
多项式的乘法 37 多项式的平方公式 37 分离系数法 38 负整数次幂 38 积的乘方 39
立方和与立方差公式 39 两数和（或差）的立方公式 幂的乘方 40 平方差公式 41 同底数幂的乘法 41 同底数幂的除法 41 完全平方公式 42 1.8 专题八 因式分解 42 拆项添项法 42 待定系数法 43 分组分解法 44 公因式
45
十字相乘法 45
40 提公因式法 46 因式分解的步骤 46 因式分解的意义 46 运用公式法 47 1.9 专题九 分式 47 分式 47 分式乘方法则 48 分式的乘法 48 分式的除法 48 分式的符号法则 48 分式的基本性质 48 分式的通分 48 分式的约分 49 分式的值为零 49 分式方程 49 分式无意义 49 公式变形 49
含有字母系数的一元一次方程 49 解分式方程的步骤 通分的法则 50 同分母的分式加减法 50 异分母的分式加减法 50
49
有理式 50
约分的法则 50 增根 50 字母系数 51 最简分式 51 最简公分母 51 1.10 专题十 数的开方 51 n次方根 51 n次算术根 51
开n次方 51 开立方 51 开平方 52 立方根
52
偶次方根 52 平方根
52
奇次方根 52 实数 52 实数的绝对值 53 算术平方根 53 无理数
53
1.11 专题十一 二次根式 二次根式 53
53 二次根式的乘法 53 二次根式的除法 53 二次根式的加减 54 分母有理化 54 积的算术平方根 54 商的算术平方根 54 同类二次根式 54 有理化因式 54 最简二次根式 54
1.12 专题十二 一元二次方程 55 代数方程 55 二次齐次式 55 二元二次方程 55 二元二次方程组 55 方程的失根 56 分式方程的验根 56 换元法
56
57
解代数方程的基本思想 配方法
57
双二次方程 57 无理方程 57 一元二次方程 58
一元二次方程的根的判别式 58 一元二次方程的解法 58 一元二次方程的求根公式 59 一元二次方程的一般形式 59 一元高次方程 60
用公式法分解二次三项式的因式 60 有理方程 60 整式方程 60
一元二次方程的根与系数的关系 60 1.13 专题十三 函数及其图象 62 常量与变量 62 常数函数 62 单调函数 62 点的直角坐标 62 二次函数 62
二次函数y axx+bx+c的性质（增减性） 二次函数解析式的几种形式 63 二元一次方程与直线 63 反比例关系 63 反比例函数 64
反比例函数y k／x k不等于零 的图象 反比例函数的性质
64
63 64
函数的表示法 64 函数的图象 65 函数值和值域 65 减函数 抛物线
65 65
抛物线的顶点 65 抛物线的对称轴 65 抛物线的平移 66 平面直角坐标系 66 象限 66
一般二次函数的图象 67 一般二次函数的最值 68 一次函数 68
一次函数y kx+b的图象 68 一次函数y kx+b的性质 69 一一对应 70
用待定系数法求函数的解析式的步骤 70 用图象法解二元一次方程组 70 增函数
70
正比例关系 70 正比例函数 71
正比例函数y kx的图象 71
正比例函数y kx的性质 71 直线的截距 71 自变量的取值范围 自变量与函数 72 最简二次函数的图象 72 71
最值 72 坐标平面 72 坐标系
72
1.14 专题十四 统计初步 标准差 73
方差 73 个体 73 频率 73 频率分布 74 频数 74
平均数的计算公式 74
样本 75 样本平均数 75 样本容量 75 中位数 75
众数 76 总体 76
73 总体分布 76 总体平均数 76 2. 第二部分 几何篇 76 2.1 专题一 线段、角 76 补角的性质 76 钝角 76
关于线段的公理 互为补角 77 互为余角 77 角的比较 77 角的定义 78 角的度量 78 角的平分线 78 两点的距离 79 两角的倍（分） 两角的和（差） 平角 80 锐角 80 射线 80 线段 81 线段的倍、分 81 线段的比较 81
77 79 79 线段的差 81 线段的和 82 线段的中点 82 相交直线 82 余角的性质 82 直角 83 直线 83 直线的性质 83 周角 83
2.2 专题二 相交线和平行线 垂线的性质 83 垂线段
84
点到直线的距离 84 定理 84 定义 84 对顶角
85
对顶角的重要性质 85
公理 85
两条平行线间的距离 85 两条直线互相垂直 86
邻补角 86
命题 86
83 内错角 87
平行公理 87 平行线
87
平行线的判定 88 平行线的性质 89 同旁内角 90 同位角
90
异面直线 90 2.3 专题三 三角形 不等边三角形 91 尺规作图 91 尺规作图不能问题 等边三角形 91 等边三角形的判定 等边三角形的性质 等腰三角形 92 等腰三角形的判定 等腰三角形的性质 钝角三角形 93 辅助线
93
勾股定理 93 勾股定理的逆定理91
91 91 92 93 93 95
勾股定理的推广 95 勾股弦数 96 互逆命题 96 几何变换 96 几种基本作图 97 角平分线的重要性质 97 全等三角形 98 全等三角形的判定 锐角三角形 100 三角形
100
99
三角形边角关系 101 三角形的分类 102 三角形的高 103 三角形的角平分线
103
三角形的内角和 104
三角形的三边的垂直平分线 105 三角形的外角 105 三角形的稳定性 106 三角形的中线 106 三角形三条边的关系 106 特殊直角三角形的性质 图形变换 108
107
线段的垂直平分线 108
斜三角形 109 直角三角形 109 直角三角形的判定 109 直角三角形的性质 110
轴对称
110
轴对称的性质 110 轴对称图形 111 2.4 专题四 四边形
111
n边形的内角和 111 等腰梯形 111 等腰梯形判定 111 等腰梯形性质 111 多边形
112
弧长公式 112 几种特殊四边形的面积 112
矩形 113
矩形对角线相等性质定理的推论 矩形判定 114 矩形性质 114 两条平行线的距离 114
菱形 114
113 菱形判定 114 菱形性质 115 平行四边形 115 平行四边形的性质
115
平行四边形对边相等性质定理的推论 115 平行四边形判定 116 平行线等分线段定理 116 平行线等分线段定理的推论 1
116
平行线等分线段定理推论 2 116 任意多边形的外角和 117 三角形的中位线 117 三角形中位线定理 四边形
117
117
四边形的边 118 四边形的不稳定性 四边形的顶点 118 四边形的对角线 118 四边形的内角 118 四边形的内角和 118 四边形的外角 118 四边形的外角和 119
四边形和各种特殊四边形之间的关系 119
118
梯形 119 梯形的中位线 119 梯形中位线定理 119 凸四边形 120 旋转变换 120 圆锥 120
正多边形的判定定理 120 正方形
121
正方形判定 121 正方形性质 121 直角梯形 122 中心对称 122 中心对称图形 122 中心对称性质 2 的逆定理 中心对称性质 123 2.5 专题五 相似形 123
比例尺
123
比例的基本性质 123 比例线段 124 比例中项 124 等比性质 124 第四比例项 124
123
反比性质 124 分比性质 125 更比性质 125 合比性质 125 黄金分割 125 连比 125 两条线段的比 126 内分与外分 126
平行三角形一边的直线的性质 126 平行线分线段成比例定理 127 三角形内角平分线性质 三角形外角平分线性质 三角形相似的判定
127 127
128
三角形一边的平行线的判定 128 射影 128 射影定理 129 位似变换 129 相似比
130
相似变换 130 相似多边形 130 相似多边形的性质 相似三角形 130
130
相似三角形的性质 131
相似系数 131 相似形
131
直角三角形相似的判定 131
2.6 专题六 解直角三角形 132 互为余角的三角函数间的关系 132 解直角三角形 132 解直角三角形的类型 132 锐角三角函数 133
特殊角0°、30°、45°、60°、90°的三角函数值 同一个锐角α的三角函数间的关系 133
余切 134 余弦 134 正切 134 正弦 135
直角三角形中边、角关系 135 2.7 专题七 圆 135 半圆 135 垂径定理 136 垂径定理的推论 137 等弧 137 等圆 137
133 点的轨迹 137 多边形的内切圆 138 割线 138 弓形 138 弓形的面积 138 公切线的长 139 过三点的圆 139 弧
