2018年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1．（3分）四个数0，1，A．
B．1
，中，无理数的是（ ）
C． D．0
2．（3分）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）
A．1条 B．3条 C．5条 D．无数条
3．（3分）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2 B．a2+2a2=3a4 C．x2y÷=x2（y≠0） D．（﹣2x2）3=﹣8x6 5．（3分）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4
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D．∠2，∠4
6．（3分）甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2：乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2．从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（ ） A． B． C． D．
7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
8．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ） A．C．
B．D．
9．（3分）一次函数y=ax+b和反比例函数y=象是（ ）
在同一直角坐标系中的大致图
A． B．
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C． D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（ ）
A．504m2 B．
m2 C．m2 D．1009m2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）已知二次函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
12．（3分）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC= ．
13．（3分）方程=的解是 ．
14．（3分）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
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15．（3分）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+
= ．
16．（3分）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论： ①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD=∠BAE； ③AF：BE=2：3；
④S四边形AFOE：S△COD=2：3．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（9分）解不等式组：
．
18．（9分）如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．
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19．（10分）已知T=（1）化简T；
+．
（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．
20．（10分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．
（1）这组数据的中位数是 ，众数是 ； （2）计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数；
（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数． 21．（12分）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台． （1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ （2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
22．（12分）设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为y1． （1）求y1关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象；
（2）若反比例函数y2=的图象与函数y1的图象相交于点A，且点A的纵坐标为2．
①求k的值；
②结合图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD． （1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下， ①证明：AE⊥DE；
②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．
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24．（14分）已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）． （1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．
①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；
②若点C关于直线x=﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．
25．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC． （1）求∠A+∠C的度数；
（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度．
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2018年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1．（3分）四个数0，1，A．
B．1
，中，无理数的是（ ）
C． D．0
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【解答】解：0，1，是有理数， 是无理数， 故选：A．
2．（3分）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）
A．1条 B．3条 C．5条 D．无数条
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：五角星的对称轴共有5条， 故选：C．
3．（3分）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（ ）
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A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形， 故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2 B．a2+2a2=3a4 C．x2y÷=x2（y≠0） D．（﹣2x2）3=﹣8x6 【分析】根据相关的运算法则即可求出答案． 【解答】解：（A）原式=a2+2ab+b2，故A错误； （B）原式=3a2，故B错误； （C）原式=x2y2，故C错误； 故选：D．
5．（3分）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．
根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析即可． 【解答】解：∠1的同位角是∠2，∠5的内错角是∠6， 故选：B．
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6．（3分）甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2：乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2．从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（ ） A． B． C． D．
【分析】直接根据题意画出树状图，再利用概率公式求出答案． 【解答】解：如图所示：
，
一共有4种可能，取出的两个小球上都写有数字2的有1种情况， 故取出的两个小球上都写有数字2的概率是：． 故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=40°，进而利用垂径定理得出∠AOB=80°即可．
【解答】解：∵∠ABC=20°， ∴∠AOC=40°，
