《第七章 复数》单元复习与单元检测试卷(共三套)

【体系构建】

【规律方法收藏】

1．待定系数法是数学中特别重要的一种解题方法，在本章的复数的运算当中，待定系数法用的较多，常设z＝a＋bi(a，b∈R)，建立a，b的关系式，然后求解问题．

2．解决复数问题时，要注意从整体角度去分析求解，若遇见复数便设为z＝a＋bi(a，

b∈R)的形式，有时会导致计算量过大．运用整体代换及结合几何意义，可以大大地简化计

算过程．

3．复数相等的充要条件是复数问题实数化的理论依据．

4．复数的模是复数的一个重要概念，也是高考重点考察的对象之一．求复数的模的最值时，常用的方法有：(1)设出代数形式，利用求模公式，把模表示成实数范围的函数，然后利用函数来求最值；(2)利用不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|求解；(3)利用几何法求解．

【学科思想培优】 一、复数的基本概念

复数的分类，要弄清复数类型的充要条件，若复数a＋bi是实数，则b＝0，若复数a＋bi是纯虚数，则a＝0且b≠0，若复数a＋bi为零，则a＝0，且b＝0，若复数a＋bi是虚数，则b≠0.

[典例1] (1)设z是复数，则下列命题中的假命题是( ) A．若z≥0，则z是实数 B．若z<0，则z是虚数 C．若z是虚数，则z≥0 D．若z是纯虚数，则z<0 (2)设i是虚数单位，若复数a－A．－3 B．－1 C．1 D．3

(3)已知复数z＝(5＋2i)(i为虚数单位)，则z的实部为________．

ab＝0，

解析 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－b＋2abi，若z≥0，则22

a－b≥0，

2

2

2

2

222

22

10

(a∈R)是纯虚数，则a的值为( ) 3－i

即

b＝0，故z是实数，A正确．若z2

ab＝0，<0，则22

a－b<0，

a＝0，

即

b≠0，

故B正确．若z是虚

a＝0，

数，则b≠0，z＝a－b＋2abi无法与0比较大小，故C是假命题．若z是纯虚数，则

b≠0，

2

2

2

z2＝－b2<0，故D正确．

(2)a－

10103＋i

＝a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，其为纯虚数得a＝3. 3－i3－i3＋i

2

(3)复数z＝(5＋2i)＝21＋20i，其实部是21. 答案 (1)C (2)D (3)21

二、复数的四则运算

复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式．

[典例2] 计算：(1)；(2). 5

1－2i1－3i2＋i2＋ii

解 (1)原式＝＝＝i.

1－2ii＋2(2)原式＝ 4

1－3i1－3i

161＋i

4

2－i

3

2＋2i

4

＝

2

－2－23i1－3i

－16＝ 2

41＋3i1－3i1＋3i×4＝－1＋3i.

1＋3i－4

－64

162i

2

＝＝

三、复数及其运算的几何意义

1．任何一个复数z＝a＋bi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与

→

以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量OZ对应，这些对应都是一一对应，即

2．设z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，其对应的复平面内的点分别为Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)，

→

所以点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|＝|Z1Z2|＝|Z2－Z1|＝|(x2＋y2i)－(x1＋y1i)|＝|(x2－x1)＋(y2－y1)i|＝ x2－x1＋y2－y1.

[典例3] 已知z是复数，z＋2i，均为实数，且复数(z＋ai)在复平面上对应的

2－i点在第一象限，求实数a的取值范围．

解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，

因为z＋2i＝x＋(y＋2)i，且z＋2i为实数， 所以y＝－2.

2

2

z2

zx－2i1因为＝＝(x－2i)(2＋i)

2－i2－i5

11z＝(2x＋2)＋(x－4)i，且为实数， 552－i所以x＝4，所以z＝4－2i，

所以(z＋ai)＝(12＋4a－a)＋8(a－2)i，

12＋4a－a>0，根据条件，可知

8a－2>0，

2

2

2

3

解得2所以实数a的取值范围是(2,6)． [典例4] 已知复数z1＝i(1－i).

