我经常会问自己教师是什么人？教师是圣人吗？教师是先知先觉吗？也许有些人曾经是但并不都是。教师如何在知识上给自己定位？尤其是在这样一个信息技术高度发达，获取知识的途径如此多样的年代，教师又如何给自己定位？你是百度吗？你是搜狗吗？显然不是，教师并没有那么“博学”。那面对学生，面对求知？你能做什么？教师会被百度等网络媒体取代吗？也不会，为什么？因为教师他是把知识与阅历，思想高度融合的载体，他传授的已经不仅仅是知识本身，而是思想是精神。所以在某种程度上准确的说教师是先行学习者，是终身学习者。
一、 数学教师的专业成长（学习+研究+反思）
在《论语·魏灵公》记载：子曰:“工欲善其事,必先利其器。居是邦也,事其大夫之贤者,友其士之仁者”
孔子告诉子贡，一个做手工或工艺的人，要想把工作完成，做得完善，应该先把工具准备好。那么为仁是用什么工具呢？住在这个国家，想对这个国家有所贡献，必须结交上流社会，乃至政坛上的大员，政府的中坚；和这个国家社会上各种贤达的人，都要交成朋友。换句话说，就是要先了解这个国家的内情，有了良好的关系，然后才能得到有所贡献的机会，完成仁的目的。
“工欲善其事，必先利其器”“器”指工具。要做好工作，先要使工具锋利。比喻要做好一件事，准备工作非常重要。那么对于数学老
师来说，这个“器”指的是什么呢？我想有三个方面：1.逐步具备深厚的数学功底；2.逐步熟练驾驭各种教学方法；3.透彻了解教学对象。 1. 逐步具备深厚的数学功底.
对数学老师来说最根本的是加深对数学知识的理解。“理解数学”是教好数学的前提。理解数学，特别是一些“核心概念”，不仅要弄清是什么还要了解数学概念的背景，掌握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，把握概念的多元联系表示，挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观资源．在日常教学实践中，不只关注于研究“怎么教”的问题，更要想好“教什么”的问题，为了提高对数学的理解水平，我们应注意开阔视野，要从教科书、教参、教辅等局限中跳出来，扩展到更高层次，在高观点指导下理解中学数学．例如，为了更好地理解概率统计内容，应阅读一些大学概率统计教材。比如要教好概率，必须自己要知道概率的几种不同定义：古典定义、统计定义和公理化定义，从直观上讲，统计定义是非常容易接受的，这个定义也具有普遍意义．但是它的内涵是非常深刻的，涉及到大数定律：设m是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现
p(的概率为p(0p1)，则对任意的0，有limxmp)1．也就是n说，只要n充分大，那么频率估计概率的误差就可以如所希望的小。频率有随机性和稳定性（规律性）频率的稳定值就是概率，而不是概率的估计值。但是在很多时候，我们无法仅从试验中知道频率的稳定值具体是多少．那是不是用频率估计概率，一定要大量重复试验呢？事实上，频率总是可以作为概率的估计的，试验次数的多少只是影响
估计的精度．在有些实际问题中，对估计精度的要求不同，再加上试验条件的限制（比如破坏性的试验），试验次数是随实际问题而定的。 在概率的古典定义中“等可能”是其一个非常重要的条件。在教学中学生认为必然事件与概率为1等价，不可能事件与概率为0等价，随机事件的概率大于0而小于1．老师要清楚这种说法仅是对于古典概型成立, 随机事件的概率是0≤P(A )≤1．必然事件的概率为1, 不可能事件的概率为0，但概率为1 的事件不一定是必然事件,概率为0的事件也不一定是不可能事件．例如向平面内投一质点, 该质点落在平面内某点A 的概率为0，落在平面内除点A 处以外的其他点的概率为1，但它们是随机事件．
为了提高自己的教学反思水平，应阅读一些数学教育、教学、心理学方面的理论著作等；掌握牢固的基础知识不一定就能成为一名好老师，但是，不掌握牢固的基础知识则肯定成不了一名好老师。教师专业知识的宽度与深度决定了一节课的内涵和品质（案例 教案书写 综合素质比赛 笔试情况60分以上17人，40分以下5人，90分以上6人，平面几何在条件变化的情境中如何展开推理能力较弱，论证能力有待加强，方程应用建模与运算均待加强，老师的运算能力减弱，第3题结合图形运用数形结合思想得出结果出现漏解现象。个别教师对黄金分割点的含义不清导致无法作答。可见数学文化的缺失已到很严重的程度。教师的解题能力需要高度重视。从具体可操作层面来说要加强对命题解题的研究。虽然我们很多老师特别是初三的把关老师虽然讲过见过题目无数，但真正坚持做题，解题研究的并不多。把做
数学题和练武术做个类比，因为在初学者看来这两者都是很枯燥的。练武功的上乘境界是“无招胜有招”，但武功仍要从一招一式入门. 解数学题也是如此. 著名数学家和数学教育家项武义先生说，教数学要教给学生“大巧”，要教学生“运用之妙，存乎一心”，以不变应万变。也就是要让学生在解题中学会思考，而不是模仿，重在思维的启发不在于重复的训练。不讲或少讲只能对付一个或几个题目的“小巧”. 我想所谓“无招胜有招”的境界，就是“大巧”吧！小巧固不足取，大巧也确实太难.要想达到“无招”境界必须经过“有招 ”的积累达到质的飞跃，在初始阶段对于大多数学生，还要重视有章可循的招式，由小到大，以小御大，小题做大，小中见大.思维能力的提高是需要一个过程的。而老师只有亲历解题过程，才会经历解题过程中思维的变化，才能让你的学生站在你的肩膀上走的更稳，上的更高。
今年创建的两个群一个是江西初中数学群207824284，开展课堂教学的探讨，一个是初中数学命题研究群，群号207826233 开展对试题，命题的研究，目的是培养一批深厚专业功底及文化底蕴的老师，欢迎老师们加入，加群的条件一方面由市县教研员推荐，也可自己申请，申请者需提交个人简历，命过的试题一套，注明能否熟练使用word，flash，几何画板等画图工具，有参加过市级或省级大型考试命题经验者优先。
另外《初中数学学业评价技术》一书已于2011年11月26日正式出版，这本书凝聚了江西省近十年来在初中数学学业评价，试题命制，组卷技术，试卷分析方法等方面的教研成果，代表了江西省在这
方面的最高水平。南京师范大学数学系教授，教育部中小学数学教材审查委员，教育部《全日制义务教育数学课程标准》研制组负责人之一，国家课程改革实验区初中毕业学业考试数学学科命题指导研制组负责人马复先生亲自为本书撰写前言，并给以高度的评价。他在前言中写道“翻阅书稿，可见本书系统地呈现了他们在中考试题、考试命题策略与方法、试卷分析方法等方面的成果，而且鲜明地表现出以下特点：
● 原创——展示了许多源自自我思考、实践而形成的试题； ● 实用——细化了《标准》所提出的课程内容目标；具体分析了不同功能的试题命制技术；以案例分析的方式介绍了试卷分析的基本方法；…
● 有深度——从新课程的评价理念出发，结合相关评价理论，深入分析了“立意——命题——组卷——试卷分析”这一完整的考试命题过程。这本书可作为命题老师入门的教材。
从广义角度来说，数学教学的本质问题不能仅停留在对教学方法，解题方法等研究，不能把自己的视野局限在教材、教辅、习题之中，而是要传承数学文化，提升数学素养。让学生会思考，会应用，知道数学是什么，明白数学的意义与价值何在。为了学生未来的发展，在教学中注重进行阅读，抽象，建模等应用数学解决实际问题的能力。这需要教师的再学习，学习数学的人文背景，了解数学的历史文化背景，多看一些数学大家或科普作家的科普作品，提高个人的数学素养。
越来越多的学者已经开始注意到数学文化的普及与传播，原北师
大数学系主任李忠先生2011年四川举办的全国中数会第十五届年会上作了题为 《数学的意义与数学教育的价值》的报告，他认为数学是一门演绎科学，从科学的分类上，它是一门基础科学，而不是一门应用性科学。但并不是自然科学。现在数学的发展使得数学的研究对象已经远远超出了数和形的范畴。物理学、天文学、力学的许多重大发展无不与数学的进步息息相关。比如：牛顿力学，特别是万有引力定律的发现，依赖于微积分创立，李忠教授认为万有引力定律不是发现的，是牛顿推理出来的。而爱因斯坦的相对论则以黎曼几何为其基础。著名数学家黎曼曾经指出：“只有在微积分创立之后，物理才发展成为一门真正意义下的科学”。而力学与天文学实际上就是一种应用数学。恩格斯说：“数学在力学中的作用是100%”。 IT技术背后起关键作用的也是数学；医学，生物学，经济学与管理学及分子生物学中的DNA 结构的研究等都与数学有关。数学家哈代的成果应用于生物学，被命名为哈代定理。也有不少数学家在其他领域获得诺贝尔奖。（如电影《美丽心灵》就讲述了数学家约翰．纳什的真实故事。）
