例1．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE－ED－DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间
2
为t（s），△BPQ的面积为y（cm ），已知y与t之间的函数图象如图2所示．
2
给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE＝48cm ；③当14＜t＜22时，y＝110－5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t＝14.5． 其中正确结论的序号是___________．
1
同类题型1.1 如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝5，CD＝3，sinA＝sinB＝ ，动点P自A点出发，
3
沿着边AB向点B匀速运动，同时动点Q自点A出发，沿着边AD－DC－CB匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（秒）时，△APQ的面积为s，则s关于t的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
同类题型1.2 如图1．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的方向运动，到达点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y与x的函数图象如图2所示，那么AB边的长度为____________．
⌒同类题型1.3 如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，BD 表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x（m）时，相应影子的长度为y（m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（ ）
1
A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C
例2．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB＋PM的值最小时，PM的长是（ ）
72 73 526A． B． C． D．
2354
同类题型2.1 如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上的一个动点，点D（0，2）在y轴上，当CP＋DP最短时，点P的坐标为____________．
同类题型2.2 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是（ ） A．6 2 B．10 C．2 26 D．2 29
kx
同类题型2.3
例3．如图，正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G．过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH ＝3，则S△ADF ＝（ ） A．6 B．4 C．3 D．2
2
同类题型3.1如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是___________（用含m的代数式表示）．
同类题型3.2 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2 2 ，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿直线AE折叠，使点D落在点F处，则线段CF的长度是（ ）
222
A．1 B． C． D．
233
同类题型3.3如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD＝1，AB＝CF，则AE＝__________．
同类题型3.4 如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在
5
DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝ ，则CE＝_________．
6
例4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为π；③线段DG的最
8
小值为2 5 －2；④当线段DG最小时，△BCG的面积S＝8＋ 5 ．其中正确的命题有
5
____________．（填序号）
3
同类题型4.1 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD＝ 2 ；③DF＝DC；④CF＝2AF，正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
同类题型4.2 点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE＝DF，点P在边AB上，AP：PB＝1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1 、S2 的两部分，将△CDF分成面积为S3 、S4 的两部分（如图），下列四个等式： ①S1 ：S3 ＝1：n ②S1 ：S4 ＝1：（2n＋1） ③（S1＋S4 ）：（S2＋S3 ）＝1：n ④（S3－S1 ）：（S2－S4 ）＝n：（n＋1） 其中成立的有（ ） A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④
