22．1. 二次根式（1）
教学内容： 二次根式的概念及其运用
教学目标：1、理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾
当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根． 当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a是负数时，a没有意义．
二、概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方
2等于a．即有： （1）a≥0（a≥0）； （2）(a)=a（a≥0）．
形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
注意：在二次根式a中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．
三、例题讲解
例题： x是怎样的实数时，二次根式x1有意义？
分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．
解： 被开方数x-1≥0，即x≥1．
所以，当x≥1时，二次根式x1有意义．
思考：a2等于什么？
我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：
概括: 当a≥0时，a2a； 当a＜0时，a2a．
这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”
出来，从而达到化简的目的．例如：
； 4x2(2x)2=2x（x≥0）
x4(x2)2x2．
四、练习: x取什么实数时，下列各式有意义.
2(x3)34x3x2（1）； （2）； （3）； （4）3x443x
五、 拓展
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例：当x是多少时，2x3+ 分析：要使2x3+1在实数范围内有意义？ x111在实数范围内有意义，必须同时满足2x3中的≥0和中的x+1≠0． x1x1 解：依题意，得 由①得：x≥-
2x30
x103 2 由②得：x≠-1 当x≥-
31且x≠-1时，2x3+在实数范围内有意义． 2x1x的值．(答案:2) y例：(1)已知y=2x+x2+5，求
(2)若a1+b1=0，求a2004+b2004的值．(答案:
2) 5六、 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：
1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 七、布置作业：教材P4：1、2 八、反思及感想：
22.1 二次根式（2）
教学内容：1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）．
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教学目标：1、理解a（a≥0）是非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
2、 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
教学重难点关键：1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．
2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a）2=a
（a≥0）．
教学过程： 一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？
二、探究新知
议一议：（学生分组讨论，提问解答）
a（a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
a（a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：
（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；
（
1272
）=______；（）=_______；（0）2=_______． 32 老师点评：①、4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，
②、4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．
同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（121727）=，（）=，（0）2=0，所以 ：（a）2 = 3232a（a ≥ 0） 三、例题讲解
例1 计算： 1．（325272
） ， 2．（35）2 ， 3．（） ， 4．（） 262 分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题．
解：1. （323） =， 2.（35）2 =32·（5）2=32·5=45， 22第 3 页 共 89 页
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52572(7)27． 3.（）=， 4.（）=262426 四、巩固练习
计算下列各式的值：
（18）2 （ 五、应用拓展
例2 计算
1．（x1）2（x≥0），2．（a2）2 ，3．（a22a1）2 ，4．（4x212x9）2 分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；
（2）a2≥0；
（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题．
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0,（x1）2=x+1 （2）∵a2≥0，∴（a2）2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0，
∴a2+2a+1≥0 ，∴a22a1=a2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0，∴（4x212x9）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:
22729222） （） （0）2 （4）(35)(53) 384 （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
六、归纳小结：本节课应掌握：
1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）;反之:a=（a）2（a≥0）．
七、布置作业：教材P4：3、4 八、反思及感想：
22.1 二次根式（3）
教学内容
a2＝a（a≥0）
教学目标：1、理解a2=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
2、 通过具体数据的解答，探究a2=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键：1．重点：a2＝a（a≥0）．
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2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a≥0时，a2＝a才成立． 教学过程： 一、复习引入：（老师口述并板收上两节课的重要内容） 1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式； 2．a（a≥0）是一个非负数； 3．(a)2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0时，a2=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知：（学生活动）填空：
22=_______；0.012=_______；(110)2=______；
(23)2=________；02=________；(37)2=_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
22=2；0.012=0.01；(1)2=1；(2)2=2；0233101033=0；(7)2=7． 因此，一般地：a2=a（a≥0） 三、例题讲解：
例1 化简：（1）9 （2）(4)2 （3）25 （4）(3)2 分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，
所以都可运用a2=a（a≥0）•去化简．
解：（1）9=32=3 （2）(4)2=42=4
（3）25=52=5 （4）(3)2=32=3 四、巩固练习：（见小黑板） 五、应用拓展
例2 填空：当a≥0时，a2=_____；当a<0时，a2=____，•并根据这一性质回答下列问题．
（1）若a2=a，则a可以是什么数？ （2）若a2=-a，则a可以是什么数？ （3）a2>a，则a可以是什么数？
分析：∵a2=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（第 5 页 共 89 页
2”中的数
） 2013年9月
是正数，因为，当a≤0时，a2=(a)2，那么-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知a2=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．
解：（1）因为a2=a，所以a≥0； （2）因为a2=-a，所以a≤0；
（3）因为当a≥0时a2=a，要使a2>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，a2=-a，要使a2>a，即使-a>a，
a<0综上，a<0
例3当x>2，化简(x2)2-(12x)2．
六、归纳小结：本课掌握：a2=a（a≥0）及运用，同时理解当a<0时，a2＝－a的应用拓展． 七、布置作业:1．先化简再求值：当a=9时，求a+12aa2的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+(1a)=a+（1-a）=1； 乙的解答为：原式=a+(1a)=a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
2．若│1995-a│+a2000=a，求a-19952的值．（提示：注意根式有意义的隐含条件） 3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+(x3)+x210x25。
222八、反思及感想：
22．2 二次根式的乘除（1）
教学内容：a·b＝ab（a≥0，b≥0），反之ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用．
教学目标：1、理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简 2、由具体数据，发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，得
出ab=a·b（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．
教学重难点关键
1、重点：a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及它们的运用．
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2、难点：发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）．
3、关键：要讲清ab（a<0,b<0）=ab，如(2)(3)=(2)(3) 或(2)(3)=23=2×3．
教学过程： 一、设疑自探——解疑合探
自探.（学生活动）请同学们完成下列各题．