《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》中提出：数学课程有助于学生掌握必备的基础知识和基本技能；有助于培养学生的抽象思维和推理能力；有助于培养学生的创新意识和实践能力；有助于学生在情感、态度与价值观等方面得到发展。所以中学数学教育的价值有以下三个方面：传授初等数学知识；进行逻辑推理训练；培养科学精神。
要求学生做到的自己首先要做到，也许你现在还不足以是个优秀的教师，但你只要有认真勤奋的态度，孜孜以求的精神，你可以和你
的学生一起共同成长，随时记录教学的反思与感悟，记下刹那的灵感，记下从学生身上获得了什么，如此坚持数年，将是何等的丰富。知识的宽度与专业的深度再加勤奋的态度，必能使你在课堂教学中深入浅出，游刃有余。
2.逐步熟练驾驭各种教学方法
什么是教学方法？如何界定？
在一些老师的教案中会发现这样一些写法：学生主动探索、教师引导加合作交流法；教师引导——归纳法 ；情境教学法；启发式教学法；讨论法；练习法；探究法…… 也有这样的写法：
案例3.选自某老师的教案
知识技能 教 学 目 标 数学思考 通过问题引导学生回顾本章内容，帮助学生梳理知识，形成知识的联系，使新旧知识成为一个有机的整体。 学生经历观察、归纳、解题过程，发展学生的小结能力，引导学生重视数形结合、分类讨论和化归的思想方法。 解决问题 能熟练地进行混合运算和较复杂的应用。 情感态度 培养学生反思意识，进一步体会数学来源于生活，应用于生活。 教学 重点 教学 难点 教学 方法 教学 手段 加深对负数、相反数、绝对值概念的理解。提高运算准确率。 如何解决实际问题和绝对值概念的理解。 问题探究归纳、考点分析及解题。 多媒体辅助教学。 教学方法，是教学过程中教师与学生为实现教学目的和教学任务要求，在教学活动中所采取的行为方式的总称。
李秉德教授主编《教学论》中的教学方法分类。
按照教学方法的外部形态，以及相对应的这种形态下学生认识活动的特点，把中国的中小学教学活动中常用的教学方法分为五类。 第一类方法：“以语言传递信息为主的方法”，包括讲授法；谈话法；讨论法；读书指导法等。
第二类方法：“以直接感知为主的方法”，包括演示法；参观法等。 第三类方法：“以实际训练为主的方法”，包括练习法；实验法；实习作业法。
第四类方法：“以欣赏活动为主的教学方法”例如陶冶法等。 第五类方法：“以引导探究为主的方法”，如发现法；探究法等。
讲授法，启发式教学法是传统的教学方法，也是各国中学数学教学普遍采用的基本方法。不论中国还是美国，或者西方其他发达国家，数学知识的传授基本上是以讲授法，启发式教学法为主，其他方法为辅助。
陶行知的教育理论：
教师当然须教，而尤宜致力于“导”。导者，多方设法，使学生能逐渐自求得之，卒底于不待教师教授之谓也。——《语文教育书简》之五，见《叶圣陶语文教育论集》第718页至719页
所谓教师之主导作用，盖在善于引导启迪，俾学生自奋其力，自致其之，非谓教师滔滔讲说，学生默默聆受。——《语文教育书简》
十三，见《叶圣陶语文教育论集》第725页
教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。————选自《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》
《礼记 学记》中有这样一句话：
“道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思，和易以思，可谓善喻矣。”只引导而不强迫，使学习的人容易亲近。教师严格而不压抑，使学生能够自由发挥，得以充分发展。只加以启发而不必全部说出，使学生能够自己思考（以免阻碍了学生独立思考的能力）。使人亲近又能自动思考，这才是善于晓喻了。
教无定法 ，教师在课堂教学中不论使用什么教学方法，都应处于引导者，组织者，合作者的角色定位。
教师在具有了深厚的学科功底、对教学方法有了透彻了解，对数学、数学教育有了自己的哲学认识，自觉地实现教学方法的多样化将会成为现实。这就是一种综合素养和能力的体现。
3.透彻了解教学对象
了解自己 了解人的本能 了解学生
教师成长的过程其实是教育能力积聚的过程。这种积聚既包括经验、学识、修养的提升，也包括对内在潜能的发掘，对自身天赋的发现。加德纳的多元智能理论分析表明人人都有自己独特的天赋，视听说算演……教育天赋，即天生具有的适合做老师的那种资质、禀性、能力。很多时候这种教育天赋被掩蔽，被遮蔽的状态，需要特定的时机去催生，需要特别的事件去展露——无论是别人的指点，还是自己悟得。（积聚自身的教学智慧，激发学生的学习潜能）。一个人真正成为教师并非自站上讲台时，而是在发现自己的天赋和潜能时。如果说教育是次漫长而艰辛的旅程，每位教师都是路上的行者。“教育”一词中“教”是指教导。因材施教，循循善诱。“育”是指育养。有特别的爱心柔肠，超强的耐心与宽容，母亲般的亲和力，有老子的“常善救人，故无弃人；常善救物，故无弃物”的养育情怀。
因此教育天赋可以表现在：率真的性格、善于与学生沟通的能力； 简洁清晰流畅的表达（语言，形体），宽容细腻，极富有爱心，耐心、同情心，童心。教师的教学魅力（感染力，亲和力，穿透力）已经成为有效教学的一部分，直接影响到学生的有效学习。因为只有在师生融洽，和谐的课堂氛围里学生才能找到安全感，才能安心的学习。在学校，在班级里，有这样一种现象：成绩好的学生骄横跋扈；成绩不好的学生得不到同情，找不到温暖，他们成为学校中最卑微的群体，很孤独，明明听不懂却还要规规矩矩坐在教室很多年。不仅要关注这样的学生还要引导学生学会自我评价，自我认知。既不要过分自信以致狂妄，也不要过分自卑以致萎靡，要教他们学会自我教育，自我管理。学会合作学习，不要把同学当成竞争对手。
除发现自己的教育天赋之外最重要的是善于发现、捕捉一瞬即逝的闪光点（灵感），善于思考与反思，善于记录自己的教学感悟等. 目前优秀教师的标准仅停留在师德和教学成绩两个方面，然而这并非是教师工作的全部。每个教师都有自己的闪光点，我们要善于捕捉并不断完善，使自己成为学生喜爱的，有一定社会贡献的优秀教师。（如：袁腾飞----北京市海淀区教师进修学校高级教师，被网友誉为“史上最牛历史老师”中央电视台“百家讲坛”主讲两宋风云，还有纪连海，易中天等）
了解学生，首先了解人的本能，人类对自然的探索、对真理的追求是出于本
能。
人生来就有学习生存本领的欲望，应把“学习的欲望是孩子的天性”作为教育的真谛。
《物种起源》中说“能生存下来的生物不一定是最高级的，也不一定是最强壮的，而是那些最能适应生存环境的”。恐龙再强大也已灭绝，一种没有嘴，没有消化腔，最原始最低等的水生多细胞动物——海绵至今仍有旺盛的生命力。生活在沉积岩表面的，地球上出现的最早的原核生物——蓝藻，距今已有35亿年，它的适应能力非常强，可忍受高温，冰冻，缺氧，干涸及高盐度，强辐射，所以从热带到极地，由海洋到山顶，85℃温泉，零下62℃雪泉，27%高盐度湖沼，干燥的岩石等环境下，它均能生存。为了生存，亲代教会子代适应生存的技能，子代也主动学习未来生活的本领。所有的孩子都有好奇心，都会对周边的世界提出各种各样的问题，这也是人的本能。我们的教育就是要使这种本能不断得到强化，促进他的成长。但外界的强化作用不能过度，有很多天资聪明的孩子，从他们父母迫不及待的眼神中透出的期望，从学校里的分数所折射出的残酷，使他们的心灵充满忧伤。这些孩子的好奇心在流失，自信心在减退，创造力没有得到培养。有人说，中国的教育教会了学生服从和揣测……被动的学习和主动的探索所培养出来的学生是不一样的，前者在寻找标准答案，后者在追求真理。如果一个班有多数学生不喜欢数学，那我们就要反思这可能就不是学生的问题而是我们的教育或是我们老师自己出了问题。如何让学生保持或激起学生学习数学的欲望，如何让孩子对数学产生兴趣？尤其是数学教师应思考的问题。要让孩子产生兴趣，你就得有有趣的问题，让他这个问题解决过程中，感觉到一些乐趣，这个是很重要的。比如说古希腊大数学家毕达哥拉斯他经过铁匠铺的时候，就发现有的铁匠铺敲的声音非常好听，有的铁匠铺不好听，他就进去研究，后来发现，锤子的重量之间成比例的就和弦，要不然就不和弦，然后他就创造了音阶。我国有个叫王建民的音乐爱好者发明了环状埙笛，低音胡琴月胡，他发明的过程中就用到了数学的精确计算和物理知识。对他来说这就很有趣了。而我们的日常数学教学让学生觉得离生活太遥远了，太不真实了，太没用了，所以根据学生的特点和教学内容具体情况，提出有意义的具体的问题，创设情境，激发兴趣，这是很重要的。
