离石区四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

离石区四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若函数y=f（x）是y=3x的反函数，则f（3）的值是（ ） A．0

B．1

C．

D．3

2． 若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（ ）

A．f（x）为奇函数 B．f（x）为偶函数 C．f（x）+1为奇函数 D．f（x）+1为偶函数

3． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形个数为（ ） A．0

B．1

C．2

D．以上都不对

4． 执行如图所示的一个程序框图，若f（x）在[﹣1，a]上的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（ ）

A．（0，1] B．[1，] C．[1，2] D．[，2]

5． 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，则f（2）+g（2）=（ ） A．16

B．﹣16 C．8

D．﹣8

6． 已知集合，则

A0或C1或D1或3

1，则圆锥的体积（ ） 21 6B0或3

7． 圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的

A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的

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精选高中模拟试卷

y21长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率8． （2016广东适应）已知双曲线的顶点为椭圆x2的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）

2A．x2y21 B．y2x21 C．x2y22 D．y2x22 9． 设集合M={x|x≥﹣1}，N={x|x≤k}，若M∩N≠￠，则k的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，+∞）

10．如图所示程序框图中，输出S=（ ）

D．（﹣∞，﹣1）

A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66

11．拋物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C：x2－y2＝2的焦点重合，C的渐近线与拋物线E交于非原点的P点，则点P到E的准线的距离为（ ） A．4 C．8

B．6 D．10

12．抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2），若线段AF的中点B在抛物线上，则|BF|=（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．定积分

sintcostdt= ．

14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为 ． 15．若全集

，集合

，则

。 16．满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数是 ．

17．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函

2

数y=ax﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是 ．

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18．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是 ．

三、解答题

19．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C1的极坐标方程是2，曲线C2的参数方程是

x1,(t0,[,],是参数）． 162y2tsin2（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程； （Ⅱ）求t的取值范围，使得C1，C2没有公共点．

20．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】如图，某公司的LOGO图案是多边形ABEFMN，其

cm的长方形ABCD中，将四边形DFEC沿直线EF翻折到MFEN（点F是设计创意如下：在长4cm、宽1线段AD上异于D的一点、点E是线段BC上的一点），使得点N落在线段AD上. （1）当点N与点A重合时，求NMF面积；

（2）经观察测量，发现当2NFMF最小时，LOGO最美观，试求此时LOGO图案的面积.

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21．已知双曲线过点P（﹣3（1）求双曲线的标准方程；

，4），它的渐近线方程为y=±x．

（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．

22．0）N0）在平面直角坐标系中，已知M（﹣a，，（a，，其中a∈R，若直线l上有且只有一点P，使得|PM|+|PN|=10，则称直线l为“黄金直线”，点P为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是 ①当a=7时，坐标平面内不存在黄金直线； ②当a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线； ③当a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆；

④当a=0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线．

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23．设函数

．

（1）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围．

2

（2）当a=0，b=﹣1时，函数F（x）=f（x）﹣λx有唯一零点，求正数λ的值．

24．已知函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（1）=﹣，且3a＞2c＞2b． （1）求证：a＞0时，的取值范围；

（2）证明函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的取值范围．

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离石区四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：∵指数函数的反函数是对数函数， ∴函数y=3x的反函数为y=f（x）=log3x， 所以f（9）=log33=1． 故选：B．

【点评】本题给出f（x）是函数y=3x（x∈R）的反函数，求f（3）的值，着重考查了反函数的定义及其性质，属于基础题．

2． 【答案】C

【解析】解：∵对任意x1，x2∈R有 f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1， ∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1

∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1， ∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]， ∴f（x）+1为奇函数． 故选C

【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

3． 【答案】B 【解析】解：∵a=3，∴由正弦定理可得：sinB=∴B=90°，

即满足条件的三角形个数为1个． 故选：B．

【点评】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题．

4． 【答案】B

【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求f（x）=

的值，

，A=60°，

=

=1，

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当a＜0时，y=log2（1﹣x）+1在[﹣1，a]上为减函数，f（﹣1）=2，f（a）=0⇒1﹣a=，a=，不符合题意；