140
弧长公式 140 弧的度量 140 基本轨迹 140 两圆的公切线 141 两圆的内公切线 142 两圆的外公切线 142 两圆内含 143 两圆内切 143 两圆外离 144 两圆外切 144 两圆相交 144 切割线定理 145 切割线定理的推论 切线 145
145
切线长 145
切线长定理 146 切线的判定 146 切线的判定定理 146 切线的性质 147 切线的性质定理 147 切线性质定理的推论 147 三角形的内切圆 147 三角形的内心 148 三角形的外接圆 148 三角形的外心 148 扇形的面积公式 149 同心圆 弦
149
149
149
弦切角
弦切角定理 150 弦切角定理的推论 弦心距
150
150
相交两圆的性质定理 150 相交弦定理 151 相交弦定理的推论
151
相切两圆的性质定理 151
圆的定义 152 圆的面积公式 152 圆的内部 152 圆的内接三角形 152 圆的外部 153 圆内接多边形 153
圆内接四边形的性质定理 153
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆心角
154
圆周长公式 154 圆周角
154
圆周角定理 154 圆柱 155 圆柱的表面积 156 圆柱的侧面积 156 圆柱的侧面展开图 156
圆锥 156 圆锥的表面积 157 圆锥的侧面积 157 圆锥的侧面展开图 157 圆锥的母线 157 正n边形 157
153 正n边形的面积公式 158 正多边形 158 正多边形的半径 158 正多边形的边心距
158
正多边形的判定定理 159 正多边形的性质定理 159 正多边形的有关计算 159 正多边形的中心 160 正多边形的中心角 直径 160 直线和圆相交 160 直线和圆相离 161 直线和圆相切 161 3. 第三部分 资料篇 161 3.1 专题一 数学家 毕达哥拉斯 161 笛卡儿 丢番图
162 162
161 160
高斯 162 华罗庚
163
贾宪 163 刘徽 163
欧几里得 164 帕斯卡
164
韦达 165 希尔伯特 165 杨辉 165 赵爽 166 祖冲之
166
3.2 专题二 著作 167 《田亩比类除乘算法》 几何原本 167 九章算术 167 算经十书 168 周髀算经 169 3.3 专题三 资料 169 0.618法 169 垛积术
169
170
167
国际数学奥林匹克 贾宪三角 170 欧几里得几何 171 统计学 优选法 圆周率
172 172 172
纵横图 172
1. 第一部分 代数篇 1.1 专题一 代数初步知识 代数式
用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除以及乘方、开方）把数、表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．
代数式的值
用数值代替代数式里的字母，按代数式指明的运算，计算出的值，叫做代数式的值．
含有未知数的等式，叫做方程．
使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．
用数学符号表示几个量之间的关系的式子，具有普遍性，适合于同类关系的所有问题，这样的式子叫做公式．
如：路程公式： s 解方程
求方程的解的过程，叫做解方程．
（1）将方程两边同时加上（或减去）一个适当的数． （2）将方程两边同时乘以（或除以）一个适当的数．
把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，就叫做列代数式．
0
“0”是一个整数，也是一个偶数．“0”可以表示一个确定的量（如温度0℃），
也可以表示“没有”．在十进制记数法中，“0”表示某个数位是缺位等等．在数轴上，表示“0”的点是原点，是正数和负数的分界点．“0
比较大小
1 正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的数也大；两个负数，绝对值大的反而小．
2 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 代数和 倒数
乘积是1的两个数互为倒数． 如果a??b ，那么a和b互为倒数． 0没有倒数．
非负数就是正数或0．若a是非负数，则a≥0． 非正数
非正数就是负数或0．若a是非正数，则a≤0． 分数
正分数、负分数统称分数．因为有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式，所以都是分数．
负倒数
乘积是－1的两个数互为负倒数． 如果a??b －1，那么a和b互为负倒数． 0没有负倒数． 负数
在正数前面加上“－”（读作“负”）号的数，叫做负数．
我国是最早认识和使用负数的国家，汉代出现的数学名著《九章算术》中就有关于负数的记载．古代伟大的数学家刘徽在公元263年写作的《九章算术注》中，对正、负数又作了详细的说明．
精确度
例如：3.1、3.14、3.142就是圆周率π的三个不同的近似数，其中3.1的精确度（精确到十分位）最低，3.142的精确度（精确到千分位）最高．度量精确度的方法有多种，用有效数字来表示是其中的一种．
（1）几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．数a的绝对值记作│a│．
（2）代数定义： 如果a＞0，那么│a│ ； 如果a＜0，那么│a│ －a； 如果a ，那么│a│ ．
把一个大于10的数记成 1≤a＜10，n是自然数）的形式，这种记数法叫做科学记数法．
例：
n是自然数且指数n比原数的整数位少1．
求一个数的立方数的表叫“立方表”．由《中学教学用表》中的《立方表》能查出任意一个四位数（或五位数）的立方数．当立方数底数的小数点向左（或向右）移动一位时，立方数的小数点就相应地向左（或向右）移动3位．
例：查表得
能被2整除的整数叫偶数．
如果用字母n表示整数，那么2n就表示偶数． 平方表
求一个数的平方数的表叫“平方表”．由《中学数学用表》中的《平方表》能查出任意一个四位数的平方数．当平方数底数的小数点向左（或向右）移动一位时，平方数的小数点就相应地向左（或向右）移动2位．
例：查表得 则
不能被2整除的整数叫奇数．
如果用字母n表示整数，那么2n－1，2n＋1等都表示奇数． 数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 相反数
（1）只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数．数a的相反数是－a．0的相反数是0．
（2）绝对值相同，符号不同的两个数互为相反数． 当a＞0时
整数和分数统有理数．有理数的集合用字母Q表示．有理数还可以做如下的分类：
有理数乘法法则
1 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0．
2 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
1 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
2 除以一个数等于乘上这个数的倒数．0不能作除数． 有理数的乘法运算律
交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． ab ．
结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变． ab c ．
分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
a b＋c ＋ac． 有理数的乘方
①乘方的定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． ②乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
如果n表示自然数，那么
先算乘方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，就先算括号里面的． 有理数的加法运算律
交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．
a＋b ＋a．
结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． a＋b ＋c ＋ b＋c ． 有理数加法法则