1．填空：（1）4×9=_____，49=____；（2）16×25=_____，1625=________． （3）100×36=________，10036=_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
4×9_____49，16×25_____1625，100×36________10036 2．利用计算器计算填空
（1）2×3______6，（2）2×5______10， （3）5×6______30，（4）4×5______20， （5）7×10______70．
（学生活动）让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为 反过来: a·b＝ab．（a≥0，b≥0） ab=a·b（a≥0，b≥0） 13 合探1. 计算：（1）5×7 ， （2）×9 ， （3）9×27 ， （4）12×6
分析：直接利用a·b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可．
22 合探2 化简（1）916 ，（2）1681 ，（3）81100 ，（4）9xy，（5）54 分析：利用ab=a·b（a≥0，b≥0）直接化简即可．
二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 三、应用拓展：判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）(4)(9)49 （2）4121212×25=4××25=4×25=412=83 252525第 7 页 共 89 页
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四、巩固练习（1）计算（生练，师评）①
16×8 ②36×210 ③5a·54; 12a2b2 1ay 5(2) 化简:
20; 18; 24;
五、归纳小结（师生共同归纳）
本节课掌握：（1）a·b＝ab=（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及运用． 六、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题
1．直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm，•那么此直角三角形斜边长是（ ） A．32cm B．33cm C．9cm D．27cm
2．化简a1的结果是（ ）． A．a B．a C．-a D．-a a 3．等式x1x1x21成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．下列各等式成立的是（ ）． A．45×25=8 （二）、填空题 ： 1．1014=_______． 2．自由落体的公式为S=
5；B．53×42=205；C．43×32=75；D．53×42=206
12
gt（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是2_________． （三）、综合提高题 探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）2验证：2=23=22 3232=2×23=2223=
233(232)23 2322222121382(221)2=22212122 3 （2）3验证：3=33 838=32×38=338=3333321 5242=3(31)32313(321)3=223131338 同理可得：44154415 55245，……
通过上述探究你能猜测出： aa=_______（a>0）,并验证你的结论． 2a1第 8 页 共 89 页
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七、反思及感想：
22．2 二次根式的乘除（2）
教学内容：a=bab（a≥0，b>0），反过来ababab==abab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． （a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
教学目标;1、理解a=b（a≥0，b>0）和 2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它
们进行计算和化简．
教学重难点关键 1．重点：理解a=bab（a≥0，b>0），ab=a（a≥0，b>0）及用它们进行计算和化简． b2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学过程; 一、设疑自探——解疑合探
自探.（学生活动）请同学们完成下列各题：
1．填空（1） （3）9=____，164=_____，16916=_____； （2）16=_____，16=_____；
368136416=_____； （4）36=________，36=________．
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规律：9____16916；
16____361636；
4____16416；
36___813681．
2．利用计算器计算填空: （1）34=_____， （2）3___43423=_____， （3）2____32325=____， （4）257=_____． 878 规律：； ；
2___5；
7__8。
每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评），根据大家的练习和回答， 我们进行合探：
二次根式的除法规定：
一般地，对二次根式的除法规定：
aaaa=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0） bbbb 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 合探1．计算：（1）31111264 （2） （3） （4） 2841683aa=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．
bb 分析：上面4小题利用364b29x5x 合探2．化简：（1） （2） （3） （4） 22264169y64y9a 分析：直接利用二、应用拓展 已知9xx69x，且x为偶数，求（1+x）x6x25x4x21aa=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的． bb的值．
分析：式子aa=，只有a≥0，b>0时才能成立． bb因此得到9-x≥0且x-6>0，即6 四、作业：（写在小黑板上） (一)、选择题: 1．计算112112的结果是（ ）． 335A．275 ； B．2 ； C．2 ； D．733，2333527 2．阅读下列运算过程：132525 数学上将这种把分母的根号去掉的过程 555第 10 页 共 89 页 2013年9月 称作“分母有理化”，那么，化简2的结果是（ ）． 6A．2 B．6 C．(二)、填空题 1．分母有理化:(1) 132136 D．6 112=_________;(2) =________;(3) 1025=______. 2．已知x=3，y=4，z=5，那么(三)、综合提高题 计算 yzxy的最后结果是_______． nnn1n3 （1）·（-）÷（m>0，n>0） 333m2m2mmm3mna23m23n2 （2）-3÷（）× （a>0） 2a2mn2a2五、反思及感想： 22.2 二次根式的乘除(3) 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标：1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二 次根式的要求． 重难点关键：1．重点：最简二次根式的运用． 2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程 一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 计算（1） 老师点评：35，（2）32，（3）278 2a35=155，32=2763，82a=2aa 自探2. 观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开 方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．） 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 合探1. 把下面的二次根式化为最简二次根式： (1) 3512; (2) x2y4x4y2; (3) 8x2y3 A 合探2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm， 第 11 页 共 89 页 BC 2013年9月 求AB的长． AB=2.5262=()2365216916913=6.5（cm） 424 因此AB的长为6.5cm． 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 三、应用拓展 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 11(21)21==2-1， 2121(21)(21)11(32)32==3-2， 3232(32)(32) 同理可得：14=4-3，…… 3 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （1+2113+214+……312002）（2002+1）的值． 2001 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的． 四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题 1．如果 A．xy（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． xy（y>0） C．xyyx（y>0） B．ya1（y>0） D．以上都不对 2．把（a-1）1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． A．a1 B．1a C．-a1 D．-1a 3．在下列各式中，化简正确的是（ ） A．53=315 B．12=± 122 C．a4b=a2 b D． 23x3x2=xx1 ； D．-2 4．化简32的结果是（ ） A．-27 ； B．-2 ； C．-363（二）、填空题 1．化简xxy=_________．（x≥0） 2．aa1化简二次根式号后的结果是_________． 2a422（三）、综合提高题 1．已知a为实数，化简：a3-a1，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解 a答过程： 第 12 页 共 89 页 2013年9月 解：a3-a1=aa-a·1aa=（a-1）a a 2．若x、y为实数，且y=六、反思及感想： x244x21，求x2xyxy的值． 22.3 二次根式的加减(1) 教学内容 ： 二次根式的加减 教学目标 ： 理解和掌握二次根式加减的方法． 重难点关键：1．重点：二次根式化简为最简根式． 2．难点关键：会判定是否是最简二次根式． 教学过程： 一、设疑自探——解疑合探 自探（学生活动）：计算下列各式． （1）22+32 ；（2）28-38+58 ；（3）7+27+397 ；（4）33-23+2 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．（板书）32+8=32+22=52 和 33+27=33+33=63 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并． 合探1．计算：（1）8+18 （2）16x+64x 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 合探2．