2

当a≥0时，f′（x）=3x﹣3＞⇒x＞1或x＜﹣1，

∴函数在[0，1]上单调递减，又f（1）=0，∴a≥1；

3

又函数在[1，a]上单调递增，∴f（a）=a﹣3a+2≤2⇒a≤

．

故实数a的取值范围是[1，故选：B．

]．

【点评】本题考查了选择结构的程序框图，考查了导数的应用及分段函数值域的求法，综合性强，体现了分类讨论思想，解题的关键是利用导数法求函数在不定区间上的最值．

5． 【答案】B

32

【解析】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x﹣2x， 32

∴f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）﹣2×（﹣2）=﹣16．

即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣16． 故选：B．

【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．

6． 【答案】B 【解析】

，故

或

。

7． 【答案】A 【解析】

或

，，解得

或

或

，又根据集合元素的互异性

，所以

12rh，将圆锥的高扩大到原来311112V2的倍，底面半径缩短到原来的，则体积为V2(2r)hrh，所以12，故选A.

2326V2试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为V1考点：圆锥的体积公式.1 8． 【答案】D

2，∴双曲线的离心率为2， 2依题意双曲线的实半轴a2，∴c2，b2，故选D．

【解析】∵椭圆的端点为(0,2)，离心率为9． 【答案】B

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【解析】解：∵M={x|x≥﹣1}，N={x|x≤k}， 若M∩N≠￠， 则k≥﹣1． 故选：B．

∴k的取值范围是[﹣1，+∞）．

【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合间的关系，是基础题．

10．【答案】B

22

【解析】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）•1=1，S=0+1=1，n=1+1=2；

32

第二次运行T=（﹣1）•2=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；

42

第三次运行T=（﹣1）•3=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4； …

102

直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）•9，

S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=故选：B．

×9﹣100=﹣55．

【点评】本题考查了循环结构的程序框图，判断算法的功能是解答本题的关键．

11．【答案】

x2y2p

【解析】解析：选D.双曲线C的方程为－＝1，其焦点为（±2，0），由题意得＝2，

222∴p＝4，即拋物线方程为y2＝8x， 双曲线C的渐近线方程为y＝±x，

2

y＝8x由，解得 x＝0（舍去）或x＝8，则P到E的准线的距离为8＋2＝10，故选D.

xy＝±

12．【答案】D

【解析】解：依题意可知F坐标为（，0） ∴B的坐标为（，1）代入抛物线方程得∴抛物线准线方程为x=﹣

，

=．

， =1，解得p=

，

所以点B到抛物线准线的距离为则B到该抛物线焦点的距离为

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故选D．

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：故答案为：

{|0＜＜1｝。

0sintcostdt=

0sin2td（2t）=

．

（﹣cos2t）|=×（1+1）=．

14．【答案】 平行 ．

【解析】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，

AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=A C1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1 由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D 故答案为：平行．

【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．

15．【答案】{|0＜＜1｝ 【解析】∵

16．【答案】 4 ．

【解析】解：由题意知，

满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有： {2，3}，{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，1，4}， 故共有4个， 故答案为：4．

17．【答案】

【解析】解：由题意，函数y=ax﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数满足条件

2

，∴

．

．

∵第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，

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∴a取1时，b可取2，3，4，5，6；a取2时，b可取4，5，6；a取3时，b可取6，共9种 ∵（a，b）的取值共36种情况 ∴所求概率为故答案为：

．

=

．

18．【答案】 ①④ ．

【解析】解：由所给的正方体知， △PAC在该正方体上下面上的射影是①， △PAC在该正方体左右面上的射影是④， △PAC在该正方体前后面上的射影是④ 故答案为：①④

三、解答题

19．【答案】

【解析】 【解析】（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程是xy2，

2211y2t)…………5分 2222（Ⅱ）对于曲线C1: xy2，令x1，则有y1．

曲线C2的普通方程是x1(tt0t0或故当且仅当1时，C1，C2没有公共点， 1t12t-1221解得t．……10分

21523220．【答案】（1）cm；（2）4cm.

