实数概念分类性质讲义(含答案)

一、知识导图

二、知识点+例题+练习

知识点一：无理数 1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意：

（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率及一些含的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．

（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：

设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；

3、判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．

4、常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如3，35，1+2等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．

1

一、无理数的判断

1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．

2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 【例1】在下列各数中：8；0；3π；327；A．5

B．4

22；1.1010010001…，无理数的个数是 7

D．2

C．3

【答案】C

【解析】因为0；327；22是有限小数或无限循环小数，8；3π；1.1010010001…是无限不循环7小数，所以无理数有3个，故选C．

22【变式训练1-1】在7，–2018，4，π这四个数中，无理数是

A．

22 7B．–2018

C．4

D．Π

【答案】D

1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数． 2、实数的分类： （1）实数按定义分类：

正整数整数0负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数 分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数

( 2 )按正负分类：

2

例题精讲

二、实数的概念和分类

1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．

2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类． 【例1】在5π，21，，2，2315，3.14，0，，41中，其中__________是162整数，__________是无理数，__________是有理数. 【答案】0，41；

π5521，，2，；，3221，3.14，0，41 16【例2】将这些数按要求填入下列集合中：

1π0.01001001…，4，2，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|，．

22负数集合｛ 无理数集合｛

…｝；分数集合｛

…｝．

…｝；非负整数集合｛

…｝；

【解析】负数集合｛2分数集合｛21π，-1，-|-5|，…｝； 221，3.2…｝； 2非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝；

3

无理数集合｛0.01001001…，

π…｝． 2【变式训练2-1】判断正误．

（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）

（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）

（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是1．（ ）

（5）若x2则x2．（ ）

【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．

【变式训练2-2】下列说法错误的是（ ）

A．实数都可以表示在数轴上 B．数轴上的点不全是有理数

C．坐标系中的点的坐标都是实数对 D．2是近似值，无法在数轴上表示准确

【答案】D

【变式训练2-3】下列说法正确的是（ ）

A．无理数都是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数 C．有理数都是有限小数 D．带根号的数都是无理数

【答案】A

【变式训练2-4】 把下列各数填入相应的集合：

11、32、、0.7、0、38．

22（1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）整数集合｛ ｝； （4）正实数集合｛ ｝； （5）负实数集合｛ ｝．

－1、4、5、π、3.14、

【答案】（1）－1、4、3.14、

10.7、、0、38； 21； 2（2）5、π、32、（3）－1、4、0、38； （4）4、5、π、（5）－1、3.14、

1、32、0.7； 21、38． 24

（1）任何实数a，都有一个相反数-a．

1（2）任何非0实数a，都有倒数．

a（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．

一、相反数与绝对值

求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【例1】2的相反数是 2

B．A．-2 22 2

C．2

D．2 【答案】A

【解析】根据相反数的定义可知：【例2】3-π的绝对值是 A．3-π 【答案】B

【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B． 【例3】15是15的 A．相反数 【答案】A

【解析】15与15只是符号不同，所以它们是一对相反数，故选A．

1522的相反数是，故选A． 22 B．π-3 C．3 D．π

B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根

【变式训练3-1】3的相反数是________；【答案】3；5；35．

的倒数是________；35的绝对值是________．

5

【变式训练3-2】3.141＝______；|2332|______． 【答案】-3.141；3223．

【变式训练3-3】若|x|33，则x＝______；若|x|31，则x＝______． 【答案】33；31或13．

1 实数与数轴上的点一一对应：

即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点． 2、两个实数比较大小：

1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；

2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小．

【例1】如图，数轴上点P表示的数可能是

A．7 【答案】B

【解析】∵7≈2.65，–10≈–3.16，设点P表示的实数为x，由数轴可知，–3【例2】和数轴上的点成一一对应关系的数是

A．自然数 【答案】D

【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故选D．

【例3】已知实数m、n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是

6

B．−7

C．–3.2

D．−10 B．有理数 C．无理数 D．实数

A．m<0 【答案】D

【解析】由数轴上的点，得m<0【变式训练4-1】已知数轴上A、B两点表示的数分别为–3和5，则A、B间的距离为__________． 【答案】5+3 【解析】A、B两点表示的数分别为–3和5，则A、B间的距离为5–（–3）=5+3，故答案为：

