摘 要
随着全球经济日益繁荣，在人民物质生活极大程度提高的前提下，幸福指数的评价问题，已成为当今世界广泛讨论和高度重视的问题之一，它属于数学建模中的综合评价问题。而正确的确定影响民众幸福指数的指标体系、确定相应指标的权重和计算民众幸福指数，则能清楚的了解社会运行状况和民众生活状态。
问题一，根据题中附表给出的信息，我们采用模糊综合测评的方法确定了因素集U和评价等级V。并在附表中选取了大量因素，确定了5个一级指标和18二级指标，设定了5个评价等级。先据附表数据利用matlab 软件对各二级指标进行了单因素评判，再利用变异系数法求解各二级指标的权重，最后利用模糊综合测评法得出评判结果B'。即对网民幸福感的测定结果是，在与附表中调查的幸福程度进行比较，基本符合调查结果，说明我们建立的综合评价体系是合理可行的。
在建立指标模型时，我们采用了分值量化的思想，5个评价等级进行了指标量化，利用模糊综合评价体系中的单因素评判，对各二级指标进行了量化，再利用逐级合成的思想，建立了衡量幸福指数的数学模型。
问题二，通过调查得到的某地区教师和学生的幸福感数据，先利用问题一建立的模糊综合评价体系，分别求解得到该地区教师和学生对幸福程度评价等级的比率B'教，B'学，以及利用该评价等级得到的综合幸福指数H'教，H'学。再利用问题一建立的衡量幸福指数的数学模型求解得到该地区教师和学生的综合幸福指数H教，H学。对两种方法得到的综合幸福指数进行比较，我们建立的模型计算得到的综合幸福指数和通过调查数据计算得到的综合幸福指数基本吻合，说明我们建立的模型对该地区的教师和学生幸福感调查同样适用。最后利用层析分析法求解出了影响该地区教师和学生幸福感的主要因素。
问题三，通过问题一建立了综合评价体系和衡量幸福指数的模型，又由问题二对我们建立的模型的验证。可见我们建立的模型是可以对调查某地区范围内的幸福感、满意度等问题进行推广的。
问题四，通过建立评价体系，建立衡量幸福指数的模型，并通过问题二的验证，我们就得到地结果给相关部门写了一封建议信。
关键词 模糊综合评价 变异系数法 幸福指数 指标量化 层次分析法
一、 问题重述
幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。它表现为在生活满意度基础上产生的一种积极心理体验。而幸福指数，就是衡量这种感受具体程度的主观指标数值。如果说GDP、GNP是衡量国富、民富的标准，那么，百姓幸福指数就可以成为一个衡量百姓幸福感的标准。百姓幸福指数与GDP一样重要，一方面，它可以监控经济社会运行态势；另一方面，它可以了解民众的生活满意度。可以说,作为最重要的非经济因素，它是社会运行状况和民众生活状态的“晴雨表”，也是社会发展和民心向背的“风向标”。国内学者也对幸福感指数进行了研究，试图建立衡量人们幸福感的量化模型，可参看附件的参考论文。
根据你自己对幸福感的理解，要求完成以下工作：
1、附表给出了网上调查的一系列数据，根据这些数据，试建立网民幸福感的评价指标体系，并利用这些指标建立衡量幸福指数的数学模型。
2、试查找相关资料，分别建立某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数的数学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素。
3、你所建立的评价体系和模型，能否推广到更加普遍的人群，试讨论之。
4、根据你所建模型得出的结论，给相关部门(例如政府、或学校管理部门等)写一封短信(1页纸以内)，阐明你对幸福的理解和建议。
二、 问题分析
2.1问题一的分析
根据题中附表给出的信息，我们采用模糊综合测评的方法确定了因素集U和评价等级V。并在附表中选取了大量因素，确定了5个一级指标和18二级指标，设定了5个评价等级。先据附表数据利用matlab 软件对各二级指标进行了单因素评判，再利用变异系数法求解各二级指标的权重，最后利用模糊综合测评法得出评判结果B'。即对网民幸福感的测定结果是，在与附表中调查的幸福程度进行比较，基本符合调查结果，说明我们建立的综合评价体系是合理可行的。
在建立指标模型时，我们采用了分值量化的思想，5个评价等级进行了指标量化，利用模糊综合评价体系中的单因素评判，对各二级指标进行了量化，再利用逐级合成的思想，建立了衡量幸福指数的数学模型。
2.2问题二的分析
通过调查得到的某地区教师和学生的幸福感数据，先利用问题一建立的模糊综合评价体系，分别求解得到该地区教师和学生对幸福程度评价等级的比率B'教，B'学，以及利用该评价等级得到的综合幸福指数H'教，H'学。再利用问题一建立的衡量幸福指数的数学模型求解得到该地区教师和学生的综合幸福指数H教，H学。对两种方法得到的综合幸福指数进行比较，我们建立的模型计算得到的综合幸福指数和通过调查数据计算得到的综合幸福指数基本吻合，说明我们建立的模型对该地区的教师和学生幸福感调查同样适用。最后利用层析分析法求解出了影响该地区教师和学生幸福感的主要因素。
2.3问题三的分析
通过问题一建立了综合评价体系和衡量幸福指数的模型，又由问题二对我们建立的模型的验证。可见我们建立的模型是可以对调查某地区范围内的幸福感、满意度等问题进行推广的。
2.4问题四的分析
问题四，通过建立评价体系，建立衡量幸福指数的模型，并通过问题二的验证，我们就得到地结果给相关部门写了一封建议信。
三、 模型假设和符号说明
3.1模型的假设
1)假设所有数据都是合理科学的；
2)假设所有问卷调查都是网民真实想法的体现；
3.2符号说明
U----影响因素集合
V----评价等级 R----决策矩阵
rij----第i个因素ui在第j个评价等级上的频率分布
yij----指标中的原始数据r转化成用于评价的值
ijY----决策矩阵
Vi----变异系数
wi----由变异系数得出的指标权数 w----各个指标的权重矩阵 B----模糊矩阵
Kj----第i个一级指标下第j个二级指标的指标值
Ho----一级指标 Hs----二级指标
H----综合幸福指数
四、 模型的建立与求解
4.1问题一的求解
