经典题型提升练习（四）
1．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC与点E，经过A、D、E三点的即的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴交于另一点G．
（1）求证：BC是⊙F的切线；
（2）试探究线段AG、AD、CD之间的关系，并证明； （3）若点A（O，﹣1）、D（2，0），求AB的长．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B，C两点，交线段AC于点D，直径BH交AC于点E，点A关于直线BD的对称点F落在⊙O上．连结BF． （1）求证：∠C＝45°； （2）在圆心O的运动过程中；
①若tan∠EDF＝，AB＝6，求CE的长； ②若点F关于AC的对称点落在△BFE边上时，求点
的值．（直接写出答案）；
（3）令⊙O与边AB的另一个交点为P，连结PC，交BD于点Q，若PC⊥BF，垂足为点G，求证：BD＝AD+CE．
3．如图①，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，且点A在ED的延长线上，以DE为直径的⊙O与AB交于G、H两点，连接BE． （1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）如图②，连接OB、OC，若tan∠CAD＝，试判断四边形BECO的形状，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若BF＝
，请你求出HG的长．
4．如图1，AB为半圆O的直径，半径OP⊥AB，过劣弧AP上一点D作DC⊥AB于点C．连接
DB，交OP于点E，∠DBA＝22.5°．
（1）若OC＝2，则AC的长为 ；
（2）试写出AC与PE之间的数量关系，并说明理由；
（3）连接AD并延长，交OP的延长线于点G，设DC＝x，GP＝y，请求出x与y之间的等量关系式．（请先补全图形，再解答）．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，点P是
AB的延长线上一点，且∠PDB＝∠A，连接DE、OE．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）填空：①当∠P的度数 为时，四边形OBDE是菱形； ②当∠BAC＝45°时，△CDE的面积为 ．
6．如图，△OAB中，OA＝OB＝5cm，AB长为8cm，以点O为圆心6cm为直径的⊙O交线段OA于点C，交直线OB于点E、D，连接CD，EC． （1）求证：△OCD∽△OAB； （2）求证：AB为⊙O的切线；
（3）在（2）的结论下，连接点E和切点，交OA于点F求证：OF•CE＝OD•CF．
7．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点，以CD为直径的⊙Q分别交
BC、BA于点F、E，点E位于点D下方，连接EF交CD于点G．
（1）如图1，如果BC＝2，求DE的长； （2）如图2，设BC＝x，
＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；
（3）如图3，连接CE，如果CG＝CE，求BC的长．
8．已知：在矩形ABCD中，AB＝a（a为定值），连接AC，点O是AC上的一个动点，以AO为半径的⊙O与AD交于点P．
（1）如图（a），当∠DCP＝∠DAC时，求证：PC是⊙O的切线； （2）在（1）的条件下，若△APC是等腰三角形， ①请你判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；
②求⊙O的半径（用含a的代数式表示）；
（3）如图（b），若BC＝AB＝a，且点O运动到AC与BD的交点处，在弧CD上任取一点
