2015高考真题——数学理(新课标I卷)Word版含答案

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试题类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1+z（1） 设复数z满足＝i，则|z|＝ 1z(A)1 (B)2 (C)3 (D)2 (2)sin20°cos10°－con160°sin10°＝ (A)3311 (B) (C) (D) 2222(3)设命题P：nN，n2>2n，则P为 (A)nN， n2>2n (B) nN， n2≤2n (C)nN， n2≤2n (D) nN， n2＝2n (4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 x2 (5)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，

2若MF1MF2＜0，则y0的取值范围是

(A)(－33，) 33(B)(－33，) 66

(C)(22222323，) (D)(，) 3333(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委

米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 (7)设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则 4141(A) ADABAC (B) ADABAC 33334141(C) ADABAC (D) ADABAC 3333

(8)函数f(x)＝(A)()，k的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为 (b)()，k (C)()，k (D)()，k

(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

25 52（10）(xxy)的展开式中，xy的系数为 (A)10 (B)20 (C)30 (D)60 2r

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体， （12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 （13）表面积为16 ＋ 20，则r＝ (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 r 正视图 r 2r 12.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的 整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( ) A.[

333333，1) B. [,) C. [,) D. [，1) 2e2e42e42e俯视图 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)若函数f(x)＝xln(x＋ax2)为偶函数，则a＝ (14)一个圆经过椭圆

的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程

为 .

x10y(15)若x，y满足约束条件xy0，则的最大值为 .

xxy40(16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 .

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)

Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，(Ⅰ)求{an}的通项公式： (Ⅱ)设 ，求数列}的前n项和 E F (18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°， E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD， A D DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面AEC⊥平面AFC C B (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值 (19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 年销售量 年宣传费(千元) x y w x112(x1－x) x112(w1－w) x11(x1－x)(y－y) x11(w1－w)(y－y) 108.8 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 1表中w1 ＝x1， ，w ＝

8w1

x11

(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费

x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

（i） 年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)„„.. (un vn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为： (uu)(vv)iii12(uu)ii1nn,vu

(20)(本小题满分12分) x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝与直线y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，

4(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程； (Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.

(21)(本小题满分12分) 1已知函数f(x)＝x3ax,g(x)lnx 4(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线yf(x) 的切线； (Ⅱ)用min m,n 表示m，n中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)(x0) ，

讨论h(x)零点的个数

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

C (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

E 如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，BC交☉O于点E

D （I） 若D为AC的中点，证明：DE是☉O的切线； （II） 若OA＝3CE，求∠ACB的大小.

A O B

(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中.直线C1:x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I） 求C1，C2的极坐标方程； （II） 若直线C3的极坐标方程为求△C2MN的面积

4R，设C2与C3的交点为M，N ，

(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集； (Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 a2n2an4Sn3

2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案

A卷选择题答案 一、 选择题

（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D A、B卷非选择题答案 二、填空题

325（13）1 （14） (x)2y2 （16）24 （15）3

二、 解答题 （17）解： 22（I）由an2an4Sn3，可知an12an14Sn13. 22可得an1an2(an1a)4an1 即 222(an1an)an1an(an1a)(an1a) 由于an0可得an1an2. 又a122a14a13，解得a11(舍去)，a13 所以an是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1. （II）由an2n1 bn11111(). ana1(2n1)(2n3)22n12n3设数列bn的前n项和为Tn，则 Tnb1b2bn 1111111()()()()235572n12n3

n.3(2n3)

（18）解：

（I）连结BD，设BDAC=G，连结EG，FG，EF.

在菱形ABCD中不妨设GB=1.由ABC=120°， 可得AG=GC=3.由

BE平面ABCD, AB=BC可知AE=EC.