据附表可知，影响网民幸福指数的各个因素中共有19个指标。我们根据日常积累的经验和通过咨询相关资深专家，选取18个指标划分为五大类,分别是:身心健康、人际交往、自我价值的实现、物质保障、环境舒适度。我们将18项指标进行了分类处理，余下一个指标“您认为自己的幸福程度如何？”，为的是对下文中计算出的幸福指数进行检验。 1.评价指标体系 一级指标 指标指标 名称 二级指标 指标名称 自己是个怎样的人 生活态度 工作、学业上的压力 业余生活 身体健康状况 和家人的关系 和朋友（同学）的关系 和邻居的关系 和同事的关系 自我 价值 实现 物质 保障 环境 舒适 度 事业发展前途 评价 指标 非常 幸福 0.12 0.14 0.18 0.11 0.05 0.27 0.20 0.08 0.18 0.13 0.09 0.06 0.08 0.07 0.10 0.15 0.13 0.19 比较 幸福 0.41 0.52 0.38 0.26 0.36 0.45 0.58 0.20 0.59 0.34 0.25 0.21 0.22 0.20 0.31 0.20 0.34 0.37 一般 0.33 0.21 0.34 0.48 0.51 0.21 0.16 0.41 0.17 0.39 0.42 0.41 0.51 0.24 0.42 0.32 0.40 0.29 不太 幸福 0.12 0.10 0.07 0.10 0.08 0.05 0.04 0.22 0.04 0.09 0.16 0.23 0.13 0.32 0.14 0.18 0.10 0.10 很不幸福 0.03 0.03 0.03 0.06 0.01 0.02 0.02 0.09 0.02 0.04 0.08 0.10 0.06 0.17 0.04 0.15 0.02 0.06 身心 健康 人际 交往 工作、学业上的成就 社会经济发展状况 住房条件 目前的收入 城市社会治安 城市环境 城市生活节奏 城市出行便利 2.评价方法
本体系采用分类模糊综合评价法进行评价，即将评价指标分类，分别由相对的评价人员进行评价，分类评价中又采用模糊综合评价的方法进行，最后进行加权得到总体评价。模糊综合评价法是基于模糊数学模糊集理论，对评价对象作以综合评价的一种方法，它以模糊数学为基础，应用模糊关系合成定理，将一些边界不清、不一定量的因素定量化，通过构造等级模糊子集把反映被评事物的模糊指标进行量化，然后利用模糊变换原理对各个指标进行综合评价的一种方法，它以比较符合教育现象的模糊性，并且能全面的汇集各个评价人员的意见。 3.评价指标权重的确定
各指标权重的确定是一个重要而又复杂的问题，它反映了各类因素在基于看病评价指标体系中所处的地位。本文采用变异系数法确定指标的权重。这是一种客观赋值的方法，它可以避免主观赋权法带来的主观任意性，得到系统中各因素相应的权重，从而为模糊评价方法中权重集的确定提供有效的方法。采用变异系数法确定各指标的权重，解决了评价系统中仅靠定性分析或逻辑判断而无定量分析和难以做出精确分析的问题。 1.确定因素集和设置评价等级。
对于网民幸福指数的评价，据附表可将其因素集确定为：
分别按身心健康、人际交往状、自我价值的实现、物质保障和环境舒适度五个方面划分n个子因素集：u1,u2,,un.n1,,5.
,n)。分别表示“非常满意”、
设置评价等级为V=｛v1,v2,……,vn},n=1,2,…,5. 其中vi(i=1,
“比较满意”、“基本满意”、“还可以”、“不太满意”、“不满意”。
注：附表共给出19项指标，在测评因素集中只取了18项，余下一个“幸福程度”留作检验最后测定结果的指标。 2.确定决策矩阵。
若第i（i=1,2,……,m）个评判因素u，其单因素评判结果为R=[ ri1,ri2,……,rin],则m个评判因素的评判决策矩阵为：
则在问题一中，可得综合评判决策矩阵为R： 3.确定评价因素的权重向量
本文采用变异系数法确定指标的权重。这是一种客观赋值的方法，它可以避免主观赋权法带来的主观任意性。具体步骤如下：
（1）进行归一化处理
对原始数据rij进行归一化处理，公式为：
rijrmin(j)效益型指标：y
ijrrmin(j)max(j)rmax (j)rij成本型指标：yij
rmax(j)rmin(j)其中：
经过以上的变化之后，指标中的原始数据r转化成用于评价的值y，使所有值集中在[0，1]
ijij之间。所有的y得到一个决策矩阵：
ijY(yij)185。
（2）计算均值yi。 （3）计算标准差si。
（4）根据均值和标准差求变异系数Vi。 （5）用变异系数确定指标的权数Wi。
根据以上步骤计算即可得到各个指标的权重矩阵W(W1,W2,....Wi)，其中Wi为各指标的权重
值,i1,2,,18。则在问题一中，可得权重矩阵W如下（程序见附录二）：
W=（0.05 0.07 0.05 0.06 0.08 0.06 0.08 0.05 0.08 0.05 0.05 0.05 0.06 0.03 0.05 0.02 0.06 0.04）
4.得出评判结果。
一般来说，同一事物均有多种属性，事物的不同侧面反映了它们的不同特征，所以，在评价事物时，不能只考虑一种因素，而必须兼顾事物的各个方面，因此，为了综合考虑全部因素对评价对象取值的影响，需做模糊综合评价。
如果各因素的重要程度一样，也就是权重集中的诸权数均相同，这时，只要将矩阵中各列元素
相加，便分别得到评价集中各元素的“得分”多少，若各因素权重不等，则需作模糊矩阵运算:
运用matlab软件计算，归一化处理后得（程序见附录三）：
图1可直观反映评判矩阵B'的评定结果，
即，对网民幸福感的测定结果是，13%的网民“非常满意”，36%的网民“基本满意”，34%的网民“还可以”、11%的网民“不太满意”、5%的网民“不满意”。 4.1.4建立指标值的量化模型 1.指标的分值量化
综合相关文献，对主观指标分值量化，可采取5～1分赋值法。即设计问卷时，对主体题采用诸如“非常满意”、“比较满意” 、“基本满意”、“比较不满意”、 “非常不满意”之类答项并按序排列，分别给予5～1分的分值，即“非常满意” 为5分， 比较满意为4分，依此类推，非常不满意为1分，由此计算指数值。 2.指标值的量化模型
对于第i个一级指标下第j个二级指标的指标值Kj可以加权平均值求出。 求各二级指标的指标值的公式如下：
用matlab软件计算得到（程序见附录四）：
Kj(3.503.643.613.293.393.903.902.963.873.403.112.933.132.683.323.023.433.56)
1.权数的取值
鉴于本文构建的指标体系中共有一级5项，二级指标18项，其中二级指标也可称为扩展指标，是为扩大信息量对部分一级指标的进一步扩展。各级指标的权数确定，利用建立的模糊综合评价体系中的确定各指标的变异系数法确定来确定指标的权数。 2.指标的合成
指标值和权数确定后，将各级指标进行合成，最后测算出总的幸福指数。经验显示，二级指标、一级指标间的叠加效应较明显，用二级指标值合成一级指标值可用加权平均法；再用一级指标利用加权平均法合成幸福指数值。 3.加权合成模型
利用加权合成的方法，将一级指标和二级指标进行合成，再将一级指标加权合成总的幸福指数H,公式如下(程序见附录五)：