Q，连接AQ、BQ分别交BD、AC于M，N．求证：四边形ABNM的面积为定值．
9．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，AO⊥BC于D． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若AB＝1，P是劣弧
上一个动点，∠APC＝60°（点P与B、C不重合），PA交
BC于点E，设AE＝x，EP＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的前提下，令∠PAC＝α，∠APC＝β，当y取何值时，sin2α+sin2β＝1．
10．如图①，已知A、B是⊙O1上的两点，直线l与⊙O1相交于B、C两点，过A点作⊙O1
的切线AO，AO⊥l交于点O，已知BC＝8，⊙O1的半径为5． （1）证明：∠ABO1＝∠ABO．
（2）求AB的长．
（3）如图②，以AO所在直线为x轴，以直线l为y轴，建立如图所示的直角坐标系，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，当⊙O2的大小变化时，BM﹣BN的值是否改变？若改变，请说明理由．若不变，请求出该值．
参考答案
1．（1）证明：连接EF，如图1所示： ∵AE平分∠BAC， ∴∠FAE＝∠CAE， ∵FA＝FE， ∴∠FAE＝∠FEA， ∴∠FEA＝∠EAC， ∴FE∥AC，
∴∠FEB＝∠C＝90°，即BC是⊙F的切线； （2）解：AG＝AD+2CD；理由如下： 作FR⊥AD于R，连接DF，如图2所示： 则∠FRC＝90°，又∠FEC＝∠C＝90°， ∴四边形RCEF是矩形，
∴EF＝RC＝RD+CD，∠EFR＝90°， ∵FR⊥AD， ∴AR＝RD＝AD， ∴EF＝RD+CD＝AD+CD， ∵AF＝EF， ∴AF＝AD+CD， ∴AG＝2AF＝AD+2CD； （3）解：设⊙F的半径为r， 则r2＝（r﹣1）2+22， 解得，r＝， ∴FA＝FG＝FE＝，
∵点A（O，﹣1）、D（2，0），
∴OA＝1，OD＝2， ∴AD＝∴AR＝
，
＝
，
∵∠EFR＝90°， ∴∠BFE+∠AFR＝90°， ∵∠BFE+∠EBF＝90°， ∴∠EBF＝∠AFR， ∵∠BEF＝∠FRA＝90°， ∴△BEF∽△FRA，
∴＝，即＝，
解得：BF＝，
＝
．
∴AB＝AF+BF＝+
2．（1）证明：∵点A，F关于直线BD对称，
∴∠A＝∠BFD， ∵∠BFD＝∠C， ∴∠A＝∠C， ∵∠ABC＝90°， ∴∠C＝45°；
（2）①解：∵点A，F关于直线BD对称， ∴AD＝DF，AB＝FB， ∵∠A＝∠C＝45°， ∴AB＝BC＝FB＝6， ∴
，
∵BH是直径，
∴由圆的对称性可知，△BFE≌△BCE， ∴∠BFE＝∠C＝∠BFD＝45°，FE＝CE， ∴∠DFE＝90°， ∵tan∠EDF＝，AB＝6，
∴设DF＝AD＝3a，则EF＝CE＝4a，DE＝5a， ∵AC＝
＝6
， ，
∴AC＝3a+4a+5a＝6解得，a＝∴CE＝4a＝2
， ；
②如图1，当点F关于AC的对称点落在BF边上时，连接DO，设FF'交AC于点M， 则AC垂直平分FF'，
由（1）知，∠A＝∠C＝45°，∠ABC＝90°， ∴BA＝BC，∠ABM＝∠CBM＝×90°＝45°， ∵点A，F关于直线BD对称， ∴AD＝DF，AB＝FB，
又∵DB＝DB，
∴△ABD≌△FBD（SSS）， ∴∠ABD＝∠FBD，
由（2）知，△BFE≌△BCE， ∴∠FBE＝∠CBE，
∴∠ABD＝∠FBD＝∠FBE＝∠CBE＝22.5°， ∴∠DBE＝∠DBF+∠EBF＝45°， ∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB＝45°， ∴∠DOB＝90°， 在△BDM与△BEM中，