人生来就有改变生存条件的欲望，有创造的欲望。应当把“保持并放大孩子
学习和创造的天性”作为教育的原则。
中央电视台的我爱发明节目中播出的都是平凡的人（农民，工人，学生，公务员，教授，科学研究所的工程师）发明创造的故事，有个农民发明了专门清理河道杂草的碎草机，小学生发明雨伞汲水器，还有发明用水和阳光就可以退去痕迹的墨水。有生活的需要，就会有发明创造。要培养学生的创造力，就要让学生明白数学是有用的，离我们的日常生活并不遥远，生活中处处是数学。
然而要欣赏、运用数学却并不容易，因为数学所研究的那些基本概念不是现实的存在，是人们在数量和图形方面对事物本质进行抽象的结果。人是具有抽象能力的。人类利用抽象这个有力的思维工具，从日常生活和生产实践的具体事务开始逐渐构建了现在的数学体系。最早的洞穴岩画，摩崖石刻，象形文字都是图形的抽象，由于尼罗河水泛滥，古埃及人为了丈量土地等生活的需要发明了几何学（土地测量）。在公元前1650年左右的《莱因德纸草书》中就记载了古埃及人对三角形，四边形的面积，圆柱形仓库体积、包括四棱锥的体积的计算方法，尽管当时并没有给出面积，体积的定义。古希腊哲学家泰勒斯在图形的描述的基础上开创了几何学抽象。（现在中学数学中的许多命题在2500年以前就确立了）古希腊人对数学的最大贡献在于，他们认为 数学中的每一个命题，都要根据明白无误的假定和事先给定的公里与假设，有形式逻辑推演出来。这是一种科学的精神，正是这种精神才导致无理数的发现及欧几里得 《几何原本》的诞生。才使古希腊的数学成就远远超过了同时代的其他文明古国，欧洲文艺复兴时期，这种精神带动了数学和自然科学的发展，微积分的创立和万有引力的发现、非欧几何的诞生以及黎曼几何与爱因斯坦的广义相对论等。使人类摆脱狭隘的经验的束缚，追求理性的完美。
可见抽象能力的养成是依赖于活动（生活）经验的积累即直观能力的。数学教育家G.波利亚指出“抽象的道理很重要，但要用一切办法是他们能看得见摸得着。”这就说明在我们的课堂教学中，应尽可能地设计一些数学活动，让学生参与体验，经历抽象概念，定理等的发展过程。数学教学在传授知识的同时也应当重视直观能力的培养，但这不能单纯依赖传授，更重要的是依赖本人亲自体验的活动如观察，思考，判断等，也就是要帮助学生积累活动经验（包括感性的和理性的）。华盛顿儿童博物馆门前有这样一句名言：I hear, I forget. I see, I remember. I
do, I understand.可以翻译成： 听到的，过眼烟云；看见的，铭记在心；做过的，沦肌浃髓。 这句名言其实来自荀子 “不闻不若闻之，闻之不若见之，见之不若知之，知之不若行之，学至于行而止矣，行之，明也。” （中央电视台有个节目叫原来如此）这些都说明基本活动经验对学习的重要性。最新颁布的课程标准在总体目标中在注重双基基础上增加了基本思想，基本活动经验，在强调发展学生分析问题和解决问题能力基础上，增加了发现和提出问题能力的课程目标，突出了培养学生创新精神和实践能力的改革方向。那么在我们的数学课堂上能不能有意识的设计一些数学探究活动，数学实验，数学调查活动等等，激发兴趣，培养能力。例如：我们知道，概率是研究随机现象的学科，随机的、不确定的思想方法，贯穿于概率教学的始终．而在“用频率估计概率”的教学中，除了随机性，还有频率的稳定性．“亲自试验”获得的结果能够给学生以真实感和确切感；“亲自试验”的过程就是感受到这种随机性和稳定性的过程，因此，对于概率与统计的学习，学生应该有更多的主动权和试验权，在动手和动脑中感受概率与统计的思想和方法．
对于“用频率估计概率”的教学，使学生了解用频率估计概率的必要性和合理性也是这节课的教学目标之一．对于这节课，多数老师都会采用“掷硬币”的试验．“掷硬币”可以用古典定义求概率，所以概率值是明确的，而通过试验的方法计算得到的频率就可以和这个明确的概率值相比较，如此更容易让学生体会到“频率具有稳定性”这一事实，从而感受到“用频率估计概率”的合理性．但“掷硬币”或“掷骰子”的随机试验只能起到让学生直观感受用频率估计概率的合理性的作用，不能让学生理解其必要性．对于“用频率估计概率”的必要性，又该如何体现呢？有个老师课堂引入的“姚明罚球命中率”的问题就是一个很好的载体．该问题既是学生感兴趣的问题，也能说明用频率估计概率的必要性，还能通过求命中率引出用频率估计概率的方法．姚明罚球的命中率是客观存在的，如果知道该值的大小对对方球员是否有必要犯规是有帮助的，所以我们要想办法知道它，概率的统计定义就给出了这样一种方法──频率估计概率．景德镇某老师在“掷硬币”后采用的“掷图钉”的例子，不能用古典定义求概率，也可以让学生感受概率的统计定义的必要性．
原苏联教育家苏霍姆林斯基为了保证学生的全面发展，在帕夫雷什中学建立
了半日学习、半日自由活动的作息制度。学生自愿地参加课外阅读、课外科技小组活动。所有学生到毕业时读小说100部，科普读物100部，全部学生能装卸内燃机、电视机；全部学生会拉手风琴；全部学生都能做诗。在学校期间，学生每年都要种一棵树。经过十几年，校园到周围的村庄已经变成了一片森林，学校建立了自己的风力发电厂，而且高考升学率居全苏联之首。
山西新绛县的新绛中学，一个每天只上半天课的高中。上午上课，下午自习，教室里计算机可以随时上网。更令人惊异的是，这所中学自从进行“每天只上半天课”的教改措施之后，高考升学率不降反升，每年高考二本上线率提高10%。
数学是抽象的，但它也是建立在直观基础之上的，我们老师的作用就是给抽象的概念搭个直观的梯子，可以让学生自己去经历，体验，思考，慢慢培养起抽象的能力。我们的学校的作用就是给学生提供一个可以进行实验，体验等活动的自由时间与空间。（个人观点）
人与生俱来的具有“直观”的物质基础，比如基因，大脑。“表象遗传学”的研究表明，虽然基因这个物质基础存在，但必须在适当的时候给基因一定的刺激，否则基因不能充分的表达，对教育的启示就是在适当的时机给与适当的教育：如果一个人八岁之前不练习说话，那以后说话就不会流畅。中学所讲的这些数学知识是学生在未来工作与学习所必需的基础数学知识，没有一个坚实的初等数学基础，学好高等数学是不可能的。，又怎么学好近代其他科学知识？一个正确的决定需要一个完整的、清晰地、科学的定量分析，就不能没有数学的参与，不论你愿不愿意，都是如此。在一些非理科专业工作而数学基础薄弱的人们，在遇到数学符号与数学理论时，往往束手无策。想搞清楚这些概念，已经为时已晚。数学知识的连续性很强。初等数学的学习需要时日，而且需要在少年时代学习，就像学语言一样。过了一定的年龄，再来学语言与算数已经不成了。因此初等数学是人的一生中需要的基础。没有这样的基础就只能是一个“心中无数的人”，更谈不上从事较高的专业性的工作。
因此对中学数学而言，就是要在少年时期教会学生用数学的眼光看世界，用数学的语言去表达，用数学的思维去演绎。（个人观点）
直观能力的形成需要先天的存在与后天的经验的有机结合。既然人都有先天的“直观”基础，那么每个孩子都存在潜能，我们的教育是激活这种潜能（两部
关于教育的印度电影《三个白痴》 ，《地球上的星星》 ，美国国务卿亲自采访该两部电影的主角开米尼尔，社会反响很大，好评不断，非常感人，引人深思，值得一看）
综上所述，在我们了解我们的学生之前，首先作为一个人，他有着与生俱来的“学习的欲望”，“创造的欲望”具备了“直观”的物质基础也就是潜能，在适当的时机也接受了适当的教育（正常的学生），接下来该怎样呢？我们要在这个基础上去思考我们应如何了解学生？了解些什么?他的知识基础是什么？它的思维特点是什么？他的认知障碍在哪里？应该怎样去帮助他们？ 案例：某教师在《有理数复习第一课时》 的教案中这样叙述：