B．n＞0

C．n＞m

D．n5+3．

【变式训练4-2】如图，点A、B、C在数轴上，O为原点，且BO：OC：CA=2：1：5． （1）如果点C表示的数是x，请直接写出点A、B表示的数； （2）如果点A表示的数比点C表示的数两倍还大4，求线段AB的长．

【解析】（1）∵BO：OC：CA=2：1：5，点C表示的数是x， ∴点A、B表示的数分别为：6x，–2x；

（2）设点C表示的数是y，则点A表示的数为6y， 由题意得，6y=2y+4， 解得：y=1，

∴点C表示的数是1，点A表示的数是6，点B表示的数是–2， ∴AB=8． 二、比较大小

【例4】估计77的大小应在（ ） A．7～8之间 C．8.5～9.0之间

【答案】C

B．8.0～8.5之间 D．9～10之间

7

【例5】 实数2.6，7和22的大小关系是 （ ）

A．2.6227 C．72.622 【答案】B

【变式训练4-3】一个正方体水晶砖，体积为100cm2，它的棱长大约在 （ ） A．4～5cm之间 B．5～6cm之间 C．6～7cm之间 D．7～8cm之间

【答案】A

【变式训练4-4】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．

314，4，5，1．414，，0.6， 3，，

43【答案】41.414 1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．

2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算． 【例1】计算下列各式：

（1）23+325332；（2）310.6345． 43

B．2.6722 D．7222.6

232331．

【解析】（1）原式23533232 33．

（2）原式=(32)(23)(31) 322331 321．

【变式训练5-1】计算题

8

（1）49169327 （2） 321631000()

【解析】（1）4916932771333； （2）321631000()6102322322216． 332【答案】（1）3；（2）16．

3

1．在下列实数中，属于无理数的是 A．0

B．2

C．3

D．

1 37，，，0.231.131331333133331，……(每两个1之间依次多一个3)中，无理数的个数2．在3.14，是 A．1个 3．实数2的值在 A．0和1之间

B．1和2之间

C．2和3之间

D．3和4之间

B．2个

C．3个

D．4个

134．下列四个数中，最小的一个数是 A．7

5．327的绝对值是

B．3

B．3

C．22

D．π

A．3

1C． 31D．

36．下列说法中，正确的个数有 ①不带根号的数都是有理数； ②无限小数都是无理数；

③任何实数都可以进行开立方运算；

9

④

3不是分数． 5B．1个

C．2个

D．3个

A．0个

7．下列各组数中互为相反数的一组是 A．-|-2|与38 C．-2与|2|

33

B．-4与-(4)2

1D．-2与

28．如图，数轴上点P表示的数可能是

A．6

B．7

C．3.4

D．11

9．32的相反数是__________，绝对值是__________． 10．计算：325262__________．

11．在数轴上离原点距离是5的点表示的数是__________． 12．化简：3（1-3）=__________，7（1-13．把下列各数填入相应的集合内：

1）=__________． 715，4，16，23，27，0.15，-7.5，-π，0，2.3． 3

…｝； …｝； …｝； …｝．

2

2

①有理数集合：｛ ②无理数集合：｛ ③正实数集合：｛ ④负实数集合：｛

14．已知：x是|-3|的相反数，y是-2的绝对值，求2x-y的值．

10

15．已知a是7的整数部分，b是7的小数部分，|c|=7，求a-b+c的值． 16．已知5+5与5–5的小数部分分别是a、b，则（a+b）（a–b）=__________． 17．6–5的整数部分是a，小数部分是b．