∠BDM＝∠BEM＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴BD＝BE，
在等腰Rt△BOD中，设OB＝OD＝r， 则BD＝∴BE＝∴
如图2，当点F关于AC的对称点落在BE边上时， ∵∠DF'E＝∠DOE＝90°， ∴点F'与点O重合，连接OF， 则OD＝OF＝DF， ∴△DOF为等边三角形， ∴∠ODF＝60°，
由对称性知，∠ODE＝∠FDE＝30°， 在Rt△DOE中， tan∠ODE＝∴
＝
＝tan30°＝；
，
＝
r， r，OE＝（
＝
﹣1）r， ﹣1；
综上所述，
的值为﹣1或；
（3）如图3，连接PD，FC，FC交BH于点M， ∵∠ABC＝90°， ∴PC⊥BF， ∴CF＝BC＝BF， ∴△FBC是等边三角形，
∴BG＝CM＝BF，∠QGB＝∠CME＝90°，∠DBF＝∠DCF， ∴△QBG≌△ECM（ASA）， ∴BQ＝CE，
∵∠PDA＝90°，∠A＝45°， ∴DP＝DA＝DF， ∴
，
），∠DQP＝∠QDC+∠QCP＝（
），
∵∠DPC＝（∴∠DPC＝∠DQP， ∴DQ＝DP＝AD， ∴BD＝AD+CE．
3．（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形， ∴BC＝AC，EC＝DC， ∴∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠DCE﹣∠FCD＝∠ACB﹣∠FCD， ∴∠BCE＝∠ACD， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴∠CBE＝∠CAD， ∴∠ABE+∠BAE＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∴BE⊥OE，
又∵OE是⊙O的半径， ∴BE是⊙O的切线；
（2）四边形BECO是平行四边形， 理由如下：
∵点O是ED的中点，
∴CO是DE边上的中线， ∵△CDE是等腰三角形， ∴CO是DE边上的高线， ∴CO⊥DE，
∴∠COE＝∠AOC＝90°， ∵∠AEB＝90°， ∴∠AEB＝COE， ∴CO∥BE，
∵在Rt△AOC中，tan∠CAD＝， ∴
＝，
∴AO＝2CO， ∴DO＝CO， ∴AD＝CO， ∵△BCE≌△ACD， ∴BE＝AD， ∴BE＝CO，
∴四边形BECO是平行四边形；
（3）∵四边形BECO是平行四边形， ∴CF＝BF＝∴BC＝2
，
，
， ＝2
，
∴AC＝BC＝2∴AB＝
设OC＝x，则AO＝2x，
∵在Rt△AOC中，OC2+AO2＝AC2， ∴x2+（2x）2＝（2
）2，
解得，x＝2（取正值）， ∴OC＝BE＝2，AO＝4，
如图3，过点O作OM⊥AB于点M，连接OG，
∴∠AMO＝90°，HG＝2MG， ∴∠AMO＝∠AEB＝90°， ∵∠MAO＝∠BAE， ∴△MAO∽△BAE， ∴∴
＝＝
， ，
，
∴OM＝
在Rt△MOG中，OM2+MG2＝OG2， ∴（∴MG＝∴HG＝2MG＝
）2+MG2＝22， （取正值），
．
4．解：（1）∵∠DBA＝22.5° ∴∠DOC＝45° ∵OC＝2 ∴OD＝
．
∴AC＝OA﹣OC＝
（2）连接AD，DP，OD，过点D作DF⊥OP，垂足为点F． ∵∠DCA＝∠DFP＝90°，AD＝DP，CD＝DF ∴Rt△ACD≌Rt△DFP（HL） ∴AC＝PF
∵∠A＝∠CDB＝∠OEB＝∠DEF，∠ACD＝∠DFE＝90°，CD＝DF ∴Rt△ACD≌Rt△DEF（HL） ∴AC＝EF ∴PE＝2AC
（3）如图所示，
由∠DCO＝90°，∠DOC＝45°得OD＝∵∠ADB＝90°，点O是AB中点 ∴AB＝2OD＝
＝
∵∠A＝∠GED，∠GDE＝∠ADB，AD＝DE ∴△DGE≌△DBA（ASA） ∴GE＝AB＝∵PE＝2AC ∴PE＝2（∴GP＝GE﹣PE＝即：y＝2x
5．解：（1）如图，连接OD