注：此处的a,b,c,…为各二级指标分别占所在的一级指标中的权重。
由题目附表给出的关于“您觉得自己幸福吗”的调查问卷数据如下： 选 项 内 容 得票数 1 非常幸福 255 2 比较幸福 680 3 一 般 684 4 不太幸福 246 5 很不幸福 112 根据该表数据，通过利用matlab软件计算得到评价为“非常满意”、“比较满意”、“基本满意”、“还可以”、“不太满意”、“不满意”的比率分别为：0.129,0.344,0.346,0.1244,0.0567。利用分值量化的方法算得综合幸福指数
，与我们通过建立评价体系得出的H5*0.1294*0.3443*0.34620*满意度比率：B'[0.130.360.340.110.05]和衡量幸福指数建立的量化模型算得的综合幸福指数H3.37比较，误差仅为0.008%，由此说明我们建立的模糊综合评价体系和幸福指数模型
的可行性和准确度。
4.2问题二的求解
对于问题二，要求针对某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数，分别建立数学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素。首先调查得到某地区所有影响教师和同学幸福指数的因素集，对于教师和学生，由于影响他们的幸福指数因素的侧重不同，所以可以对各个因素分配不同的权重来匹配每个因素对老师和学生幸福指数的影响。
根据数据，我们依旧可以模糊综合评价的方法，对影响老师和学生幸福指数的各个因素进行分类为一级指标和二级指标。第一步，仍旧采用变异系数法确定指标的权重和模糊综合评价的方法，分别给出老师和学生的幸福指数；第二步，可以依据各指标因素建立层析分析法的模型分别找出影响老师和学生幸福感的主要因素。 1.教师的幸福指数
对于影响教师幸福指数的各个指标的问卷调查中，各个指标的评价集记为{非常满意、比较满意 、基本满意、比较不满意、 非常不满意}，利用分值量化，其分别对应的数值为{5，4,3,2,1}。各个指标中对于各个分值的评价用此分值所占的票数除以此指标的总票数而得，从而计算出每个指标的指标值及指标权重，如下表所示（程序见附录六）： 一级指标 指标指标 名称 身心 健康 二级指标 指标名称 生活态度 工作上的压力 业余活动 身体健康状况 和家人的关系 和学校、同事关系 和邻居的关系 自我 价值 实现 物质 保障 环境 指标 评价 非常 幸福 0.09 0.09 0.10 0.12 0.23 0.19 0.11 0.17 0.08 0.12 0.04 0.17 0.14 0.11 比较 幸福 0.39 0.29 0.31 0.30 0.39 0.43 一般 0.27 0.26 0.20 0.35 0.18 不太 幸福 0.11 0.18 0.13 0.14 0.14 很不幸福 0.14 0.19 0.26 0.10 0.07 0.06 0.11 0.17 0.35 0.13 0.39 0.18 0.15 0.19 人际 交往 0.18 0.13 0.23 0.34 0.21 0.28 0.22 0.22 0.23 0.29 0.30 0.31 0.27 0.22 0.35 0.21 0.23 0.27 0.26 0.11 0.13 0.18 0.13 0.13 0.14 0.13 专业素养的评价 对教师的热爱度 教学效果 目前的收入 住房条件 福利待遇 学校管理 舒适度 城市环境 城市社会治安 0.09 0.11 0.29 0.27 0.43 0.40 0.11 0.14 0.08 0.09 城市出行便利 0.11 0.29 0.37 0.13 0.10 2.学生的幸福指数 对于影响学生幸福指数的各个指标的问卷调查中，各个指标的评价集记为{非常满意、比较满意 、基本满意、比较不满意、 非常不满意}，其分别对应的数值为{5,4,3,2,1}。各个指标中对于各个分值的评价用此分值所占的票数除以此指标的总票数而得，从而计算出每个指标的指标值及指标权重，如下表所示（程序见附录七）： 一级指标 指标名称 指标 二级指标 指标名称 恋爱状况 生活态度 学业上的压力 业余生活 身体健康状况 和家人的关系 和朋友（同学）的关系 和老师的关系 身形、外貌满意度 学业上的成就 毕业前途 未来目标 家庭经济状况 月可支配金额 城市社会治安 学校环境 教学设备完善度 指标 评价 非常 满意 0.57 0.13 0.34 0.40 0.43 0.33 0.20 0.09 0.34 0.23 0.11 0.03 0.06 0.11 0.11 比较 满意 0.09 0.58 0.27 0.20 0.34 0.56 0.34 0.50 0.27 0.23 0.43 0.29 0.21 0.31 0.29 基本 满意 0.11 0.25 0.20 0.23 0.14 0.06 0.36 0.18 0.20 0.25 0.16 0.36 0.33 0.26 0.37 不太 满意 0.11 0.02 0.11 0.14 0.05 0.04 0.07 0.20 0.11 0.27 0.18 0.18 0.21 0.13 0.12 很不 满意 0.11 0.01 0.07 0.03 0.05 0.01 0.02 0.02 0.02 0.07 0.02 0.11 0.15 0.20 0.19 0.11 身心 健康 人际 交往 自我 价值 实现 物质保障 0.16 0.41 0.33 0.08 环境 舒适度 0.14 0.30 0.27 0.147 0.15 出行便利 0.11 0.27 0.40 0.14 0.09 1.利用问题一建立的评价体系，可以计算出影响教师幸福感和学生幸福感的各二级指标的权重向量（程序见附录八）：
W教=（0.07 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.05 0.04 0.06 0.05 0.07 0.03 0.04 0.05 0.09 0.07 0.07）
W学=（0.08 0.09 0.04 0.05 0.07 0.09 0.06 0.06 0.07 0.04 0.04 0.05 0.05 0.04 0.03 0.05 0.03 0.05）
2.再利用模糊综合评价计算出教师和学生对幸福感的五个评价等级“非常满意”、“比较满意” 、“基本满意”、“比较不满意”、 “非常不满意”的比率（程序见附录九），归一化处理后结果分别为：
B教=（0.12 0.30 0.28 0.14 0.15） B学=（0.23 0.35 0.23 0.11 0.07）