重点：在数轴与相反数、绝对值、有理数大小的比较等知识的复习过程中，初步感受数（有理数）与形（数轴）相结合这个重要的数学思想；
难点：在对所学知识总结、归纳过程中，认识到各知识点紧密联系，从而获得解决问题的能力和经验。
这个教学目标不仅没有体现出复习课的特征，而且存在着书写混乱的现象，知识与技能目标竟然与过程与方法目标混淆不清，重点中还有分类讨论的思想没有提到，难点写的太笼统，没有预见到学生学习过程中可能会产生的障碍与困难。
怎么能了解到学生的困难呢？通常有课前调查和课堂或课后的纠错，通过作业批改等关注学生的解题过程，及时纠错，只有深入学生的认知建构过程，才能了解他们错误产生的原因，才能有的放矢的进行教学，减少教学失误。一线教师都有过这样的经验，尽管错误一再得到纠正，或者要求学生成百上千次地做同样的练习，这些错误可能仍然会以同样的方式表现出来。出现这种现象的原因可能有很多方面，有可能学生处于被动学习状态，不积极思考就不能与原有认知结构发生冲突，从而建立起新的认知结构，也就自然改正不了错误；也有可能老师尽管不断纠正学生的错误，可没有了解学生的障碍在哪，使纠错没有针对性。 由此学生的学习状态是自主学习，勤于思考还是习惯于被动接受，懒于动脑。学习方法是否有效也是我们教师必须关注也必须去引导的。
学数学不做题是不行的，但是大量做题也不一定是必须的。因为你做的每一道题是经过思考得到的是很重要的。只有经过学生思考之后，学到的东西才是他自己的，要不他永远是老师的。因此给学生多一些思考的时间，留一些反复的余地，
培养独立思考的能力，养成反思，比较的思维习惯。能自觉地比较不同问题之间的联系，在解答数学问题时看的准、看得透，能一下抓住问题的本质进行思考，在解决问题的过程中能灵活地选用不同的策略帮助自己寻找突破口。反之，一旦形成思维的惰性，习惯于被动接受，培养思维能力就是一句空话。（同一课题，不同老师对学生的不同影响）老师就要关注学生在解决问题的过程中的自我调控能力，例如：对解题过程合理性的判断、解题思路的及时调整、对结果的自觉检验、对完整解题过程的回顾等；关注学生对解题思路，解题过程的自我描述表达的能力，只有这样，学生才会注意到解题思路，思考角度对解题的重要性。 从长远来说，真正重要的事情不是记住一些数学技巧——技巧不经常用，很快就会忘记，而是树立一种信心，当他需要某一数学工具时，知道如何去发现并掌握这一工具。树立这种自信心的唯一本法就是在学习过程中贯穿创造、构造、发现数学的那种精神。
如此看来，教师很关键的工作还是要搭好这个脚手架，让学生踮踮脚，跳一跳，就能够着离他最近的那个目标。但这个度的把握是很重要的，多走了一步，就会侵占学生的思考、创造空间，剥夺学生的成就感；离得太远了，又容易打击甚至摧毁他们在数学领域自己解决问题的信心。
好的老师不是在教数学，而是能激发学生自己去学数学。只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时才能真正学好数学。
2009年上海中学生参加国际PISA数学素养测试给教学带来的启示 PISA是“国际学生评价项目”的英文缩写。是经济合作与发展组织OECD发起并组织实施的教育成效评价研究项目。以纸笔测试的形式测量处于15岁三个月到16岁2个月的学生在阅读、数学、科学领域运用知识和技能解决现实问题的能力(数学与阅读、科学混编).从而了解学生是否具备未来生活所需的知识和技能、迎接今天这个知识社会挑战的程度。PISA评价的目标是为学生终身学习能力的发展而建构的评价。
PISA中的数学素养是个体作为一个积极的、关心他人以及反思的公民，识别和理解数学在世界上所起的作用的能力，能进行有根据的判断的能力，并且能在个体生活的需求时，运用和从事数学活动的能力。
PISA数学素养测试目标：透过数学问题的呈现，测量学生成功解决问题所
激发的数学知识和能力。PISA认为此类功能性的数学运用的测量可以影响数学教学，同时，鼓励数学教学另类的观点。关注学生在学校里学到的内容能做什么，而不单单看能否重现所学的内容
PISA数学素养测试允许使用计算器。试题条件的呈现是对一个实际背景的描述，用图形、表格等表现相关的数量及其关系，给出一定的规则，一般都要求解决一个有实际应用价值的问题并对回答方式作出明确的交代。题型有单选有多选，封闭式回答题、开放式回答题、简答题。试题呈现方式以单元组成一大题，下设若干小题。运算量不大，较少出现纯数学概念，测量学生在面对实际问题时能多大程度激活他们的数学知识和能力，并能成功解决这些问题。
测试内容：校外31%，小学25%，六年级11%。七年级%，八年级8%，九年级14%
PISA数学素养测试对中学数学课堂教学的启式： 1. 关注数学阅读，提高理解能力
PISA试题以单元形式呈现，文字阅读量大，要理解题意必须独立阅读；而我们平时的数学课堂很少关注学生的数学阅读，对于问题的呈现，文字一般较短；教师分析讲解的较多，没有为学生独立阅读和理解问题提供充分的时间和空间；对新情境问题学生更是不知所云；平时技术学应用题时会发现学生存在困难，阅读理解能力不强，不会从问题中提取相关的数学信息，将文字语言转化为符号语言、图形语言存在困难。故阅读能力是学生的一般能力，任何学科的学习都离不开阅读，数学教师在日常教学中要重视教学中的阅读环节，关注学生对数学文本的阅读。
2. 重视数学与现实的联系，经历“数学化过程”
课标第三学段目标，总目标要求：“能从数学角度和运用数学的思维方式去观察、分析现实生活中的事物，会从中提出问题，并会用所学的知识和既能解决简单的问题“”“具有对数学和人类社会以及现实生活密切联系的体会，知道数学对社会发展和个人发展都有重要作用；课堂教学一般关注数学内部问题的”数学化，对实际生活问题的数学化虽有涉及，但比例很小，重视不够。 3. 鉴别不同的思维方法，发挥评价对教学的反馈功能
PISA数学素养测试对有些测试结果的评价，不仅仅是给学生一个学习成绩的认
定，而是用代码区分学生应不同思维所给出的解答。及时正确的解答，也应方法的不同给出不同的代码从而可区分出学生对数学问题不同的思考；这样的设计可以反映出数学教学中所蕴含的丰富的信息，对这些代码进行统计分析，使代码所代表的相关信息被提炼和发现，改进课堂教学。我们平时的测试很多，大都只对结果给个分数，对应不同的思考不同的方法所得出的结论，不作区分和分析，这样就失去了很多对数学课堂教学有用的信息，如何改进评价方法，发挥评价对教学的反馈功能，诊断功能，是今后需要重点研究的。
上海2009年4月17日正式测试，152所学校，5115名学生参加测试结果表明男生女生在15岁时数学素养无差异，但不同学校存在差异，中国学生的薄弱环节有：非连续性文本阅读能力；图表转化为数学问题的能力；问题解决后，用文字表述结果等能力较弱；不确定性问题（概率、统计）
学习不是某个阶段的专利，学习是人的本能和能力 ；学习不是任务是一种生活需求，是人生的经历，体验和感悟。学生学数学不是为做题，也不只是为了会做题 。数学老师的学习不只是为了知道“怎么教”，更要知道“教什么”。学习是一个内化的过程，是一个没有终点的旅程，每一个生命都是这个旅程的行者。一滴滴水，持续千年也能水滴石穿；涓涓细流，绵延万里终能汇入江河。放慢脚步，用心思量，细细品味，才能充分享受学习的快乐，才能拥有思想的博大精深。
————与老师们共勉！
二、2011年江西省中考数学试题评析
朴实生活情境 淡淡数学清香
---------2011年江西省中考数学试题评析
2011年江西省中考数学试题，以教育部制定的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》及《江西省2011年中等学校招生统一考试学科说明》为依据，力求体现的价值追求是有利于引导和促进数学教学改革的进一步深入；有利于改善学生的数学学习方式、丰富学生的数学学习体验、加强学生在生活中应用数学的意识；有利于引导教师改变传统的教学观念和教学模式；有利于高中阶段学校综
合、有效地评价学生的数学学习状况.在试题命制过程中遵循了以下基本原则： （1）考查内容体现一致性，基础性；
（2）试题素材、求解方式等体现公平性，可达性； （3）试题对教学具有导向性，前瞻性； （4）试题具备科学有效性，创新性。.
