2019—2020学年第二学期四校联考5月模拟考 2020.5
初三年级数学试卷
说明：1、本卷总分120分，考试时间100分钟。
2、考生必须用黑色钢笔或签字笔在答题卡指定范围内作答。
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的. 1. 在-
，0，-|-5|，-0.6，2，，-10中负数的个数有（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为
（ ）
A. 21×10-4千克 B. 2.1×10-6千克 C. 2.1×10-5千克 D. 2.1×10-4千克 3. 某校九年级（1）班全体学生2019年初中毕业体育考试的成绩统计如下
表： 成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50 人数（人） 2 5 6 6 8 7 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ） ．．
6 A. 该班一共有40名同学
B. 该班学生这次考试成绩的众数是45分 C. 该班学生这次考试成绩的中位数是45分 D. 该班学生这次考试成绩的平均数是45分 4. 下面四个立体图形，从正面、左面、上面观察看到都是长方形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 已知点A（m-1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m +n的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 7 6. 不等式4-x≤2（3-x）的正整数解有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个
7. 如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的
长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
8. 如图，△ABC≌△EBD，∠E=50°，∠D=62°，则∠ABC的度数是（ ）
A. 68° B. 62° C. 60° D. 50°
第7题 第8题 第9题
9. 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则
∠1+∠2=（ ）
90° B. 135° C. 270° D. 315° 10. 如图，在反比例函数y=
的图象上有一动点A，连接AO
并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C， 满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=的图象 上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（ ） A. -3 B. -6 C. -9 D. -12
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次函数y=-x2+2x+2图象的顶点坐标是______ ．
12. 已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等
于______ cm2． 13. 使式子
有意义的x的取值范围是______ ．
14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=130°，
则∠BOD=______°．
15. 分解因式：a3-4a =______ ．
16. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，
B(0，)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1， △2，△3，△4，…，则△2019的直角顶点的坐标 为___________ ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 17. 计算：
18. 先化简，再求值：
，其中x=3．
-2sin45°+|
|-（）-2+（
）0．
19. 如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，按要
求完成下列各题：
（1）作△ABC的角平分线AE；
（2）根据你所画的图形求∠AEC的度数．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20. 抚顺市某校想知道学生对“遥远的赫图阿拉”，“旗袍故里”等家乡旅
游品牌的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）A．十分了解，B．了解较多，C．了解较少，D．不知道．将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查了多少名学生？ （2）补全条形统计图；
（3）该校共有500名学生，请你估计“十分了解”的学生有多少名？ （4）在被调查“十分了解”的学生中有四名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选两人做家乡旅游品牌宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
21. 某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进
价多400元，商店用8000元购进电冰箱的数量与用6400元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱x台（33≤x≤40），那么该商店要获得最大利润应如何进货？
22. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，
连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形 时，求BF的长．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1，0），
B（4，0），C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
24. 如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长
