函数图象创新题例析

李昭平

“函数”是贯穿于高中数学的一条主线，函数图象又是表述函数问题的重要工具，因此函数图象问题与其它知识的联系非常紧密。尤其是导数和向量的引入，拓宽了函数图象问题的命题空间，出现了不少的创新题，下面介绍几例。

例1. 已知函数ya·b，其中a(1，sin|x|)，b(x，1)，当x，时的大致图象是（ ）

图1

解析：ya·b(1，sin|x|)·(x，1)xsin|x|

由于yxsin|x|的图象问题已超出了高中大纲的范围，因此想通过画出图象来确定答案，将是十分困难的。作反面思考，从选择支出发：选择支（A）、（D）的图象均关于坐标原点对称，选择支（B）的图象关于y轴对称，而函数yxsin|x|既非奇函数又非偶函数，因此排除（A）、（B）、（D）。答案（C）正确。 点评：本题以平面向量为载体，考查非常规型函数的图象，灵活运用函数的相关性质排除错误是解题的关键。

例2. 设函数yf(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图2所示，则导函数

yf'(x)的图象可能为（ ）

图2

图3

解析：观察图2，发现x0时，yf(x)单调递增，因此x0时，f'(x)0，立即排除（B）、（C）。再从图2中发现，x0且x靠近0时，yf(x)单调递增，此时。答案（D）正确。 f'(x)0，立即排除（A）

点评：本题是函数图象与其导函数图象的交汇，主要考查两者图象之间的关系。利用函数yf(x)的单调性确定导函数f'(x)的符号是解题的关键。

例3. 如图4所示，函数yf(x)的图象上有一列点P1，P2，P3，…，Pn，…，已知

n2时，n。设线段P1P2，P2P3，P3P4，…，PnPn1的长

Pn1Pn1PnPn1分别为a1，a2，a3，…，an，且a11，则（ ）

图4

A. anB. an1 n!1

(n1)!C. ann! D. an(n1)!

解析：由n

Pn1Pn1PnPn1得n

Pn1PnPnPn1PnPn1所以(n1)

Pn1PnPnPn1即PnPn1所以an1 n1Pn1Pn1an1(n2) n1又a2a1a1a11，3，4，…，n a1a22a33an1n1将这(n1)个等式相乘，得

an11111····…·a1234n11(n1)!1(nN*)(n1)!

所以an答案（B）正确。

点评：本题在函数yf(x)的图象上构建向量，融函数图象、平面向量、数列等知识于一体，利用向量的和差运算寻求递推关系是解题的关键。

例4. 定义在（0，3）上的函数f(x)的图象如图5所示，a(f(x)，0)，

b(cosx，1)，那么不等式a·b0的解集是___________。

图5

解析：a·b0f(x)cosx0

f(x)0f(x)0或cosx0cosx00x12kx2k22 1x3或32kx2k220x1或2x3因此a·b0的解集是(0，1)，3

2点评：本题以平面向量为载体，考查抽象函数与三角函数的复合型不等式的解集，分

类讨论、由图定数是解题的关键。

例5. 已知某质点在运动过程中，热量Q随位移x变化的规律是

Q(x)ax3bx2cxd，其图象关于坐标原点对称，如图6所示是其图象的一部分，

则Q（x）的解析式是___________。

图6

解析：因为Q（x）的图象关于坐标原点对称 所以Q(x)Q(x)，即

ax3bx2cxdax3bx2cxd

所以b0，d0 因此Q(x)axcx

3Q'(x)3ax2c

由图象可知，当x1时，Q(x)有极小值1， 213ac0Q24所以

11cQa1228解得a4，c3 故Q(x)4x3x

点评：本题以物理知识为背景，融函数的导数、极值、奇偶性于一体，从函数图象上

发现其性质是解题的关键。

以上几个函数图象问题，虽然难度不大，但具有背景新、内容新、结构新的特点，具有一定的创新性。这类问题在高考中常常以选择题、填空题的形式出现，能有效考查学生的观察能力、直觉思维能力、合情推理能力和综合能力。排除法、特殊值法、数形结合法常常是解决这类问题的有效途径。

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