计算 （1）348-913+312 （2）（48+20）+（12-5） 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 三、应用拓展 已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2x9x+y2 3xy3）-（x21x-5xyx）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0， 第 13 页 共 89 页 2013年9月 即x= 1，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最2后代入求值． 四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握： （1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式； （2）相同的最简二次根式进行合并． 五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题 2 1．以下二次根式：①12；②2；③2；④327中，与3是同类二次根式的是（ ）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 2．下列各式：①33+3=63；② 177=1；③2+6=8=22；④ 24=232，其中错误的有 （ ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 （二）、填空题 1．在8、175a、29a、125、23a3、30.2、-233a1中，与83a是同类二次根式的有________． 2．计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是________． （三）、综合提高题 1．已知5≈2.236，求（80-14）-（31+445）的值．（结果精确到0.01） 555 2．先化简，再求值． （6xyx+3yxy3）-（4xx+y，其中x=3，y=27． 36xy）2六、反思及感想： 第 14 页 共 89 页 2013年9月 22.3 二次根式的加减(2) 教学内容 ： 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标 ： 运用二次根式、化简解应用题． 重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学过程： 一、设疑自探——解疑合探 上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固． 自探1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值． 解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米． 则有PB=x，BQ=2x 依题意，得： 1x·2x=35 x2=35 x=35 2所以35秒后△PBQ的面积为35平方厘米． PQ=PBBQ22x24x25x2535=57 答：35秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为57厘米． 自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？ 解：由勾股定理，得 AB=AD2BD2422220=25 BC=BD2CD22212=5 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =25+5+5+2 =35+7≈3×2.24+7≈13.7（m） 答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．） 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展 第 15 页 共 89 页 2013年9月 若最简根式3ab4a3b与根式2ab2b36b2是同类二次根式，求a、b的值． 注：（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式2ab2b36b2不是最简二次根式，因此把2a-b+6=4a+3b． 解：首先把根式2ab2b36b2化为最简二次根式： 2ab2b36b2=b2(2a16)=|b|·2ab6 2ab2b36b2化简成|b|·2ab6，才由同类二次根式的定义得3a-•b=•2， 由题意得4a3b2ab6 ∴2a4b6 ∴a=1，b=1 3ab23ab2五、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）． A．52 B．50 C．25 D．以上都不对 2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉 上了一根木条，木条的长应为（ ）米． A．13100 B．1300 C．1013 D．513 （二）、填空题 1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m． 2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，•那么这个等腰直角三角形的周长是________． （三）、综合提高题 1．若最简二次根式223m22与n14m210是同类二次根式，求m、n的值． 32．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2， 5=（5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （2-1）2=（2）2-2·1·2+12=2-22+1=3-22 反之，3-22=2-22+1=（2-1）2 ∴3-22=（2-1）2 ∴322=2-1 求：（1）322； （2）423；（3）你会算412吗？ （4）若a2b=mn，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由． 六、反思及感想： 第 16 页 共 89 页 2013年9月 22.3 二次根式的加减(3) 教学内容：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除； 乘法公式的应用． 教学目标：1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键：1、重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律； 2、难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学过程 一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题: 1．计算：（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算：（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3） 多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用． 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立． 整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 自探2.计算：（1）（6+8）×3 （2）（46-32）÷22 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律． 自探3. 计算：（1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7） 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 三、应用拓展：已知xb=2-xa，其中a、b是实数，且a+b≠0， ab化简x1x1x+xx1x1x，并求值． x 分析：由于（x1+x）（x1-x）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可． (x1x)2(x1x)2解：原式=+ (x1x)(x1x)(x1x)(x1x)(x1x)2(x1x)2=+ =（x+1）+x-2x(x1)+x+2x(x1) =4x+2 (x1)x(x1)x第 17 页 共 89 页 2013年9月 ∵ xaxb=2- ∴b（x-b）=2ab-a（x-a） ∴bx-b2=2ab-ax+a2 ba ∴（a+b）x=a2+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b）2 ∵a+b≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b）+2 四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题 1．（24-315+222）×2的值是（ ）． 3 A．2033-330 B．330-233 C．230-233 D．2033-30 2．计算（x+x1）（x-x1）的值是（ ）．A．2 B．3 C．4 D．1 （二）、填空题 1．（-1+23）2的计算结果（用最简根式表示）是________． 22．（1-23）（1+23）-（23-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______． 3．若x=2-1，则x2+2x+1=________． 4．已知a=3+22，b=3-22，则a2b-ab2=_________． （三）、综合提高题 1．化简10514715 211x1x2xx1x2x 2．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根式表示） 2221x1xxx1xx六、反思及感想： 23.1 一元二次方程 教学目标： 1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式axbxc0（a≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关 系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。 重点难点： 1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。 教学过程： 一 做一做： 1．问题一 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分 析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程 x(x＋10)＝900 整理可得 x2＋10x－900=0. （1） 第 18 页 共 89 页 2 2013年9月 2．问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程 5（1＋x）2=7.2, 整理可得 5x2＋10x－2.2=0. （2） 3．思考、讨论 这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ （ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2 二、 一元二次方程的概念 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式： ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。 其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。. 三、 例题讲解与练习巩固 1．例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 2x21x2222x4(x2)x43x25x3x1（1） （2） （3） （4） 2．例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： 226yy(x3)(3x4)(x2)1） 2）（x-2）(x+3)=8 3） 2axbxc0（a≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次说明： 一元二次方程的一般形式 项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。 