中考数学压轴题练习

1．考点分析：

切线的性质 ;正方形的判断与性质 ;扇形面积的计算 ;锐角三角函数的定义 .题干分析：

(1)连接 OE，获得 ∠ADO=∠AEO=90°，依据 ∠A=90°，推出矩形 ADOE，进一步推出正方形 ADOE，得出 OD∥AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出答案 ;(2) 设⊙O 与 BC交于 M 、N 两点，由 (1)得：四边形 ADOE是正方形，推出

∠ COE+∠BOD=90，°依据， OE=3，求出，依据 S扇形 DOM+S扇形 EON=S扇形

DOE，即可求出暗影部分的面积 .

解题反思：

此题主要观察对正方形的性质和判断，锐角三角函数的定义，扇形的面积，切线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的要点 .

2.如图，已知抛物线经过点 A(﹣2，0)，B(﹣3， 3)及原点 O，极点为 C.(1)求抛物线的函数分析式 ;

(2)连接 BC交 x 轴于点 F.试在 y 轴负半轴上找一点 P，使得 △POC∽△BOF.

考点分析：

相似三角形的判断与性质 ;待定系数法求二次函数分析式 . 1、相似三角形的看法

对应角相等，对应边成比率的三角形叫做相似三角形。相似用符号 “∽”来表示，读作 “相似于 ”。相似三角形对应边的比叫做相似比 (或相似系数 )。

2、相似三角形的基本定理

平行于三角形一边的直线和其余两边 (或两边的延长线 )订交，所构成的三角形与原三角形相似。

3、三角形相似的判断方法

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① 定义法：对应角相等，对应边成比率的两个三角形相似

② 平行法：平行于三角形一边的直线和其余两边 (或两边的延长线 )订交，所构成的三角形与原三角形相似

③ 判判定理 1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④ 判判定理 2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，而且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比率且夹角相等，两三角形相似。 ⑤ 判判定理 3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比率，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比率，两三角形相似

4、直角三角形相似的判断方法

① 以上各种判断方法均合用

② 定理：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比率，那么这两个直角三角形相似

③ 垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相

似。

5、相似三角形的性质

(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比率

(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角均分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

题干分析：

(1)抛物线的分析式为 y=ax2+bx+c (a ，≠把0) A、B、C的坐标代入求出即

可;(2)求出 ∠BOF=∠POC，求出 OB、OF、OC的长，依据相似得出比率式，代入求出即可。解题反思：

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此题观察了用待定系数法求二次函数、一次函数的分析式，相似三角形的性质和判断的应用，能求出吻合的全部状况是解此题的要点。

3.如图，一扇窗户垂直打开，即 OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，此中一端固定在窗户的点 A 处，另一端在 OP上滑动，将窗户 OM 按图示方向向内旋转 35°到达 ON 地点，此时，点 A、C的对应地点分别是点 B、D.丈量出 ∠ODB

为 25°，点 D 到点 O 的距离为 40cm.

(1)求 B 点到 OP的距离 ;

(2)求滑动支架的长 .(结果精确到

(数据： sin25 °≈，cos25 °≈，tan25 °≈，sin55 °≈，cos55 °≈，tan55 °≈考点分析：解直角三角形的应用 .

题干分析：

(1)依据锐角三角函数可以表示出 DE和 OE的长，从而可以求得 BE的长度，此题得以解决 ;

(2)依据第 (1)文中 BE的长，可以利用锐角三角函数求得 BD的长，此题得以解决 .解题反思：

此题观察解直角三角形的应用，解题的要点是明确题意，构造出适合的直角三角形，利用锐角三角函数解答 .

4. “端午节 ”是我国的传统佳节，民间向来有吃 “粽子 ”的民俗，我市某食品厂

为认识市民对昨年销售量较好的肉馅粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄馅粽 (以下分别用 A、B、 C、D 表示这四种不一样口味粽子的喜欢状况，在节前对某居民区市民进行了抽样检查，并将检查结果绘制成以下两幅统计图 .

请依据以上信息回答：

(1)本次参加抽样检查的居民有多少人 ?

(2)将不完好的条形图增补完好 .

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(3)若居民区有 8000 人，请预计爱吃 D 粽的人数 ?

(4)如有外型完好同样的 A、B、C、D 粽各一个煮熟后，小王吃了俩个，用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是 C 粽的概率 ?

考点分析：

条形统计图 ;用样本预计整体 ;扇形统计图 ;列表法与树状图法 .

题干分析：

(1)依据 D 种类的人数是 240 人，所占的比率是 40%，据此即可求得总人

数;(2)利用总人数，减去其余各组的人数，即可求得 C类的人数，据此即可完成直方图 ;

(3)利用总人数 8000 乘以对应的百分比即可求解 ;

(4)利用列举法可以列举出全部的结果，而后利用概率公式即可求解

思：

.解题反

此题观察的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不一样

的统计图中获得必需的信息是解决问题的要点

.条形统计图能清楚地表示出每个

.

项目的数据 ;扇形统计图直接反响部分占整体的百分比大小

5.已知：如图， E是正方形 ABCD的对角线 BD 上的点，连接 AE、CE.(1)求

证： AE=CE;

(2)若将 △ABE沿 AB 对折后获得 △ABF;当点 E 在 BD 的哪处时，四边形 AFBE 是正方形 ?请证明你的结论 .

考点分析：

正方形的判断与性质 ;全等三角形的判断与性质 ;翻折变换 (折叠问题 ).题干分

析：

(1)利用正方形的性质和 SAS证明 △ABE≌△CBE即可 ;

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(2)由折叠的性质得出 ∠F=∠AEB，AF=AE，BF=BE，由直角三角形斜边上的

中线性质得出，证出 AE=BE=CE=DE=AF=BF，得出四边形 AFBE是菱形， AE⊥BD， 即可得出结论 .