1 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
2 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
3 一个数同0相加，仍得这个数． 有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数． a－b ＋ －b ． 有效数字
例：近似数精确到万位，有4个有效数字．
正整数、0、负整数统称整数．正整数也叫做自然数．自然数的集合用字母N表示，整数的集合用字母Z表示．
正数
1.3 专题三 整式的加减 常数项
多项式中，不含字母的项叫做常数项． 代数式的恒等变形
一个代数式用另一个与它恒等的表达式去代换，叫做恒等变形． 单项式
对数字和若干个字母施行有限次乘法运算，所得的代数式叫做单项式．单独一个数或一个字母也是单项式．
例：单项式－k、和的次数分别是1、3和6． 几个单项式的和叫做多项式． 多项式的次数
例：是三次二项式；是二次三项式． 合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．
例：合并下列各式的同类项： 例：把多项式降幂排列是： 例：
把一个多项式，按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
例：把多项式按字母a作升幂排列是： 例：
所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项，叫做同类项．常数项都是同类项．
系数 整式
单项式和多项式统称整式． 整式的加减
整式加减的一般步骤：
1 ．如果遇到括号，按去括号法则先去括号； 2 ．合并同类项． 1.4 专题四 一元一次方程 不定方程
一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解．
例：是不定方程． 都是这个方程的解．
代数方程通常指整式方程。有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程和无理方程．
等式
例：等式中，左边是，右边是0．
等式性质1．等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是是等式．
等式性质2．等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0 方程的根
只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根． 方程同解原理
方程同解原理1：方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程．
方程同解原理2：方程两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数,
恒等式
解一元一次方程的一般步骤
1．去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； 2．去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；
3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；
4．合并同类项：把方程化成ax ≠0）的形式；
5．系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 列出一元一次方程解应用题的方法
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x）表示题目中的一个未知数；
2．找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； 3．根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程； 4．解这个方程，求出未知数的值； 5．写出答案（包括单位名称）． 矛盾方程
一个方程，如果不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值，这样的方程叫矛盾方程．
例：x＋1 就是矛盾方程． 条件等式
一个等式，在它所讨论的范围里，仅当满足某些条件时等式才能成立，这样的等式叫做条件等式．方程可以看成是一种条件等式，方程的解就是使等号两边
相等的条件．
同解方程
两个方程，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．
线性方程
关于未知数，次数为1的代数方程叫做一次方程．一次方程有时也叫做线性方程．
未知数为……，的线性方程的一般形式是：
其中 i ，2，……，n 叫做系数，且至少有一个不等于0，数b叫做常数项． 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程．
一元一次方程的标准形式是：ax＋b 其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）．
一元一次方程的最简形式是：ax ≠0 ．
把方程中的某一项，改变符号后，从方程的左边（右边）移到右边（左边），这种变形叫做移项．
整式方程
对于未知数来说，方程左右两边的代数式都是整式的方程，叫做整式方程． 1.5 专题五 二元一次方程组 二元一次方程
含有两个未知数并且未知项的次数是1，这样的方程，叫做二元一次方程． 二元一次方程组
含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组．
二元一次方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．
二元一次方程组的两种解法 （1）代入消元法，简称代入法． 代入法的步骤：
①把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示． ②把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值． ④把求得两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解． （2）加减消元法，简称加减法． 加减法的步骤：
①把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等．
②把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值． ④把求得的两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解． 二元一次方程组解的情况
解二元一次方程组的基本思想
基本思想就是“消元”，即逐步变“多元”为“一元”． 列方程组解应用题的步骤
（1）分别设x，y表示题中的两个未知数．
（2）找出题中所给出的等量关系，列出两个方程，组成一个方程组． （3）解这个方程组，根据题意写出答案．
方程含有三个未知数且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
由含有相同的三个未知数的三个一次方程所组成的方程组，叫做三元一次方程组．
（1）代入消元法，简称代入法． 代入法的步骤：
①把方程组里的任何一个未知数化成用另两个未知数的代数式表示． ②把这个代数式代入另两个方程里，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组．
③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值，然后再求另一个未知数的值．
④把求得三个未知数的值写在一起，就是原方程组的解． （2）加减消元法，简称加减法． 加减法的步骤：
①把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等．
②把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个二元一次方程．
③将第三个方程与另两个中的任一个同①②的方法，消去同一个未知数，得另一个二元一次方程，与②所得构成二元一次方程组．
④解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值，然后再求另一个未知数的值．
⑤把求得的三个未知数的值写在一起，就是原方程组的解.