3．例3 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 本题先由同学讨论，再由教师归纳。 解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程； 4．例4 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。 分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。 5．练习一 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 2x2222y1y1y3y2 23x 2x(x-1)=3(x-5)-4 2(m3)xnxm0，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？ x练习二 关于的方程 本课小结： 1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式为axbxc0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。 3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。 布置作业：课本第27页习题1、2、3 第 19 页 共 89 页 2 2013年9月 23.2.2一元二次方程的解法 教学目标： 2a(xk)b（a≠0,ab≥0）的方程； 1、会用直接开平方法解形如 2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。 3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。 重点难点： 合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。 教学过程： x1问：怎样解方程 2256的？ 让学生说出作业中的解法，教师板书。 解：1、直接开平方，得x+1=±16 所以原方程的解是x1＝15，x2＝－17 2、原方程可变形为 x122560 方程左边分解因式，得 （x+1+16）(x+1－16)=0 即可（x+17）(x－15)=0 所以x＋17=0，x－15=0 原方程的蟹 x1＝15，x2＝－17 二、例题讲解与练习巩固 1、例1 解下列方程 （1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0. 分 析 两个方程都可以转化为a(xk)b（a≠0,ab≥0） 的形式，从而用直接开平方法求解. 解 （1）原方程可以变形为 （x＋1）2＝4， 直接开平方，得 x＋1＝±2. 所以原方程的解是 x1＝1，x2＝－3. 原方程可以变形为 ________________________， 有 ________________________. 所以原方程的解是 x1＝________，x2＝_________. 2、说明：（1）这时，只要把(x1)看作一个整体，就可以转化为xb（b≥0）型的方法去解决，这里体现了整体 22思想。 3、练习一 解下列方程： （1）（x＋2）2－16＝0； （2）(x－1)2－18＝0； 第 20 页 共 89 页 2013年9月 （3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0. 三、读一读 四、讨论、探索：解下列方程 （1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2)2 — x+2 =0 （4）(2x+1)2=(x-1)2 （5）x2x149。 本课小结： 2a(xk)b（a≠0,ab≥0）的方程，只要把(xk)看作一个整体，就可转化为x2n（n≥0）的形式1、对于形如 2用直接开平方法解。 2、当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。 布置作业：课本第37页习题1（5、6）、P38页习题2（1、2） 23.2.3一元二次方程的解法 教学目标： 1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程． 2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。 3．在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。 重点难点： 使学生掌握配方法，解一元二次方程。 2(xp)q 把一元二次方程转化为 教学过程： 一、复习提问 解下列方程，并说明解法的依据： （1）32x21 （2）x12260x2 （3） 210 通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型： x2bb0和xabb0 根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。 x1如 22 请说出完全平方公式。 xax22axa22xax22axa2 。 二、引入新课 22xA(A0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那xA0 我们知道，形如的方程，可变形为 2么，我们能否将形如xbxc0的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题． 第 21 页 共 89 页 2 2013年9月 三、探索： 1、例1、解下列方程： x2＋2x＝5； （2）x2－4x＋3＝0. 思 考 能否经过适当变形，将它们转化为 22= a 的形式，应用直接开方法求解？ 解（1）原方程化为x＋2x＋1＝6， （方程两边同时加上1） _____________________, _____________________, _____________________. （2）原方程化为x－4x＋4＝－3＋4 （方程两边同时加上4） _____________________, _____________________, _____________________. 三、归 纳 上面，我们把方程x－4x＋3＝0 22x2变形为 2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常 数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。 那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？ 四、试一试：对下列各式进行配方： 2222x8x_____(x_____)x10x_____(x_____) ； x25x______(x_____)2； x29x______(x_____)2 x23x_____(x_____)222xbx______(x_____)2 ； 通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。 五、例题讲解与练习巩固 1、例2、 用配方法解下列方程： （1）x－6x－7＝0； （2）x＋3x＋1＝0. 2、练习： ①.填空： （1） 22x26x222x （2）－8x＋（ ）＝（x- ）2 2（3）x＋x＋（ ）＝（x＋ ）2； （4）4x－6x＋（ ）＝4（x－ ）2 ② 用配方法解方程： 2 2（1）x＋8x－2＝0 （2）x－5 x－6＝0. 第 22 页 共 89 页 2013年9月 （3）x76x 六、试一试 用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0). 先由学生讨论探索，教师再板书讲解。 解：移项，得 x2＋px＝－q， 2ppp配方，得 x2＋2·x·2＋(2)2＝(2)2－q, p24qp4即 (x＋2) 2＝. 因为 p2－4q≥0时，直接开平方，得 p24qp2 x＋2＝±. p24qp2所以 x＝-2±, pp24q2即 x＝. 思 考：这里为什么要规定p2－4q≥0？ 七、讨 论 1、如何用配方法解下列方程？ 4x2－12x－1＝0; 请你和同学讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？ 2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。 先由学生讨论探索，再教师板书讲解。 解：（1）将方程两边同时除以4，得 x2－3x－ 1＝0 41 4313配方，得 x2－3x+（）2＝+（）2 24235即 (x—) 2＝ 22移项，得 x2－3x＝直接开平方，得 x— 103＝± 22103± 22所以 x＝ 31031022所以x1＝，x2= 第 23 页 共 89 页 2013年9月 3，练习：用配方法解方程： （1）2x7x20 （2）3x2＋2x－3＝0. （3）2x4x50 （原方程无实数解） 本课小结： 让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方； 如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。 布置作业：P38页习题2 .（3）、（4）、（5）、（6），3，4 .（1）、（2） 2223.2 .4一元二次方程的解法 教学目标： 1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。 2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。 3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。 重点难点： 1、难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程； 2、重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。 教学过程： 一、复习旧知，提出问题 1、用配方法解下列方程： 123x12x02x1510x3 （1） (2) 2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？ 二、探索同底数幂除法法则 b2b24ac(x)2axbxc0(a0)a4a2呢？ 问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为 教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识： 因为a0，方程两边都除以a，得 x2 移项，得 bcx0aa x2 配方，得 bcxaa bbbc()2()22a2a2aa x22x 第 24 页 共 89 页 2013年9月 b2b24ac(x)2a4a2 即 b24ac22问题2：当b4ac0，且a0时，4a大于等于零吗？ b24ac0222b4ac04a0a04a 让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当时，因为，所以，从而。 问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？ 22axbxc0(a0)的b4ac0 让学生讨论、交流，从中得出结论，当时，一般形式的一元二次方程 bb24acbb24acxx2a2a2a根为，即。 bb24acx2axbxc0(a0)2a 由以上研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式： 2b（4ac0） b、c所确定的， 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 思考：当b4ac0时，方程有实数根吗？ 三、例题 例1、解下列方程： 1、2xx60； 2、x4x2； 3、5x4x120； 4、4x4x1018x 教学要点：（1）对于方程（2）和（4），首先要把方程化为一般形式； （2）强调确定a、b、c值时，不要把它们的符号弄错； （3）先计算b4ac的值，再代入公式。 例2、（补充）解方程xx10 解：这里a1，b1，c1， 22b4ac(1)41130 2222222 因为负数不能开平方，所以原方程无实数根。 