圆锥曲线秒杀法

吴磊

研究高考作文之余，本人也研究高考数学的秒杀方法，主要包括

隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线

一、圆锥曲线部分小题用到的方法

1、椭圆C：x²/8+y²/2=1与斜率K=1/2的直线l相切，则切点坐标为________

注:传统方法我就不讲了，讲两种秒杀法 法一、隐函数求导

直接对C：x²/8+y²/2=1求关于X导数可得 x/4+yy'=0，带入K=1/2，x=-2y,带入椭圆方程，很容易解出切点为(-2,1)和 (2,-1)；

法二、缩放坐标

将椭圆缩放成圆利用圆的性质快速解题，将X轴压缩为原来的1/2，即x=2x'(这里不是导数，只表示一个未知数)；斜率K'=2K=1，椭圆化为圆C': x'²+ y'²=2;很容易求得I'与C'相切于(-1,1)和 (1,-1)，还原，可知I与C相切于(-2,1)和 (2,-1)

2、椭圆C：x²/4+y²/3=1上的点到直线L:x-2y-1=0距离的取值范围为:______

法一、直接用柯西不等式

椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离，

l'= x-2y+b=0;构造柯西不等式可知(x²/4+y²/3)（4+12）≥(x-2y)²;-4≤b≤4;把4和-4代入l'；再利用平行线距离公式求I和l'距离，最大距离为√5 所以0≤d≤√5 法二、缩放坐标系

椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离。

l'= x-2y+b=0；缩放y=√3/2 y'；椭圆C缩放后方程C'为: x²+y²=4；l'缩放后表达式为l''=x-√3y+b=0, C'与l''相切，利用点到直线距离为半径，容易求的b=4和-4；再利用平行线距离公式很容易求得范围为0≤d≤√5

3、过定点(4、0)的直线l与椭圆C：x²/4+y²=1有公共点，则直线l斜率K取值范围为:______ 法一、直接用柯西不等式

l:my=x-4,则x-my=4;构造柯西不等式，(x²/4+y²)（2²+ m²）≥(x-my)² 可得，m²≥12,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为 -√3/6≤k≤√3/6 法二、缩放坐标

l:my=x-4， x=2x' C': x' ²+ y' ² =1; I':m y'=2 x'-4, 用点到直线距离公式，d=4/√(4+ m ²)≤1；可解的m²≥12,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为 -√3/6≤k≤√3/6

二、柯西不等式

柯西不等式在高中数学提升中非常重要，是高中数学研究内容之一，是求某些函数最值中和证明某些不等式时经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。

柯西不等

柯西不等式---[方和 积不小于积和 方]

a12a222anb12b222bna1b1a2b2anbn2

当且仅当b1b2bn0或a1a2b1b2an时取等 bn柯西不等式的主要变形公式

变形公式1

a1b1a2b2anbna1b1a2b22anbna12a222an•b12b22bn 取等条件同

变形公式2

a1b1a2b2anbn2a1a2anb1b2bn

a1b1a2b2anbna1b1a2b2anbna1a2anb1b2 变形公式3

2a12a222anb12b22bna1b12a2b22anbn柯西2不等式三角公式

变形公式4

2a12a2b1b22a1a2anbnb1b2an 取等条件同 bn2变形公式5

a1a2b1b2

a1a2anan 取等条件同 bna1b1a2b2anbn2三、仿射

四、参数方程

椭圆参数方程 吴磊

一、没吃过猪肉，你还没见过猪跑

x=acosθ；y=bsinθ 是一组我们熟悉而又陌生的方程，可问题是你真懂他们的含义吗? θ究竟是个什么东东，和圆参数方程和极坐标方程中θ是一个意思吗?

1、从一道百分之九十以上人都做错的简单题展开

例1、P是椭圆C上一点: x= 4cosθ; y=2√3sinθ 且在第一象限 O（ O为原点）P的倾斜角为π/3，则P点的坐标为_________

经典错法:

因为倾斜角为π/3，x= 4cosθ; y=2√3sinθ，所以 x= 4cosπ/3=2; y=2√3sinπ/3 =3 求得P坐标（2、3） 正解:

椭圆参数方程θ是旋转而成的圆心角而不是倾斜角 因为 OP的倾斜角为π/3，故OP的斜率K= tanπ/3=√3；

√3=y/x 2√3sinθ/4cosθ=√3 (1)

sinθ²+cosaθ²=1 (2) 联立二式，P在第一象限，可解

cosθ=√5/5 sinθ=2√5/5 P点坐标为(4√5/5 、4√15/5 )

2、椭圆参数方程的推导和含义解释

3、椭圆参数方程的设法

可能有的同学会按照焦点在X轴:x=acosθ；y=bsinθ

焦点在Y轴:x=bcosθ；y=asinθ 去记忆，老师告诉你别这么理解，你只要记住cosθ对应的系数是a和b中大的，cos和扩大谐音，参数方程还原主要看cosθ前的系数，它一定是大的，焦点在哪个轴，他在哪个下面。