(1)求|z1|；

(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．

解 (1)∵z1＝i(1－i)＝i(1－i)(－2i)＝2－2i， ∴|z1|＝2＋－2＝22.

(2)解法一：设z与z1对应的点分别为Z，Z1， ∵|z|＝1，∴点Z在以原点为圆心，1为半径的圆上，

∵z1＝2－2i，∴Z1(2，－2)，∴|z－z1|为点Z1到圆上一点的距离，∴|z－z1|max＝|ZZ1|max

＝2＋2＋1＝22＋1.

解法二：∵|z|＝1，∴可设z＝cosθ＋isinθ(θ∈R)， ∴|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i| ＝ cosθ－2＋sinθ＋2 ＝9＋4sinθ－cosθ ＝ π9＋42sinθ－.

4

2

2

2

2

2

2

3

π∴当sinθ－＝1时，|z－z1|取得最大值，最大值为9＋42＝22＋1.

4

四、复数方程问题

[典例5] 设关于x的方程是x－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0， (1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根；

π

(2)证明对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．

2解 (1)设实数根是a，

则a－(tanθ＋i)a－(2＋i)＝0， 即a－atanθ－2－(a＋1)i＝0.

a－atanθ－2＝0，

∵a，tanθ∈R，∴

a＋1＝0，

2

22

2

∴a＝－1，且tanθ＝1. ππ

又0<θ<，∴θ＝.

24

(2)证明：若方程存在纯虚数根，设为x＝bi(b∈R，b≠0)，则(bi)－(tanθ＋i)bi－(2＋i)＝0，

－b＋b－2＝0，

即btanθ＋1＝0，

2

2

此方程组无实数解．

π

所以对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．

2

《第七章 复数》单元检测试卷一

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号 一 二 三 四 总分 得分

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（共8小题）

1．已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（ ） A．1

B．﹣1

C．2 D．﹣2

2．已知a为实数，若复数z＝（a2

﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则复数z的虚部为（ A．1

B．2i

C．±1 D．2

3．计算1+i+i2

+i3

+…+i89

的值为（ ） A．1 B．i

C．﹣i

D．1+i

4．复数i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

5．若z＝1+i，则|z2

﹣2z|＝（ ） A．0

B．1

C．

D．2

6．若（1+i）＝1﹣i，则z＝（ ） A．1﹣i

B．1+i

C．﹣i

D．i

7．已知（5，﹣1），

（3，2），对应的复数为z，则（ ） A．5﹣i

B．3+2i

C．﹣2+3i

D．﹣2﹣3i

） 8．已知i为虚数单位，若复数范围为（ ）

A．[﹣1，1]

B．（﹣1，1）

在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值

C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）

Ⅱ卷（非选择题）

二．多选题（共4小题）

9．已知复数z＝x+yi（x，y∈R），则（ ） A．z2

≥0

B．z的虚部是yi

C．若z＝1+2i，则x＝1，y＝2

D．

10．下面是关于复数z的四个命题：其中的真命题为（ ）

A．|z|＝2

B．z2

＝2i C．z的共轭复数为1+i

D．z的虚部为﹣1

11．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A．若复数z∈R，则

B．若复数z满足z2

∈R，则z∈R C．若复数z满足

，则z∈R

D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则

12．若复数z满足（z+2）i＝3+4i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ A．z的虚部为3 B．

C．z的共轭复数为2+3i D．z是第三象限的点

三．填空题（共4小题） 13．复数

．

14．复数对应的点在第 象限，复数z的实部是 ．

）15．已知x、y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）+yi＝﹣1+i，则x+y＝ ． 16．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝1﹣i，则z的共轭复数为 ． 四．解答题（共5小题） 17．计算：

（1）（1+3i）+（﹣2+i）+（2﹣3i）； （2）（2﹣i）﹣（﹣1+5i）+（3+4i）； （3）（a+bi）﹣（3a﹣4bi）+5i（a，b∈R）．

18．已知复数z＝（2+i）m﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）．当实数m取什么值时，复数z是： （Ⅰ）虚数； （Ⅱ）纯虚数；