（1）a=__________，b=__________． （2）求3a–b的值．

18．如图，点A表示的数为–2，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所表示的

数为n． （1）求n的值；

（2）求|n+1|+（n+22–2）的值．

答案： 1．【答案】B 【解析】0、3、2．【答案】C

【解析】–7，π，1.131331333133331……（每两个1之间依次多一个3）是无理数，故选C． 3．【答案】B

【解析】∵1<2<2，∴实数2的值在：1和2之间．故选B． 4．【答案】D

【解析】∵7<8<9<π2，∴7223<π，∴7＞22＞3＞–π，∴最小的一个数是–π．故选D．

11

1都是有理数，2是无理数．故选B． 35．【答案】A

【解析】3273．–3的绝对值是3．故选A． 6．【答案】C

【解析】①不带根号的数不一定是有理数，如π，错误； ②无限不循环小数是无理数，错误； ③任何实数都可以进行开立方运算，正确； ④3不是分数，正确；故选C． 5

8．【答案】B

【解析】由图可知，P点表示的数在9到4之间，故选B． 9．【答案】23；23 3，绝对值是23，故答案为：23；23．

【解析】32的相反数是210．【答案】22

【解析】325262(356)2=22，故答案为22． 11．【答案】5 【解析】在数轴上离原点距离是的5点表示的数有两个，它们互为相反数，分别是5，故答案为：

5．

12．【答案】33；71 1【解析】3（1-3）=3-3，7（1-）=7-1，故答案为3-3；7-1． 7 12

13．【解析】有理数集合：｛4，16，

无理数集合：｛15，π…｝； 正实数集合：｛15，4，16，

23，27，0.15，-7.5，0，2.3…｝； 323，27，0.15，2.3…｝； 3④负实数集合：｛-7.5，π…｝． 14．【解析】∵x是|−3|的相反数，

∴x是3的相反数−3，即x=−3． ∵y是−2的绝对值， ∴y=2．

∴2x2y229414． 15．【解析】∵2<7<3，∴a=2，b=7-2，

∵|c|=7， ∴c=±7，

当c=7时，a-b+c=4； 当c=-7时，a-b+c=4-27． 16．【答案】25–5

【解析】∵5+5与5–5的小数部分分别是a、b， ∴a=（5+5）–7=5–2，b=（5–5）–2=3–5， ∴（a+b）（a–b）

=（5–2+3–5）（5–2–3+5） =25–5．

故答案为：25–5．

17．【解析】（1）∵4<5<9，∴2<5<3．

∴–2＞–5＞–3． ∴6–2＞6–5＞6–3，

13

∴4＞6–5＞3． ∴a=3，b=3–5．

（2）3a–b=3×3–（3–5）=9–3+5=6+5．

四、课后作业

1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）

2 （1）a没有平方根； （2）100的算术平方根是10，记作10010

（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）2是最小的无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

2. 若ab，则下列等式成立的是（ ）

33A．ab B．ab C．a【答案】D

22b D． |a||b|

3. 已知坐标平面内一点A(2，3)，将点A先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到，则A′

的坐标

为 ． 【答案】(22,33)

14

4.已知0x1，则x、、x、． x的大小关系是__________________________（用“”连接）【解析】可以采用特殊值法解题，如x【答案】

5.计算:

141151（1）()23(1)(1) （2）(2)2 8193393427151142121【解析】（1）()23(1)(1)3() ；

3933933331x21． 41xxx2 x （2）(2)21411181934332314． 427231【答案】（1）  ； （2）4．

3

6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高 各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？ 【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设k的应用．

【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；846平方分米．

7.已知实数a，满足aa23a30，求a1a1的值． 【解析】

aa23a30，aaa0，2aa0，a0，a1a12

【答案】2

8.先阅读理解，再回答下列问题：

因为1212，且122，所以121的整数部分为1； 因为2226，且263，所以222的整数部分为2； 因为32312，且3124，所以323的整数部分为3；

以此类推，我们会发现n2n（n为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由． 【解析】n

n2nn(n1)，又n2n(n1)(n1)2，nn(n1)n1（n为正整数），

整数部分为n．

15

【答案】n

9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空． （1）49与49； （2）1625与1625； （3）0.010.04与0.010.04； （4）116116与；

4949（5）23= ；

（6）ab= (a0,b0)．

【解析】（5）23236；（6）abab． 【答案】（5）6；（6）ab．

10.若a为172的整数部分，b1是9的平方根，且|ab|ba，求ab的算术平方根． 【解析】161725,4175,21723,a2，b19,b4或b2． 又【答案】6

abba，ba，a2,b4，ab246．

16