二、椭圆参数方程妙用 1、椭圆内内接面积问题 例

1:

解:

可设A( 10cosθ； 8sinθ )，利用对称性可知 B( 10cosθ；- 8sinθ ) C( -10cosθ；- 8sinθ )；D( -10cosθ；8sinθ )

AB长度为16 sinθ ；AD长度为20 cosθ， 矩形面积S=160 sin2θ，由三角函数知识可知，面积最大为160 例2：

解:要使SOAPB最大，由图可知SOAB为定值，需求出P到直线AB距离，距离最大时SBPA最大，从而SOAPB最大，用椭圆参数方程设P为 x=acosθ；y=bsinθ 直线AB的方程为:x/a+y/b=1 用P到AB的距离公式可以求得距离最大为ab(√2-1)2, SOAPB= ab√2/2

2、椭圆相关距离问题 例1:

解: 用椭圆参数方程设P为 x=2cosθ；y=sinθ；A(0,3/2) 由点到距离公式可知AP最大为5/2,所以PQ最大值为3

例2:椭圆约束下二次型最值问题

解:

用椭圆参数方程解，转化成三角函数最值问题。由于b²和4大小未知，显然需要分类讨论 0﹤b﹤2，时 P(x=2cosθ；y=bsinθ),转化成求4 cos²θ+ 2bsinθ最大值 可求得最大值为(b²/4)+4

b≥2 P(x=bcosθ；y=2sinθ), 转化成求b²cos²θ+

4sinθ最大值可求得最大值为2b

3、椭圆与向量求范围、求值问题 例1

已知椭圆E：

,A在E上（1,1/2），若点P在E上满足

（1）求t的范围

（2）过原点O的直线交E于BC，求S△BCA的最大值 解:

Smax=√2

五、极点极线

圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力。掌握有关极点与极线的基本性质，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，做题事半功倍。

1.从几何角度看极点与极线

A F E N H B M 图1

定义1 如图1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引

两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H，连接EH,FG 交于N，连接EG,FH交于M，则直线MN为点P对应的极线. 若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.

由图1同理可知， PM为点N对应的极线，PN为点M所 对应的极线.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线 于点A,B两点，则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.

P G 定理1 (1)当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线

在P点处的切线；

(2)当P在外时，过点P作的两条切线，设其切点分别为A,B，则点P的极线是直线AB(即切点弦所在的直线)；

(3) 当P在内时，过点P任作一割线交于A,B，设在A,B处的切线交于点

Q，则点P的极线是动点Q的轨迹.

定理2 如图2，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交于

PAPB ①；反之，若有①成立，则称点P,Q调和分割线段A,B，交l于Q，则

AQBQAB，或称点P与Q关于调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线 P A Q l 的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线的调

和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线.

B 图2

推论1 如图2，设点P关于圆锥曲线的调和共轭

点为点Q，则有

211 ②；反之，若有②成立， PQPAPB则点P与Q关于调和共轭.

可以证明①与②是等价的.事实上，由①有

AQBQPQPAPBPQPQPQ1111PQ()2 PAPBPAPBPAPBPAPB211. PQPAPB特别地，我们还有

推论2 如图3，设点P关于有心圆锥曲线(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，

PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有OR2OPOQ ，反之若有此式成立，则点P与Q关于调和共轭.

证明：设直线PQ与的另一交点为R，则

PRPROPOROPOR，化简

RQRQOROQOROQ即可得OR2OPOQ.反之由此式可推出

P R Q O PRPR，即点P与Q关于调和共轭.

RQRQRR

图3

推论3 如图4，A,B圆锥曲线的一条

对称轴l上的两点(不在上)，若A,B关于调 和共轭，过B任作的一条割线，交于P,Q 两点，则PABQAB.

证明：因关于直线l对称，故在上存在

P QRA Q B l P,Q的对称点P,Q.若P与Q重合，则Q与P

也重合，此时P,Q关于l对称，有PABQAB； 若P与Q不重合，则Q与P也不重合，由于A,B

PR 图4

关于调和共轭，故A,B为上完全四点形PQQP 的对边交点，即Q在PA上，故AP,AQ关于直线l 对称，也有PABQAB.

定理3 (配极原则)点P关于圆锥曲线

的极线p经过点Q点Q关于的极线q经过点P；直线p关于的极点P在直线

q上直线q关于的极点Q在直线p上.

由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.

以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.

2.从代数角度看极点与极线

定义2 已知圆锥曲线:Ax2Cy22Dx2EyF0，则称点P(x0,y0)和直

线l:Ax0xCy0yD(xx0)E(yy0)F0是圆锥曲线的一对极点和极线.