163【解析】试题分析：

2（1）设MFx，利用题意结合勾股定理可得x1x4，则x15， 8据此可得NMF的面积是

115151cm2； 2816试题解析：

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（1）设MFx，则FDMFx，NFx21，

15， 82∵NFMF4，∴x1x4，解之得x∴NMF的面积是

115151cm2； 2816（2）设NEC，则NEF∴MNF2，NEBFNE，

2MN∴NFcosMNF2，

1cos21， sincosMFFDMNtanMNFtan，

2sin2cos∴2NFMF.

sin1cos4，即1tan4， ∵1NFFD4，∴1sin2∴（tan4且,）， 4232∴2（tan4且,）， 2322cos12cos2设f，则f，令得， f0sinsin23列表得

∴当2时，2NFMF取到最小值， 3

此时，NEFCEFNEBFNENFENFM在RtMNF中，MN1，MF3，MNF6，

323，NF， 33第 11 页，共 15 页

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在正NFE中，NFEFNE23， 3在梯形ANEB中，AB1，AN43，BE4∴S六边形ABEFMNSMNFSEFNS梯形ABEN23， 3331233. 434146323332cm. 3答：当2NFMF最小时，LOGO图案面积为4点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点. 21．【答案】

2

x2=λ（λ≠0），

【解析】解：（1）设双曲线的方程为y﹣代入点P（﹣3

，4），可得λ=﹣16，

∴所求求双曲线的标准方程为

（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41， 又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6， 又|F1F2|=2c=10，

2222

∴d1+d2﹣2d1d2=36即有d1+d2=36+2d1d2=118，

222

∴|F1F2|=100=d1+d2﹣2d1d2cos∠F1PF2

∴cos∠F1PF2=

【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F1PF2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．

22．【答案】 ①②③

【解析】解：①当a=7时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐标平面内不存在黄金直线；

②当a=5时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段MN上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正确；

③当a=3时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确；

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④当a=0时，点M与N重合为（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，点P在以原点为圆心、5为半径的圆上，因此坐标平面内有且无数条黄金直线． 故答案为：①②③． 算能力，属于中档题．

23．【答案】

，由f'（1）=0，得b=1﹣a．

．…

【点评】本题考查了新定义“黄金直线”、“黄金点”、椭圆的定义、圆的定义等基础知识，考查了推理能力与计

【解析】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴

①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．

当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增； 当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减． 所以x=1是f（x）的极大值点．… ②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=因为x=1是f（x）的极大值点，所以综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．…

2

（Ⅱ）因为函数F（x）=f（x）﹣λx有唯一零点，

．

＞1，解得﹣1＜a＜0．

即λx﹣lnx﹣x=0有唯一实数解，

2

2

设g（x）=λx﹣lnx﹣x，

则2

．令g'（x）=0，2λx﹣x﹣1=0．

因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0， 方程有两异号根设为x1＜0，x2＞0． 因为x＞0，所以x1应舍去．

当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减； 当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增． 当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．… 因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0， 则

即

因为λ＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*） 设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，

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h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解． 因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1， 代入方程组解得λ=1．…

【点评】本题考查函数的单调性、极值、零点等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

24．【答案】

【解析】解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣， ∴3a+2b+2c=0． 又3a＞2c＞2b， 故3a＞0，2b＜0， 从而a＞0，b＜0，

又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b ∵a＞0，∴3＞﹣3﹣即﹣3＜＜﹣．

（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c． 下面对c的正负情况进行讨论： ①当c＞0时，∵a＞0， ∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0

所以函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点； ②当c≤0时，∵a＞0，

∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0

所以函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点； 综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）．∵x1，x2是函数f（x）的两个零点 ∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根． 故x1+x2=﹣，x1x2==从而|x1﹣x2|=∵﹣3＜＜﹣，

=

=

=

．

＞2，

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∴

|x1﹣x2|

．

【点评】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．

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