数学一模拟试题(一)

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

1f(xt)dt(x)sin,x00 . （1）设f(x), 且(0)(0)0,则limxx0x0x0,（2）直线L:1xy3z0,与平面0:xyz10的夹角= .

xyz0n2 (3) 无穷级数= .

n1n! (4) 设A是正负惯性指数均为1的三阶实对称矩阵,且满足EAEA0, 则行列式2E3A= .

(5) 已知随机事件A、B、C满足P(A)=0.4, P(B)=0.5，P(C)=0.5,且A,B独立，A,C互不相容，则概率P(A-CABC)= .

(6) 在总体N(1,4)中抽取一容量为5的简单随机样本X1,X2,X3,X4,X5，则概率

P{min(X1,X2,X3,X4,X5)1} . 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设f(x)、g(x)都是可导函数，且f(x)g(x)，则当x>a时，有

(A)

f(x)f(a)g(x)g(a). (B) f(x)f(a)g(x)g(a).

(C) f(x)g(x)f(a)g(a). (D) f(x)g(x)f(a)g(a). [ ]

（2）设正项级数

ln(1an1n收敛，则级数)(1)anan1 nn1(A) 条件收敛. (B) 绝对收敛.

(C) 发散. (D) 敛散性不能确定. [ ] (3) 设L:x4y1,y0, L1:x4y1,x0,y0, 则

(A)

2222(xy)ds2LL1(xy)ds. (B)

xyds2LL1xyds.

1

(C)

Lx2ds2y2ds. (D)

L1L(xy)2ds2(x2y2)ds. [ ]

L1(4) 已知A、B为三阶矩阵，且有相同的特征值0，2，2，则下列命题：①A,B等价；② A,B相似；③ 若A,B为实对称矩阵，则A,B合同；④ 行列式A2E2EA,成立的有

(A) 1个 (B) 2个. (C) 3个. (D) 4个. [ ] （5） 设随机变量X,Y相互独立且均服从正态分布N(,2)，若概率

P(aXbY)1，则 21111(A) a,b. (B) a,b.

22221111(C) a,b. (D) a,b. [ ]

2222223(6) 设X为随机变量，若矩阵A=02X的特征值全为实数的概率为0.5，则 001(A) X服从区间[0，2]的均匀分布. (B) X服从二项分布B(2, 0.5).

(C) X服从参数为1的指数分布. (D) X服从正态分布N(0,1). [ ]

三、（本题满分8分）

设f(1)存在，且limx11f(x)0，记(x)f[1(x1)t]dt，求(x)在x=1某个

0x1邻域内的导数，并讨论(x)在x=1处的连续性 .

四、（本题满分12分）

32u2u222 设函数uf(lnxy), 满足 2(xy), 且极限2xy22f(xt)dtlim1，试求函数f的表达式.

0x01x .

五、（本题满分12分）

设曲面是锥面xy2z2与两球面x2y2z21,x2y2z22所围立体表面的外侧,计算曲面积分

2

333xdydz(yf(yz))dzdx(zf(yz))dxdy 其中f(u)是连续可微的奇函数.

六、（本题满分12分）

xn设f(x)2,0x1. 证明：x(0,1), 有

n1n（1） f(x)+f(1-x)+lnx·ln(1-x)=C (常数) （2） C = f(1)=

1 2nn1

七、（本题满分12分）

设微分方程 yP(x)yQ(x)y0. （1）证明：若 1+P(x)+Q(x)=0 ,则方程有一特解 yex；若 P(x)+xQ(x)=0，则方程有一特解 y=x.

(2) 根据上面的结论，求 (x1)yxyy0的通解和满足初始条件

y(0)2,y(0)1的特解.

（3）求(x1)yxyy1满足初始条件 lim 八、（本题满分10分）

设f(x)在[0，2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数，且limln[y(x)1]1的特解.

x0xln[2f(x)]0，

x1xcos221f(x)dxf(2)，求证：(0,2)，使 f()f()0.

九、（本题满分8分）

设1与2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解(A是mn矩阵)，是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解，证明：

（1） 向量组1,12线性无关；

（2） 若秩r(A)=n-1，则向量组,1,2线性相关. 十（本题满分10分）

3

已知A、B为4阶矩阵，若满足AB+2B=0, r(B)=2,且行列式EA2EA0，（1）求A的特征值；（2）证明A可对角化；（3）计算行列式A3E.

十一（本题满分9分）

设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为

f(x,y)(1xy)/4,x1,y1

0,其他22证明：X与Y不独立，但X与Y独立.

十二（本题满分9分）

设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，θ未知（θ>0）,X1,X2,X3是取自X的一个样本

（1） 试证：144minX都是θ的无偏估计 maxXi, 2i1i331i3（2） 上述两个估计中哪个方差最小？

4