让学生反思以上解题过程，归纳得出： 第 25 页 共 89 页 2013年9月 当b4ac0时，方程有两个不相等的实数根； 当b4ac0时，方程有两个相等的实数根； 当b4ac0时，方程没有实数根。 四、课堂练习 1、Ｐ35练习。 2、阅读Ｐ39“阅读材料”。 小结: 根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下。 作业: Ｐ38习题4.（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8），5。 22223.2 .5一元二次方程的解法 教学目标： 1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。 2、提高学生分析问题、解决问题的能力。 3、培养学生数学应用的意识。 重点难点： 认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，布列方程是本节课的重点，也是难点。 教学过程： 一、复习旧知，提出问题 1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。 22(3x1)x6x9 2、用多种方法解方程 让学生尝试用多种方法解方程，归结为： 22(3x1)(x3)解法1：将方程化为，直接开平方，得3x1(x3) 解得 x12， x212。 32xx1022x3x202解法2：将方程化为一般形式，进而转化为，用配方法可求方程的解。 222b4ac(3)42(2)25。 2x3x20解法3：将方程化为一般形式，用公式法求解，其中22(3x1)x6x9更简便？ 提问：用哪种方法解方程 3、现在，你能解决§23.1的问题1了吗？ 二、解决问题 请同学们先看看Ｐ26页问题1，要想解决§23.1的问题1，首先要解方程x10x9000，同学伞能解这个方程吗？ 让学生动手解题并口答结果：提问： 第 26 页 共 89 页 2x15537,x25537 2013年9月 1、所求2、所求 x1x1、、 x2x2都是所列方程的解吗？ 都符合题意吗？ 让学生思考、分析，真正理解负数根不符合题意，应舍去符合题意的解是： x2553725.4 x1035.4 3.1和2说明了什么问题？ 让学生交流讨论、体会到把实际问题转化为数学问题来解决，求得方程的解，不一定是原问题的解答，因此，要注意是检验解是否符合题意。 作为应用题，还应作答。 三、例题 例1．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。 解：设截去正方形的边长x厘米，底面（图中虚线线部分）长等于 厘米，宽等于 厘米，S底面= 。 请同学们自己列出方程并解这个方程，讨论它的解是否符合题意。 由学生回答解题过程，教师板书： 解 设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得 (60－2x) (40－2x) ＝800 解方程得 x110， x240， 经检验， x240不符合题意，应舍去，符合题意的解是 x110 答：截去正方形的边长为10厘米。 四、课堂练习 Ｐ36 练习1、2 小结： 让学生反思、归纳、总结，应用一元二次方程解实际问题，要认真审题，要分析题意，找出数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决。求得方程的解之后，要注意检验是否任命题意，然后得到原问题的解答。 作业： Ｐ38 习题5、6、7 23.2 .6一元二次方程的解法(六) 教学目标： 1、使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题。 2、培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识。 重点难点： 本节课的重点和难点都是列出一元二次方程，解决有关变化率的实际问题。 教学过程： 一、创设问题情境 百分数的概念在生活中常常见到，而量的变化率更是经济活动中经常接触，下面，我们就来研究这样的问题。 问题：某商品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率一样。求每次降价的百分率。（精确到0.1%） 第 27 页 共 89 页 2013年9月 二、探索解决问题 分析：“两次降价的百分率一样”，指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值，即两次按同样的百分数减少，而减少的绝对数是不相同的，设每次降价的百分率为x，若原价为a，则第一次降价后的零售价为 aaxa(1x)，又以这个价格为基础，再算第二次降价后的零售价。 思考：原价和现在的价格没有具体数字，如何列方程？请同学们联系已有的知识讨论、交流。 解 设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得 (1－x) 2＝ 1 2解这个方程，得 222 x＝ 22由于降价的百分率不可能大于1，所以x＝2不符合题意，因此符合本题要求的x为 222≈29.3%. 答：每次降价的百分率为29.3%. 三、拓展引申 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%） 解，设原价为a元，每次升价的百分率为x，根据题意，得 a(1x)21.2a 解这个方程，得 x1305 x13030x19.5%5不符合题意，因此符合题意要求的x为5 由于升价的百分率不可能是负数，所以 答：每次升价的百分率为9.5%。 四、巩固练习 Ｐ37 练习1、2 小结： 关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为a，设平均变化率为x，经第一次变化后数据为a(1x)；经第二次变化后数据为a(1x)。在依题意列出方程并解得x值后，还要依据0x1的条件，做符合题意的解答。 作业： Ｐ38 习题8、9 223.3 .1实践与探索(一) 教学目标： 第 28 页 共 89 页 2013年9月 1、学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。 2、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。 3、学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。 重点难点： 1、重点：利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题。 2、难点：学生分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案。 教学过程： 一、巩固旧知识 2x1、解方程70x8250，并叙述解一元二次方程的解法。 2、说说你对实践问题的解决时，有何经验，有何体会？ 二、创设问题情境 小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。 （1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？ （2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？ 三、尝试解决问题 1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？ （长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系） 2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？ （长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍） 3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。 解：设剪去的正方形边长为xcm，依题意得： (10x)281 10x9 x11， x29 第 29 页 共 89 页 2013年9月 因为正方形硬纸板的边长为10cm， 所以剪去的正方形边长为1cm。 4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。 （长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为81181cm） 5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？ 6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。 四、试一试 如图，ABC的边BC8cm，高AM6cm，长方形DEFG的一边EF落在BC上，顶点D、G分别落在AB和AC上，如果这长方形面积12cm，试求这长方形的边长。 五、拓展练习 什么情况下，长方形的面积最大。 小结： 1、谈谈本节的收获。 2、谈谈本节的体会。 3、谈谈本节的疑惑。 作业： Ｐ42 习题1 23ADGBEMFC23.3 .2实践与探索(二) 教学目标： 1、使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型。 2、让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。 3、通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神。 重点难点： 1、重点：列一元二次方程解决实际问题。 2、难点：寻找实际问题中的相等关系。 教学过程： 一、考考你 21、有一个两位数，它的十位上的数学字比个位上的数字大3，这两个数位上的数字之积等于这两位数的7，求这个两 第 30 页 共 89 页 2013年9月 位数。（这个两位数是63） 2、如图，一个院子长10cm，宽8cm，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这花圃的宽度。（花圃的宽度为1m） 二、创设问题情境 阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？ 三、尝试探索，合作交流，解决问题 1、翻一番，你是如何理解的？ （翻一番，即为原净收入的2倍，若设原值为1，那么两年后的值就是2） 2、“平均年增长率”你是如何理解的。 （“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。即每年按同样的百分数增加，而增长的绝对数是不相同的） 3、独立思考后，小组交流，讨论。 4、展示成果，相互补充。 解：设平均年增长率应为x，依题意，得 2(1x)2 1x2 x121，x221 x10.414， x23.414 因为增长率不能为负数 所以增长率应为41.4%。 四、拓展应用 若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？ 又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？ 独立思考完成后，与同伴交流，教师分析示范与学生交流。 五、做一做 1、某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？ 2、某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元。平均每次降价百分之几？ 小结： 谈谈你对本节所探讨的知识有何体会，你能否结合你的体会编制一道应用题，在小组内交流。请一些小组展示成果。 作业： Ｐ42 习题2、3、4、5 第 31 页 共 89 页 2013年9月 23.3 .1实践与探索(三) 教学目标： 1、引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。 2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从发现问题，发现关系的过程。 3、在积极参与数学活动的过程中，初步体验发现问题，总结规律的态度以及养成质疑和独立思考的习惯。 重点难点： 1、重点：启发学生，观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系，猜想一般性质、指导学生用求根公式加以确证。 