结合2010年江西省中考数学试卷质量分析及全省师生对2010年中考数学卷的反馈情况分析，2011年的中考命题在命题原则中突出强调了基础性，公平性和有效性三个方面，确定容易题、中档题、与较难题的比例约为5：4：1；各块内容分值分布:数与代数约占43%,空间与图形约40%,统计与概率约占12%,课题学习约5%.并制定难度系数为0.6，在整卷难度上比2010年中考试卷要有所降低，试卷风格有较大变化。
根据以上命题指导思想及命题原则，2011年的中考试题呈现以下特点
1.注重基础，着重考查数学知识的形成过程
基础性的常规题仍是试题的主体，根据《标准》的总体目标关注初中数学体系中基础和核心的内容，突出对学生基本数学素养的考查，注重考查学生掌握适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实，数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技术的情况，对在数学学习和应用数学解决问题过程中最为重要的、必须掌握的核心概念、思想方法和常用的技能做到了重点考查.主要考查方面包括：基础知识与基本技能；数学活动过程；数学思考；解决问题能力；对数学的基本认识等. 试题内容更侧重于从日常生活中取材酝酿与构建数学模型，注重考查学生在具体情境中运用所学数学知识分析和解决问题的能力，注重考查学生的动手操作、创新探究与课题学习的能力，强调“知识的形成、应用过程与问题方法的解决”、“情感态度与价值观”等在学生解题过程中的渗透。与往年相比，今年的江西数学卷 “生活味”浓厚，P “亲和力”很强．
A
第13题
C
B 例1（2011•江西·13）如图，在△ABC中，点P是的△ABC的内心，
则∠PBC+∠PCA+∠PAB=__________度．
评析：本题考查了三角形的内心的定义及三角形内角和定理，运用了整体的思想。学生必须知道内心是三角形三条角平分线的交点，才能根据三角形内角和定理准确答题。
例2（2011•江西·15）.如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是__________.
评析：本题考查坐标系中的旋转变换作图，需要学生能正确理解旋转中心的概念，能逆向思维寻找到旋转中心，对中心旋转的过程进行了有效的考查. 例3（2011•江西·23）.以下是某省2010年教育发展情况有关数据：
全省共有各级各类学校25000所，其中小学12500所，初中2000所，高中450所，其它学校10050所；全省共有在校学生995万人，其中小学440万人，初中200万人，高中75万人，其它280万人；全省共有在职教师48万人，其中小学20万人，初中12万人，高中5万人，其它11万人.
请将上述资料中的数据按下列步骤进行统计分析. （1）整理数据：请设计一个统计表，将以上数据填入表格中.
（2）描述数据：下图是描述全省各级各类学校所数的扇形统计图，请将它补充
完整.
（3）分析数据：
①分析统计表中的相关数据，小学、初中、高中三个学段的师生比，最小的是哪个学段？请直接写出.（师生比=在职教师数︰在校学生数） ②根据统计表中的相关数据，你还能从其它角度分析得出什么结论吗？（写出一个即可）
③从扇形统计图中，你得出什么结论？（写出一个即可）
评析：本题立意新颖，构思独特。在考查形式上注重考查了统计活动的全过
y F 2 D A E 3 O B C 第
15
x 程包括整理数据，描述数据，分析数据。关于统计的考查，江西近几年的考查都是围绕着对平均数，众数，中位数等统计量的考查及某一种统计图表，通常为条形图或扇形图进行考查。使得统计的考查变成了对计算和填图的考查，而没有考察到统计的应用，而统计在生活中的应用却更多的体现在能从各类媒体文字图片中整理出相关数据，获取信息或者根据数据制成表格，在通过分析数据得出相应结论作出相应决策；于是今年对统计知识的考查作了大胆的尝试，一改过去有关统计的命题形式，通过提供一组数据，考查同学在具体情境中运用统计知识分析与整理数据，绘制统计表的能力，进而提取相关的信息，鉴于学生是第一次见到此类题型，在难度设置上要求并不高，如在第三问中3个小题的开放题的设置并没有设置很高的思维含量，这道 9分题的平均得分在6.7分左右。试题素材的选取是根据江西省2010年公布的有关真实数据在不影响大致比例情况下进行适当的调整，降低学生的运算量，比如第二问补充扇形图，利用改编后的数据发现小学学校数是全部学校数的一半，题中已经给定高中所占比例，学生只需计算一个比例值，换算一次圆心角即可完成此题。选取这段素材也是想让广大师生了解全省的教育发展的一些情况。采取这种考查方式的用意是要引导教师要注重统计教学的实际应用和统计在实际决策过程中的价值，这也是新课程理念所倡导的。 例4.（2011•江西·25）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上. 活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直. （A1A2为第1根小棒） 数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”) （2）设AA1=A1A2=A2A3=1.
①=_________度；
②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，…）， 求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1. 数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，则1 =_________，2=________， 3=________；
（用含 的式子表示）
（4）若只能摆放4根小棒，求的范围. ．．
评析：本题以一个锐角图形为活动背景，创设两个数学活动，让学生在探究过程中体会有限与无限的思想。通过搭建直角三角形与等腰三角形，开展课题研究，通过一系列问题的设问，将初中阶段的核心知识（等腰三角形、直角三角形、相似三角形、不等式组等）巧妙融入其中进行思考与探究，给学生熟悉的知识背景赋予新的寓意，极大的消除学生对课题学习题型的恐惧心理，大部分都能在一定程度上得分，但得分并不高，抽样统计平均分在2.8分左右（本题总分10分）。我们也希望通过这种课题学习的选材方式告诉一线教师，课题学习题型并非就要高深莫测，也并非只能选择师生未曾见过的素材，或把高中知识下放到初中才能考查学生能力的，而应该充分利用好教材及教学过程中生成的资源。
A
A2 2 3 1
A3 A1
A4
B C
A
AAaaA
A图
C
Aa
AB
图乙
2.注重综合考查，渗透开放探究
例1（2011•江西·21）.如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为23，点A为
弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）. （1）求∠BAC的度数； （2）求△ABC面积的最大值. （参考数据：sin60
评析：本题综合考查了圆心角、圆周角等圆的相关知识与三角函数的综合考查，根据课程标准，圆的内容要求大大降低，故在命题时就把圆的考查列入基本知识的考查，本题的命题思路是来源于把一个直角三角板的60°角的顶点A放在定圆绕点A旋转，由于角的度数不变，于是在旋转过程中的三角板与圆相交的弦长不变，于是形成最初的试题：
（T21一稿）.如图，已知⊙O的直径为4，△ACB是一块含30°角的三角板.顶点A在⊙O，∠CAB=60°，AC、AB与⊙O分别交⊙O于E、F. （1）如图①，当AB经过圆心O时，弦EF的长为 .
（2）如图②，当AB不经过圆心O时，（1）中的结果会发生变化吗？请你利用
图②计算EF长来给予说明.
考虑到整道题的设计围绕一个结论进行有点单一，对优秀学生来说可能一眼就能看出结果，也就没有了探究的价值，于是增加一个面积最大值的设问如下：
B O C 333 ，cos30，tan30.） 223A （T21第二稿）.如图，已知⊙O的直径为4，将一块三角板的顶点A放在⊙O上，其中∠CAB=60°，边AC、AB分别与⊙O交于点E，F. （1）如图①，当AB经过圆心O时，求EF的长.
（2）如图②，当AB不经过圆心O时，求△AEF面积的最大值.
但是这样改编以后第2问的难度设置就大了，学生需要利用等弦所对的圆周角相等求出弦长EF，还要利用圆心角与圆周角的关系求出弦心距，最后还要判断三角形在什么时候面积最大，为降低难度，就去除了试题旋转的背景和开放式设问的构想，使题语言叙述更加简洁，要考查的主体并没有发生改变。在2011年的省卷B卷中又做了如下的改动：
（2011年省B卷）22.如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A（如图1）的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为（0°<<120°），旋转后AC，AB分别与⊙O交于点E,F，连接EF（如图2）. 已知∠BAC=60°，∠C=90°，AC=8，⊙O的直径为8.
(1)在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长 ②EF的长 ③∠AFE的度数 ④点O到EF的距离.其中不变的量是 （填序号）； (2)当BC与⊙O相切时，请直接写出的值，并求此时△AEF的面积.
A C
A
图1 O E O F B
B 图2
C A
O
例2（2011•江西·24）将抛物线c1：y=3x23沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示.