3.又利用建立的分值量化的量化模型，根据B教、B学求解出五个评价等级“非常满意”、“比较满意” 、“基本满意”、“比较不满意”、 “非常不满意”的综合幸福指数：
4.最后利用计算综合幸福指数的加权合成模型，将二级指标进行加权合成为各自的一级指标，再用一级指标加权合成总的综合幸福指数H，得到教师和学生的综合幸福指数如下（程序见附录
十）：
5.通过利用分值量化模型，根据B教、B学求解出五个评价等级“非常满意”、“比较满意” 、“基本满意”、“比较不满意”、 “非常不满意”的综合幸福指数,H'教=3.07,H'学=3.53和利用各级加权合成模型，得到教师和学生的综合幸福指数H'教=3.05，H'学=3.55进行比较，结果证明了我们建立的模型的可行性和准确性。最后得到了该地区教师和学生的综合幸福指数。 1.构造判断矩阵
层次分析法反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者心目中，它们各占有一定的比例。在本题中，我们对18于学生，采用个二级指标作为准则层，对于老师，采用17个二级指标作为准则层项目。
要比较n个因子对某因素Z影响大小，我们采取对因子进行两两比较建立比较矩阵的办法，全部比较结果用矩阵Aaij1~9标度的含义：
表 判断矩阵标度及其含义
序号 重要性等级 赋值 表示。其中aij的由数字1~9作为标度，且满足ajinn1，下表5列出了aij1 2 3 4 5 6 7 8 9 i ，j 两元素同等重要 i元素比j 元素稍重要 i元素比j 元素明显重要 i元素比j 元素强烈重要 i元素比j 元素极端重要 i元素比j 元素稍不重要 i元素比j 元素明显不重要 i元素比j 元素强烈不重要 i元素比j 元素极端不重要 1 3 5 7 9 1/3 1/5 1/7 1/9 注： Cij ＝ ｛２,４,６,８,1/2，1/4，1/6，1/8｝表示重要性等级介于Cij ＝ ｛１,３,５,７,９,1/3，1/5，1/7，1/9｝。这些数字是根据人们进行定性分析的直觉和判断力而确定的。
据此，给出学生和教师的成对比较阵S和T： 2.层次排序及一致性检验
随机一致性指标RI的数值如表6所示： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 RI 0 0 0.6 0.9 1.1 1.2 1.3 1.4 1.45 1.5 1.5 1.5 1.5 1.58 1.59 1.59 1.6 1.61 表6 随机一致性指标RI的数值
经matlab计算可得：
W学=[0.13 0.16 0.02 0.03 0.08 0.16 0.06 0.06 0.08 0.02 0.02 0.03 0.03 0.02 0.01 0.03 0.01 0.03]，
学=18.84，CI学=0.05，RI=1.61。
CI学故，CR学==0.03<0.1 通过一致性检验。
RIW教=[0.08 0.02 0.03 0.05 0.08 0.13 0.03 0.02 0.05 0.03 0.08 0.01 0.02 0.03 0.17 0.08 0.08]
教=17.31，CI教=0.02，RI=1.61。
故，CR教=
CI教RI=0.01<0.1 通过一致性检验。
从而认为S和T的不一致程度在容许范围之内，可以用其特征向量作为权向量。（程序见附录11）
4.3问题三的求解 模型的推广：
该类问题是将主观的问题进行量化，我们可以将该模型应用于顾客满意度等类似的问题中，开展问卷调查，然后根据上述幸福指数模型, 可以分层次对影响顾客满意度的各因素作出综合评价, 也可以对顾客满意度作出总体的评价。通过该模型的构建, 可以有针对性地对企业的产品或服务质量作出细致而科学的评价, 并可推广到一般满意度的测量中。
4.4问题四的求解
关于提高教师幸福指数的建议信
尊敬的各位领导： 你们好：
我们是***的调查小组，最近对贵校老师和学生分别做了一次关于“影响幸福指数的因素”的问卷调查，并统计出了一些影响教师学生幸福指数主要因素，结果显示了一些较有参考价值的因素，根据数据分析结果提出我们自己的一些建议。希望您能从百忙中抽出一点时间，来了解贵校师生的幸福状况，并采取一些措施，对师生幸福指数有实质上的提高。
首先，从教师的问卷得出影响幸福的主要因素按其重要性依次为：身心健康（）、人际交往（）、自我价值的实现（）、物质保障（）、环境舒适度（），由此可看出在教师心中，从 更容易使他们感到幸福。
其次，从收集到的学生的问卷中统计影响他们幸福五个主要因素是：身心健康（）、人际交往（）、自我价值的实现（）、物质保障（）、环境舒适度（）。这反映出大学生从自己家庭中独立后，逐渐开始自己适应生活， 更容易是大学生们感到幸福。
最后，综合本校教师学生两个群体共同可以看出：在完成自己本职工作后获得的满足占幸福的主要因素。老师可能因为已经在工作，他们注重于同事朋友之间的交往；而学生则是对自己将来的规划，自我价值的实现更在意。除此之外，学生更喜欢得到老师家人同学赞扬，家庭因素和恋人也对他们的幸福起很大的推动作用。
对于调查结果我们提出一些意见如下：学校应该为师生营造一个良好的学习生活氛围，让他们心情愉悦，幸福指数有所提升。很明显，师生主要从自己工作中获幸福，所以学校应提高管理及教学效率。条件允许的情况下，为教师提高工作待遇的质量。为学生们提供一些类似于职业规划的讲座。更重要的是能建立公正合理的激励机制。最终，定期对师生进行幸福度调查，实况追踪了解他们的幸福因素，不断改善。
非常感谢您读完我们的信，如果您对我们的调查内容及方法感兴趣，您可以联系我们。
非常感谢！
此致
敬礼！
五、 模型的评价
优点：
1. 此模型可以推广到实际生活中，作为国家税收改革的参考。
2. 以题目中所给的信息为核心，建立了以起征点为变量的满意度函数，充分考虑 了国家和国民的满意度，从构建和谐社会的大局观出发是合情合的。 3. 因为是结合实际人均GDP所作出的预测和计算，所以贴近现实；
4. 此模型考虑因素较多，我们灰色预测等进行了充分的模型评价与检验。 5. 运用MATLAB进行编程计算，使解决该模型更加容易和快捷
缺点：
现实的情况可能对模型的求解有一定的影响，但从模型检验来讲本模型还是正确。
2. 本模型可能由于统计相关的数据不是很全面，且大多是根据平均值进行计算的，故对结果可
1.
能有一定影响。
六、 参考文献
[1] 姜启源 谢金星 叶俊，《数学模型（第三版）》：高等教育出版社，2003年8月。 [2] 萧树铁 姜启源 何青 高立，《数学实验》：高等教育出版社，1999年7月。 [3] 中华人民共和国国家统计局，中国统计年鉴2010：中国统计出版社，2010年。 [4] 韩中庚,数学建模竞赛获奖论文精选与点评[M],北京：科学出版社，2007年5年。 [5] 曲军恒，个人所得税起征点分析，佛山科技技术学院 ，2007年。