（Ⅲ）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．

19．已知：复数z＝（1+i）（1）求z及|z|； （2）若z+a

20．已知复数z＝（m﹣m）+（m+3）i（m∈R）在复平面内对应点Z． （Ⅰ）若m＝2，求z；

（Ⅱ）若点Z在直线y＝x上，求m的值．

21．已知复数z＝1+mi（m∈R，i为虚数单位），且（1﹣i）z为实数． （1）求复数z；

（2）设复数z1＝x+yi（x，y∈R）满足

《第七章 复数》单元检测试卷一答案解析

，求|z1|的最小值．

2

2

22

，其中i为虚数单位．

，求实数a，b的值．

一．选择题（共8小题）

1．已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（ ） A．1

B．﹣1

C．2

D．﹣2

【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数， 可得a﹣2＝0，解得a＝2． 故选：C．

2．已知a为实数，若复数z＝（a﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则复数z的虚部为（ ） A．1

B．2i

2

2

C．±1 D．2

，则a＝1，

【解答】解：因为复数z＝（a﹣1）+（a+1）i为纯虚数，所以所以z＝2i，则复数z的虚部为2． 故选：D．

3．计算1+i+i+i+…+i的值为（ ） A．1

B．i

C．﹣i

D．1+i

2

3

89

【解答】解：由等比数列的求和公式可得：

1+i+i+i+…+i90

4

2389

，

2

2

而i＝（i）•i＝i＝﹣1， 故1+i+i+i+…+i故选：D． 4．复数iA．第一象限 【解答】解：∵i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）

B．第二象限

C．第三象限

，

D．第四象限

2

3

89

88

1+i，

∴复数i故选：D．

在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．

5．若z＝1+i，则|z﹣2z|＝（ ） A．0

B．1

2

2

C．

2

D．2

【解答】解：若z＝1+i，则z﹣2z＝（1+i）﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2， 则|z﹣2z|＝|﹣2|＝2， 故选：D．

6．若（1+i）＝1﹣i，则z＝（ ） A．1﹣i

B．1+i

C．﹣i

D．i

2

【解答】解：由（1+i）＝1﹣i，得∴z＝i． 故选：D．

，

7．已知A．5﹣i

（5，﹣1），

B．3+2i

（3，2），对应的复数为z，则C．﹣2+3i

（ ） D．﹣2﹣3i

【解答】解：∵（5，﹣1），（3，2），

∴则

（2﹣3i，

）＝（﹣2，3），对应的复数为z＝﹣2+3i，

故选：D．

8．已知i为虚数单位，若复数范围为（ ）

A．[﹣1，1] 【解答】解：复数

B．（﹣1，1）

C．（﹣∞，﹣1）

D．（1，+∞）

在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值

i．

z在复平面内对应的点在第四象限，∴

则实数t的取值范围为（﹣1，1）．

，解得﹣1＜t＜1．

故选：B．

二．多选题（共4小题）

9．已知复数z＝x+yi（x，y∈R），则（ ） A．z≥0

2

B．z的虚部是yi

C．若z＝1+2i，则x＝1，y＝2

D．

【解答】解：∵复数z＝x+yi（x，y∈R），

∴z2

＝（x+yi）＝x2

﹣y2

+2xyi，不能判断正负，故A错误；

z的虚部是y，故B错误；

若z＝1+2i，则x＝1，y＝2，故C正确； |z|，故D正确．

故选：CD．

10．下面是关于复数z的四个命题：其中的真命题为（ A．|z|＝2

B．z2

＝2i C．z的共轭复数为1+i D．z的虚部为﹣1 【解答】解：∵z1﹣i，

∴A：|z|，

B：z2＝2i，

C：z的共轭复数为﹣1+i， D：z的虚部为﹣1，

故选：BD．

11．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A．若复数z∈R，则

B．若复数z满足z2

∈R，则z∈R C．若复数z满足

，则z∈R

D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则

）

【解答】解：若复数z∈R，则

2

，故A正确；

2

若复数z满足z∈R，则z∈R错误，如z＝i，满足z∈R，但z∉R； 设z＝a+bi（a，b∈R），由∈R，

得b＝0，则z∈R，正确； 若复数z1，z2满足z1z2∈R，则错误，如z1＝i，z2＝2i．

故选：AC．

12．若复数z满足（z+2）i＝3+4i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ A．z的虚部为3 B．