线上，作AE⊥CD于E． （1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC=2CE=6，求⊙O的半径；
（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？请证明你的结论．
25. 如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时
针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S． （1）当α=30°时，求x的值．
（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=的位置关系，并求相应的tanα值．
时，判断⊙E与A′C
数学答案和解析
1. BCDAA BDACB
11. （1，3） 12. 24π 13. x≥-1且x≠1 14. 100 15. a（a+2）（a-2） 16. (2019+673,0) 17.解：原式=2-2×+2--4+1 ………5分
=-1．………6分
18.解：原式=
=
； ………4分
∴当x=3时代入，得：原式=． ………6分
19. 解：（1）如图，AE为△ABC的角平分线， ………3分 （2）∵∠B=40°，∠C=80°，
∴∠BAC=180°-40°-80°=60°， ∵AE平分∠BAC， ∴
，
∴，
∴∠AEC=40°+30°=70°. ………6分
20.解：（1）15÷30%=50（人），………1分 答：本次调查了50名学生．
（2）50-10-15-5=20（人）， 条形图如图所示： ………3分 （3）500×=100（人）， ………4分
20 答：该校共有500名学生，请你估计“十分了解”的学生有100名． （4）树状图如下：
共有12种等可能情况，其中所选两位参赛选手恰好是一男一女有6种． 所以，所选两位参赛选手恰好是一男一女的概率P=
=． ………7分
21.解：（1）设每台电冰箱的进价m元，每台空调的进价（m-400）元 依题意得，
，
解得：m=2000，
经检验，m=2000是原分式方程的解， ∴m=2000；
∴每台电冰箱的进价2000元，每台空调的进价1600元． ………4分 （2）设购进电冰箱x台，则购进空调（100-x）台，
根据题意得，总利润W=100x+150（100-x）=-50x+15000， ∵-50＜0，
∴W随x的增大而减小， ∵33≤x≤40，
∴当x=33时，W有最大值，
即此时应购进电冰箱33台，则购进空调67台． ………7分 22.解：（1）由旋转,得
AB=AD，AC=AE，∠CAE=∠DAB，
∴△AEC≌△ADB（SAS）； ………3分 （2）∵四边形ADFC是菱形， ∴AD=DF=AC=AB=2,DB∥AC, ∴∠DBA=∠BAC=45°， 由（1）得：AB=AD， ∴∠DBA=∠BDA=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形， ∴BD=AB，即BD=2，
∴BF=BD-DF=2-2． ………7分
23.解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c， 把A、B、C三点坐标代入可得
，解得
，
∴抛物线解析式为y=x2-3x-4； ………3分
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，
∴PO=PC，此时P点即为满足条件的点， ∵C（0，-4）， ∴D（0，-2）， ∴P点纵坐标为-2，
代入抛物线解析式可得x2-3x-4=-2，解得x=或x=
，
，-2）；………6分
（舍）
∴存在满足条件的P点，其坐标为（
（3）∵点P在抛物线上， ∴可设P（t，t2-3t-4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2， ∵B（4，0），C（0，-4）， ∴直线BC解析式为y=x-4， ∴F（t，t-4），
∴PF=（t-4）-（t2-3t-4）=-t2+4t，
∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB=（-t2+4t）×4=-2（t-2）2+8，
∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2-3t-4=-6，
∴当P点坐标为（2，-6）时，△PBC的最大面积为8． ………9分 24.（1）证明：连接OC， ∵CD是⊙O切线， ∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD， ∴OC∥AE，
∴∠EAC=∠ACO， ∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO， ∴∠EAC=∠A=CAO，
即AC平分∠BAE； ………3分 （2）解：连接BC， ∵AE⊥CE，AC=2CE=6， ∴sin∠CAE==， ∴∠CAE=30°，
∴∠CAB=∠CAE=30°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴cos∠CAB==，
∴AB=4，
∴⊙O的半径是2； ………6分 （3）CD2=BD•AD，
证明：∵∠DCB+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°， ∴∠DCB=∠ACO，
∴∠DCB=∠ACO=∠CAD， ∵∠D=∠D，
∴△BCD∽△CAD， ∴
，
即CD2=BD•AD． ………9分 25.解：（1）∵∠A=a=30°， 又∵∠ACB=90°， ∴∠ABC=∠BCD=60°． ∴△BDC为等边三角形， ∴BD=BC=1．
∴x=1； ………2分
（2）∵∠DBE=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=∠CBE=30°．
∴AC=BC=，AB=2BC=2．
由旋转性质可知：AC=A′C，BC=B′C， ∠ACD=∠BCE， ∴△ADC∽△BEC， ∴=，
∴BE=x． ∵BD=2-x，
∴s=×x（2-x）=-x2+x．（0＜x＜2） ………5分 （3）∵s=s△ABC ∴-+
=，
∴4x2-8x+3=0， ∴
，
．
①当x=时，BD=2-=，BE=×=． ∴DE=
=
．
∵DE∥A′B′，
∴∠EDC=∠A′=∠A=30°． ∴EC=DE=
＞BE，∴此时⊙E与A′C相离．
，
．
过D作DF⊥AC于F，则∴②当∴∴
时，
， ∴
，
．……7分 ．
， ∴此时⊙E与A'C相
交．
同理可求出
． ………9分
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