我国古代很早就开始对一次方程进行研究，其中不少成果收入古代数学著作《九章算术》．《九章算术》有一章是“方程”，专门讲有关一次方程的内容．书中有一个问题译成现代汉语是这样的：上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共是39斗；上等谷2束中等谷3束，下等谷1束，共是34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共是26斗，求上、中、下三等谷每束各是几斗．书中列出如图的方程组：
我国古代是用算筹来解方程组的。上面问题用现代数学语言来表示，就相当于，设上等谷每束x斗，中等谷每束y斗，下等谷每束z斗，根据题意，得三元一次方程组：
前图中所示，实际上是这个方程组的系数与相应的常数项．古代解方程组时，是用算筹做计算工具。具体解法相当于现在的加减消元法．我们祖先掌握上述一次方程组的解法，比欧洲要早一千多年，可以说，这是我国古数学的一个光辉成就。
1.6 专题六 一元一次不等式和一元一次不等式组 不等式
不等号有＞、≥、＜、≤或≠等等．用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．
不等式的基本性质
1 不等式两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 2 不等式两边都乘以 或除以 同一个正数，不等号的方向不变． 3 不等式两边都乘以 或除以 同一个负数，不等号的方向改变． 一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集
1 不等式的两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式．
2 不等式的两边都乘以 或除以 同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式．
3 不等式的两边都乘以 或除以 同一个负数，并且把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式．
求不等式的解集的过程，叫做解不等式． 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．
如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式． 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式．如
ax b a≠ 1 去分母 2 去括号
3 移项 4 合并同类项 5 系数化成1
如果乘数和除数是负数，要把不等号改变方向
几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 1 分别求出不等式组中所有一元一次不等式的解集． 2 在数轴上表示各个不等式的解集． 3 写出不等式组的解集．
不等式组中所有一元一次不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集．
1.7 专题七 整式的乘除 0次幂
单项式除以单项式 单项式的乘法 单项式与多项式相乘 多项式除以单项式 多项式除以多项式
多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式，一般用竖式进行演算． 1 把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐． 2 用除式的第一项去除被除式的第一项，得商式的第一项．
3 用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面 同类项对齐 ，从被除式中减去这个积．
4 把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式 除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所 得的积相加．
含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式．
多项式的平方公式 分离系数法
多项式除以多项式，当除式、被除式都按降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数．因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上．这种方法叫做分离系数法．
负整数次幂 积的乘方
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． n为正整数
两数和（或差）的立方公式
两数和（或差）的立方，等于第一个数的立方，加上（或减去）第一个数的平方与第二个数的积的3倍，加上第二个数的平方与第一个数的积的3倍，再加上（或减去）第二个数的立方．
公式从指数推广，就是（n为正整数）的展开式，通常叫做二项式定理．二项式展开式的系数表，由于我国古代数学家贾宪在北宋时期就已应用，在后来的
数学家杨辉的著作中也应用过．所以称此系数表为贾宪三角或杨辉三角．
幂的乘方，底数不变，指数相乘． m，n都是正整数 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． 例：
（m，n都是正整数）
（a≠0，m，n都是正整数，并且m n） 1.8 专题八 因式分解 拆项添项法 待定系数法
给定一个算式，如果已知所求的结果必具有某种形式，仅仅是这种形式中的各个系数有待确定，便可用一些不同字母分别表示这些待定系数，令所得表达式与原算式相等，然后设法利用多项式恒等定理（比较等式两边同类项的系数）、数值代入或恒等变形等方法，逐一求出这些待定的系数，因而最后得到所求的结果．这种方法叫做待定系数法．
如把分解因式可用“待定系数法”分解 ∵ x＋2y＋m x＋y＋n 解这个方程组得 ＋2y＋3 x＋y＋2 分组分解法
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法． 如：
1．分组后能直接提公因式．
am＋an＋bm＋bn ＋an ＋ bm＋bn ＋n ＋b m＋n ＋b m＋n 或am＋an＋bm＋bn ＋bm ＋ an＋bn ＋b ＋n a＋b ＋b m＋n
2．分组后能直接运用公式． －y－z x－y＋z 公因式
一个多项式的各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式． 十字相乘法
有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个因数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法．
要把二次项系数1的二次三项式： 分解因式，只要 1×1 （二次项系数） ab （常数项）
1×a＋1×b ＋b（一次项系数） 要把二次项系数不为1的二次三项式
只要
把x2＋px＋q分解因式时：
如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同．如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同．对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p．
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法．
如ma＋mb＋mc ＋b＋c 因式分解的步骤
1．如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 2．如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
3．如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其他方法（例如十字相乘法）来分解；
4．分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 把一个多项式化为n个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
