河南省南阳市2015届高三上期期末质量评估数学(理)试题 含答案

2014年秋期期终高三数学试卷（理）参考答案

一、选择题：DABBC ADCDD BC 二、填空题：13、20 14、a三、解答题： 17、解：（Ⅰ）

2an14Sn4n1(n1)

10617 15、 16、③④⑤

36

2 an4Sn14(n1)1(n2) 22相减，得ana1n4an4(n2)

22an1(an2)(n2)„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

又an0，故an1an2(n2)

2又a5a2a14，即(a26)2a2(a224)，解得a23 2又a24S141，故a1S11

a2a1312，故数列{an}是以a11为首项，2为公差的等差数列，

故an2n1

n易知bn3，an2n1,bn3„„„„„„„„„„„„„„6分

n3(13n)3n13（Ⅱ）Tn„„„„„„„„„„„„„„„„8分

1323n133()k3n6对n1恒成立，

222n4对n1恒成立 n32n42n62(2n7)2n4CCn1(n2) 令Cn，则nn13n33n3n即k故2n3时，CnCn1，n4时，CnCn1，

C322最大 k„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 272718．解：（Ⅰ）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则

P(A1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P(A2)＝0.05，

所以P(B)＝0.7³0.7³0.05³2＝0.049. „„„„„„„„„„„„„„„„„（6分）

（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为

01P(X0)C3(10.7)30.027，P(X1)C30.7(10.7)20.189， 23P(X2)C30.72(10.7)0.441，P(X3)C30.730.343.

X的分布列为 X P 0 0.027 1 0.189 2 0.441 3 0.343

因为X～B(3，0.7)，所以期望E(X)＝3³0.7＝2.1. „„„„„„„„„„„（12分） 19. 解：（Ⅰ）∵AD // BC，BC=

1AD，Q为AD的中点， 2∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． „„„„„„„„„„6分 另证：AD // BC，BC=

1AD，Q为AD的中点， 2∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°． ∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD． ∵ PQ∩BQ=Q， ∴AD⊥平面PBQ．

∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．„„„„„„„„„6分 （Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．

z ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， P ∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC的法向量为n(0,0,1)；

Q A x N B y D C

M Q(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，

C(1,3,0)．

设M(x,y,z)，则PM(x,y,z3)，

MC(1x,3y,z)，

∵PMtMC， M在棱PC上，∴t>0

tx1txt(1x)3t∴ yt(3y)， ∴ y „„„„„„„9分

1tz3t(z）3z1t在平面MBQ中，QB(0,3,0)，QM(t3t3,,)， 1t1t1t

∴ 平面MBQ法向量为m(3,0,t)．

nmnmt30t23， 2∵二面角M-BQ-C为30°， ∴cos30∴ t3．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

222c2ab4,22

20．解：（Ⅰ）由已知可得解得a＝6，b＝2.

a3b,x2y21. „„„„„„„„„„„„„„„„„（4分） 所以椭圆C的标准方程是62（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是(2，0).

x＝my+2，22

设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得xy

＋＝1.62

消去x，得(m＋3)y+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m＋8(m＋3)>0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝设M为PQ的中点，则M点的坐标为(-4m－212

，y1y2＝2.于是x1＋x2＝m(y1＋y2)+4＝2. 2

m＋3m＋3m＋3

2

2

2

2

62m,). 22m3m3因为TFPQ，所以直线FT的斜率为m，其方程为ym(x2). 当xt时，ymt2，所以点T的坐标为t,mt2，

mt2m(2t)，其方程为yx.

tt2mm(2t)662m2将M点的坐标为(2. ,2)代入，得2m3tm3m3m3解得t3. „„„„„„„„„„„„„„„„„„（8分）

此时直线OT的斜率为

（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线x3上任意一点可得，点T点的坐标为(3,m). 于是|TF|m21，

|PQ|(x1x2)2(y1y2)2[m(y1y2)]2(y1y2)2

4m22(m21)[(y1y2)24y1y2](m21)[(2)42]

m3m34m22(m1)[(2)42]m3m3224(m21). 2m3

|TF|m231(m23)22m1所以 |PQ|m2124(m21)241(m23)21(m21)24(m21)4 22m1m124241413. m2124244m1324242

当且仅当m＋1＝

34|TF|，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值． m＋1|PQ|32

|TF|

故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，－1)．„„„„„„„„„„„（12分）

|PQ|21. 解：（1）由f'(x)a(1x)知： x当a0时，函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,)；

当a0时，函数f(x)的单调增区间是(1,)，单调减区间是(0,1)； „„„„4分 （2）由f'2a1a2, 22. x∴fx2lnx2x3，f'x2故g(x)x3x22mmf'(x)x3(2)x22x，

22∴g'(x)3x(4m)x2,

∵ 函数g(x)在区间(t,3)上总存在极值，

∴g'(x)0有两个不等实根且至少有一个在区间(t,3)内

g'(t)0又∵函数g'(x)是开口向上的二次函数，且g'(0)20，∴ „„„8分

g'(3)0

2由g'(t)0m23t4，∵H(t)3t4在1,2上单调递减，

tt所以H(t)min=H(2)=－9；∴m9，由g'(3)27(4m)320，解得m综上得：37m9. 所以当m在(37,9)内取值时，对于任意的t1,2，函数

3337； 3mg(x)x3x2f'(x)在区间(t,3)上总存在极值。 „„„„12分

2

22、解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线， 所以∠DCB＝∠A，由题设知

BCDC， FAEA故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA .

因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，

故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．„（5分）

(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB²BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB²DA＝3DB2， 故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为

23：（Ⅰ）直线的参数方程为1.„„„（10分） 2x4tcos,(t为参数）.„„„„„（2分）

y2tsin222因为4cos，所以4cos，所以曲线C的直角坐标方程为xy4x.

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（4分） （Ⅱ）将x4tcos,22代入C:xy4x中，得t24(sincos)t40，则

y2tsin16(sincos)2160,有t1t24(sincos),„„„„„„„„„„„„„„„„（6分） tt4,12所以sincos0.又[0,π)，所以0,π， 2π|PM||PN||t1||t2|(t1t2)4(sincos)42sin，„（8分）

4由ππ3π2,得sin≤１，所以|PM||PN|(4,42].„（10分）

244441时,原不等式化为4-x≥2x+4,得-3a1当x2时, |2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4，得x≥a+1或x≤,在x>-2上恒成立，

3得a+1≤-2. ∴a≤-3

综上，a的取值范围为（-∞，-3].„„„„„„„„„„„„„（10分）