C．z的共轭复数为2+3i

D．z是第三象限的点

【解答】解：∵（z+2）i＝3+4i， ∴z， 虚部为﹣3，，共轭复数为2+3i，是第四象限点．

故选：BC．

三．填空题（共4小题） 13．复数

．

【解答】解：||＝|1﹣i|．

故答案为：．

14．复数对应的点在第 四 象限，复数z的实部是 ．

【解答】解：∵，

∴z对应的点的坐标为（，），在第四象限．复数z的实部是．

） 故答案为：四，．

15．已知x、y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）+yi＝﹣1+i，则x+y＝ 2 ． 【解答】解：∵（x﹣2）+yi＝﹣1+i， ∴x﹣2＝﹣1且y＝1； 解得x＝1，y＝1， ∴x+y＝2， 故答案为：2．

16．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝1﹣i，则z的共轭复数为 i ．

【解答】解：由（1+i）z＝1﹣i，得z，

则．

故答案为：i．

四．解答题（共5小题） 17．计算：

（1）（1+3i）+（﹣2+i）+（2﹣3i）； （2）（2﹣i）﹣（﹣1+5i）+（3+4i）； （3）（a+bi）﹣（3a﹣4bi）+5i（a，b∈R）． 【解答】解：（1）原式＝1﹣2+2+（3+1﹣3）i＝1+i． （2）原式＝（2+1+3）+（﹣1﹣5+4）i＝6﹣2i． （3）原式＝a﹣3a+（b+4b+5）i＝﹣2a+（5b+5）i．

18．已知复数z＝（2+i）m﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）．当实数m取什么值时，复数z是： （Ⅰ）虚数； （Ⅱ）纯虚数；

（Ⅲ）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．

【解答】解：z＝（2+i）m﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）＝（2m﹣3m﹣2）+（m﹣3m+2）i． （Ⅰ）若z是虚数，则m﹣3m+2≠0，即m≠1且m≠2； （Ⅱ）若z是纯虚数；则

，解得m；

22

2

2

2

（Ⅲ）若复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数， 则2m﹣3m﹣2+m﹣3m+2＝0，即3m﹣6m＝0，得m＝0或2． 19．已知：复数z＝（1+i）（1）求z及|z|； （2）若z+a2

2

2

2

2

，其中i为虚数单位．

，求实数a，b的值．

【解答】解：（1）∵，

∴

（2）由z+a2

2

； ，

得：（﹣1+3i）+a（﹣1﹣3i）+b＝2+3i， 即（﹣8﹣a+b）+（﹣6﹣3a）i＝2+3i， ∴

，解得

2

．

20．已知复数z＝（m﹣m）+（m+3）i（m∈R）在复平面内对应点Z． （Ⅰ）若m＝2，求z；

（Ⅱ）若点Z在直线y＝x上，求m的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵m＝2，∴z＝2+5i， 则