把乘法公式反过来就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法，叫做运用公式法．
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方．
立方和与立方差公式：
两个数的立方和（或者差）等于这两个数的和（或者差）乘以它们的平方与它们的积的差（或者和）．
两数和（或差）的立方公式： 1.9 专题九 分式 分式
用A、B表示两个整式，A÷B表示为的形式，如果除式B中含有字母，则式子叫做分式，但B的值不能为零．
分式乘方法则 （
分式的除法 分式的符号法则 分式的基本性质 分式的通分
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
分式的约分
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
分式的值为零
分子等于零而分母的值不为零，分式的值为零． 分式方程
（可化为一元一次方程的分式方程）分母里含有未知数的方程，叫做分式方程．若分式方程，经过化简后成为一元一次方程，这种方程就叫做可化为一元一次方程的分式方程．
分式中分母的值是零，则分式无意义。讨论分式有无意义，不能把分式约简，应就原分式讨论．
公式变形
把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形．公式变形往往就是解含有字母系数的方程．
例如：方程ax ，字母a是未知数x的系数，字母b是常数项，这个方程，就叫做含有字母系数的一元一次方程．
解分式方程的步骤
1 在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程． 2 解这个整式方程．
3 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
1 找出几个分式的最简公分母．
2 如分式的分母中含多项式，则先分解因式，再找最简公分母． 3 根据分式的性质通分． 同分母的分式加减法
同分母的分式相加减，把分子相加减，分母不变．公式表示： 异分母的分式加减法 有理式
整式和分式统称有理式． 约分的法则
1 如分式的分子、分母是单项式或因式积的形式，直接约去分子、分母的公因式．
2 如分式的分子或分母含多项式时，首先进行分解因式，把多项式转化成因式的积的形式，然后再约去分子、分母的公因式．
增根
在方程变形时，产生不适合原方程的根，叫做原方程的增根． 字母系数
用字母表示已知数作为未知数的系数，叫做字母系数． 最简分式
分子或分母中没有公因式的分式叫做最简分式． 最简公分母
取分式各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这个公分母叫做最简公分母．
1.10 专题十 数的开方 n次方根
如果一个数的nn是大于1的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根． n次算术根
正数an次方根（n是大于1的整数）叫做a的n次算术根．零的n次方根也叫做零的算术根．
开n次方
求a的n次方根（n是大于1的整数）的运算，叫做把a开n次方。a叫做被开方数，n叫做根指数．
开立方
求一个数的立方根的运算，叫做开立方． 开平方
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．a叫做被开方数，2叫做根指数（根指数是2时可省略不写），因为负数没有平方根，所以中的a≥0．
偶次方根
一般地，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，．零的偶次方根仍旧是 平方根
如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
奇次方根
正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，记作 实数
有理数和无理数统称实数． 实数的绝对值
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．
的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
无理数
无限不循环小数叫做无理数． 1.11 专题十一 二次根式 二次根式 二次根式的乘法 二次根式的除法 二次根式的加减
二次根式的加减法就是合并同类二次根式． 把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 商的算术平方根 同类二次根式
n个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这n个二次根式就叫做同类二次根式．
最简二次根式
符合下面两个条件的二次根式是最简二次根式． 1 被开方数的因数是整数，因式是整式； 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 代数方程 二次齐次式
各项次数相同的多项式叫齐次多项式．各项次数都是二次的多项式叫二次齐次式．
二元二次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．
关于x，y的二元二次方程的一般形式为 其中二次项的系数a、b、c至少有一个不为零． 方程中叫二次项，dx，ey叫一次项，f叫常数项．
由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成的方程组都叫做二元二次方程组．
解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组时可用代入消元法．
解由一个二元二次方程和一个可分解成两个二元一次方程的方程组成的二元二次方程组，可以用因式分解法，使原方程组“转化”为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的两个方程组．
解由两个二元二次方程组成的二元二次方程组时，若都不含一次项，则可消去常数项，再分解所得的二次齐次式，若两方程中所含一个未知数的相应项系数成比例则可以先消去该未知数．
方程的失根
当方程的两边都除以同一个含有未知数的整式或方程两边都开同一偶次方后，只取算术根时，由于未知数的允许值范围缩小，可能失根，应把失根找回，要注意的是解方程时尽量不做可能失根的方程变形．
例如，解方程x x－3 －x 若两边同除以（x－3）就失去了根x ． 又如解方程若仅得x－3 ＋1就失去了
将由分式方程转化成的整式方程的根代入原分式方程进行检验，或用简便
方法，把解得的整式方程的根代入所乘的整式，如果不使这个式子等于零，就是原方程的根，如果使这个整式等于0
换元法
用表示新参量的字母代替问题中某些参量字母以改变原问题中代数式的结构或改变运算种类，从而解决问题的方法叫换元法．解方程中常用的设辅助未知数的方法即把方程或方程组里的未知数换成新的未知数，解得新的未知数的值后，按照新旧未知数的关系，求出原来的未知数的值就是换元法．
转化的思想 无理方程通过乘方转化为有理方程，分式方程通过去分母转化为整式方程。二元方程组通过消元转化成一元方程．
降次的思想 通过设辅助未知数，或因式分解可将高次方程降成二次或一次方程，有时二次也降成一次（因式分解法）来解．
配方是代数式恒等变形的一种方式，运用配方的手段解题的方法通常称为配方法，平时使用较多的是配平方和配立方．
二次三项式配成一次式的平方与一个常数和的方法步骤是 一个只含有未知数的偶次项的一元四次方程，叫做双二次方程． 常用解法是设辅助未知数使方程转化成关于y的一元二次方程． 无理方程
根号下含有未知数的方程，叫做无理方程.无理方程的解题思想：化无理方程为有理方程方法如下：
1 方程两边同次乘方法 2 换元法
无理方程的验根是解无理方程的必要步骤．因为在化无理方程为有理方程
时，未知数的允许值范围可能扩大，这时就有产生增根的可能，因此解无理方程必须验根．验根的方法是把变形后所得的有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增根，应舍去．
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，有着优良的传统，并取得了重要成果。