（1）请直接写出抛物线c2的表达式.
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，
与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由. y y
M y M y 备用图
c1 O x O x
c2 备用图
A B D O E x A B O D E x
评析：本题结合抛物线翻折与平移的动态过程，使数学背景（函数的解析式、相关交点坐标及几何图形形状、位置及大小）发生了很大的变化，进而酝酿与构建新的数学问题及探究点，如点与点之间的距离问题、相关图形移动、扫过的面积问题及点、线、简单的几何图运动形成的形状（特殊三角形、特殊四边形等），当B、D为AE的三等分点时，运用了分类讨论的思想，应进行两种情况的分类
11讨论：即AD=AE及AB=AE两种，其中涉及有关x轴上两点AB间距离
33AB=xAxB，当点A、N、E、M为矩形的情形是否存在，应先考虑平行四边形，再从角上证明为直角或对角线相等。这种数形结合的综合试题很好的考查了翻转平移，矩形的概念，以及数形结合思想、分类讨论的思想及转化思想。拒不完全统计有92%以上的同学没有分类讨论，平均得分为3.4分左右（满分9分）。达到预期考查效果。也有地区此题平均得分仅1.2分，有老师认为解题过程中要用到高中解析几何中同一数轴上两点间的距离公式及平面内两点间的距离公式（当然可转化为运用勾股定理，但平面内两点间的距离公式就是运用勾股定理推导的），这 题得分低的主要原因归结为大多数学生还没有学习这方面的内容，是有失偏颇的。
3.试题素材朴实、公平，试题呈现自然、亲切
例1（2011•江西·3）.将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图
乙），则图乙中的实物的俯视图是（ ）.
A.
B.
C.
D.
图甲
第3题
图乙
评析：此题考查了俯视图的概念，是2010年江西中考题关于三视图的考查的延续，素材选取两个相同纸杯叠放，图形简洁，却蕴含不少考点，比如它的主视图与左视图完全相同，也可以画出三视图还原成实物模型等，老师在进行解题教学时应充分挖掘题目中蕴含的各种信息，结合生活实际进行教学，培养学生的应用意识。
例2（2011•江西·16）.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB =30°.有以下四个结论：①AF⊥BC ②△ADG≌△ACF ③O为BC的中点 ④AG︰DE=3:4，其中正确结论的序号是 A .
B D G O E 第16题
F C 评析：此题是多项选择，考查了全等、相似及相应图形的简单推理计算等，情景非常简单，两个完全相同的三角板叠放，是学生们常见的数学情景，但内涵非常丰富，蕴含了很多非常好的结论如：∠DAC=120°；∠BAE=60°；∠DAC+∠DOC=240°；△ADG≌△BOG等，至少还有四对全等三角形，若连接BE,则△ABE为等边三角形，这些结论难度层次不一样，为满足整体难度控制的需要，试卷中选择的几个都不难证明，而且四个结论都是正确的，这与以往中考题四选三的结果不同，有些学生受习惯思维影响不敢全选，这也是导致很多学生这题不能得满分的一个原因，这也提示我们一线教师在教学中应秉承科学的态度，而不应有猜题押题的投机心理。
例3（2011•江西·20）有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm.最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等.
（1）直接写出其余四个圆的直径长； （2）求相邻两圆的间距.
反馈意见：在实际阅卷中发现至少有95%以上的同学并没有用方程的思想求解，而是用一种更直观、简便的算术方法进行求解。其中还有45%的同学解错（其中有部分学生计算能力薄弱的原因）。构建方程时的方程解法并未体现方程解法的优势。
评析：本题主要考查一元一次方程的应用建模，素材来源于常用的画圆工具板，最初的想法是给出间距d，给出最小圆的直径，其它条件不变，求最大圆的直径，或是求这把尺上一共可以有几个圆，这样设计思维含量更高，难度更大，计算要求也更高，从单个题来看这样设计效果更好，但为了整卷难度控制的需要，修改成直接写出其他几个圆的直径，再求出间距。然而一次中考的结束并不意味着对试题研究的终止，我们可以就这个素材进行很好的挖掘，以弥补中考试题处于难度控制的需要而不能尽情的发挥的遗憾，我们可以对试题进行以下改造：
见《初中数学学业评价技术》第173页例8有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减xcm.最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等.
（1）用含x的代数式表达出其余四个圆的直径长；
（2）若最大圆与最小圆的直径之比为15:11，求相邻两圆的间距。.
如此研讨改进试题，既充分保留与体现了试题命制者的那份独具匠心的发现与原创，有突出了用方程模型解答本题的数学本质。“没有最好，只有追求更好”
1.5 d 1.5 3 21 以此为背景其实可演变出很多其他的试题，如：
（样卷20）.如图，是学校在学生中征集的生物园一侧围栏纹饰部分的设计图案.其中每个圆的半径均为15cm，圆心在同一直线上，且每增加一个圆形图案，纹饰长度就增加bcm..围栏左右两边留有等距离空隙a cm（0≤a＜15）. （1）若b=25，则该纹饰需要201个圆形图案，求纹饰的长度y； （2）若b=24，则最多需要多少个这样的圆形图案？
例4（2011•江西·22）图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形，当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是CD，其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF =34cm，AB=FE=5cm，∠ABC =∠FED =149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格. （参考数据：314≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97.） B
图甲
图乙
A C D E F O b …… a y a A B C O O F E D C D B A O 34 图丙
E F
评析：本题构思精巧独特，主要考查解直角三角形，学生需添加辅助线构造两个直角三角形求解，难度不太大，有一定计算要求，关键要能正确审题。从评卷结果分析，这题平均分为 3.7分左右（满分9分），达到了预期的效果。试题情境的选择颇费了一番功夫，解直角三角形是一个重要知识点，在江西近几年的中考试题中已经有几年没有考查了，今年就想找到这样一个载体既要能很好的考查解直角三角形的知识，又要有新意不落俗套，命题组老师发现了水桶这样一个素材，其中有圆、线段、弧，提手要能从竖直位置旋转到桶口圆面以下，放到桶的一侧，才算合格的条件。影响他合格的因素有多个，比如提手线段部分要与桶口圆相离，还有提手顶端的弧长也有要求，怎样使用简明的语言把题意叙述清楚呢?这也同样让我们费尽了心思，一开始的设计意图是开放式的，让学生自己发现怎样的提手是合格的，并计算证明。这样大多学生可能在审题上要花费大量时间，于是就选择不考虑弧长直接给出提手合格的条件让学生判断并计算证明于是有了下面的初稿：
（初稿）在制作水桶提手（其结构图是轴对称图形）时，设计要求是：BC要与．．．．．水桶桶口所在圆（即以点O为圆心，OA为半径的圆）相切或相离时，提手才能从图甲过渡到图乙.如图丙，M-A-B-C-D-E-F-N（其中C-D是CD，其余是线段）是一个用铁丝做成的水桶提手，A、M、N、F在同一直线上，O是AF的中点.其中AM=FN=2cm，MN=30cm，AB=FE=5cm,且BA⊥AM，EF⊥FN，∠ABC =∠FED =148°.问：这个水桶提手是否符合设计要求？请通过计算做出判断.
（参考数据：tan73.6°≈3.4，sin74.4°≈0.963，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.600，314≈17.7.）
图甲
图乙
B A C A B C B A M O 30c图丙
E N F O O C D
初稿给定以后，发现语言叙述很累赘，不够简明，估计学生在理解题意上遇到困难，就有下面的二稿：
（二稿）如图甲是一个水桶模型，水桶提手部分结构是轴对称图形，当提手结构中的线段BC，DE与桶口所在圆（即以点O为圆心，OA为半径的圆）相切或相离时，提手才能从图甲的位置旋转到图乙的位置，这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手，如图丙（M-A-B-C-D-E-F-N，其中C-D是CD，其余是线段），A、M、N、F在同一直线上，O是AF的中点.其中AM=FN=2cm，MN=30cm，AB=FE=5cm，∠ABC =∠FED =149°，且BA⊥AM，EF⊥FN. 请通过计算判断这个水桶提手是否合格？（参考数据：tan73.6°≈3.4，sin75.4°≈0.97，
314≈17.7.）
又进一步把“当提手结构中的线段BC，DE与桶口所在圆（即以点O为圆心，OA为半径的圆）相切或相离时”，这句话修改成“当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），”语意更加简洁顺畅明了，并把参考数据由原来的六个减少为三个，（以免给学生心理上造成压力），这道题才算编制完成。
以上选取的几道试题背景均是日常生活中常见的实物模型，像这样的试题还有第8题考查一次函数，情景来源于生活中常见的闹钟钟面，第14题考查平面镶嵌（密铺），平行四边形的性质，菱形的性质。情景来源于某处铺设地面砖的图案
江西省赣州市会昌县教研室的刘 鑫老师写文《简洁美观，超凡脱俗》对此题进行了评析，以下是这篇文章的部分内容：
2011年江西卷第14题则从多角度对镶嵌问题进行了考查.