[6] 韩中庚，招聘公务员问题的优化模型与评述，工程数学学报，2004年12月。
七、 附录
附录一
>> A=[229 813 657 228 50;276 1028 411 201 61;359 744 665 140 69;... 210 506 943 200 118;95 714 999 159 10;538 898 411 94 36;... 391 1153 319 73 41;157 400 812 429 179;348 1168 341 71 49;... 265 677 780 185 70;184 492 839 311 151;122 412 807 447 189;... 168 431 1016 253 109;134 405 482 626 330;190 607 825 270 85;... 300 398 627 354 298;262 673 793 205 44;369 724 579 189 116]; for i=1:18; j=1:5;
R(i,j)=A(i,j)./sum(A(1,:)); end
format bank R R =
0.12 0.41 0.33 0.12 0.03 0.14 0.52 0.21 0.10 0.03 0.18 0.38 0.34 0.07 0.03 0.11 0.26 0.48 0.10 0.06 0.05 0.36 0.51 0.08 0.01 0.27 0.45 0.21 0.05 0.02 0.20 0.58 0.16 0.04 0.02 0.08 0.20 0.41 0.22 0.09 0.18 0.59 0.17 0.04 0.02 0.13 0.34 0.39 0.09 0.04 0.09 0.25 0.42 0.16 0.08 0.06 0.21 0.41 0.23 0.10 0.08 0.22 0.51 0.13 0.06 0.07 0.20 0.24 0.32 0.17 0.10 0.31 0.42 0.14 0.04 0.15 0.20 0.32 0.18 0.15 0.13 0.34 0.40 0.10 0.02 0.19 0.37 0.29 0.10 0.06
附录二
>> R=[0.12 0.41 0.33 0.12 0.03 0.14 0.52 0.21 0.10 0.03 0.18 0.38 0.34 0.07 0.03
0.11 0.26 0.48 0.10 0.06 0.05 0.36 0.51 0.08 0.01 0.27 0.45 0.21 0.05 0.02 0.20 0.58 0.16 0.04 0.02 0.08 0.20 0.41 0.22 0.09 0.18 0.59 0.17 0.04 0.02 0.13 0.34 0.39 0.09 0.04 0.09 0.25 0.42 0.16 0.08 0.06 0.21 0.41 0.23 0.10 0.08 0.22 0.51 0.13 0.06 0.07 0.20 0.24 0.32 0.17 0.10 0.31 0.42 0.14 0.04 0.15 0.20 0.32 0.18 0.15 0.13 0.34 0.40 0.10 0.02 0.19 0.37 0.29 0.10 0.06]'; x=mean(R); %均值 s=std(R); %标准差 t=s./x; %变异系数 W=t./sum(t) %权向量 W =
Columns 1 through 9 0.05 0.08 Columns 10 through 18 0.06 0.04
0.05 0.07 0.05 0.06 0.08 0.06 0.08
0.05 0.05 0.05 0.06 0.03 0.05 0.02
附录三
>> W=[0.05 0.07 0.05 0.06 0.08 0.06 0.08 0.05 0.08 0.05 0.05 0.05 0.06 0.03 0.05 0.02 0.06 0.04];
R=[0.12 0.41 0.33 0.12 0.03
0.14 0.52 0.21 0.10 0.03 0.18 0.38 0.34 0.07 0.03 0.11 0.26 0.48 0.10 0.06 0.05 0.36 0.51 0.08 0.01 0.27 0.45 0.21 0.05 0.02 0.20 0.58 0.16 0.04 0.02 0.08 0.20 0.41 0.22 0.09 0.18 0.59 0.17 0.04 0.02 0.13 0.34 0.39 0.09 0.04 0.09 0.25 0.42 0.16 0.08 0.06 0.21 0.41 0.23 0.10 0.08 0.22 0.51 0.13 0.06 0.07 0.20 0.24 0.32 0.17 0.10 0.31 0.42 0.14 0.04 0.15 0.20 0.32 0.18 0.15 0.13 0.34 0.40 0.10 0.02 0.19 0.37 0.29 0.10 0.06];
B=W*R B =
0.13 0.36 0.34 0.11 0.05 附录四
>> R=[0.12 0.41 0.33 0.12 0.03 0.14 0.52 0.21 0.10 0.03 0.18 0.38 0.34 0.07 0.03 0.11 0.26 0.48 0.10 0.06 0.05 0.36 0.51 0.08 0.01 0.27 0.45 0.21 0.05 0.02 0.20 0.58 0.16 0.04 0.02 0.08 0.20 0.41 0.22 0.09 0.18 0.59 0.17 0.04 0.02 0.13 0.34 0.39 0.09 0.04 0.09 0.25 0.42 0.16 0.08 0.06 0.21 0.41 0.23 0.10 0.08 0.22 0.51 0.13 0.06 0.07 0.20 0.24 0.32 0.17 0.10 0.31 0.42 0.14 0.04 0.15 0.20 0.32 0.18 0.15 0.13 0.34 0.40 0.10 0.02 0.19 0.37 0.29 0.10 0.06]; K=[R(:,1).*5+R(:,2).*4+R(:,3).*3+R(:,4).*2+R(:,5).*1] K =
