数 学
第Ⅰ卷
一、选择题
1．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( ) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i
2．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为( ) A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
1
3．函数f(x)＝＋
lnx＋1
4－x2的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2]
4．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据．则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差
π
5．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图像关于直线
2π
x＝对称．则下列判断正确的是( ) 2
A．p为真 B．q为真 C．p∧q为假 D．p∨q为真
x＋2y≥2，
6．设变量x，y满足约束条件2x＋y≤4，
4x－y≥－1，33
A．[－，6] B．[－，－1]
223
C．[－1,6] D．[－6，]
2
7．执行下面的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为( )
则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
πxπ8．函数y＝2sin6－3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A．2－3 B．0 C．－1 D．－1－3
9．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
cos 6x
10．函数y＝x－的图像大致为( )
2－2x
x2y2
11．已知双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦
ab点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
83163A．x2＝y B．x2＝y
33C．x2＝8y D．x2＝16y
1
12．设函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且仅有两个不
x同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( )
A．x1＋x2>0，y1＋y2>0 B．x1＋x2>0，y1＋y2<0
C．x1＋x2<0，y1＋y2>0 D．x1＋x2<0，y1＋y2<0
第Ⅱ卷
二、填空题 13.
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1
的体积为________．
14．下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5，25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________．
15．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
16.
如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，
三、解答题
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C.
(1)求证：a，b，c成等比数列； (2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.
的坐标为________．
18．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
19.
如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
20．已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.
21.
x2y23如图，椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形ABCD
ab2的面积为8.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设直线l：y＝x＋m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个|PQ|
不同的交点S，T.求的最大值及取得最大值时m的值．
|ST|
ln x＋k
22．已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在
ex点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值； (2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝xf′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数．证明：对任意x>0，g(x)<1＋e2.
－
答案 第Ⅰ卷
一、选择题
11＋7i11＋7i2＋i15＋25i
1．解析：z＝＝＝＝3＋5i.
52－i2－i2＋i答案：A
2．解析：∁UA＝{0,4}，所以(∁UA)∪B＝{0,4}∪{2,4}＝{0,2,4}． 答案：C
x＋1>0，
3．解析：x满足x＋1≠1，
4－x2≥0，答案：B
4．解析：只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2. 答案：D
5．解析：命题p，q均为假命题，故p∧q为假命题． 答案：C 6．解析：
x>－1，
即x≠0，－2≤x≤2.
解得－1 其最大值在点A(2,0)处取得，最小值在点B(，3)处取得，即最大值为6，最小值为－. 22 答案：A 7．解析：逐次计算结果是P＝1，Q＝3，n＝1；P＝5，Q＝7，n＝2；P＝21，Q＝15，n＝3，退出循环，故输出结果是n＝3. 答案：B ππxπ7π3πxπ 8．解析：当0≤x≤9时，－≤－≤，－≤sin (－)≤1，所以函数的最大值 3636263为2，最小值为－3，其和为2－3. 答案：A 9．解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、之和为5，而1<17<5，所以 两圆相交． 答案：B cos 6x 10．解析：函数y＝x－是奇函数，图像关于坐标原点对称，排除选项A中的图像； 2－2x22x－1π 当x>0时，2－2＝x>0，故函数值的符号取决于cos6x的符号，x∈(0，]时cos 6x>0， 212 x －x π 排除选项B中的图像；在后续区间上函数值取正负的区间长度都是，排除选项C中的图像， 6只能是选项D中的图像． 答案：D bc 11．解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝aa a2＋b2＝ a2bb1＋2＝2，所以＝ aa p2p 3，所以双曲线的渐近线方程为y＝±3x.抛物线的焦点坐标为(0，)，所以＝2，所以p＝8， 22所以抛物线方程为x2＝16y. 答案：D 12．解析：由于函数y＝f(x)的图像在一三象限且关于坐标原点对称，函数y＝g(x)的图像过坐标原点，结合函数图像可知点A，B一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即11x1＋x2 x1x2<0，由于y1＋y2＝＋＝，故x1＋x2，y1＋y2一定异号． x1x2x1x2 1 问题即为方程－x2＋bx＝仅有两个不同的实根，即方程x3－bx2＋1＝0有一个二重根、 x一个单根．此时结合图像可知位于第一象限的点A的横坐标为方程根，根据方程根的理论，如果x1是方程x3－bx2＋1＝0的二重根，x2为一个单根，则 2 x3－bx2＋1＝(x－x1)2(x－x2)＝x3－(2x1＋x2)x2＋(x1＋2x1x2)x－x2这个等式对任意x恒成1x2， 立，比较等式两端x的系数可得x21＋2x1x2＝0，即x1＋2x2＝0，即x1＋x2＝－x2>0，所以x1＋x2>0，y1＋y2<0. 答案：B 第Ⅱ卷 二、填空题 13.解析：三棱锥A－DED1的体积等于三棱锥E－DD1A的体积，即VA－DED1＝VE－DD1A111＝××1×1×1＝. 326 1答案： 6 14．解析：设样本容量为n，则n×(0.1＋0.12)×1＝11，所以n＝50，故所求的城市数为50×0.18＝9. 答案：9 1 15．解析：函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m>0，即m<.