；

2

（Ⅱ）若点Z在直线y＝x上，则m﹣m＝m+3， 即m﹣2m﹣3＝0，解得m＝﹣1或m＝3．

21．已知复数z＝1+mi（m∈R，i为虚数单位），且（1﹣i）z为实数． （1）求复数z；

（2）设复数z1＝x+yi（x，y∈R）满足【解答】解：（1）由z＝1+mi（m∈R），

得（1﹣i）z＝（1﹣i）（1+mi）＝（1+m）+（m﹣1）i， ∵（1﹣i）z为实数，∴m﹣1＝0，∴m＝1．∴z＝1+i

，求|z1|的最小值．

2

（2）设z1＝x+yi（x，y∈R），∵

，

，

∴|（x+yi）﹣（1﹣i）|＝1，

即|（x﹣1）+（y+1）i|＝1，∴（x﹣1）+（y+1）＝1，

即复数z1在复平面内对应的点的轨迹是以（1，﹣1）为圆心，以1为半径的圆． ∴|z1|的最小值为

．

2

2

《第七章 复数》单元检测试卷二

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号 得分

一

二

三

四

总分

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（共8小题） 1．复数

，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）

A．（1，0）

2

B．（0，1） C． D．

2．若复数（a﹣3a+2）+|a﹣1|i（a∈R）不是纯虚数，则（ ） A．a≠2

B．a≠1

C．a＝1

D．a≠1且a≠2

3．已知非零复数z满足i（其中是的z共轭复数，是虚数单位），z在复平面内对

应点P（x，y），则点P的轨迹为（ ）

A．x﹣y＝0（x+y≠0） C．x﹣y﹣2＝0（x+y≠0） 4．已知复数

2

2

2

2

B．x+y＝0（x+y≠0） D．x+y﹣2＝0（x+y≠0）

，

2

2

22

（a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为

则复数z在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

5．若复数z1＝2+i，z2＝cosα+isinα（α∈R），其中i是虚数单位，则|z1﹣z2|的最大值为（ ）

A． B． C． D．

6．已知i为虚数单位，若复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（2，1），（1，﹣2），则复数

（ ）

B．﹣3+4i

2

3

A．﹣3﹣4i C．﹣4﹣3i

2019

D．﹣3

7．设i是虚数单位，则2i+3i+4i+……+2020iA．﹣1010﹣1010i C．﹣1011﹣1012i

的值为（ ）

B．﹣1011﹣1010i D．1011﹣1010i

8．设m∈R，复数z＝（1+i）（m﹣i）在复平面内对应的点位于实轴上，又函数f（x）＝mlnx+x，若曲线y＝f（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（ ）

A．

B．（﹣∞，0]∪{1} D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）

C．（﹣∞，0]∪{2}

第Ⅱ卷（非选择题）

二．多选题（共4小题）

9．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A．复数z＝a+bi（a，b∈R）是实数的充要条件是b＝0

B．复数z＝a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0 C．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2是实数

D．若z1，z2互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称

10．若复数z满足（1+i）z＝3+i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ） A．

B．z的实部是2 C．z的虚部是1

D．复数在复平面内对应的点在第一象限

11．已知复数列结论正确的有（ ）

（i为虚数单位），为z的共轭复数，若复数，则下

A．w在复平面内对应的点位于第二象限 B．|w|＝1 C．w的实数部分为

D．w的虚部为

n12．已知集合M＝{m|m＝i，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ） A．（1﹣i）（1+i） B．三．填空题（共4小题）

13．若复数z满足|1﹣z|•|1+z|＝2，则|z|的最小值为

14．关于x的实系数方程x+4x+m＝0的两个复数根为a、β，且|a﹣β|＝2，则m＝ ． 15．若|z1﹣z2|＝1，则称z1与z2互为“邻位复数”．已知复数互为“邻位复数”，a，b∈R，则a+b的最大值为 ．