3.50 3.64 3.61 3.29 3.39 3.90 3.90 2.96 3.87 3.40 3.11 2.93 3.13 2.68 3.32 3.02 3.43 3.56 附录五 >> K=[3.4766 3.6360 3.5989 3.2477 3.3671
3.9142 3.9005 2.9628 3.8573 3.4457 3.1253 2.9145 3.1498 3.2766 3.0239 2.6901 3.4571 3.5264];
w =[0.0564 0.0655 0.0528 0.0592 0.0760 0.0612 0.0784 0.0460 0.0793 0.0547 0.049 0.0469 0.0641 0.0540 0.0237 0.0318 0.0560 0.0447]; for i=1:18
HSj=w(i)*K(i); end
HSj=[0.1961 0.2382 0.1900 0.1923 0.2559 0.2395 0.3058 0.1363 0.3059 0.1885 0.1531 0.1367 0.2019 0.1769 0.0717 0.0855 0.1936 0.1576];
HO1=HSj(1)+HSj(2)+HSj(3)+HSj(4)+HSj(5); HO2=HSj(6)+HSj(7)+HSj(8)+HSj(9); HO3=HSj(10)+HSj(11);
HO4=HSj(12)+HSj(13)+HSj(14);
HO5=HSj(15)+HSj(16)+HSj(17)+HSj(18); H=HO1+HO2+HO3+HO4+HO5 H =
3.43 附录六
>> A=[19 86 61 25 32; 20 64 57 40 42; 22 69 44 30 58; 25 66 75 30 21; 50 85 40 30 15; 41 93 39 28 13; 25 50 75 46 23; 38 62 60 25 38; 17 49 50 30 77; 27 50 78 40 28; 8 51 46 30 88; 37 64 52 30 40; 30 67 60 32 33; 24 69 58 30 42; 21 64 95 25 18; 25 60 90 31 20; 27 69 89 32 24]; for i=1:17; j=1:5;
R(i,j)=A(i,j)./sum(A(i,:));
end format bank R R =
0.09 0.39 0.27 0.11 0.14 0.09 0.29 0.26 0.18 0.19 0.10 0.31 0.20 0.13 0.26 0.12 0.30 0.35 0.14 0.10 0.23 0.39 0.18 0.14 0.07 0.19 0.43 0.18 0.13 0.06 0.11 0.23 0.34 0.21 0.11 0.17 0.28 0.08 0.22 0.12 0.22 0.04 0.23 0.17 0.29 0.14 0.30 0.11 0.31 0.09 0.29 0.11 0.27 0.11 0.29 附录七
>> A=[250 40 50 50 50; 60 260 110 10 5; 150 120 90 50 30; 140 70 80 50 10; 190 150 60 20 20; 120 200 20 15 5; 90 150 160 30 10; 75 190 155 35 10; 40 220 80 90 10; 150 120 90 50 30; 100 100 110 120 10; 50 190 70 80 50; 6 67 85 41 35; 13 49 77 50 47; 24 69 58 30 42; 27 69 89 30 26; 30 67 60 32 33; 25 60 90 31 20]; for i=1:18; j=1:5;
R(i,j)=A(i,j)./sum(A(i,:)); end format bank R R =
0.57 0.09 0.13 0.58 0.27 0.11 0.22 0.13 0.35 0.18 0.21 0.13 0.23 0.13 0.27 0.14 0.26 0.13 0.43 0.11 0.40 0.14 0.37 0.13 0.11 0.11 0.25 0.02 0.17 0.35 0.13 0.39 0.18 0.15 0.19 0.08 0.09 0.10 0.11 0.01
0.34 0.27 0.20 0.11 0.07 0.40 0.20 0.23 0.14 0.03 0.43 0.34 0.14 0.05 0.05 0.33 0.56 0.06 0.04 0.01 0.20 0.34 0.36 0.07 0.02 0.16 0.41 0.33 0.08 0.02 0.09 0.50 0.18 0.20 0.02 0.34 0.27 0.20 0.11 0.07 0.23 0.23 0.25 0.27 0.02 0.11 0.43 0.16 0.18 0.11 0.03 0.29 0.36 0.18 0.15 0.06 0.21 0.11 0.31 0.11 0.29 0.14 0.30 0.11 0.27 附录八 教师
>> R=[0.09 0.39 0.27 0.11 0.14 0.09 0.29 0.26 0.18 0.19 0.10 0.31 0.20 0.13 0.26 0.12 0.30 0.35 0.14 0.10 0.23 0.39 0.18 0.14 0.07 0.19 0.43 0.18 0.13 0.06 0.11 0.23 0.34 0.21 0.11 0.17 0.28 0.27 0.11 0.17 0.08 0.22 0.22 0.13 0.35 0.12 0.22 0.35 0.18 0.13 0.04 0.23 0.21 0.13 0.39 0.17 0.29 0.23 0.13 0.18 0.14 0.30 0.27 0.14 0.15 0.11 0.31 0.26 0.13 0.19 0.09 0.29 0.43 0.11 0.08 0.11 0.27 0.40 0.14 0.09 0.11 0.29 0.37 0.13 0.10]'; x=mean(R); %均值 s=std(R); %标准差 t=s./x; %变异系数 W=t./sum(t) %权向量 W =
Columns 1 through 9 0.07 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.05