例如，在南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》有一题“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔及长各几步，答阔二十四步，长三十六步”意思是矩形面积是864平方步，长与阔的和是60步则长是36步，阔是24步．
叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示． 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△ 时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根． 1．解一元二次方程的直接开平方法
如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，则根据平方根的概念可以用直接开平方法来解．
．解一元二次方程的配方法
先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，可通过直接开平方法来求方程的解，也就是先配方再求解．
．解一元二次方程的公式法
利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
．解一元二次方程的因式分解法
在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，可先将一边分解成两个一次因式的积，再分别令每个因式为零，通过解一元一次方程，可求得原方程的解．
一元二次方程的一般形式
形式 a≠0 叫做一元二次方程的一般形式．
其中叫做二次项，a叫做二次项系数，是不为零的实数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，可以是任意实数，c叫做常数项，可以是任意实数．
一个整式方程经过整理后，如果只含有一个未知数，并且未知数的最高次数大于2，这样的方程是一元高次方程．
在一个高次方程中如果一边为零，另一边易化成几个一次或二次因式的积时，可用因式分解法来求解．
其中n是自然数，是任意的常数，≠0，叫做x的一元n次方程．“一元n次方程至少有一个根”这一定理叫做“代数基本定理”，也叫“高斯定理”
在分解二次三项式的因式时，可先用公式求出方程的两个根，然后写成 整式方程和分式方程统称有理方程．
方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程． 一元二次方程的根与系数的关系
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
它是方程的重要理论之一，它揭示了方程的两根与系数之间的内在联系，是由法国数学家韦达发现的，所以又称为韦达定理．在一元高次方程中根与系数也有相应的关系．应用韦达定理结合根的判别式讨论方程的根．
1.13 专题十三 函数及其图象 常量与变量
在一个变化过程中数值保持不变的量叫常量，可以取不同的数值的量叫做变量，例如匀速直线运动中，速度是常量，时间和距离都是变量，又如计算圆面积时圆周率π是常量，圆面积和圆半经是变量．对数学中引入变量，思格斯评价说“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学．”
函数y ，（b是常数）叫做常数函数即对自变量x不管取它的允许值范围内的任何一个值，函数值都取同一个常数值，这样的函数叫常数函数．
增函数和减函数统称为“单调函数”． 点的直角坐标
由点P向x轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a．由点P向y轴作垂线，垂足N在y轴上的坐标是b．则点P的横坐标 x坐标）是a，纵坐标（y坐标）是b．合起来点P的坐标记作 a，b ，横坐标在前，纵坐标在后，是一对有序实数，直角坐标平面上的点和有序实数对成一一对应，平面直角坐标又称为笛卡儿坐标．
二次函数y axx+bx+c的性质（增减性） 二次函数解析式的几种形式 二元一次方程与直线
二元一次方程Ax＋By＋C ，B不同时为零）可以有无穷多组解，以它的解为坐标，得无穷多个点，这些点都在同一条直线上，且这条直线上任意一点的坐标都可以满足方程是方程的解，所以二元一次方程的图象是直线，任何一条直线的
方程是二元一次方程．特殊情况当A 时直线与x轴平行，它是常数函数的图象，不是一次函数的图象．当B 时，直线与y轴平行，它不是函数的图象．
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积是一个定值，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．
反比例函数y k／x k不等于零 的图象 由两条曲线组成，叫做双曲线．
（1）当k 0时，在每个象限内分别是y随x的增大而减小； （2）当k 0时，在每个象限内分别是y随x的增大而增大． 解析法：用数学式子表示函数的方法，叫做解析法．
列表法：通过列表给出y与x的对应数值来表示函数的方法叫做列表法． 图象法：通过函数的图象来表示函数的方法叫图象法．
对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．
描点法画函数图象的步骤：
1．列表、列表给出自变量与函数的一些对应值
2．描点、以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
3．连线、按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连结起来． 函数值和值域
如果y是x的函数，那么和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
当自变量增大时，函数值随着减小的函数称为“减函数”．
向斜上方向抛出物体后，从抛出到落地物体所走过的路线就是抛物线的一部分．在解析几何中用符合某种条件的动点的轨迹来严格定义抛物线．
对称轴与抛物线的交点叫抛物线的顶点． 抛物线是轴对称图形，它有一条对称轴．
抛物线的形状相同，位置不同，将抛物线的顶点移到对称轴保持平行，不改变开口方向，即得抛物线
或叙述如下：
在平面内两条互相垂直，有公共原点，相同长度单位的数轴构成平面直角坐标系．一般两数轴画成一条是水平的另一条是铅直的．水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向．铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点O是原点．
x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，每一部分都叫做象限，编号如图： 不在坐标轴上的点，一定在某一确定的象限内，而x轴或y轴上的点，不在任一象限内．
为对称轴的抛物线． 抛物线
当a 0时，项点是图象的最低点，该点的纵坐标最小，是所有函数值中的最小值．当a 0时，顶点是图象的最高点，该点的纵坐标最大，是所有函数值中的最大值．
如果y ，b是常数，k≠0 ，那么y叫做x的一次函数．
两个一次函数的图象当一次项系数相等 且常数项不等 时，它们平行．反
之，若它们的图象平行，必有，且
已知： 结论：反之， 已知： 结论：
（1）当k 0时，y随x的增大而增大； （2）当k 0时，y随x的增大而减小．
集合S到集合T的一种对应，如果对S中的任一元素x，必有唯一的T中的元素y与之对应，反过来，对于T中任一元素y，也必有唯一的S中的元素，与之对应，这样的对应就叫做S到T的一个一一对应．实数的全体与数轴上的点的集合一一对应．有序实数对与直角坐标平面上的点一一对应．
1 写出函数解析式的一般形式，其中包括未知的系数（需要确定这些系数，因此叫做待定系数）
2 把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组．
3 解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式．
在同一直角坐标系内分别画出所求方程组的两个二元一次方程的图象（即两条直线，若两直线有一个交点，则交点坐标就表示两个方程的公共解，即原方程组的解，若两直线平行就没有解，若两直线重合就有无穷多组解．
当自变量增大时，函数值也随着增大的函数称为“增函数”．