首先，该试题能力立意，不仅考查了镶嵌的核心知识，还考查了平行四边形和菱形的性质，更可贵的是还考查了考生的观察能力、运用应知识分析问题和解决问题的能力.因为，镶嵌问题的核心知识是“围绕同一点拼在一起的几个多边形的内角和为360”，而2011年江西．．．
0卷第14题所问的是不同顶点的两个角的关系，如果不能灵活运用所学知识进行分析，就不能完成该试题的解答.
其次，该试题考查了多种数学思想方法，如：用字母表示数的思想、数形结合思想、转化思想、数学建模思想和方程思想，等等.
结合试题的文字提示，对试题中两个角的位置和大小的交待，以及解答过程中不同顶点的其他相关角的代数式表示（如图7、图8），都利用了字母表示数的思想和数形结合思想；为了完成解答，要利用平行四边形的性质和菱形的性质，才能把不同顶点的角的大小转化为同一顶点的角的大小，这就是转化思想；为了求得x、y的关系，需要利用数学建模思想，用方程思想根据周角的定义列出等式，才能全面完成解答.
另外，本题还可以一题多解.
如图6，根据题意，结合图7，因为以点C为顶点的三个角组成一个周角类似地，借助以点E为顶点的五个角所组成的周角（如图8），同样可以得出y与x的关系式2yx180.
从分析和解答过程可以看出，2011年江西卷第14题的思维量较大.
总之，2011年江西卷第14题，从外貌上看，简洁而美观；从内涵上分析，则是超凡脱俗，与众不同.
2011年江西的中考试卷命制过程中，命题组老师殚精竭虑，精挑细选以确保试题素材的选取贴近学生的生活，最大程度的体现公平性原则，尽量为学生着想，在语言叙述方面，全卷语言尽可能简洁易懂，尽量避免冗长的语句，使文字阅读量从2010年的2674字降低到2250字。每道题，每个字，甚至是每一个小小的标点符号，都迸发着生命的活力，生活的气息，都无不凝聚着命题教师的心血和对学生的关爱。
2011年江西中考试卷是我们命题组教师心血的结晶，也许它不能完全表达出我们的美好意愿，也许它也有着这样那样的不完美，但它是我们怀着美好的愿望与期待孕育的新的生命，它表达着数学的朴实与美丽，散发着淡淡的清香。
我们在这里展现出我们的思想和设计的初衷，诚恳的与广大教师交流切磋，希望能听取百家之言，共同提高。
三、部分老师反馈意见及学生考试情况分析
（一）老师反馈意见
1.有些教师反映试卷普遍比较平稳，注重数学的应用性，注重对知识形成过程
的考查。相对于往年的新颖度不够，试题难度相对前几年的难度降了不少，学生
考完数学后相对较放松，没有出现往年学生考哭并影响下一门考试的情况.这与年初中考复习研讨会中提出的5:4:1相吻合。计算量相对减少并且基本没有什么繁杂的运算
2.由于阅卷都是网上阅卷，故分值的设置还应细化，尽可能提供多种解法。 3.关于有些似曾相识的题
如江西中考A卷第19题，在平面直角坐标系中借助菱形的性质及勾股定理求解点D、C的坐标，进而考查待定系数法求解反比例函数的解析式。是对学生必备基础知识的考查。此题平均得分为4.52分 。有老师反映与2011年中考样卷一的第15题相似。或者在某某地方找到某某题的影子。
试卷第23题，此题学生虽没进行过这方面的训练，此类素材出现形式在日常生活中无处不在，虽在审题时有些费时，但随着理解的深入与生活经验的重现，还是容易得分的。试卷第25题抽样统计平均分在2.8分左右（本题总分10分）。为此要求我们在日常教学中，应时刻关注身边的数学素材，注重开展与之相关的数学活动与数学研究，以提高学生的分析与探究能力。活动一中的（1）小棒能无限摆下去吗？答案是能。这是否会导致一个现实问题与学生判断失真的问题：如果能无限摆下去，你的现实小棒够用、够长吗，这如能加个注解（不考虑小棒是否够用问题）更好。试卷第7题参考答案选D，但如何连接“BC”，同样可证△ABD≌ACD，本题就没有选项，因此，设计试题要考虑全面、周到；希今后的中考命题工作中解决好这些问题，以便更好地发挥中考对数学教育教学的导向和促进作用。
（二）学生考试情况分析
1、成绩分析表 数 考生20分20 40 60 80 100 最高最低平均及格优秀标准总人及以↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 全距 分 分 分 率 率 差 数 下 39 59 79 99 120 学 备注 人数 22822 2166 2668 3768 4927 5964 3329 119 1 118 69.5 51% 21% 及格（72分以上）30.1 优秀（96分以上） 2、试题难度评价表
难度 0.85以上 0.60－0.85 0.40－0.59 0.20－0.39 0.20以下 题目数量 3 15 4 2 1 分值 9 62 20 19 10 占分比（%） 7.5 51.7 16.7 15.8 8.3 难度评价 容易 较易 中等偏难 较难 难 3、试题区分度评价表 区分度 0.4以上 0.30－0.39 0.20－0.29 0.20以下 4．各题得分率 题号 得分率 题号 得分率 题号 得分率 1 86% 11 75% 21 42% 2 85% 12 73% 22 28% 3 73% 13 67% 23 61% 4 78% 14 50% 24 13% 5 75% 15 53% 25 23% 6 71% 16 60% 7 76% 17 60% 8 65% 18 69% 9 95% 19 48% 10 70% 20 60% 题目数量 21 2 2 分值 101 6 13 占分比（%） 84.2 5 10.8 区分度评价 优秀 良好 合格 不合格 （表格中的数据以萍乡地区为主）
5.试卷中考生出现的典型问题有：
（1）部分考生基础知识掌握不扎实。具体表现为：数学概念不清晰。如第1题，比较负数的大小不清楚使得少数考生答案为“C”；不善于运用数形结合思想方法。如：第5题考查一次函数的图象与解析式中待定字母的关系，第14题考查镶嵌，第19题反比例函数等；运算能力较弱。如第10题因式分解：x3－x=_____。分解不彻底；第11题相当多考生的答案为“x＜1”，对二次根式1x中的被开方数“1－x”为“非负数”没有理解好；第17题相当多考生不会将分式“转化为“a”1aa”。说明平时“三基”的掌握还有欠缺。 a1（2）面对新颖性问题相当多考生缺乏信心，不能静心审题。例如：第20题
第（2）问相当多考生不善于依据题意联系图形建立方程，缺乏数形结合能力；第22题得分率仅28%，许多考生不能结合图形正确理解题意，特别是不善于将实际问题转化为解直角三角形问题来求解。
（3）解综合题，特别是解探索开放性方面的综合题能力不够强。例如：第24题是二次函数与几何综合题，运用知识比较多，同时蕴含方程与函数思想，分类讨论思想，考生很难想到平移过程中存在的两种情形，另外，在平移过程中，探索以A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情况是否存在更是难点，计算距离是不会转化为勾股定理求解，该题的得分率仅13%；第25题是压轴题，属课题学习方面问题，考查学生通过数学活动探索和归纳数学规律，主要难点有两个，第一是活动一中的求an的值，涉及到从特殊到一般的归纳方法，第二是活动二中“若只能摆放4根小棒，求θ的范围”，这里难点是“数学建模”，要求学生列出一元一次不等式组，确有难度，好在该题设置了几个填空，得分率有23%，较24题得分率更高。
6．教学中存在的问题及应对策略
参照以上分析可以看出我省数学教学仍存在不少问题：
（1）对基础知识，基本技能，基本思想方法重视不够。具体表现：考生对一些基本数学概念、法则、定理、数学规律理解不到位，对一些基本数学思想方法平时教学中缺乏总结、概括和提炼。
（2）仍有部分教师的教学观念有待更新。部分教师平时教学只注重知识传授，搞题海战术，缺乏自我消化、归纳的过程，特别是缺乏对学生能力的训练和培养，这样当遇到新题、活题，联系实际问题方面的题就缺乏心理准备和分析问题、解决问题的能力。
应对策略：
1．在平时的教学过程中注重对数学核心概念，基本思想方法总结、归纳和提炼。引导学生搭建自己的数学知识结构体系，并不断完善。
2．在教学过程中使学生明白数学定理和法则等只是发生发展的过程，这样有利于提高分析问题和解决问题的能力。
3．要指导学生经常反思自己的学习过程，通过学生自己的反思、总结，才能进一步看透问题的本质，优化过程，探索规律，创造有自己特色的经验，使自己能灵活地应用数学知识、技能和思想方法去解决数学问题。
4．平时教学过程中，鼓励学生留意生活中的数学，学会用数学的眼光看待身边的事物，遇到一个实际问题，先想想是否可以建立一个数学模型，然后试着去解决这个数学问题，再用这个解决了数学问题的思想方法去解释、理解、解决遇到的新的实际问题。
为本次试卷分析提供数据及参考的老师及教研员有：曹经富、肖冉、张仁