2、难点：对根与系数这一性质进行应用。 教学过程： 一、提出问题 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？ （1）x2－2x＝0； （2）x2＋3x－4＝0； （3）x2－5x＋6＝0 二、尝试探索，发现规律 1、完成如上表格。 2、猜想一元二次方程的两个解的和与积和原来的方程有什么联系？小组交流。 同学各抒已见后，老师总结：两个根的和等于一元二次方程的一次项系数的相反数，两个根的积等于一元二次方程的常数项。 22xpxq0(p,qp4q0)，试用求根公式求出它的两个解x1、x2，x3、一般地，对于关于方程为已知常数， 算一算x1＋x2、x1•x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致。 b24acp24qpp24qx2pp24qpp24qx1,x222pp24qpp24qpp24qpp24qx1x2p222解： pp24qpp24q(p)2(p24q)2x1x2q224 所以与上面猜想的结论一致。 三、知识应用 1、范例： （1）不解方程，求方程两根的和两根的积： 第 32 页 共 89 页 2013年9月 ①x3x10②2x4x10 解：① 22x1x23x1x21 ② 1xxx1x22122 2 （2）已知方程5xkx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值。 （3）不解方程，求一元二次方程2x3x10两个根的①平方和；②倒数和。 2113,232。 （4）求一元二次方程，使它的两个根是 解：所求方程是 1111x2(32)x(3)(2)03232 525x2x0263 即 或6x5x500 2、巩固练习 （1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？ ①x3x10；②3x2x2；③2x3x0；④3x1； （2）已知方程3x19xm0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。 （3）设 22222x1,x2是方程2x4x30的两个根，不解方程，求下列各式的值。 2x2x1(x11)(x21)xx2 ①；②1（4）求一个一元次方程，使它的两个根分别为： ①4,7；② 13,13 （5）已知两个数的和等于6，积等于2，求这两个数 小结： 本节通过探索得出一元二次方程的解与系数存在的关系。并能灵活地用其解决方法解决一些问题。 作业： Ｐ42 习题6 第24章 图形的相似 24.1 相似的图形 第 33 页 共 89 页 2013年9月 教学目标：1、理解相似形的概念，了解相似形是两个图形之间的关系。 2、根据不同需要，能作出大小不一定相同的图形，培养学生的观察能力。 教学重点：让学生理解相似图形概念，会判断两个图形是否相似。 教学难点：正确理解“形状相同”的含义并画出相似图形。 教学过程： 一、导入新课 挂上大小不一样的中国地图两张及两张大小不同的长城图片，供同学观察，并看课本第４２页的图，提出问题：这几组图片有什么相同的地方呢? 这些图片大小虽然不一样，但形状是相同。 二、讲解新课 由于不同的需要，我们用同一底片冲洗、放大得到的相片有1寸的，也有2寸的，也有更大的，这些大小不一样的相片，其形状是相同。同学们想一想，在毕业证书贴的相片与学籍卡片上的相片、学习证的相片大小不一定一样，但形状相同，如果不相同会有什么后果呢? 大小不相同的中国地图或世界地图，其形状也是相同的，只是由于需要的不同，印制成大小不一的图片。对于某一地区，也经常会绘制成各种大小不同的建筑物、山岗等所处的位置都是相同，同学们想一想，如果两张地图(同一地区)的形状不一样，那就会给我们许多错觉，就会产生许多麻烦的事情。 在日常生活中我们会看到许多这样形状相同，而大小不一定相同的图形。在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形。同学们你还能说出哪些相似的图形吗? (同学们思考、讨论、交换意见)国旗、国角星。画一个图形放在投影机上映射到屏幕上原图、平面镜上看到你自己的像等。如图所示相似的图形。 旗上的五的图形与的是一些 想一想：放大镜下的图形和原图形相似吗? 你看过哈哈镜吗?哈哈镜中的形像与你本人相似吗? 还有一些图形，看起来有点相像，但它们不是相似的图形。 为什么有一部分图形看起来相像，就是数学上说的相似图形还有其特征，的内容。 三、课堂练习：课本第４３页试一试，你能画出两个或更多的相似形吗? 第 34 页 共 89 页 但不相似呢?这就是这章要探索 2013年9月 四、小结：形状相同而大小不一定相同的图形称为相似形，相似形在生活中经常碰到。 五、作业：P４４ : 1、2。 六、反思及感想： ２４.２ 相似图形的特征 第一课时 成比例线段 教学目标 ：1、了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例。 2、利用比例的性质，会求出未知线段的长。 教学重点：成比例线段的定义；比例的基本性质及直接运用 教学难点：比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其它性质 第 35 页 共 89 页 2013年9月 教学过程： 一、复习引入： 挂上两张中国地图，问： 1．这两个图形有什么联系? 它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似形。 2．这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢?相似的两个图形有什么主要特征呢?为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。 二、新课讲解 1．两条线段的比 （1）回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？ 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比 AB∶CD＝m∶n，或写成 ABm＝，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项． CDnmAB如果把表示成比值k，则＝k或AB＝k·CD． nCD注意：在量线段时要选用同一个长度单位． （2）．做一做 量出数学书的长和宽（精确到0.1cm），并求出长和宽的比． 改用m作单位，则长为0.211m，宽为0.148m，长与宽的比为0.211∶0.148＝211∶148 只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变． （3）．求两条线段的比时要注意的问题 ①两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比； ②两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； ③两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？（学生讨论） （答:线段的长度比与所采用的长度单位无关） 2．成比例线段的定义 你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘以（或除以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？ 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质 两条线段的比实际上就是两个数的比．如果a，b，c，d四个数满足＝，那么ad＝bc吗？反过来，如果ad＝bc，那么＝吗？与同伴交流． 如果＝，那么ad＝bc。 若ad＝bc（a，b，c，d都不等于0），那么＝． 4．线段的比和比例线段的区别和联系 第 36 页 共 89 页 abcdabcdabcdabcdabcd 2013年9月 线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如＝是线段a、b、c、d成比例，而不是线段a、c、b、d成比例． 三、例题讲解 例题1：在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm、10cm． （1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ （2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ cabcd＝3，求和； dbdacabcd例题:3：如果＝k（k为常数），那么成立吗？ bdbdabcd例题2：如图，已知ab为什么？ 四．探究延伸，拓展思维（想一想再回答） acabcd成立吗？为什么？ ，那么bdbdaceaace（2）如果，那么成立吗？为什么？ bdfbdfbacabcd（3）如果，那么成立吗？为什么． bdbdacmacma成立吗？为什么． （4）如果＝…＝（b＋d＋…＋n≠0），那么 bdnbbdn（1）如果 （小组讨论完成上面的问题） 五、课堂练习 acabcdabcd和，＝成立吗？ ＝3，求 bdbdbdaceaceace2．已知＝＝2 （b＋d＋f≠0），求：（1）；（2）； bdfbdffbd1．已知 （3） a2c3eb2d3f；（4） a5eb5f．（小组讨论并上黑板） 六、课时小结： 1、注意点：（1）两线段的比值总是正数；（2）讨论线段的比时，不指明长度单位；（3）对两条线 段的长度一定要用同一长度单位表示． 2、比例尺：图上长度与实际长度的比 3、熟记成比例线段的定义；2．掌握比例的基本性质，并能灵活运用． 七、作业 ：P４７ ：1、2、3；P51：2、3. 八、反思及感想： 第 37 页 共 89 页 2013年9月 ２４.２ 相似图形的特征 第二课时 相似图形的特征 教学目标：1、知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等。 2、识别两个多边形是否相似的方法。 3、在推出相似多边形性质时，让学生用量角器、刻度尺来测量，锻炼动手能力，让学生感受数学知识源于生活、用于生活。 教学重点：相似多边形的性质 教学难点：理解和应用相似多边形的性质 教学过程： 一、复习：1．若线段a＝6cm，b＝4cm，c＝3.6cm，d＝2.4cm，那么线段a、b，c、d会成比例吗? 第 38 页 共 89 页 2013年9月 2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系?(都成比例) 二、新课 相似的两张地图中的对应线段都会成比例，对于一般的相似多边形，这个结论是否成立呢?同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第４８页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果写在黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流。 同学们会发现有什么关系呢?经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的结果?反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系? 同学用格点图画相似的两个三角形，也观察、度量，它们是否也具有这种关?对应边成比例，对应角相等。 由此可以得到两个相似多边形的特征： (由同学回答，教师板书)对应边成比例，对应角相等。 实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法。即如果两个多边形的对应边都成比例，对应角都分别相等，那么这两个多边形相似。 识别两个多边形是否相似的标准有：(边数相同)，对应边要(成比例)，对应角要(都相等)。(填号内要求同学填) 想一想：(1)两个三角形一定是相似形吗?两个等腰三角形呢?两个等边三角形呢?两个等腰直角三角 形呢? (2)所有的菱形都相似吗?所有矩形呢?正方形呢? 例1：矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，AB＝1.5cm，BC＝4.5cm，A′B′＝0. 8cm，B′C′＝2.4cm，这两个矩形相似吗?为什么? 例2：(课本第４９页例题) 三、练习：1．课本第５0页练习。 