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关
系叫做正比例关系．
这两种量可以取正数，也可以取负数． 正比例函数
如果y 是常数，k≠0 ，那么，y叫做x的正比例函数． 过（0，0），（1，k）两点的一条直线． 1 当k 0时，y随x的增大而增大 2 当k 0时，y随x的增大而减小
直线y ＋b，与y轴的交点是（0，b），与x轴的交点是
在变化过程中自变量x的允许取值范围，也叫函数的定义域，是确定一个函数的重要要素之一．
如果函数是由数学式子表示的，那么必须使函数的解析式有意义，如果是由实际问题中得到的函数关系，还应使实际问题有意义．
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某个范围内的每一个值，按照某个对应法则，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，函数可用y 这一符号来表示．
是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线． 最大值与最小值统称最值． 坐标平面
在平面内建立坐标系后，平面就叫做坐标平面． 坐标系
通过坐标系可以把点和有序数对，曲线和方程建立起联系，除了“平面直角坐标系”还有“空间直角坐标系”“平面极坐标系”“空间极坐标系”，“斜坐标系”
“球面坐标系”和“柱面坐标系”等．
标准差 方差
一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．如果代表总体，则叫总体方差，如果是样本，则叫样本方差．计算公式：
是原已知的n个数据，a是接近这组数据的平均数的一个常数． 个体
总体中每个考察对象叫做个体．
如考察××中学初二学生的体重，每个初二学生的体重就是个体． 频率分布
反映样本数据在各个小范围中所占的比的大小，叫做频率分布．求一组数据的频率分布的一般步骤是：
1 计算最大值与最小值的差； 2 决定组距与组数； 3 决定分点； 4 列频率分布表； 5 绘频率分布直方图．
对总数据按某种标准进行分组，统计出各个组内含个体的个数，叫做频数． 2 当估计到样本平均数接近于一个较“整”的数a时，可将数据 样本
从总体中抽出一部分个体叫做总体的一个样本．
如考察××中学初二学生的体重，抽查了100名学生的体重，这100
样本平均数
样本中所有个体的平均数叫做样本平均数． 样本中个体的数目，叫做样本的容量．
如为了了解某校初三学生一次考试成绩，抽查了50名学生的成绩，这50就是样本容量．
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
众数
在一组数据中，出现次数最多的数据，叫做这组数据的众数． 所要考察对象的全体，叫做总体．
如:要考察××中学初二学生的体重，初二学生体重的全体是总体． 反映总体各部分个体在总体中所占的比的大小的分布情况，叫做总体分布．通常用样本频率分布去估计．
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数. 2. 第二部分 几何篇 2.1 专题一 线段、角 补角的性质
同角或等角的补角相等．
大于直角而小于平角的角叫钝角．如图∠ACD是钝角． 关于线段的公理
所有连结两点的线中，线段最短．这个公理也可简单说成：两点之间，线段最短．
互为补角
如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角．如图，∠1+∠2 °，∠1和∠2互为补角．
互为余角
如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角． 如果∠3 °，∠4 ° 那么∠3和∠4互为余角．
要比较∠ABC和∠DEF的大小，只要使这两个角的顶点重合，一边BA和ED重合，使另一边落在BA的同旁，如果EF和BC重合，如图①，则∠ABC ∠DEF；若EF落在∠ABC的外部，如图②，则∠ABC ∠DEF；若EF落在∠ABC的内部，如图③，则∠ABC ∠DEF．
若量出了角的度数，可按度数比较角的大小． 角的定义
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．如图：∠AOB，∠α，∠1
角也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如图：∠ABC
射线旋转时经过的平面部分是角的内部，其余部分是角的外部． 用量角器量角，角的度量单位是度．1周角 平角 直角 °．
为了更精密地度量角，我们把1°的角60等份，每1份叫做1分的角，记作1′；
又把1′的角60等份，每1份叫做1秒的角，记作1〃．
即1° ′，1′ 〃
如∠α等于32度24分53秒，应记作 ∠α °24′53 角的平分线
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图OC是∠AOB的平分线，∠AOC ∠BOC．
连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离．
如果两个∠1的和是∠2，那么∠2是∠1的2倍，∠1是∠2 1 48°32′＋67°41′ °73′ °13′ 2 70°16′－ 35°26′32〃 °49′28〃
3 22°21′×7 °×7＋21′×7 °＋147′ °＋27′ 4 45°36′12〃÷4 °＋96′÷4＋12〃÷4 °24′3〃 两角的和（差）
设有两个角∠1和∠2（∠1＞∠2），使它们的顶点重合，一边重合，当∠2在∠1的外部时，它们的另一边所成的角是它们的和，如图：
当∠2在∠1的内部时，它们的另一边所成的角是它们的差，如图： 平角
射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角，如图∠COA是平角．
锐角
小于直角的角叫做锐角．如图∠AOB小于直角（∠AOC），∠AOB是锐角． 射线
直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫做射线的端点，如图，射线OA，O是射线的端点．
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点，如图，线段AB或线段a．
线段的倍、分
在射线AB上顺次截取AB ，则AC ，
要画线段的和、差、几倍、几分之一，也可以先量出各线段的长度，再画出线段，使它的长度等于相应长度的和、差、几倍、几分之一即可．
线段的比较
比较两条线段AB、CD的长短，可以把它们移到同一条直线上，使一个端点A和C重合，另一个端点B和D落在直线上A和C的同侧，如果点B和D重合，就说AB ，若点D在线段AB上则AB＞CD，若点D在线段AB外，则AB＜CD．
量出线段的长度，也可按长度比较它们的大小．
画两线段的差，要从长线段的一个端点起截取短线段，剩下的线段就是两线段的差，如图：
线段的和
画两条线段的和，在直线AB上截取线段AB ，再在AB的延长线上截取BC ，则AC ＋b．如图：
线段的中点
点B把线段AC分成两条相等的线段，点B叫做线段AC的中点，如图，AB ． 相交直线
两条不同的直线，如果它们有一个公共点，就说它们是相交直线，这个公共
点叫做它们的交点。如图，直线a，b相交于O点．
余角的性质
同角或等角的余角相等．
平角的一半叫做直角．1直角 °．如图∠ABC是直角． 直线
一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象，直线是向两方无限伸展着的，如图直线AB或直线ι．
直线的性质
经过两点有一条直线，并且只有一条直线．
射线OA绕点O旋转，当终止位置OC回到起始位置OA时，所成的角叫做周角，如图：
2.2 专题二 相交线和平行线 垂线的性质
平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
A、B、C、D都在直线ι上则PO最短,即PO PA，PO PB，PO PC ...... 垂线段
设点P是直线外一点，PO⊥l，垂足为O，线段PO叫做点P到直线l的垂线段．
点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 定理
经过推理的方法证明是正确的命题，叫做定理． 定理的推理过程叫做证明． 证明步骤：