又AEEC，所以EG=3，且EGAC.在RtEBG中， 可得BE=2故DF=26.在RtFDG中，可得FG=. 222， 2在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=可得FE=32.从而EG2FG2EF2,所以EGFG 2又ACFGG,可得EG平面AFC.因为EG平面AEC 所以平面AEC平面AFC （III） 如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向， GB为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz. 2由（I）可得A(0，3,0),E(1，0，2),F(1，0，),C(0，3,0)所以 2AECF32. AE(1，32),CF(1，3,).故cosAE,CF32AECF所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为

（19）解：

3. 3

（I）由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。 „„2分 （II）令wnx，先建立y关于w的线性回归方程。由于

ˆ d(ww)(yy)iii1(ww)ii1n2108.868 1.6ˆ563686.8100.6。 ˆydwcˆ100.668w，因此y关于x的回归方程为所以y关于w的线性回归方程为yˆ100.668x。 „„6分 y （III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值 ˆ100.66849576.6 y年利润z的预报值 ˆ576.60.24966.32。 „„9分 z （ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值 ˆ0.2(100.668x)xx13.6x20.12 z 所以当x13.6ˆ取得最大值 6.8，即x=46.24时，z2 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 „„12分

（20）解： （

I）有题设可得M(2a,a),N(2a,a),或M（-2a,a）.又

xx2y=，故y在x2a 24处的导数值为

a，C在点(2a,a)出的切线方程为

yaa(x2a),即axya0

x2y在x2a，即axya0.

4

股所求切线方程为axya0和axya0 （III） 存在符合题意的点，证明如下：

设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为k1,k2

ykxa代入C的方程得x24kx4a0. 故x1x24k,x1x24a.

从而kxa代入C的方程得x24kx4a0. 故x1x24k,x1x24a. 从而k1k2y1by2bx1x22kx1x2(ab)(x1x2)x1x2 k(ab) a 当b=-a时，有 k1k20,则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故OPM=OPN，所以点P(0,-a)符合题意 （21）解： (x0,0)则f(x0)0,f(x0)0即13xax000（I）设曲线y=f(x)与x轴相切于点43x2a0013解得x0,a243因此，当a时，x轴为曲线yf(x)的切线 4（II）当

x(1,)时，g(x)1nx0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,)无零点55当x1时，若a则f(1)a0,h(1)minf(1),g(1)g(1)0,故x

445是h(x)的零点；若a,则f(1)<0,h(1)=minf(1),g(1)f(1)0,故x1不是h(x4的零点当x(0,1)时，g(x)1nx0.所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数

（i）若a-3或a0,则f（x）=3x2+a在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调

15f(0),f(1)a,所以当a-3时，f(x)在（0,1）有一个零点；当a0时f(x)在（1,0）没有零点44aa(ii)若3a0,则f(x)在（0，)单调递减，在（,1）单调递增，故在（0,1）中33

a2aa1当xa时，f(x)取得最小值，最小值为f() 33334

a3①若f()0.即a0,f(x)在（0,1）无零点；34a3②若f()=0,即a=-则f(x)在(0,1)有唯一零点34a3153③若f()0,即3a,由于f(0),f(1)aa344445时，f(x)在（0,1）有两个零点；当-3（22）解： （I）链接AE，由已知得，AEBCACAB 在RtAEC中，由已知得，DE=DC故DECDCE 链接OE，则OBE=OEB又ACB+ABC=90°所以DEC+OEB=90° 故OED90o，DE是O得切线

（II）设CE=1，AE=X，由已知得AB23，BE12x 由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以x12x即x4x2120 可得x3，所以ACB60o

222

（23）解： （I）因为xcos，ysin，所以C1的极坐标方程为cos2，C2的极坐标方程为2cos4sin40。 „„5分 （II）将24代入2cos4sin40，得23240，解得2122，22。故122，即MN2。 由于C2的半径为1，所以C2MN的面积为

（24）解： （I）当a1时，fx1化为x12x110， 当x1时，不等式化为x40，无解； 1。 „„10分 22x1； 3 当x1时，不等式化为x20，解得1x2。 当1x1时，不等式化为3x20，解得 所以fx1的解集为x2x2。 „„5分 3x12a,x1, （II）由题设可得，fx3x12a,1xa,

x12a,xa, 所以函数fx的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a1,0，

3

B2a1,0，Ca,a1，ABC的面积为

由题设得

22a1。 322a16，故a2。 3 所以a的取值范围为2, „„10分

B卷选择题 一、 选择题

（1）D （2）A （3）C （4）A (5) D (6) B (7) D (8) A (9) C (10) C (11) B (12) A