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB， ∴∠AOC=∠BOC=40°， ∴∠AOB=80°， 故选：D．
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8．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ） A．C．
B．D．
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
，
故选：D．
9．（3分）一次函数y=ax+b和反比例函数y=象是（ ）
在同一直角坐标系中的大致图
A． B．
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C． D．
【分析】先由一次函数的图象确定a、b的正负，再根据a﹣b判断双曲线所在的象限．能统一的是正确的，矛盾的是错误的．
【解答】解：图A、B直线y=ax+b经过第一、二、三象限， ∴a＞0、b＞0，
∵y=0时，x=﹣，即直线y=ax+b与x轴的交点为（﹣，0） 由图A、B的直线和x轴的交点知：﹣＞﹣1， 即b＜a， 所以b﹣a＜0 ∴a﹣b＞0，
此时双曲线在第一、三象限． 故选项B不成立，选项A正确．
图C、D直线y=ax+b经过第二、一、四象限， ∴a＜0，b＞0，
此时a﹣b＜0，双曲线位于第二、四象限， 故选项C、D均不成立； 故选：A．
10．（3分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（ ）
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A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m2
+1=1009，据此得出A2A2018=1009﹣1=1008，
【分析】由OA4n=2n知OA2018=
据此利用三角形的面积公式计算可得． 【解答】解：由题意知OA4n=2n， ∵2018÷4=504…2， ∴OA2018=
+1=1009，
∴A2A2018=1009﹣1=1008，
则△OA2A2018的面积是×1×1008=504m2， 故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）已知二次函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而 增大 （填“增大”或“减小”）．
【分析】根据二次函数的二次项系数a以及对称轴即可判断出函数的增减性． 【解答】解：∵二次函数y=x2，开口向上，对称轴为y轴， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大． 故答案为：增大．
12．（3分）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC= ．
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【分析】根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵旗杆高AB=8m，旗杆影子长BC=16m， ∴tanC=故答案为：
13．（3分）方程=
的解是 x=2 ． ，
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：x+6=4x， 解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解， 故答案为：x=2
14．（3分）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 （﹣5，4） ．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标． 【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上， ∴AB=5， ∴AD=5，
∴由勾股定理知：OD=∴点C的坐标是：（﹣5，4）． 故答案为：（﹣5，4）．
=
=4，
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15．（3分）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+
= 2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
【解答】解：由数轴可得： 0＜a＜2， 则a+=a+
=a+（2﹣a） =2．
故答案为：2．
16．（3分）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论： ①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD=∠BAE； ③AF：BE=2：3；
④S四边形AFOE：S△COD=2：3．
其中正确的结论有 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）
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【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵EC垂直平分AB，
∴OA=OB=AB=DC，CD⊥CE， ∵OA∥DC， ∴
=
=
=，
∴AE=AD，OE=OC， ∵OA=OB，OE=OC，
∴四边形ACBE是平行四边形， ∵AB⊥EC，
∴四边形ACBE是菱形，故①正确， ∵∠DCE=90°，DA=AE， ∴AC=AD=AE，
∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确， ∵OA∥CD， ∴∴
==
=，
=，故③错误，
设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积=△AOE的面积=3a，
∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a ∴S四边形AFOE：S△COD=2：3．故④正确， 故答案为①②④．
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三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（9分）解不等式组：
．
【分析】根据不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案． 【解答】解：
，
解不等式①，得x＞﹣1， 解不等式②，得x＜2，
不等式①，不等式②的解集在数轴上表示，如图
，
原不等式组的解集为﹣1＜x＜2．
18．（9分）如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．
【分析】根据AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB是对顶角，利用SAS证明△ADE≌△CBE即可．
【解答】证明：在△AED和△CEB中，
，
∴△AED≌△CEB（SAS），
∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．
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19．（10分）已知T=（1）化简T；
+．
（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值． 【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值； （2）由正方形的面积求出边长a的值，代入计算即可求出T的值． 【解答】解：（1）T=
+
=
=；
（2）由正方形的面积为9，得到a=3， 则T=．
20．（10分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．
（1）这组数据的中位数是 16 ，众数是 17 ； （2）计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数；
（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数． 【分析】（1）将数据按照大小顺序重新排列，计算出中间两个数的平均数即是中位数，出现次数最多的即为众数；
（2）根据平均数的概念，将所有数的和除以10即可； （3）用样本平均数估算总体的平均数．
【解答】解：（1）按照大小顺序重新排列后，第5、第6个数分别是15和17，所以中位数是（15+17）÷2=16，17出现3次最多，所以众数是17， 故答案是16，17； （2）
=14，
答：这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是14次； （3）200×14=2800
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答：该小区居民一周内使用共享单车的总次数为2800次．