16．定义复数的一种运算z1⊗z2

（等式右边为普通运算），若复数z＝a+bi（a，

2

2

2

C． D．（1﹣i）

2

与z2＝2+bib∈R）满足a+b＝3，则z⊗最小值为 ．

四．解答题（共5小题） 17．（1）计算：

（i为虚数单位）；

（2）已知z是一个复数，求解关于z的方程z2

3i•

2

1+3i．（i为虚数单位）．

18．实数m分别取什么数值时，复数z＝（m+5m+6）+（m﹣2m﹣15）i

（1）与复数2﹣12i相等． （2）与复数12+16i互为共轭． （3）对应的点在x轴上方． 19．设z1是虚数，z2＝z1

是实数，且﹣1≤z2≤1．

（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围． （2）若ω

，求证：ω为纯虚数．

20．在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C，对应复数分别为0，2+i，﹣1+3i．

（1）求，及，；

（2）设∠OCB＝θ，求cosθ． 21．已知复数z1＝sin2x+λi，

（1）若λ＝0且0＜x＜π，求x的值； （2）设λ＝f（x）；

①求f（x）的最小正周期和单调递减区间； ②已知当x＝α时，

《第七章 复数》单元检测试卷二答案解析

一．选择题（共8小题） 1．复数

，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）

，试求

的值．

（λ，m，x∈R），且z1＝z2．

A．（1，0） B．（0，1） C． D．

【解答】解：由

则在复平面内，z对应的点的坐标是：（0，1）．

i；

故选：B．

2．若复数（a﹣3a+2）+|a﹣1|i（a∈R）不是纯虚数，则（ ） A．a≠2

B．a≠1

2

2

C．a＝1 D．a≠1且a≠2

【解答】解：∵若复数（a﹣3a+2）+|a﹣1|i是纯虚数， ∴a﹣3a+2＝0且|a﹣1|≠0 ∴a＝2，a＝1，且a≠1，a≠0， ∴a＝2，

∴复数（a﹣3a+2）+|a﹣1|i（a∈R）不是纯虚数时，a≠2， 故选：A．

3．已知非零复数z满足

2

2

i（其中是的z共轭复数，是虚数单位），z在复平面内对

应点P（x，y），则点P的轨迹为（ ）

A．x﹣y＝0（x+y≠0） C．x﹣y﹣2＝0（x+y≠0）

2

2

2

2

B．x+y＝0（x+y≠0） D．x+y﹣2＝0（x+y≠0）

2

2

22

【解答】解：由题意，z＝x+yi（x，y∈R），

由i，得（x+y≠0），

22

即x﹣yi＝i（x+yi）＝xi﹣y， 则x＝﹣y，即x+y＝0（x+y≠0）． ∴点P的轨迹为x+y＝0（x+y≠0）． 故选：B． 4．已知复数

（a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为

，

2

2

2

2

则复数z在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 【解答】解：∵

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限 ，

∴的虚部为，

由，得a＝2．

∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第一象限． 故选：A．

5．若复数z1＝2+i，z2＝cosα+isinα（α∈R），其中i是虚数单位，则|z1﹣z2|的最大值为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：∵z1＝2+i，z2＝cosα+isinα（α∈R），

∴z2对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，z1＝2+i对应的点为Z1 （2，1）． 如图：

则|z1﹣z2|的最大值为故选：C．

6．已知i为虚数单位，若复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（2，1），（1，﹣2），则复数

（ ）

B．﹣3+4i

C．﹣4﹣3i

D．﹣3

．

A．﹣3﹣4i

【解答】解：由题意，z1＝2+i，z2＝1﹣2i， 则故选：A．

7．设i是虚数单位，则2i+3i+4i+……+2020iA．﹣1010﹣1010i

2

3

2019

．

的值为（ ）

B．﹣1011﹣1010i

C．﹣1011﹣1012i

【解答】解：设S＝2i+3i+4i+……+2020i∴iS＝2i+3i+……+2020i2

3

2

3

20202

3

D．1011﹣1010i

2019

．

．

2019

则（1﹣i）S＝i+i+i+i+……+i﹣2020i2020

．

i

2021+i，

∴S故选：B．

．

8．设m∈R，复数z＝（1+i）（m﹣i）在复平面内对应的点位于实轴上，又函数f（x）＝mlnx+x，若曲线y＝f（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（ ）

A．

B．（﹣∞，0]∪{1} D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）

C．（﹣∞，0]∪{2}

【解答】解：∵z＝（1+i）（m﹣i）＝（m+1）+（m﹣1）i在复平面内对应的点位于实轴上，

∴m﹣1＝0，即m＝1． 则f（x）＝lnx+x，f′（x）又当x→0时，f（x）→﹣∞， 作出函数f（x）＝lnx+x的图象如图： 直线l：y＝2kx﹣1过（0，﹣1）， 设切点为（x0，lnx0+x0），