同类题型4.3 如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，PE＜PD，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①DH＝DE；②DP＝DG；③DG＋DF＝ 2 DP；④DP﹒DE＝DH﹒DC，其中一定正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④
例5．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝ （x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为2 ，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为______________．
kx 4
19
同类题型5.1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝ 和y＝
xx1
在第一象限的图象于点A，B，过点B作 BD⊥x轴于点D，交y＝ 的图象于点C，连结AC．若△ABC是等
x腰三角形，则k的值是________．
专题10 选择填空方法综述
例1．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE－ED－DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间
2
为t（s），△BPQ的面积为y（cm ），已知y与t之间的函数图象如图2所示．
2
给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE＝48cm ；③当14＜t＜22时，y＝110－5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t＝14.5． 其中正确结论的序号是___________．
解：由图象可以判定：BE＝BC＝10 cm．DE＝4 cm，
12
当点P在ED上运动时，S△BPQ＝BC﹒AB＝40cm ，
2
∴AB＝8 cm， ∴AE＝6 cm，
∴当0＜t≤10时，点P在BE上运动，BP＝BQ， ∴△BPQ是等腰三角形， 故①正确；
12
S△ABE＝AB﹒AE＝24 cm ，
2
故②错误；
当14＜t＜22时，点P在CD上运动，该段函数图象经过（14，40）和（22，0）两点，解析式为y＝110－5t， 故③正确；
5
△ABP为等腰三角形需要分类讨论：当AB＝AP时，ED上存在一个符号题意的P点，当BA＝BO时，BE上存在一个符合同意的P点，当PA＝PB时，点P在AB垂直平分线上，所以BE和CD上各存在一个符号题意的P点，共有4个点满足题意， 故④错误；
PCAE3
⑤△BPQ与△ABE相似时，只有；△BPQ∽△BEA这种情况，此时点Q与点C重合，即＝＝ ，
BCAB4
∴PC＝7.5，即t＝14.5． 故⑤正确．
综上所述，正确的结论的序号是①③⑤．
1
同类题型1.1 如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝5，CD＝3，sinA＝sinB＝ ，动点P自A点出发，
3
沿着边AB向点B匀速运动，同时动点Q自点A出发，沿着边AD－DC－CB匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（秒）时，△APQ的面积为s，则s关于t的函数图象是（ ）
A．B．
解：过点Q做QM⊥AB于点M．
当点Q在线段AD上时，如图1所示，
C．D．
1
∵AP＝AQ＝t（0≤t≤5），sinA＝ ，
3
1
∴QM＝ t，
3112∴s＝AP﹒QM＝t ；
26
当点Q在线段CD上时，如图2所示，
5
∵AP＝t（5≤t≤8），QM＝AD﹒sinA＝ ，
3
15
∴s＝AP﹒QM＝ t；
26
当点Q在线段CB上时，如图3所示，
6
2022021
∵AP＝t（8≤t≤ ＋3（利用解直角三角形求出AB＝ ＋3），BQ＝5＋3＋5－t＝13－t，sinB＝ ，
333
1
∴QM＝ （13－t），
3112
∴s＝AP﹒QM＝－（t －13t），
261213
∴s＝－（t －13t）的对称轴为直线x＝ ．
62
∵t＜13， ∴s＞0．
综上观察函数图象可知B选项中的图象符合题意． 选B．
同类题型1.2 如图1．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的方向运动，到达点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y与x的函数图象如图2所示，那么AB边的长度为____________．
解：根据题意，
当P在BC上时，三角形面积增大，结合图2可得，BC＝4； 当P在CD上时，三角形面积不变，结合图2可得，CD＝3； 当P在DA上时，三角形面积变小，结合图2可得，DA＝5； 过D作DE⊥AB于E， ∵AB∥CD，AB⊥BC， ∴四边形DEBC是矩形，
2222
∴EB＝CD＝3，DE＝BC＝4，AE＝AD－DE＝5－4 ＝3， ∴AB＝AE＋EB＝3＋3＝6．
⌒同类题型1.3 如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，BD 表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x（m）时，相应影子的长度为y（m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（ ）