华、陶增元、 骆文娟、萍乡市教研室、南昌市教研室、赣州市教研室、铅山县、遂川县、于都县教研室等，在此不一一列举，非常感谢您们对省教研室工作的大力支持。
四、2012 年中考说明解读
（一）考试形式和试卷结构
考试采用闭卷笔试形式，全卷满分为120分，考试时间为120分钟。试题由
客观性试题和主观性试题两部分组成，客观性试题和主观性试题两部分的分值比例为35％：65％。客观性试题包括选择题和填空题，选择题6道，每道3分，共18分；填空题8道，每道3分，共24。分。主观性试题有10道，包括操作(作图)题和解答题(包括计算题、证明题、开放题、探索题、应用题等)，共78分。选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求写出结果，不必写出计算过程或推证过程；作图题只要求保留作图痕迹，不要求写作法；解答题在解答时都应写出文字说明、演算步骤或推理过程。
“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”三个领域所占分值比例约为45％、40％、15％，并将“课题学习”渗透到有关内容之中。
试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，三种试题分值之比为4.5：4：1.5 整卷试题的难度系数约为0．60。
（二）主要变化解读
1、试卷结构的变化 题号 一 二 题量 2012分值 2011年 年 2011年 2012三 3 4 18 24 四 2 2 16 16 五 2 2 18 18 六 2 2 20 20 合计 25 24 120 120 8 6 24 18 8 8 24 24 年 2、题型变化 ①原16题多项选择填空，变为多解填空（包括开放填空）；
②填空题有可能考虑对作图能力的考查，形式可以是简单作图，以网格线为背景的添画直线等，或提供情景，明确作图工具等按要求作图。
③第三大题增加一道中档题，画图题也可以根据整卷编排放在第三大题； ④二次函数题考虑突出以二次函数核心知识为主线的考查，可考虑围绕在一定情境下自然生成的二次函数问题展开探究。 ⑤压轴题不一定是课题学习题。
调整的理由：
1.减少选择题，尽可能考查学生真正的数学素养。
2.原16题，其实是一道多项选择题，可信度不高，也有“蒙”答案的成份，改成一题多结论的题目是加强了分类思想的考查，同时也是为了优化考生的思维品质，养成对待一个数学问题要有多角度思考习惯。
3.增加画图题，一是为了填补我省中考多年没有涉及的内容，二是进一步促进考生的数形结合的思想方法的掌握或是增强考生对图形的直觉感或是提高相关的操作能力。
4.对二次函数的考查角度的调整，目的将二次函数置于更为重要和突出地位，使二次函数不仅作为问题的背景与载体，而是围绕二次函数本质来考查。
5. 压轴题不一定是课题学习，主要是因为课题学习本质就是对数学问题探究，真正的实践活动能力很难用试题来考查，题中一些探究步骤（或过程）只能人为设置，这样设置的研究过程其实各种探究题也会有所体现。故不一定以课题学习形式出现。
举例说明：
1.关于作图题的考查
例1.下面图⑴、⑵、⑶都是由边长均为1的正方形拼接而成的,请你分别在各图中选四个顶点按下列要求连成四边形（有多种选法的只选一种）. （1） 在图⑴中连成面积为2的正方形；
（2） 在图⑵中连成面积为3的平行四边形（不能是特殊平行四边形）； （3） 在图⑶中连成面积为4的菱形.
例2.如下图②、 ③、 ④是3个全等的直角三角形,请你仿图①在②、③ 、④中分别添画出另一个与其全等的三角形,使每个图形分别成不同的轴对称图形(要求:所添画的三角形用虚线表示,同一个图形中的两个三角形的面必须有重叠部分,四个图形的对称轴不能平行,并画．出其对称轴).
2、关于填空最后一题
例1.如图， 在直角坐标系中，已知A（1，0）、B（－1，－2）、C（2，－2）三点坐标， 若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以 是 （－2，0） （0，－4） （4，0） .
a2b2例2．已知a、b为实数，且ab≠0，那么＝ 。 ab例3.仔细观察下列各组有序实数对:
第一组:(0,0)
第二组:(0,1),(1,0)
第三组:(0,2),(1,1),(2,0)
第四组:(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)
第五组:(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0) …………
根据其中蕴含的规律，若设实数对(a,a+1)与(2b,5)是同一组中相邻的两个实数对，则可求得这两个实数对分别是 . 3.关于计算器的考查
2011年3月15日在环湖宾馆召开中考数学复习研讨会，对计算器的使用及考查进行了问卷调查，共发调查问卷500份，收收回有效问卷233份。 ①学生拥有计算器的情况
从调查结果可以看出90%以上学生拥有计算器，品牌比较杂，有TY—82MS、TY—82PS型、GA-350MS-1、SC—82MS、SC—118B等学生专用科学计算器，可以进行根式、对数及三角、反三角函数运算。
②课堂教学中计算器的使用，及计算器的使用对学生计算能力的影响。
70．6%的老师在课堂上只在课标要求和教材内容设计计算器时让学生使用计算器，13.7%的老师不作要求，学生自愿使用。72%的老师认为计算器的使用对学生计算能力的培养有较大影响。51.3%老师认为学生依赖计算器对学生计算能力没有好处，25.4%老师认为计算器的有效教学能促进学生学习方式的转变。在单元、其中、期末测试中58.6%的老师允许学生使用计算器，57%的老师认为学生会担心考试时不能使用计算器。 ③关于计算器的考查
18.5%的老师认为应以明确的形式考查，59.2%的老师认为应淡化计算器的考查，13.3%的老师希望不以明确的形式考查。 ④关于使用计算器的优缺点
优点：方便、快捷、高效占51.2%，便于规律探究，方便统计占23.3%，顺应电子时代的发展占16.2%
缺点：易使学生过分依赖，养成惰性占66.7%，失去运算技能，不利培养数感占25.6%，成为舞弊工具占2.6%
⑤对今后计算器教学的思考及考查方式的转变
从以上调查可以看出，目前计算器已经成为一种学习用具存在于教学活动过
程中，而对这一学习工具老师和学生的态度是不一样的，学生们习惯用计算器代替自己运算，而老师却很担忧，几乎一半老师认为计算器的使用使学生计算能力下降，从而限制学生使用计算器。计算器在实际生活中的应用已非常普遍，对计算器的优点方便、快捷、高效便于规律探究，方便统计，顺应电子时代的发展等已被人们普遍认同，而日常教学仅仅停留在代数运算的简单基本操作上，老师和学生对计算器的认识也仅仅停留在这个层面，而计算器的功能其实非常强大，远不止于简单计算，今后如何引导计算器的教学方向和考查方向有待进一步的研究。今年计算器的考查从形式化走向常态化，允许使用计算器，但从命题的角度考虑，使用计算器需要有一定的智慧，不把计算器作为简单计算的工具。可以考虑从下面几个方面显示对计算器的考查：一类是用在解直角三角形等实际应用题中，一类是在填空题中考查三角函数，根式运算及求方程近似解。如：
例1.如图是一个带吸管的杯子及其主视图,其形状为等腰梯形ABCD,若杯口宽AD=7㎝,杯底宽BC=5㎝,杯壁CD与桌面EF的夹角为83°.一支吸管一端在杯底B处,另一端露出杯口3㎝,求吸管PB的长度. （可用计算器计算，精确到0.1）
(参考数据:sin83°≈0.99, cos83°≈0.12, tan83°≈8.25, 104.06≈10.2) 例2 计算sin230sin260__________.（可用计算器计算）
例3.用计算器求方程x230的近似解，则x≈______________(结果精确到0.01）. 例4.用计算器计算：sin182.1= （保留三个有效数字）.
例5.某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，, 支撑臂CD长度不变，可绕固定点C旋转，但只能转到与AF重合的位置，当且仅当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，（如图2）.AC＝30cm． AB60cm （1）在如图2中，求支撑臂CD的长（可用计算器，结果保留整数）； （2）在如图3中，当∠BAC＝12°时，求AD的长．（结果保留根号）
4. 空间图形的推理能力的考查略加强，仍注重对方程与函数思想的考查，对二次函数的考查希望能考察到函数的本质，而不仅仅是作为载体或背景出现。 2012.3.22
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