）
x
∵OB＝OD，∠PDB＝∠A
∴∠ODB＝∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣∠PDB ∴∠ODB+∠PDB＝90° ∴∠ODP＝90° 又∵OD是⊙O的半径
∴PD是⊙O的切线 （2）①30°
若四边形OBDE为菱形，则OB＝BD＝DE＝EO＝OD ∴△OBD为等边三角形 ∴∠ABD＝∠A＝60° ∴∠PDB＝30° ∴∠P＝30°
即当∠P为30°时，四边形OBDE为菱形 ②
如图所示
∵AO＝OE＝2，∠AOE＝90° ∴AE＝∴EC＝4﹣
∵∠BAC＝45° ∴∠EDB＝135° ∴∠EDC＝45° 设DF＝EF＝b，FC＝a ∵△EFC∽△ADC ∴∴
∵a2+b2＝（4﹣解得a＝（
）2 ）b，b2＝4﹣2
S△CDE＝
＝＝
b2＝
6．证明：（1）∵OC＝OD，OA＝OB， ∴
＝
，又∵∠COD＝∠AOB，
∴△OCD∽△OAB；
（2）过点O作OG⊥AB，垂足为G， ∴∠OGA＝∠OGB＝90， ∵OA＝OB， ∴AG＝BG＝4，
在Rt△AOG中，OA＝5，AG＝4， ∴OG＝
＝3，
∵⊙O的直径为6， ∴半径r为3，
∴OG＝r＝3，又OG⊥AB， ∴AB为⊙O的切线； （3）∵OA＝OB，AG＝BG， ∴∠AOG＝∠BOG， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵∠AOB＝∠OEC+∠OCE， ∴∠AOG＝∠OCE， ∴OG∥EC， ∴△FOG∽△FCE， ∴
＝
，
∴OF•CE＝OD•CF， ∵OG＝OD， ∴OF•CE＝OD•CF．
7．解：（1）如图1中，连接CE．
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2， ∴AB＝
＝
，
∵CD 是⊙Q的直径， ∴∠CED＝90°， ∴CE⊥AB， ∵BD＝AD， ∴CD＝AB＝
，
∵•AB•CE＝•BC•AC， ∴CE＝
，
＝
＝
．
在Rt△CDE中，DE＝
（2）如图2中，连接CE，设AC交⊙Q于K，连接FK，DF，DK．
∵∠FCK＝90°， ∴FK是⊙Q的直径， ∴直线FK经过点Q， ∵CD是⊙Q的直径， ∴∠CFD＝∠CKD＝90°， ∴DF⊥BC，DK⊥AC， ∵DC＝DB＝DA， ∴BF＝CF，CK＝AK， ∴FK∥AB， ∴
＝
，
∵BC＝x，AC＝1， ∴AB＝
，
∴DC＝DB＝DA＝∵△ACE∽△ABC， ∴可得AE＝
，
，
∴DE＝AD﹣AE＝﹣，
∴＝，
∴＝，
∴y＝
（x＞1）．
（3）如图3中，连接FK．
∵CE＝CG， ∴∠CEG＝∠CGE， ∵∠FKC＝∠CEG， ∵FK∥AB， ∴∠FKC＝∠A， ∵DC＝DA， ∴∠A＝∠DCA，
∴∠A＝∠DCA＝∠CEG＝∠CGE， ∴∠CDA＝∠ECG， ∴EC＝DE， 由（2）可知：
＝
﹣
，
整理得：x2﹣2x﹣1＝0， ∴x＝1+
或1﹣
（舍弃），
∴BC＝1+．
8．解：（1）证明：连接OP，如图a，
∵OA＝OP， ∴∠DAC＝∠APO， ∵∠DCP＝∠DAC， ∴∠DCP＝∠APO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，CD＝AB＝a， ∴∠DCP+∠DPC＝90°，
∴∠OPC＝180°﹣∠DPC﹣∠APO＝180°﹣∠DPC﹣∠DCP＝90°， ∴OP⊥PC， ∴PC是⊙O的切线；
（2）①BC是⊙O的切线，
理由如下：如图a﹣1，过点O作OE⊥BC于E，
∵△APC是等腰三角形， ∴AP＝PC， ∴∠PAC＝∠PCA，
∵AD∥BC，
∴∠PAC＝∠ACE＝∠PCA，
又∵∠OPC＝∠OEC＝90°，OC＝OC， ∴△OPC≌△OEC（AAS）， ∴OP＝OE， 又∵OE⊥BC， ∴BC是⊙O的切线； ②∵AP＝PC， ∴∠DAC＝∠ACP，