A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C 解：根据图3可得，函数图象的中间一部分为水平方向的线段， 故影子的长度不变，即沿着弧形道路步行，
因为函数图象中第一段和第三段图象对应的x的范围相等，且均小于中间一段图象对应的x的范围，
⌒故中间一段图象对应的路径为BD ，
7
又因为第一段和第三段图象都从左往右上升，
所以第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD，第三段函数图象对应的路径为BC或DC， 故行走的路线是A→B→D→C（或A→D→B→C）， 选D．
同类题型1.4
例2．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB＋PM的值最小时，PM的长是（ ）
72 73 526A． B． C． D． 2354
解：如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，B、D关于AC对称， ∴PB＋PM＝PD＋PM，
∴当D、P、M共线时，P′B＋P′M＝DM的值最小，
1
∵CM＝ BC＝2，
3
∵∠ABC＝120°，
∴∠DBC＝∠ABD＝60°，
∴△DBC是等边三角形，∵BC＝6， ∴CM＝2，HM＝1，DH＝33 ，
2222
在Rt△DMH中，DM＝DH＋HM＝(33)＋1＝27 ， ∵CM∥AD，
P′MCM21∴＝＝＝ ， DP′AD63
17
∴P′M＝DM＝ ．
42
选A．
同类题型2.1 如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上的一个动点，点D（0，2）在y轴上，当CP＋DP最短时，点P的坐标为____________．
8
解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．
2222
在Rt△OBK中，OB＝BK＋OK＝8＋4＝45 ， ∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC＝AG，OG＝BG＝25 ，
222
设OA＝AB＝x，在Rt△ABK中，∵AB＝AK＋BK ，
222∴x＝（8－x）＋4 ， ∴x＝5， ∴A（5，0），
∵A、C关于直线OB对称， ∴PC＋PD＝PA＋PD＝DA， ∴此时PC＋PD最短，
12
∵直线OB解析式为y＝ x，直线AD解析式为y＝－ x＋2，
25
120y＝xx＝29
由解得 ，
210y＝－x＋2y＝
59
2010
∴点P坐标（ ， ）．
99
同类题型2.2 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是（ ） A．6 2 B．10 C．2 26 D．2 29
kx
解：∵正方形OABC的边长是6，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6， ∴M（6， ），N（ ，6），
66
∴BN＝6－ ，BM＝6－ ， 66
∵△OMN的面积为10，
1k1k1k2
∴6×6－×6×－×6×－×（6－） ＝10，
262626
∴k＝24，
9
kkkk∴M（6，4），N（4，6），
作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长＝PM＋PN的最小值，
∵AM＝AM′＝4， ∴BM′＝10，BN＝2，
2222
∴NM′＝BM′＋BN＝10＋2＝226 ， 选C．
同类题型2.3
例3．如图，正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G．过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH ＝3，则S△ADF ＝（ ） A．6 B．4 C．3 D．2
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°． ∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°． ∴∠BAE＋∠DAF＝30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中， AE＝AF ， AB＝AD∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， ∵BC＝CD，
∴BC－BE＝CD－DF，即CE＝CF， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF， ∴EG＝GF， ∵GH⊥CE，
10
∴GH∥CF，
∴△EGH∽△EFC， ∵S△EGH ＝3， ∴S△EFC ＝12，
∴CF＝26 ，EF＝43 ， ∴AF＝43 ，
设AD＝x，则DF＝x－26 ，
222∵AF＝AD＋DF ，
222
∴（43）＝x＋（x－26） ， ∴x＝6＋32 ，
∴AD＝6＋32 ，DF＝32－6 ，
1
∴S△ADF＝ AD﹒DF＝6．
2
选A．
同类题型3.1如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是___________（用含m的代数式表示）．
解：如图，
连接BD，在等腰Rt△ABC中，点D是AC的中点， ∴BD⊥AC，
∴BD＝AD＝CD，∠DBC＝∠A＝45°，∠ADB＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠ADE＝∠BDF，
∠A＝∠DBF在△ADE和△BDF中，AD＝BD，
∠ADE＝∠BDF∴△ADE≌△BDF（ASA）， ∴AE＝BF，DE＝DF，