解题反思：

此题观察了正方形的判断与性质、全等三角形的判断与性质、菱形的判

定、折叠的性质、直角三角形斜边上的中线性质 质，证明三角形全等是解决问题的要点

.

;娴熟掌握正方形的判断与性

6.如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴正半轴与 y 轴正半轴上，线段 OA，OB(OA

< p=\"\"><>

(1)求线段 AB 的长 ;

(2)求 tan∠DAO 的值 ;

(3)若把 △ADC绕点 A 顺时针旋转 α°(0<α<90)，点 D，C 的对应点分别为

D1，C1，获得 △AD1C1，当 AC1∥y 轴时，分别求出点 C1，点 D1 的坐标。

考点分析：

几何变换综合题 ;线段垂直均分线的性质 ;勾股定理的应用 ;旋转的性质 .题干分析：

(1)先依据方程的解求得线段 OA，OB 的长，再依据勾股定理求得 AB 的

长;(2)先依据线段垂直均分线的性质，获得 AD=BD，再依据 Rt△AOD 中的勾股定理，求得 OD 的长，并计算 tan∠DAO 的值 ;

(3)先依据旋转的性质，求得 AC1和 C1D1的长，再依据 OA=4，AC1∥y 轴，求得点 C1 和点 D1 的坐标 .

解题反思：

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此题主要观察了几何变换中的旋转变换，掌握线段垂直均分线的性质以及利用勾股定理列出方程是解题的要点 .在图形旋转时，旋转前、后的图形全等，即对应边相等，对应角也相等。

7.综合与实践：制作无盖盒子

任务一：如图 1，有一块矩形纸板，长是宽的 2 倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为 4cm，容积为 616cm3 的无盖长方体盒子 (纸板厚度忽视不

计).(1)请在图 1 的矩形纸板中画出表示图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.(2)央求出这块矩形纸板的长和宽 .

任务二：图 2 是一个高为 4cm 的无盖的五棱柱盒子 (直棱柱 )，图 3 是其底面，在五边形 ABCDE中， BC=12cm，AB=DC=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，

∠ EAB=∠EDC=90. °

(1)试判断图 3 中 AE与 DE的数目关系，并加以证明 .

(2)图 2 中的五棱柱盒子可按图 4 所示的表示图，将矩形纸板剪切折合而

成，那么这个矩形纸板的长和宽最少各为多少 cm?请直接写出结果 (图中实线表示剪切线，虚线表示折痕 .纸板厚度及剪切接缝处消耗忽视不计 ).

考点分析：

几何变换综合题 .

题干分析：

任务一： (1)按要求画出表示图即可 ;

(2)设矩形纸板的宽为 xcm，则长为 2xcm，依据题意列出方程，解之即可 .任务二： (1)AD=DE，延长 EA、ED分别交直线 BC于点 M、N，先证明 EM=EN，再证明△ MAB≌△NDC，获得 AM=DN 即可 ;

(2)如图 4，由 (1)得;AE=DE，∠EAD=∠EDA=30°，

由已知得， AG=DF=4，连接 AD，GF，

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过 B，C 分别作 BM⊥AD 于 M，CN⊥AD 于 N，过 E 作 EP⊥AD 于 P，则 GF

即为矩形纸板的长， MN=BC=12，AP=DP

获得 ∠BAM=∠CDN=60°，

求出 AM=DN=3，BM=CN，

而后经过三角形相似即可获得结果 .

解题反思：

此题观察了长方体的平面图，全等三角形的判断和性质，一元二次方程的

应用，相似三角形的判断和性质，正确的画出图形是解题的要点

.

8.在□ ABCD中， BC=2AB，M 为 AD 的中点，设 ∠ABC=α，过点 C作直线 AB 的垂线，垂足为点 E，连 ME.

(1)如图 ① ，当 α=90°，ME 与 MC 的数目关系是 ____________;

∠ AEM 与∠DME 的关系是 ____________; (2)如图 ② ，当 60°<α<90°时，请问：

(1)中的两个结论能否依旧成立 ?若成立，请证明 ;若不成立，请说明原由 ;(3) 如图 ③ ，当 0°<α<60°时，请在图中画出图形， ME 与 MC 的数目关系是

___________;

∠ AEM 与∠DME 的关系是 ___________.(直接写出结论即可，不用证明 )考点 分析：

平行四边形的性质 ;平行线的性质 ;三角形的外角性质 ;线段垂直均分线的性

质;综合题 ;研究型 .

题干分析：

(1)依据 α=90°，□ ABCD是矩形，又 M 为 AD 的中点，因此可以证明 △ABM 与△DCM 是全等三角形，依据全等三角形对应边相等即可获得 ME=MC;依据三角形外角性质， ∠DME﹣∠AEB=∠A，再依据两直线平行，同旁内角互补，

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∠ A=180 ﹣°α;(2)点 E 在线段 AB 上，过 M 作 MN⊥EC于 N，依据 M 为 AD 的中点，可得出 MN 是梯形 AECD的中位线，故点 N 是 EC的中点，从而 MN 是线段

EC的垂直均分线，因此 ME=MC;先依据两直线平行，同旁内角互补求出 ∠A 的度数，再依据三角形的外角性质即可获得两角的关系 .

(3)点 E在线段 BA 的延长线上，依据 (2)的证明求解方法，同理可解 .解题反

思：

此题主要观察平行四边形的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及两直线平行，同旁内角互补的性质，娴熟掌握性质并灵巧运用是解题的要点。

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