21．（12分）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台． （1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ （2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论；
（2）根据购买x台时，该公司采用方案二购买更合算，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：设购买A型号笔记本电脑x台时的费用为w元， （1）当x=8时，
方案一：w=90%a×8=7.2a，
方案二：w=5a+（8﹣5）a×80%=7.4a，
∴当x=8时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7.2a元； （2）∵若该公司采用方案二购买更合算， ∴x＞5，
方案一：w=90%ax=0.9ax，
方案二：当x＞5时，w=5a+（x﹣5）a×80%=5a+0.8ax﹣4a=a+0.8ax， 则0.9ax＞a+0.8ax， x＞10，
∴x的取值范围是x＞10．
22．（12分）设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为y1． （1）求y1关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象；
（2）若反比例函数y2=的图象与函数y1的图象相交于点A，且点A的纵坐标为2．
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①求k的值；
②结合图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围． 【分析】（1）写出函数解析式，画出图象即可；
（2）①分两种情形考虑，求出点A坐标，利用待定系数法即可解决问题； ②利用图象法分两种情形即可解决问题； 【解答】解：（1）由题意y1=|x|． 函数图象如图所示：
（2）①当点A在第一象限时，由题意A（2，2）， ∴2=， ∴k=4．
同法当点A在第二象限时，k=﹣4，
②观察图象可知：当k＞0时，x＞2时，y1＞y2或x＜0时，y1＞y2． 当k＜0时，x＜﹣2时，y1＞y2或x＞0时，y1＞y2．
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD． （1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下， ①证明：AE⊥DE；
②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．
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【分析】（1）利用尺规作出∠ADC的角平分线即可；
（2）①延长DE交AB的延长线于F．只要证明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；
②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根据垂线段最短可知：当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长； 【解答】解：（1）如图，∠ADC的平分线DE如图所示．
（2）①延长DE交AB的延长线于F． ∵CD∥AF，
∴∠CDE=∠F，∵∠CDE=∠ADE， ∴∠ADF=∠F， ∴AD=AF，
∵AD=AB+CD=AB+BF， ∴CD=BF， ∵∠DEC=∠BEF， ∴△DEC≌△FEB， ∴DE=EF，
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∵AD=AF， ∴AE⊥DE．
②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．
∵AD=AF，DE=EF，
∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB， ∴AK=AB=4， 在Rt△ADG中，DG=∵KH∥DG， ∴∴∴KH=
=
， =，
，
=4
，
∵MB=MK，
∴MB+MN=KM+MN，
∴当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长， ∴BM+MN的最小值为
24．（14分）已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）． （1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．
①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；
②若点C关于直线x=﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．
【分析】（1）令y=0，再求出判别式，判断即可得出结论；
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．
（2）先求出OA=2，OB=m+2，OC=2（m+2），
①判断出∠OCB=∠OAF，求出tan∠OCB=，即可求出OF=1，即可得出结论； ②先设出BD=n，再判断出∠DCE=90°，得出DE是⊙P的直径，进而求出BE=2n，DE=
n，即可得出结论．
【解答】解：（1）令y=0， ∴x2+mx﹣2m﹣4=0，
∴△=m2﹣4[﹣2m﹣4]=m2+8m+16， ∵m＞0， ∴△＞0，
∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2） 令y=0，
∴x2+mx﹣2m﹣4=0， ∴（x﹣2）[x+（m+2）]=0， ∴x=2或x=﹣（m+2），
∴A（2，0），B（﹣（m+2），0）， ∴OA=2，OB=m+2， 令x=0，
∴y=﹣2（m+2）， ∴C（0，﹣2（m+2））， ∴OC=2（m+2），
①通过定点（0，1）理由：如图， ∵点A，B，C在⊙P上， ∴∠OCB=∠OAF，
在Rt△BOC中，tan∠OCB=在Rt△AOF中，tan∠OAF=∴OF=1，
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==
=， =，
∴点F的坐标为（0，1）； ②如图1，由①知，点F（0，1）， ∵D（0，1）， ∴点D在⊙P上，
∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点， ∴∠DCE=90°， ∴DE是⊙P的直径， ∴∠DBE=90°， ∵∠BED=∠OCB， ∴tan∠BED=， 设BD=n，
在Rt△BDE中，tan∠BED=∴BE=2n，
根据勾股定理得，DE=∴l=BD+BE+DE=（3+∴=
=
=
）n，r=DE=．
n， n，
=
=，
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25．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC． （1）求∠A+∠C的度数；
（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度．
【分析】（1）利用四边形内角和定理计算即可；
（2）连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．想办法证明△DCQ是直角三角形即可解决问题；
（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．想办法证明∠BEC=150°即可解决问题； 【解答】解：（1）如图1中，
在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=60°，∠C=30°， ∴∠A+∠C=360°﹣60°﹣30°=270°．
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（2）如图2中，结论：DB2=DA2+DC2．
理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．
∵∠ABC=∠DBQ=60°， ∴∠ABD=∠CBQ， ∵AB=BC，DB=BQ， ∴△ABD≌△CBQ， ∴AD=CQ，∠A=∠BCQ，
∵∠A+∠BCD=∠BCQ+∠BCD=270°， ∴∠DCQ=90°， ∴DQ2=DC2+CQ2， ∵CQ=DA，DQ=DB， ∴DB2=DA2+DC2．
（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．
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则△AER是等边三角形，∵EA2=EB2+EC2，EA=RE，EC=RB， ∴RE2=RB2+EB2， ∴∠EBR=90°，
∴∠RAE+∠RBE=150°，
∴∠ARB+∠AEB=∠AEC+∠AEB=210°， ∴∠BEC=150°，
∴点E的运动轨迹在O为圆心的圆上，在⊙O上取一点K，连接KB，KC，OB，OC，
∵∠K+∠BEC=180°， ∴∠K=30°，∠BOC=60°， ∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形， ∴点E的运动路径=
=
．
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