∵∠DAC+∠ACD＝∠DAC+∠ACP+∠DCP＝90°， ∴∠DAC＝∠DCP＝∠ACP＝30°， ∵在Rt△CDP中，cos∠DCP＝∴PC＝
＝
＝
，
a，
＝
，
∵Rt△OPC中，tan∠OCP＝∴OP＝
PC＝， ；
∴⊙O半径为
（3）连接DQ、CQ，如图b，
∵矩形ABCD中，BC＝AB＝a， ∴矩形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝a，∠AOB＝∠AOM＝∠BON＝90°，∠ADM＝∠BCN＝45°，
∴AC＝BD＝a，OA＝OB＝a，AC、BD为⊙O直径，
∵Q在弧CD上运动， ∴∠AQB＝∠AOB＝45°，
∵∠ADM＝∠AQB＝45°，∠DAM＝∠QBM， ∴△ADM∽△BQM， ∴∴BM＝
，
，
∵∠BCN＝∠AQB＝45°，∠CBN＝∠QAN， ∴△BCN∽△AQN， ∴∴AN＝
，
，
∵AC、BD为⊙O直径， ∴∠AQC＝∠BQD＝90°，
∵∠AOM＝∠AQC＝90°，∠OAM＝∠QAC， ∴△AOM∽△AQC， ∴
，
∴AM•AQ＝AO•AC＝a2，
∵∠BON＝∠BQD＝90°，∠OBN＝∠QBD， ∴△BON∽△BQD， ∴
，
∴BN•BQ＝BO•BD＝a2， ∴S四边形AMNB＝S△AMB+S△NMB＝
MB•OA+MB•ON＝MB（OA+ON）＝MB•AN＝•
＝a2，
•
＝•＝•
∴四边形AMNB的面积为定值．
9．（1）证明：∵△ABC内接于⊙O，AO⊥BC，
∴BD＝CD＝BC， ∴AB＝AC， ∵AB＝BC， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形；
（2）解：由（1）得：△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝BC＝1，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴BD＝CD＝，AD＝∵∠APC＝∠ABC， ∴∠ACB＝∠APC， 又∵∠CAE＝∠PAC， ∴△ACE∽△APC， ∴
＝
，
BD＝，
∴AE×AP＝AC2＝1， 即x（x+y）＝1， ∴y＝
又∵AD＜AE＜AB， ∴
＜x＜1；
（3）解：∵∠APC＝∠B＝60°，∠PAC＝α，∠APC＝β， ∴sin2α＝sin2∠APC＝（∵sin2α+sin2β＝1． ∴sin2β＝1﹣＝， ∴sinβ＝， ∴∠PAC＝30°，
∴点E与D重合，如图所示： 连接OB，则OB平分∠ABC，
）2＝，
∴∠OBD＝30°， ∵AD⊥BC， ∴OD＝
BD＝，OP＝OA＝OB＝2OD＝
﹣
＝
；
，
∴PD＝PE＝OP﹣OD＝即y取
时，sin2α+sin2β＝1．
10．解：（1）连接O1A，过O1作EO1⊥BC于E，
∵EO1⊥BC， ∴BE＝BC＝4， ∵O1B＝5， ∴O1E＝
＝
＝3，
∵过A点作⊙O1的切线AO， ∴AO1⊥AO，且AO⊥l，EO1⊥BC， ∴四边形OEO1A是矩形，
∴AO＝O1E＝3，AO1∥OE，AO1＝EO＝5， ∴∠O1AB＝∠ABO， ∵O1A＝O1B， ∴∠O1AB＝∠O1BA，
∴∠ABO1＝∠ABO；
（2）∵OB＝OE﹣BE＝5﹣4＝1， ∴AB＝
＝
＝
；
（3）在MB上截取MG＝NB，连接AM，AN，AG，MN，
∵四边形ABNM是圆内接四边形， ∴∠ABO1＝∠NMA，
∵∠ABO1＝∠ABO，∠ABO＝∠ANM ∴∠AMN＝∠ANM， ∴AM＝AN， ∵
＝
，
∴∠AMG＝∠ANB，且AM＝AN，MG＝NB， ∴△AMG≌△ANB（SAS） ∴AG＝AB，且AO⊥BC， ∴BO＝GO＝1， ∴BG＝2，
∴BM﹣BN＝BM﹣MG＝BG＝2， ∴BM﹣BN的值不变．
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