2． (1)矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，已知AB＝16cm，AD＝10cm， A′D′＝6cm，矩形A′B′ C′D′的面积为57cm2，这两个矩形相似吗?为什么? 3．如图四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的，且C′据图中的条件，求出未知的边x，y及角a。 四、小结：1．两个多边形是否相似的两个标准是什么? 2．相似多边形具有什么特征? 第 39 页 共 89 页 D′⊥B′C′，根 2013年9月 五、作业：P５１ ：4，6，7。 六、反思及感想： ２４.３ 相似三角形 1．相似三角形 教学目标：1、知道相似三角形的概念；能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角；会根据概念判 断两个三角形相似。 2、能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长。 3、在探索活动中，发展发现问题、解决问题的意识和合作交流的习惯。 教学重点：掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似 教学重点：熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数 教学过程：一、复习：什么是相似形?识别两个多边形是否相似的标准是什么? 二、新课：1．相似三角形的有关概念： 由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似。 三角形是最简单的多边形。由此可以说什么样的两个三角形相似? 如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC与△A′ 第 40 页 共 89 页 2013年9月 B′C′中，∠A＝A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′ ABBCAC ＝＝ 那么△ABC与△A′B′C′相 A′B′B′C′A′C′ 似，记作△ABC∽△A′B′C′；“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两三角形相似就读作：“△ABC相似于△A′B′C′”。 由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以点A的对应顶点是A′，B与B′是对应顶点，C与C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边．如果记 ABBCAC ＝＝＝K，那么这个K就表示这两个相似三角形的相似比．相A′B′B′C′A′C′ AB 似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系．如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为K，即指＝K， A′B′那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是 A′B′ ，就不是K了，应为多少呢?同学们想一想? AB 2．△ABC中，D，E是AB、AC的中点，连结DE，那么△ADE与△ABC相似吗?为什么?如果相似，它们的相似比为多少? 如果点D不是AB中点，是AB上任意一点，过D作DE∥BC，交AC边于E，那么△ADE与ABC是否也会相似呢? 判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑。能否得对应角相等?根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢?目前还没有什么依据，同学们不妨用刻度尺量一量，算一算是否成比例?通过度量，计算发现相似。 若是DE∥BC，与BA、CA延长线交于D、E，那么△ADE与△ABC还会相似吗?试一试看。如果相似写出它们对应边的比例式． 3．如果△ABC∽△A′B′C′，相似比K＝1，你会发现什么呢? ABBCAC ＝＝＝1，所以A′B′B′C′A′C′ ADAEDE ＝＝． 所以可以判断出△ADE与△ABC会ABACBC 可得AB＝A′B′,BC＝B′C′，AC＝A′C′，因此这两个三角形不仅形状相同，且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例，试问：①全等的两个三角形一定相似吗? ②相似的两个三角形会全等吗? 全等的符号与相似的符号之间有什么关系与区别? 4．例：如果一个三角形的三边长分别是5、12、13，与其相似的三角形的最长边是39，那么较大三角形的周长是多少?较小三角形与较大三角形的周长的比是多少? 分析：这两个三角形会相似，对应边是哪些边?相似比是多少?哪一个三角形较大?要计算出它的周长 第 41 页 共 89 页 2013年9月 还需求什么?根据什么来求? 三、练习：下列两个三角形是否相似?简单说明理由，如果相似，写出对应边的比例 四、小结：1．填空：＿＿＿＿＿＿＿的三角形叫做相似三角形。 2．两个相似三角形的相似比为1，这两个三角形有什么关系? 3、如果一条直线平行于三角形一边，与其它两边或其延长线相交截得的三角形与原三角形相似吗?指出它们的对应边。 五、作业：P54 ： 1、2、3。 六、反思及感想： 第 42 页 共 89 页 2013年9月 2．相似三角形的识别 第一课时 相似三角形的识别(一) 教学目标： 1．会说识别两个三角形相似的方法：两个角分别相等的两个三角形相似。 2．会用这种方法判断两个三角形是否相似。 教学重点：相似三角形的判定方法以及推导过程，并会用判定方法来证明和计算． 教学难点：判定方法的运用． 教学过程： 一、复习 1．两个矩形一定会相似吗?为什么? 2．如何判断两个三角形是否相似? 根据定义：对应角相等，对应边成比例。 3．如图△ABC与△′B′C′会相似吗?为什么?是否存在识别两个三角形相似的简便方法?本节就是 探索这方面的识别两个三角形相似的方法。 二、新课讲解 同学们观察你与你的同伴用的三角尺，及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样。这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索。 (1)是45°角的三角尺，是等腰直角三角形会相似。 (2)是30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢? 这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”。是这样吗?请同学们动手试一试： 第 43 页 共 89 页 2013年9月 1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等。 画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D、∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等?为什么? 实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的。 2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例?与同伴交流，是否有相同结果。 3．发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。 4．两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢? 这是由于三角形具有它特殊的性质。三角形有稳定性，而四边形有不稳定性。 于是我们得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法： 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说：两角对应相等，两三角形相似。 同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢? 例题：1．如图两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°， ∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似。 2．在△ABC与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°， ∠B′＝60°，这两个三角形相似吗? 3．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC。 三、练习 1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形。 2．△ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC会相似，你怎样画这条直线，并说明理由。和你的同伴交流作法是否一样? 四、小结”本节课我们学习了识别两个三角形相似的简便方法： 有 两 个 角 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 相 似。 五、作业 :P64 : 1 六、反思及感想： 第 44 页 共 89 页 2013年9月 第二课时 相似三角形的识别(二) 教学目标：1．会说出识别两个三角形相似的方法：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； 三条边对应成比例的两个三角形相似。 2．能依据条件，灵活运用三种识别方法，正确判断两个三角形相似。 教学重点：相似三角形判定方法2、3的推导过程，掌握判定方法2、3并能灵活运用． 教学难点：判定方法的推导及运用 教学过程：一、复习：1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法? 有两种方法，(1)是根据定义；(2)是有两个角对应相等的两个三角形相似。 11 2．如图△ABC中，D、E是AB、AC上三等分点(即AD＝ AB，AE＝ AC)， 33与△ABC相似吗?你用的是哪一种方法? 由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量什么东西后可 以判断它们那么△ADE 能否相似?(可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例)无论哪一种，都应肯定他们，是正确的，要求同学说出是应用哪一种方法判断出的。 二、新课讲解 同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE∽△ABC。从已知条件看，△ADE与△ABC有一对11AD1AE1ADAE 应角相等，即∠A＝∠A(是公共角)，而一个条件是AD＝AB，AE＝AC，即是＝，＝；因此＝。 33AB3AC3ABAC△ADE的两条边 AD、AE与△ABC的两条边AB、AC会对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的 两个三角形也会相似吗?我们再做一次实验。观察图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢? 1 图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为，将点E由点A开始在AC上移动，可以发 31ADAE 现当AE＝AC时，△ADE与△ABC相似。此时＝ 3ABAC 同学们画两个三角形，△ABC与△A′B′C′，使之∠A＝∠A′，AB＝2A′B′, AC＝2A′C′,量一BCABAC 量BC与B′C′的长,计算BC:B′C′与同伴交流，是否与，相等?再量一量∠B与∠ B′C′A′B′A′C′ 第 45 页 共 89 页 2013年9月 B′、∠C与∠C′，它们是否对应相等呢?这样的两个三角形相似吗? 于是有识别两个三角形相似的第二种简便方法： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简单地说；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似。