事实上，在圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以以

x0x替换x，以y0y替换y2 ，2y0y替换y即可得到点P(x0,y0)的极线方程. 2特别地：

x2y2xxyy(1)对于椭圆221，与点P(x0,y0)对应的极线方程为02021；

ababx2y2xxyy(2)对于双曲线221，与点P(x0,y0)对应的极线方程为02021；

abab(3)对于抛物线y22px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0yp(x0x).

x2y2(4)如果圆锥曲线是椭圆221，当P(x0,y0)为其焦点F(c,0)时，极线恰为

abx2y2椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线221，当P(x0,y0)为其焦点F(c,0)时，极

ab线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线y22px，当P(x0,y0)为其焦点

pF(,0)时，极线恰为抛物线的准线. 2

3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题

【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆

x2y21的左右顶点为A,B，右焦点为F．设过点T(t,m)的直线TA,TB与此椭圆95分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2)，其中m0，y10，y20．

(1)设动点P满足PF2PB24，求点P的轨迹； (2)设x12，x21，求点T的坐标； 3(3)设t9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．

分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当t9时，T点坐标为(9,m)， 连MN，设直线AB与MN的交点为K，根据 极点与极线的定义可知，点T对应的极线经过K， 又点T对应的极线方程为

y M A O K N 图5

T(t,m) B x 9xmy1，即 95xmy1，此直线恒过x轴上的定点K(1,0)， 5从而直线MN也恒过定点K(1,0).

x2y2 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆C:221(ab0)过点M(2,1)，且左

ab焦点为F1(2,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C交于两个不同的点A,B时，在线段AB上取点Q，满足APQBAQPB，证明点Q总在某定直线上. y P O Q x2y21. 分析与解：(1)易求得答案42(2)由条件可有

. B x

PAAQPBBQ，说明点P,Q关于

A 图6

圆锥曲线C调和共轭.根据定理2，点Q的轨迹就是点

P对应的极线，即

4x1y1，化简得2xy20. 42 故点Q总在定直线2xy20上.

x2y2xy1，直线l:1，P是l【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆C:24161282上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足OQOPOR，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.

分析与解：由条件知OROPOQ可知点P,Q关于圆锥曲线C调和共轭，而点Q可看作是点P的极线与直线OP的交点. 设P(12t,88t)，则与P对应的极线方程为

212tx(88t)y1，化简得 2416 tx(1t)y2 ③

又直线OP的方程为yO y Q R . P x

88tx，化简得 12ty22tx ④ 3t图7

解由③④联立方程组得

6tx(x1)2(y1)25t24t2221，消去t得2x3y4x6y，可化为55x44t235t24t2(x,y不同时为0)，故点Q的轨迹是以(1,1)为中心，长短轴分别为轴平行于x轴的椭圆，但需去掉坐标原点.

【例4】(2006年全国卷II理21)已知抛物线x24y 的焦点为F，A,B是抛物线上的两动点，且AFFB

1015和，且长23y F B A O P 图8

x (0)，过A,B两点分别作抛物线的切线，并设其交点

为P.

(1)证明FPAB为定值；

(2)设ABP的面积为S，写出Sf()的表达式， 并求S的最小值.

分析与解：(1)显然，点P的极线为AB，故可设点

P(x0,1)，再设A(x1,y1),B(x2,y2)，F,A,B三点对应的极线方程分别为y1，x1x2(y1y)，x2x2(y2y)，由于A,B,F三点共线，故相应的三极线共点于

x1x02(y11)P(x0,1)，将y1代入后面两个极线方程得，两式相减得

xx2(y1)220(x1x2)x02(y1y2).

又FP(x0,2),AB(x2x1,y2y1)，故FPABx0(x2x1)2(y2y1)0. (2)设AB的方程为ykx1，与抛物线的极线方程x0x2(y0y)对比可知直线

AB对应的极点为P(2k,1)，把ykx1代入x24y并由弦长公式得

1AB4(1k2)，所以SABPABFP2(1k2)4(1k2).

2y 显然，当k0时，S取最小值4.

【例5】(2005江西卷理22)设抛物线C:yx2 的焦点为F，动点P在直线l:xy20上运动， 过P作抛物线的两条切线PA,PB，且与抛物线分别 相切于A,B两点.

(1)求APB的重心G的轨迹方程； (2)证明PFAPFB.

分析与解：(1)设点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，

B l A F O P 图9

x y0y1

x0x对比可知直线l:xy20对应的极点为(,2)，P为直线l上的动点，22

1

则点P对应的极线AB必恒过点(,2).

2

与

k2k12设AB:y2k(x)，可化为x，故直线AB对应的极点为

222kkkP(,2)，将直线AB的方程代入抛物线方程得x2kx20，由此得222x1x2k,y1y2k(x1x21)4k2k4，APB的重心G的轨迹方程为

ykkxxk1222kx332，消去k即得 kkky1y22k2k42k22y2223331y(4x2x2).

3k12，又F(0,)，由(1)知24xxxxkk11P(,2)，即P(12,x1x2)，所以FA(x1,x12)，FP(12,x1x2)，2224241FB(x2,x22).

4(2)设A(x1,x12),B(x2,x22)，由(1)知x1x2k,x1x2x1x211111x1(x1x2)(x12)(x1x2)(x12)x1x2FPFA44444.cosPFA21212FPFAFP22FP(x)FPx1(x1)1441x1x2FPFB4. 同理cosPFBFPFBFP所以有PFAPFB.