浅谈数学解题中的一种常用策略

【内容摘要】：数学思维方法有许多种，本文以“转化”思维方法为例来谈数学的解题策略。着重以实例说明“转化”思维方法在数学解题中的运用，怎样进行思维的“转化”，有哪些“转化”的方法。

【关 键 词】：数学教学 解题策略 转化

【 正 文 】

数学是基础教育的主要内容，数学教育和学习是以思维方法为中心，本文结合笔者在自身教学过程中的探索和实践，谈谈个人对数学解题策略中“转化”思维方法的拙见。

“转化”是数学中最常用最基本的思维方式之一。转化就是在分析解决问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，把复杂、隐蔽的问题转化为简单、明显的问题。初中数学的转化方法多种多样，常用的有下列几种： 一、高次(或多元)向低次(或少元)转化

例1：已知X－2X－l＝0，则代数式X–X–3X十2的值是 (A)O (B)1 (C)2 (D)3 分析：此题若通过已知X2－2X－1＝0解得 X＝1土2

代入原式求出答案，显然运算量大。因此为了减少运算量，我们应将问题转化，经分析可知：X2＝2X十1代人原式，从而达到降次的目的，最后得到正确答案(D)，由此可见，通过降次，可以将复杂问题转化为简单低次的问题，从而得到解决。

xy9例2：解方程组2zy0

xz02

3

2

分析：考虑到圆周角与圆心角的一般关系，我们可以分为下列三种情况来证明。 (1)

如图1圆心在圆周角的一边上：

B

P0A图1

易证得∠APB＝1／2∠AOB (2)

如图2圆心在圆周角的内部：

BP0SA图2

易证∠APB＝∠APS+∠BPS＝1/2∠AOS+1/2∠BOS＝1/2∠AOB (3)

如图3圆心在圆周角的外部：

BPOAS图3

易得∠APB＝∠BPS-∠APS ＝1/2∠BOS-1/2∠AOS ＝1/2∠AOB

综上所述，不论哪种情况，圆周角都等于它所对的弧所对的圆心角的一半，从而命题得证(详细过程参考《初中几何》第三册P91－92)这是由特殊到一般的转化。

例4： 如图4，已知定圆⊙O1；与定圆⊙02外切于P点，AB 是过切点P的任一直线分别与⊙01和⊙02交于A、B

求证： AP/BP是一个定值。

分析：解多元方程组的思想方法是将多元方程组转化为少元方程组，最后转化为一元一次方程而求得，此题的解题思想方法如下所示： 三元一次方程组消元转化为二元一次方程组再消元转化为一元一次方程。

二、特殊与一般的互相转化

从特殊(一般)到一般(特殊)的思维方法是数学和其它科学领域中进行探索，发现真理知识的重要途径。

例3：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

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A五、致与形的相互转化。

例7： △ABC的三边为连续的自然数，且最大角为最小角的二倍，求三边长？

PCO1O2D分析：这道题的常见解法是构造三角形法，依题目的已知条件，构造如图5

图4

B应先找出这个定值，而题中给出的条件中固定不变的只有两圆的半径(不防设为R﹒r)即要证AP/BP与R，r有关，由此启发我们过切点P作⊙Ol与⊙02的直径CD构成Rt△APC～Rt△BPD，得出AP/BP＝CP/DP=r/R：参由此可见，找出定值的进程就是由一般到特殊转化的过程。 三、正面向反面的转化

很多数学的问题正面难于入手，但从问题的反面则易于解决，故此我们通常用正面向反面的转化方法去解决一些数学问题。

图5

设∠CAB＝2∠C，对应边分别为X－1，X，X十1延长CA到 D，使AD＝AB，连结BD，得到△ADB。△BDC，因此有（x+1)/(x-1)＝(2x-1)/(x+1)，解得x＝5 从而得出三角形三边之长 六、综合(或复杂)向单一(或简单)的转化，是解综合题的常用思维方法之一。

例8：如图⊙01和⊙02外切于点 P，CD为两圆的外公切线，PT为两圆的内公切线，且 ⊙01和⊙02的半径分别为9和4 (1)求PT的长； (2)求Sin∠CO1O2的值； (3)证明PC:PD＝PA:PB；

分析：这个综合(或复杂)题可以转化为三个单一(或简单)的基本问题是： 1、在△PCD中，若TC＝PT＝TD，点T在CD上CD＝12，求 PT的长；

2、在直角梯形DC0102中，若O1C＝9，02D＝4，0102＝13， 求Sin∠CO1O2的值；

3、若BC／／AD、CA与BD相交于点P，求证PC:PD＝PA:PB 这样分为三个小题后，问题(1)，(2)易解决，而问题(3) 只证得点C、O1、B共线，点D、02、A共线，即可得CB／／DA，从而得出PC/PB＝PD/PA得出结论PC:PD＝PA:PB‧

综上可知，转化的思想方法是解决数学问题的一种最常见最基础的思维方法，也是作为一名中学生(或中学教师)必须掌握并灵活运用的思维方法，而以上六种转化，也是中学数学中最常用的转化手段。

x^22xa0例5：若三个方程 2ax^2x10（注: ^后为指数）

x^26x10至少有一个方程有实数解，试求实数a的取值范围。

分析：条件“至少有一个方程有实数解”的情况十分复杂，如逐个方程讨论，势必造成运算过程繁琐，且容易出错。但若从这个问题的反面去思考，将问题转化为“三个方程都没有实数解”，则使问题变得单一、明白，由此可得

综合得出a＜－1或 a>3/2时， 三个方程都没有实数解， 由此可知， 当-1≤a≤3/2时，三个方程必定有一个方程有实数根。 四、隐含向明朗转化

由于有些数学问题表面上没有任何突破口、入手之处，但只要我们认真分析找出题中隐蔽原条件，就会使问题迎刃而解。

例6： 化简(3＋1)(5＋1)(25＋1)(625+1)＋1 (摘自第八届“希望杯”培训题)

分析：此题初看起来难于动笔，只要认真分析，观察一下题型结构，较快发现一个隐蔽条件：1＝2－1，再利用平方差公式，很易使问题得到解决。 解：原式＝(3+2-1)(5+1)(25+1)(625+1)+1 ＝(5-1)(5+1)(25+1)(625+1)+1 ＝6252 =380625

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