在Rt△DEF中，DF＝DE＝m． ∴EF＝2DE＝2 m，
∴△BEF的周长为BE＋BF＋EF＝BE＋AE＋EF＝AB＋EF＝2＋2 m．
同类题型3.2 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2 2 ，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿直线AE折叠，使点D落在点F处，则线段CF的长度是（ ）
222
A．1 B． C． D．
233
11
解：过点E作EM⊥CF于点M，如图所示．
1
在Rt△ADE中，AD＝22 ，DE＝ AB＝1，
2
22
∴AE＝AD＋DE ＝3．
根据折叠的性质可知：ED＝EF，∠AED＝∠AEF． ∵点E是CD的中点， ∴CE＝DE＝FE，
∴∠FEM＝∠CEM，CM＝FM．
∵∠DEA＋∠AEF＋∠FEM＋∠MEC＝180°，
1
∴∠AEF＋∠FEM＝ ×180°＝90°．
2
又∵∠EAF＋∠AEF＝90°， ∴∠EAF＝∠FEM．
∵∠AFE＝∠EMF＝90°， ∴△AFE∽△EMF， MFFEMF1∴＝ ，即＝ ， FEEA13
12∴MF＝ ，CF＝2MF＝ ．
33
选C．
同类题型3.3如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD＝1，AB＝CF，则AE＝__________．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝1，∠BAF＝∠ABC＝90°， ∴∠ABE＋∠CBF＝90°， ∵BE⊥AC，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BCF＋∠CBF＝90°， ∴∠ABE＝∠FCB，
∠EAB＝∠BFC＝90°
在△ABE和△FCB中，AB＝CF，
∠ABE＝∠FCB∴△ABE≌△FCB，
∴BF＝AE，BE＝BC＝1，
12
∵BE⊥AC，
∴∠BAF＋∠ABF＝90°， ∵∠ABF＋∠AEB＝90°， ∴∠BAF＝∠AEB， ∵∠BAE＝∠AFB， ∴△ABE∽△FBA，
ABBE＝ ， BFABAB1
∴＝ ， AEAB∴
2
∴AE＝AB ，
222
在Rt△ABE中，BE＝1，根据勾股定理得，AB＋AE＝BE ＝1，
2
∴AE＋AE ＝1， ∵AE＞0，
5－1
∴AE＝ ．
2
同类题型3.4 如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在
5
DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝ ，则CE＝_________．
6
解：如图，连接EF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB＝90°，∠DCP＝45°， ∴AM＝BM＝1，
2222
在Rt△ADM中，DM＝AD＋AM＝2＋1＝5 ， ∵AM∥CD， AMMP1∴＝＝ ， DCPD2255∴DP＝ ，∵PF＝ ，
365
， 2
∵∠EDF＝∠PDC，∠DFE＝∠DCP， ∴△DEF∽△DPC， ∴DF＝DP－PF＝∴
DFDE＝ ， DCDP13
52DE∴＝ ， 225
3
5∴DE＝ ，
6
57
∴CE＝CD－DE＝2－＝ ．
66
例4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为π；③线段DG的最
8
小值为2 5 －2；④当线段DG最小时，△BCG的面积S＝8＋ 5 ．其中正确的命题有
5
____________．（填序号）
解：∵点E、F分别同时从A、D出发以相同的速度运动， ∴AE＝DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°， 在△BAE和△ADF中， AE＝DE ∠BAE＝∠ADF＝90°，
AB＝AD∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF＋∠BAG＝90°，
∴∠ABE＋∠BAG＝90°，即∠AGB＝90°， ∴AF⊥BE．故①正确； ∵∠AGB＝90°，
∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧的一部分， 由运动知，点E运动到点D时停止，同时点F运动到点C，
∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧所对的圆心角为90°，
90π×2
∴长度为 ＝π，故命题②正确；
180
如图，
设AB的中点为点P，连接PD，
∵点G是以点P为圆心AB为直径的圆弧上一点，
14
∴当点G在PD上时，DG有最小值，
1
在Rt△ADP中，AP＝ AB＝2，AD＝4，根据勾股定理得，PD＝25 ，
2
∴DG的最小值为2gh(5) －2，故③正确；
过点G作BC的垂线与AD相交于点M，与BC相交于N， ∴GM∥PA，
∴△DMG∽△DAP， ∴
GMDG＝ ， APDP10－25∴GM＝ ，
5
10＋25
∴△BCG的高GN＝4－GM＝ ，
5
110＋2545
∴S△BCG＝×4×＝4＋ ，故④错误，
255
∴正确的有①②③．
同类题型4.1 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD＝ 2 ；③DF＝DC；④CF＝2AF，正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC， ∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF， ∴
AEAF＝ ， BCCF11