0.04 0.06 Columns 10 through 17 0.05 0.07 0.03 0.04 0.05 0.09 0.07
0.07 学生
>> R=[ 0.57 0.09 0.11 0.11 0.11
0.33 0.26 0.37 0.27 0.40 0.21 0.13 0.12 0.14 0.14 0.20 0.19 0.11 0.15 0.09 0.13 0.58 0.25 0.02 0.01 0.34 0.27 0.20 0.11 0.07 0.40 0.20 0.23 0.14 0.03 0.43 0.34 0.14 0.05 0.05 0.33 0.56 0.06 0.04 0.01 0.20 0.34 0.36 0.07 0.02 0.16 0.41 0.33 0.08 0.02 0.09 0.50 0.18 0.20 0.02 0.34 0.27 0.20 0.11 0.07 0.23 0.23 0.25 0.27 0.02 0.11 0.43 0.16 0.18 0.11 0.03 0.29 0.36 0.18 0.15 0.06 0.21 0.33 0.21 0.20 0.11 0.31 0.26 0.13 0.19 0.11 0.29 0.37 0.12 0.11 0.14 0.30 0.27 0.14 0.15 0.11 0.27 0.40 0.14 0.09]'; x=mean(R); %均值 s=std(R); %标准差 t=s./x; %变异系数 W=t./sum(t) %权向量 W =
Columns 1 through 9 0.08 0.09 0.04 0.05 0.07 0.09 0.06
0.06 0.07 Columns 10 through 18 0.04 0.04 0.05 0.05 0.04 0.03 0.05
0.03 0.05 附录九 教师
>> W=[0.07 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.05 0.04 0.06 0.05 0.07 0.03 0.04 0.05 0.09 0.07 0.07]; R=[0.09 0.39 0.27 0.11 0.14 0.09 0.29 0.26 0.18 0.19 0.10 0.31 0.20 0.13 0.26 0.12 0.30 0.35 0.14 0.10 0.23 0.39 0.18 0.14 0.07 0.19 0.43 0.18 0.13 0.06 0.11 0.23 0.34 0.21 0.11 0.17 0.28 0.27 0.11 0.17 0.08 0.22 0.22 0.13 0.35 0.12 0.22 0.35 0.18 0.13 0.04 0.23 0.21 0.13 0.39 0.17 0.29 0.23 0.13 0.18 0.14 0.30 0.27 0.14 0.15 0.11 0.31 0.26 0.13 0.19 0.09 0.29 0.43 0.11 0.08 0.11 0.27 0.40 0.14 0.09 0.11 0.29 0.37 0.13 0.10];
B=W*R B =
0.12 0.30 0.28 0.14 0.15 学生
>> W=[0.08 0.09 0.04 0.05 0.07 0.09 0.06 0.06 0.07 0.04 0.04 0.05 0.05 0.04 0.03 0.05 0.03 0.05]; R=[ 0.57 0.09 0.11 0.11 0.11 0.13 0.58 0.25 0.02 0.01 0.34 0.27 0.20 0.11 0.07 0.40 0.20 0.23 0.14 0.03 0.43 0.34 0.14 0.05 0.05 0.33 0.56 0.06 0.04 0.01 0.20 0.34 0.36 0.07 0.02 0.16 0.41 0.33 0.08 0.02 0.09 0.50 0.18 0.20 0.02 0.34 0.27 0.20 0.11 0.07 0.23 0.23 0.25 0.27 0.02 0.11 0.43 0.16 0.18 0.11 0.03 0.29 0.36 0.18 0.15 0.06 0.21 0.33 0.21 0.20 0.11 0.31 0.26 0.13 0.19 0.11 0.29 0.37 0.12 0.11 0.14 0.30 0.27 0.14 0.15 0.11 0.27 0.40 0.14 0.09]; B=W*R B =
0.23 0.35 0.23 0.11 0.07 附录十
R=[0.09 0.39 0.27 0.11 0.14 0.09 0.29 0.26 0.18 0.19 0.10 0.31 0.20 0.13 0.26 0.12 0.30 0.35 0.14 0.10 0.23 0.39 0.18 0.14 0.07 0.19 0.43 0.18 0.13 0.06 0.11 0.23 0.34 0.21 0.11 0.17 0.28 0.27 0.11 0.17 0.08 0.22 0.22 0.13 0.35 0.12 0.22 0.35 0.18 0.13 0.04 0.23 0.21 0.13 0.39 0.17 0.29 0.23 0.13 0.18 0.14 0.30 0.27 0.14 0.15 0.11 0.31 0.26 0.13 0.19 0.09 0.29 0.43 0.11 0.08 0.11 0.27 0.40 0.14 0.09 0.11 0.29 0.37 0.13 0.10]; K=[R(:,1).*5+R(:,2).*4+R(:,3).*3+R(:,4).*2+R(:,5).*1]
w =[0.07 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.05 0.04 0.06 0.05 0.07 0.03 0.04 0.05 0.09 0.07 0.07]; for i=1:17 HSj=w(i)*K(i)
End HSj=[0.22 0.12 0.14 0.19 0.25 0.28 0.15 0.13 0.15 0.15 0.17 0.09 0.13 0.15 0.29 0.22 0.22]; H=sum(HSj) H =
3.05 附录十一
>> A=[1/2 5 4 2 1/2 3 3 2 5 5 4 4 4 5 6 4 6 4;... 2 1 5 6 3 1 4 4 3 6 6 5 5 6 7 5 7 5;...