则在切点处的切线方程为y﹣lnx0﹣x0＝（

）（x﹣x0），

，

把（0，﹣1）代入，可得﹣1﹣lnx0﹣x0＝﹣1﹣x0，即lnx0＝0，即x0＝1． 则2k＝2，k＝1．

而f′（x）1（x＞0），

由图可知，当2k∈（﹣∞，1]，即k∈（﹣∞，]时，曲线y＝f（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公共点，

综上可得，当k∈（﹣∞，]∪{1}时，曲线y＝f（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公共点．

故选：A．

二．多选题（共4小题）

9．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A．复数z＝a+bi（a，b∈R）是实数的充要条件是b＝0

B．复数z＝a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0 C．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2是实数

D．若z1，z2互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称

【解答】解：对于选项A：复数z＝a+bi（a，b∈R）是实数的充要条件是b＝0，所以选项A正确；

对于选项B：复数z＝a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0，所以选项

B错误；

对于选项C：若z1，z2互为共轭复数，不妨设z1＝a+bi （a∈R，b∈R），则z2＝a﹣bi，所以

，所以选项C正确；

对于选项D：若z1，z2互为共轭复数，不妨设z1＝a+bi （a∈R，b∈R），则z2＝a﹣bi，则它们在复平面内所对应的点分别为（a，b）和（a，﹣b），关于x轴对称，所以选项D错

误，

故选：AC．

10．若复数z满足（1+i）z＝3+i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ） A．

B．z的实部是2 C．z的虚部是1

D．复数在复平面内对应的点在第一象限

【解答】解：由（1+i）z＝3+i，得z．

∴|z|，故A正确；

z的实部为2，故B正确； z的虚部是﹣1，故C错误；

复数在复平面内对应的点的坐标为（2，1），在第一象限，故D正确． 故选：ABD． 11．已知复数列结论正确的有（ ）

A．w在复平面内对应的点位于第二象限 B．|w|＝1 C．w的实数部分为

（i为虚数单位），为z的共轭复数，若复数

，则下

D．w的虚部为

（i为虚数单位），为z的共轭复数，

【解答】解：因为复数

则复数i；

故w对应的点为（，）；

|w|1；

且w的实部为：故选：ABC．

，虚部为：；

12．已知集合M＝{m|m＝i，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ） nA．（1﹣i）（1+i） B．

C． D．（1﹣i）2

【解答】解：根据题意，M＝{m|m＝in，n∈N}中，

n＝4k（k∈N）时，in＝1； n＝4k+1（k∈N）时，in＝i； n＝4k+2（k∈N）时，in＝﹣1； n＝4k+3（k∈N）时，in＝﹣i，

∴M＝{﹣1，1，i，﹣i}． 选项A中，（1﹣i）（1+i）＝2∉M； 选项B中，

；

选项C中，

；

选项D中，（1﹣i）2

＝﹣2i∉M． 故选：BC．

三．填空题（共4小题）

13．若复数z满足|1﹣z|•|1+z|＝2，则|z|的最小值为 1 【解答】解：设z＝a+bi；|1﹣z|•|1+z|＝2， 即

：

2

，

令|z|＝t．（t＞0）， 则t2

＝a2

+b2

，

•

所以2

2

4

2

⇒4＝t+2t+1﹣4a，

422

因为a≥0，所以4≤t+2t+1， 所以t+2t﹣3≥0，

解得：t≥1或者t≤﹣3（舍）， 所以t≥1， 故答案为：1．

14．关于x的实系数方程x+4x+m＝0的两个复数根为a、β，且|a﹣β|＝2，则m＝ 3或5 ．

【解答】解：对于方程x+4x+m＝0，∴α+β＝﹣4，αβ＝m， ①当△＝16﹣4m＜0时，设两个复数根为a、β， 且设α＝a+bi，β＝a﹣bi，a，b∈R， 所以2a＝﹣4，|2bi|＝2，∴a＝﹣2，b＝±1 故α＝﹣2+i，β＝﹣2﹣i， ∴αβ＝（﹣2）﹣i＝5．