∵AE＝AD＝ BC，
22AF1∴＝ ， CF2
∴CF＝2AF，故④正确； ∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
1
∴BM＝DE＝ BC，
2
15
∴BM＝CM， ∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF， ∴DF＝DC，故③正确；
设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
b2a由△BAE∽△ADC，有＝ ，即b＝2 a，
abDCb2
∴tan∠CAD＝＝＝ ．故②不正确；
AD2a2
正确的有①③④， 选C．
同类题型4.2 点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE＝DF，点P在边AB上，AP：PB＝1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1 、S2 的两部分，将△CDF分成面积为S3 、S4 的两部分（如图），下列四个等式： ①S1 ：S3 ＝1：n ②S1 ：S4 ＝1：（2n＋1） ③（S1＋S4 ）：（S2＋S3 ）＝1：n ④（S3－S1 ）：（S2－S4 ）＝n：（n＋1） 其中成立的有（ ） A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④
解：由题意∵AP：PB＝1：n（n＞1），AD∥l∥BC，
S1S31n222∴＝（） ，S3＝nS1 ，＝（） ， S1＋S2n＋1S3＋S4n＋1整理得：S2＝n（n＋2）S1 ，S4＝（2n＋1）S1 ， ∴S1 ：S4 ＝1：（2n＋1），故①错误，②正确，
2∴（S1＋S4 ）：（S2＋S3）＝[S1＋（2n＋1）S1]：[n（n＋2）S1＋nS1]＝1：n，故③正确，
2
∴（S3－S1 ）：（S2－S4）＝[nS1－S1]：[n（n＋2）S1－（2n＋1）S1]＝1：1，故④错误， 选B．
同类题型4.3 如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，PE＜PD，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①DH＝DE；②DP＝DG；③DG＋DF＝ 2 DP；④DP﹒DE＝DH﹒DC，其中一定正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④
解：∵∠GPF＝∠HPD＝90°，∠ADC＝90°，
16
∴∠GPH＝∠FPD， ∵DE平分∠ADC，
∴∠PDF＝∠ADP＝45°， ∴△HPD为等腰直角三角形， ∴∠DHP＝∠PDF＝45°， 在△HPG和△DPF中， ∠PHG＝∠PDF∵PH＝PD， ∠GPH＝∠FPD∴△HPG≌△DPF（ASA）， ∴PG＝PF；
∵△HPD为等腰直角三角形， ∴HD＝2 DP，HG＝DF， ∴HD＝HG＋DG＝DF＋DG，
∴DG＋DF＝2 DP；故③正确，
22
∵DP﹒DE＝ DH﹒DE，DC＝ DE，
22
∴DP﹒DE＝DH﹒DC，故④正确， 由此即可判断选项D正确， 选D．
例5．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝ （x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为2 ，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为______________．
kx
解：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示：则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°， ∴∠AOM＋∠OAM＝90°， ∵∠AOB＝∠OBA＝45°， ∴OA＝BA，∠OAB＝90°， ∴∠OAM＋∠BAN＝90°， ∴∠AOM＝∠BAN，
17
∠AOM＝∠BAN在△AOM和△BAN中，∠AMO＝∠BNA，
OA＝BA∴△AOM≌△BAN（AAS）， ∴AM＝BN＝2 ，OM＝AN＝∴OD＝∴B（
k2
，
k＋2 ，BD＝－2 ，
22
kk2
＋2 ，
k2
－2 ），
∴双曲线y＝ （x＞0）同时经过点A和B， ＋2）﹒（－2 ）＝k， 22
2
整理得：k －2k－4＝0， 解得：k＝1±5 （负值舍去）， ∴k＝1＋5 ． ∴（
19
同类题型5.1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝ 和y＝ kxkkxx1
在第一象限的图象于点A，B，过点B作 BD⊥x轴于点D，交y＝ 的图象于点C，连结AC．若△ABC是等
x腰三角形，则k的值是________．
99
解：∵点B是y＝kx和y＝ 的交点，y＝kx＝ ，
xx解得：x＝
3
k ，y＝3k ，
3
，3gh(k) ），
∴点B坐标为（
k11
点A是y＝kx和y＝ 的交点，y＝kx＝ ，
xx解得：x＝
1
k ，y＝k ，
1
，k ），
∴点A坐标为（∵BD⊥x轴， ∴点C横坐标为
k3
k3
，纵坐标为
1k＝ ， 33
k∴点C坐标为（
k ，
k3
），
18
∴BA≠AC，
若△ABC是等腰三角形，
①AB＝BC，则(3k－1k)2＋(3k－k)2
＝3k－k3 ，
解得：k＝37
7 ；
②AC＝BC，则(3
1k)2＋(k－kk－
3)2＝3k－k3 ，
解得：k＝
15
5
； 故k＝37157 或5
．
19
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