若a>1，则函数f(x) 4111 在[－1,2]上的最小值为＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2，＝m，与m<矛盾；当0 函数f(x)在[－1,2]上的最小值为a2＝m，最大值为a1＝4，解得a＝，m＝.所以a＝. 4164 1 答案： 416.解析： 如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ，Q为垂足．根据题意得劣弧 ＝2，故∠DCP＝2弧度， πππ 则在△PCQ中，∠PCQ＝(2－)弧度，|CQ|＝cos(2－)＝sin 2，|PQ|＝sin(2－)＝－cos 2，所 222以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin 2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos 2，所以P点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，此即为向量 答案：(2－sin 2,1－cos 2) 三、解答题 17．解：(1)在△ABC中，由于sin B(tan A＋tan C)＝ tan Atan C， sin Asin Csin Asin C 所以sin B(＋)＝·， cos Acos Ccos Acos C因此sin B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Asin C， 所以sin Bsin(A＋C)＝sin Asin C. 又A＋B＋C＝π， 所以sin(A＋C)＝sin B， 因此sin2B＝sin Asin C. 由正弦定理得b2＝ac， 即a，b，c成等比数列． (2)因为a＝1，c＝2，所以b＝2， a2＋c2－b212＋22－23 由余弦定理得cos B＝＝＝， 2ac2×1×24因为0 1177 故△ABC的面积S＝acsin B＝×1×2×＝. 2244 18．解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种． 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种． 3 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为. 10 (2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为： (A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种． 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A， D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种． 8 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为. 1519.解：(1)取BD的中点O，连接CO，EO. 由于CB＝CD，所以CO⊥BD， 又EC⊥BD，EC∩CO＝C， CO，EC⊂平面EOC， 所以BD⊥平面EOC， 因此BD⊥EO， 又O为BD的中点， 所以BE＝DE. (2)法一： 取AB的中点N，连接DM，DN，MN， 因为M是AE的中点， 所以MN∥BE. 又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC， 所以MN∥平面BEC. 又因为△ABD为正三角形． 所以∠BDN＝30°， 又CB＝CD，∠BCD＝120°， 因此∠CBD＝30°， 所以DN∥BC. 又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC， 所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N， 故平面DMN∥平面BEC. 又DM⊂平面DMN， 所以DM∥平面BEC. 法二： 延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CB＝CD，∠BCD＝120°， 所以∠CBD＝30°. 因为△ABD为正三角形， 所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°， 因此∠AFB＝30°， 1所以AB＝AF. 2又AB＝AD， 所以D为线段AF的中点． 连接DM，由于点M是线段AE的中点， 因此DM∥EF. 又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC， 所以DM∥平面BEC. 20．解：(1)设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn. 由T5＝105，a10＝2a5， 5×5－15a1＋d＝105， 2得到 a1＋9d＝2a1＋4d，解得a1＝7，d＝7. 因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)． (2)对m∈N*，若an＝7n≤72m，则n≤72m1. － 因此bm＝72m1， － 所以数列{bm}是首项为7公比为49的等比数列． b11－qm7×1－49m7×72m－172m1－7故Sm＝＝＝＝. 48481－q1－49 ＋ c3 21.解：(1)设椭圆M的半焦距为c，由题意知＝，a24ab＝8， 所以a＝2，b＝1. x22 因此椭圆M的标准方程为＋y＝1. 4 a2＝b2＋c2， x4＋y2＝1，(2)由整理得 y＝x＋m，5x2＋8mx＋4m2－4＝0， 由Δ＝64m2－80(m2－1)＝80－16m2>0， 得－5 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 4m2－18m 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 55所以|PQ|＝x1－x22＋y1－y22 ＝2[x1＋x22－4x1x2] 4 ＝ 5 25－m2 (－5 |ST|5 5－m2， 3－m2令t＝3－m(1≤m<5)， 则m＝3－t，t∈(3－5，2]， |PQ|4所以＝|ST|5 5－3－t24 ＝t25 464 －2＋－1＝ tt5 135－4－2＋， t44 由于t∈(3－5，2]， 113＋5 所以∈[，)， t24 134|PQ|255因此当＝即t＝时，取得最大值，此时m＝. t43|ST|53②不妨设点S在AB边上，T在CD边上，此时－1≤m≤1， 2|PQ|25－m 因此|ST|＝2|AD|＝22，此时＝， |ST|5 |PQ|25 所以当m＝0时，取得最大值. |ST|5 ③不妨设点S在AB边上，T在BC边上，－5 综上所述，m＝±或m＝0时，取得最大值. 3|ST|5ln x＋k 22．解：(1)由f(x)＝， ex1－kx－xln x 得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)， xex由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． 所以f′(1)＝0，因此k＝1. 1 (2)由(1)得f′(x)＝x(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)， xe令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)， 当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0. 又ex>0， 所以x∈(0,1)时，f′(x)>0； x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0. 因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x)＝xf′(x)． 1 所以g(x)＝x(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)， e由(2)h(x)＝1－x－xln x， 求导得h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e2)． － 所以当x∈(0，e2)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增； － 当x∈(e2，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减． － 所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e2)＝1＋e2. － － 1 又当x∈(0，＋∞)时，0 所以当x∈(0，＋∞)时，xh(x)<1＋e2， e即g(x)<1＋e2. － 综上所述结论成立． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容