②△＝16﹣4m≥0时，设两根为x1，x2． 易知x1+x2＝﹣4，x1x2＝m， ∴

解得m＝3．

综上可知，m的值为3或5． 故答案为：3或5．

15．若|z1﹣z2|＝1，则称z1与z2互为“邻位复数”．已知复数互为“邻位复数”，a，b∈R，则a+b的最大值为 8

【解答】解：由题意，∴点（a，b）在圆而

，故上，

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

，

与z2＝2+bi ．

，

表示点（a，b）到原点的距离，

故a+b的最大值为

22

．

故答案为：．

16．定义复数的一种运算z1⊗z2（等式右边为普通运算），若复数z＝a+bi（a，

b∈R）满足a+b＝3，则z⊗最小值为 ．

【解答】解：由题意得z⊗将b＝3﹣a代入得：

．

，

显然，当a时上式取得最小值．

故答案为：．

四．解答题（共5小题） 17．（1）计算：

（i为虚数单位）；

（2）已知z是一个复数，求解关于z的方程z3i•1+3i．（i为虚数单位）．

【解答】解：（1）

；

（2）设z＝a+bi（a，b∈R），则代入z2

2

，

3i•1+3i，

2

2

得a+b﹣3i（a﹣bi）＝1+3i，即a+b﹣3b﹣3ai＝1+3i， 则

，解得

或

．

则z＝﹣1或z＝1+3i．

18．实数m分别取什么数值时，复数z＝（m+5m+6）+（m﹣2m﹣15）i （1）与复数2﹣12i相等．

2

2

（2）与复数12+16i互为共轭． （3）对应的点在x轴上方．

【解答】解：（1）根据复数相等的充要条件得

解之得m＝﹣1．

（2）根据共轭复数的定义得

（3）根据复数z对应点在x轴上方可得

解之得m＝1．

m2﹣2m﹣15＞0，

解之得m＜﹣3或m＞5． 19．设z1是虚数，z2＝z1

是实数，且﹣1≤z2≤1．

（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围． （2）若ω

，求证：ω为纯虚数．

【解答】解：（1）设z1＝a+bi（a，b∈R且b≠0）， 则z2＝z1

a+bia+bi

＝a+bii＝a（b）i．

∵z2是实数，b≠0，∴b于是有a+b＝1，即|z1|＝1，

2

2

0．b≠0，

还可得z2＝2a．由﹣1≤z2≤1，得﹣1≤2a≤1，解得围．

（2）证明：ω

a，即z1的实部的取值范

i．

∵a∈，b≠0，

∴ω为纯虚数．

20．在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C，对应复数分别为0，2+i，﹣1+3i．

（1）求，及，；

（2）设∠OCB＝θ，求cosθ．

【解答】解：（1）∵，

∴所对应的复数z1＝（2+i）+（﹣1+3i）＝1+4i，

∴，．

∵，

∴所对应的复数z2＝（2+i）﹣（﹣1+3i）＝3﹣2i，

∴，；

（2）由题意，，

∵，，

∴，，

．

∴．

21．已知复数z1＝sin2x+λi，

（1）若λ＝0且0＜x＜π，求x的值； （2）设λ＝f（x）；

①求f（x）的最小正周期和单调递减区间； ②已知当x＝α时，

，试求

的值．

（λ，m，x∈R），且z1＝z2．

【解答】解：由z1＝sin2x+λi，（λ，m，x∈R），且z1＝z2．

得．

（1）若λ＝0且0＜x＜π，则sin2x，

即tan2x，∴x或；

（2）①λ，则T＝π，

由，得，k∈Z．

∴f（x）的单调递减区间为，k∈Z；

②由题意，，∴sin（），

即cos（）．

∴

．