1/5 1/6 1 1/2 1/4 1/6 1/3 1/3 1/4 1 1 1/2 1/2 1 2 1/2 2 1/2 ;... 1/4 1/5 2 1 1/3 1/5 1/2 1/2 1/3 2 2 1 1 2 3 1 3 1;... 1/2 1/3 4 3 1 1/3 2 2 1/2 4 4 3 3 4 5 3 5 3;... 2 1 6 5 3 1 4 4 3 6 6 5 5 6 7 3 7 5;...
1/3 1/4 3 2 1/2 1/4 1 1 1/2 3 3 2 2 3 4 2 4 2;... 1/3 1/4 3 2 1/2 1/4 1 1 1/2 3 3 2 2 3 4 2 4 2;... 1/2 1/3 4 3 1 1/3 2 2 1 4 4 3 3 4 5 3 5 3;...
1/5 1/6 1 1/2 1/4 1/6 1/3 1/3 1/4 1 1 1/2 1/2 1 2 1/2 2 1/2;... 1/5 1/6 1 1/2 1/4 1/6 1/3 1/3 1/4 1 1 1/2 1/2 1 2 1/2 2 1/2;... 1/4 1/5 2 1 1/3 1/5 1/2 1/2 1/3 2 2 1 1 2 3 1 3 1;... 1/4 1/5 2 1 1/3 1/5 1/2 1/2 1/3 2 2 1 1 2 3 1 3 1;...
1/5 1/6 1 1/2 1/4 1/6 1/3 1/3 1/4 1 1 1/2 1/2 1 2 1/2 2 1/2;...
1/6 1/7 1/2 1/3 1/5 1/7 1/4 1/4 1/5 1/2 1/2 1/3 1/3 1/2 1 1/3 1 1/3;... 1/4 1/5 2 1 1/3 1/5 1/2 1/2 1/3 2 2 1 1 2 3 1 3 1;...
1/6 1/7 1/2 1/3 1/5 1/7 1/4 1/4 1/5 1/2 1/2 1/3 1/3 1/2 1 1/3 1 1/3;... 1/4 1/5 2 1 1/3 1/5 1/2 1/2 1/3 2 2 1 1 2 3 1 3 1]; n=length(A(1,:)) lambdamax=max(eig(A)) CI=(lambdamax-n)/(n-1) i=1:n;
M=[prod(A,2)]; M1=M.^(1/n); W=(M1./sum(M1))' if n==1;
RI=0.00 elseif n==2; RI=0.00 elseif n==3; RI=0.58 elseif n==4; RI=0.90 elseif n==5; RI=1.12 elseif n==6; RI=1.24 elseif n==7; RI=1.32 elseif n==8; RI=1.41 elseif n==9; RI=1.45 elseif n==17; RI=1.61 elseif n==18; RI=1.61 end CR=CI/RI n =
18.00 lambdamax = 18.84 CI =
0.05 W =
Columns 1 through 9 0.13 0.16 0.02 0.03 0.08 0.16 0.06
0.06 0.08 Columns 10 through 18 0.02 0.02 0.03 0.03 0.02 0.01 0.03
0.01 0.03 RI =
1.61 CR =
0.03
>> A=[1 4 3 2 1 1/2 3 4 2 3 1 5 4 3 1/3 1 1;
1/4 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/2 1 1/3 1/2 1/4 2 1 1/2 1/6 1/4 1/4; 1/3 2 1 1/2 1/3 1/4 1 2 1/2 1 1/3 3 2 1 1/5 1/3 1/3; 1/2 3 2 1 1/2 1/3 2 3 1 2 1/2 4 3 2 1/4 1/2 1/2; 1 4 3 2 1 1/2 3 4 2 3 1 5 4 3 1/3 1 1; 2 5 4 3 2 1 4 5 3 4 2 6 5 4 1/2 2 2;
1/3 2 1 1/2 1/3 1/4 1 2 1/2 1 1/3 3 2 1 1/5 1/3 1/3;
1/4 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/2 1 1/3 1/2 1/4 2 1 1/2 1/6 1/4 1/4;
1/2 3 2 1 1/2 1/3 2 3 1 2 1/2 4 3 2 1/4 1/2 1/2; 1/3 2 1 1/2 1/3 1/4 1 2 1/2 1 1/3 3 2 1 1/5 1/3 1/3; 1 4 3 2 1 1/2 3 4 2 3 1 5 4 3 1/3 1 1;
1/5 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/3 1/2 1/4 1/3 1/5 1 1/2 1/3 1/7 1/5 1/5; 1/4 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/2 1 1/3 1/2 1/4 2 1 1/2 1/6 1/4 1/4; 1/3 2 1 1/2 1/3 1/4 1 2 1/2 1 1/3 3 2 1 1/5 1/3 1/3; 3 6 5 4 3 2 5 6 4 5 3 7 6 5 1 3 3; 1 4 3 2 1 1/2 3 4 2 3 1 5 4 3 1/3 1 1; 1 4 3 2 1 1/2 3 4 2 3 1 5 4 3 1/3 1 1]; n=length(A(1,:)) lambdamax=max(eig(A)) CI=(lambdamax-n)/(n-1) i=1:n;
M=[prod(A,2)]; M1=M.^(1/n); W=(M1./sum(M1))' if n==1; RI=0.00 elseif n==2; RI=0.00 elseif n==3; RI=0.58 elseif n==4; RI=0.90 elseif n==5; RI=1.12 elseif n==6; RI=1.24 elseif n==7; RI=1.32 elseif n==8; RI=1.41 elseif n==9; RI=1.45 elseif n==17; RI=1.61 elseif n==18; RI=1.61 end CR=CI/RI n =
17.00 lambdamax = 17.31 CI =
0.02 W =
Columns 1 through 9
0.08 0.02 0.03 0.05 0.08 0.13 0.03 0.02 0.05 Columns 10 through 17 0.08 RI =
1.61 CR =
0.01
0.03 0.08 0.01 0.02 0.03 0.17 0.08
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容