1 分清定理的已知“条件”和证明的“结论”，画出图形； 2 根据已知条件结论，结合图形，写出已知，求证；
3 根据已知条件，已学过的定义、公理等有关知识进行分析，找出由已知推出求证的途径，然后从已知条件出发，写出证明的全过程．证明中的每一步都要以条件、定义和公理、定理等知识做推理的根据．
定义
说明一个名词或术语的含意的语句，叫做这个名词或术语的定义．是人为的对一个名词或术语的定义作规定，习惯上定义都用“叫做”．定义具有可逆性，定义可当作判定用，也可以当作性质用．
对顶角
直线AB、CD相交于O，得∠AOC和∠BOD，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角．也可以如下定义：
一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角． 对顶角的重要性质 对顶角相等 公理
人们从长期实践中总结出来的正确命题，叫做公理．公理是不加证明的．公理有通用于数学各科的一般公理，有仅用于几何学的几何公理．几何公理是证明其他命题真假的依据．
两条平行线间的距离
在两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做平行线间的距离．
两条直线互相垂直
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”． 两直线互相垂直时，所成的四个角都是直角． 邻补角
直线AB、CD相交于O，得∠COA和∠AOD，它们有一个公共顶点，还有一条公共边OA，像这样的两个角叫做邻补角．
是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角．
也可以如下定义：如果两个角有公共顶点和一条公共边，且这两个角的另一边互为反向延长线，那么这两个角叫做互为邻补角．
命题
判断一件事情的句子，叫做命题，每个命题都是由题设、结论两部分组成，命题书写的常用形式是“如果…，那么…”，有时也用“若…，则…”．
如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题．在一个命题中，题设成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题．
直线AB、CD与EF相交，构成8个角，若两个角都在直线AB、CD之间，且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角．
例如：∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角． 平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 条件：a‖c，b‖c 结论：a‖b 平行线
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“‖”表示， 例如直线AB与CD是平行线，记作“AB‖CD”． 平行线的判定
1．公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．（简单说成：同位角相等，两直线平行）
条件：∠1 ∠2 结论：a‖b．
2．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行（简单说成：内错角相等，两直线平行）
条件：∠1 ∠2 结论：a‖b．
3．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．（简单说成：同旁内角互补，两直线平行）
条件：∠1＋∠2 ° 结论：a‖b
4．条件：a⊥l,b⊥l 结论：a‖b 5．平行公理的推论 6．平行线的定义 平行线的性质
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
条件：a‖b. 结论：∠1
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 条件：a‖b. 结论：∠1
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 条件：a‖b. 结论：∠1＋∠2 同旁内角
直线AB、CD与EF相交，构成8个角，若两个角都在直线AB、CD之间，且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角．
例如：∠4与∠5，∠3与∠6都是同旁内角． 同位角
直线AB、CD与EF相交构成8个角，
若两个角的位置相同，即同在AB、CD的上方（或下方），且同在EF的一侧，则这样位置相同的一对角叫做同位角．
例如：∠1与∠5，是同位角，∠4与∠8，∠2与∠6，∠3与∠7都是同位角．
异面直线
在空间里，既不相交也不平行的两条直线叫做异面直线． 2.3 专题三 三角形 不等边三角形
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形. 尺规作图
在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图．最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图．
例如：三等分任意角问题，立方倍积问题（求作一个立方体，使它的体积，等于已知立方体的体积的2倍），化圆为方问题（求作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积）
三边都相等的三角形叫做等边三角形 等边三角形的判定
1．三个角都相等的三角形是等边三角形．
2．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形（等腰三角形的判定定理的推论）
等边三角形的性质
除有等腰三角形的性质以外，还有等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于60°.（等腰三角形性质定理的推论）等边三角形有三条对称轴.
若AB 等腰三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
若：AB 则：
等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
若：△ABC中∠B 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
推论：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边. 等腰三角形是轴对称图形，底边上的垂直平分线是对称轴. 钝角三角形
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形. 辅助线
为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线．在平面几何里，辅助线通常画成虚线．
直角三角形两直边a、b的平方和，等于斜边c的平方．
我国古代称直角三角形中短的一条直角边为勾，长的一条直角边为股，斜边为弦，所以这一定理通常称为勾股弦定理，简称勾股定理．
在《周髀算经》中叙述了西周开国时期（约公元前一千年）周公与商高的对话，商高说：“故折矩以勾广三，股修四，经隅五，”说明已认识到这一定理的特例，所以又叫商高定理．古埃及人曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．从古巴比仑的泥版书中，一块泥版上，刻的一个奇特数表（勾股数表）来看古巴比仑人已认识了一般直角三角形的勾股定理．在我国有记栽的最早勾股定理的证明，是我国古代数学家赵爽在他所著的《勾股圆方图注》中，用四个全等的直角三角形（边长为a，b，c 拼成一个中空的正方形来证明的．每个直角三角形的面积叫朱实，中间的正方形面积叫中黄实，大正方形面积叫弦实．这个图也叫弦图．
在古希腊，欧几里得的《几何原本》中毕达哥拉斯用面积的方法给出了这个定理的严格证明．
勾股定理可以理解成直角三角形中，两条直角边上的正方形面积的和等于斜边上的正方形的面积．勾股定理是几何中一个非常重要的定理，自古以来人们进行了大量的长期研究，目前世界上可查到的证明方法有几百种．
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