你能画出有两边会对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗?(画顶角与底角相等的两个等腰三角形)ABAC ∠B＝∠B′，＝ A′B′A′C′ 三、例题讲解：例1．(课本中例3)判断图中△AEB与△FEC是否相似? 例2．如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，小张同学的判断理由是这样的： 解：因为AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1， 故 AE＝6-2.1＝3.9 ADAE 由于≠ ABAC 所以△ADE与△ABC不会相似。 你同意小张同学的判断吗?请你说说理由。 小张同学的判断是错误的。 AD3AE3.91ADAE 因为＝，＝＝ 所以＝ AC6AB7.82ACAB 而 ∠A是公共角，∠A＝∠A， 所以△ADE∽△ACB． 请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三条边都成比例，那么这两个三角形是否相似? 看课本５８页“做一做”。 通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简单说成：三边成比例两三角形相似。 例3:△ABC和△A′B′C′中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，A′B′＝18cm， B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，试判定它们是否相似，并说明理由。 四、练习：课本59页 练习1、2，3． 五、小结：到现在我们学习了识别两个三角形是否相似的三种较简便的方法，请同学回忆说出．（抽部 分学生回答） 第 46 页 共 89 页 2013年9月 六、作业 ：P64 ：4 七、反思及感想： 3．相似三角形的性质 教学目标：会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于 相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 教学重点：1．相似三角形中对应线段比值的推导； 2．相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导； 第 47 页 共 89 页 2013年9月 3．运用相似三角形的性质解决实际问题． 教学难点：相似三角形性质的灵活运用，相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用 教学过程：一、复习：1．识别两个三角形相似的简便方法有哪些? 2．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝l0cm，AC＝6cm，BC＝8cm，A′B′＝5cm，A′C′＝3cm，B′ C′＝4cm，这两个三角形相似吗?说明理由。如果相似，它们的相似比是多少? 二、新课讲解 上述两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 AC ＝2 。 A′C′ 相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会得出什么结果呢? 一个三角形内有三条主要线段；高、中线、角平分线。如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢?我们先探索一下它们的对应高之间的关系。 同学画出上述的两个三角形，作对应边AB和A′B′边上的高，用刻度尺量一量CD与C′D′的长，CD 等于多少呢?与它们的相似比相等吗?得出结论： C′D′ 相似三角形对应高的比等于相似比。我们能否用说理的方法来说明这个结论呢?同学们用上面类似方法，得出：相似三角形对应中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 两个相似三角形的周长比会等于相似比吗? 两个相似三角形的面积之间有什么关系呢? 看如图的三个三角形，三角形(2)的各边长分别是(1)的2倍，(3)的各边长分别是(1)的3倍，所以它们都是相似的，填空： (2)与(1)的相似比为( )，(2)与(1)的面积比为( )， (3)与(1)的相似比为( )，(3)与(1)的面积比为( ) (3)与(2)的相似比为( )，(3)与(2)的面积比为( )。 以上可以看出当相似比为K时，面积比为K。对于一般相似的三角形都具有这种关系，可以得出结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 三、课堂练习：1.△ABC∽△A′B′C′，相似比为 3，则对应中线的比等于( )。 22 1 2．相似三角形对应角平分线比为，则相似比为( )，周长比为( )，面积比为( ) 512 3．△ABC∽△A′B′c′，相似比为 ，已知△A′B′C′的面积为18cm， 3 第 48 页 共 89 页 2013年9月 那么 △ABC的面积为( )。 四、小结：（以填空形式，让同学回答）相似三角形（ ）相等，（ ）的比等于相似比， 面积的比等于（ ）。 五、作业 ：P64 ： 2、6 六、反思及感想： 4、相似三角形的应用 教学目标：1、会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度。 2、自己设计方案测量高度体会相似三角形在解决问题中的广泛应用。 3、通过利用相似解决实际问题，进一步提高学生应用数学知识的能力。 教学重点：构建相似三角形解决实际问题。 教学难点：把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形解决。 教学过程：一、复习 1、相似三角形有哪些性质? 2．如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF， (1) △DEF与△ABC相似吗?为什么? (2)若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少? 第 49 页 共 89 页 2013年9月 二、例题讲解 第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长。人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度。 例1:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可塔的高度OB，如果O′B′＝l， A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB。 这实际上与上述问题是一样的。 例2．我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽，只用简单的工计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一岸上AB⊥BC，然后选点E，使EC⊥BC，用眼睛测视确定BC和AE的交点D，BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，就能算出两岸间的大致距离AB。 例2图 例1图 具，就可以很快选点B和C，使此时如果测得近似算出金字 例2：如图24．3．13，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和 C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB． 解 ∵ ∠ADB＝∠EDC， ∠ABC＝∠ECD＝90°， ∴ △ABD∽△ECD （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似）， ABBD， ECCDBDEC解得 AB CD12050． 100（米） 60∴ 答： 两岸间的大致距离为100米． 图24.3.13 图24.3.14 第 50 页 共 89 页 2013年9月 这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法． 例3：如图24．3．14，已知： D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE＝∠C． 求证： AD·AB＝AE·AC． 证明 ∵ ∠ADE＝∠C，∠A＝∠A， ∴ △ADE∽△ACB（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似）． ∴ ADAE， ACAB∴ AD·AB＝AE·AC． 三、课堂练习 1．到操场上用例1的方法测量旗杆的高，并与同伙交流看看计算结果是否大致上一样。 2．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻，有人测得高为1.8米的竹竿的影长为3 米，此时某高楼影长为60米，那么高楼的高度为多少米? 四、小结：本节课学习应用相似三角形的性质，测量计算物体的高度，在应用时要分清转到数学上是哪 两个三角形会相似，它们对应的边是哪一边，利用比例的性质求证答案。 五、作业 :P64:习题24、3 : 第6题 六、反思及感想： 第 51 页 共 89 页 2013年9月 24.4中位线 教学目标:１、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能 利用它们解决简单的问题。 ２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。 ３、进一步训练说理的能力。 ４、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证 唯物主义观点；转化的思想。 教学重点:经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用 它们解决简单的问题。 教学难点:进一步训练说理的能力；培养学生运用转化思想解决有关问题。 教学过程 一、三角形的中位线 （一）问题导入：在§24．3中，我们曾解决过如下的问题： 如图24．4．1，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC。 由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点。 现在换一个角度考虑， 如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE 第 52 页 共 89 页 ∥BC呢？DE与 2013年9月 BC之间存在什么样的数量关系呢？ （二）探究过程:1、猜想：从画出的图形看，可以猜想： DE∥BC，且DE＝ 1BC． 22、证明：如图24．4．2，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点， ∴ ADAE1． ABAC2∵ ∠A＝∠A， ∴ △ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个三角形相似）， ∴ ∠ADE＝∠ABC， DE1， （相似三角形的对应角相等，对应边成比例） BC21∴ DE∥BC且DEBC 2思考：本题还有其它的解法吗？ 已知： 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC。 1求证： DE∥BC，DE＝BC。 21分析: 要证DE∥BC，DE ＝BC，可延长DE到F，使EF＝DE，于是本题就转化为证明DF＝BC，DE∥BC， 2故只要证明四边形BCFD为平行四边形。 还可以作如下的辅助线作法。 3、概括：我们把连结三角形两边中点的线段叫线，并且有三角形的中位线平行于第三边并且半。 介绍三角形的中位线时，强调指出它与三角形中线的区别。 （三）应用 例1：求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。 已知： 如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC。 求证： AE、DF互相平分。 证明 连结DE、EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半） 同理EF∥AB 第 53 页 共 89 页 做三角形的中位等于第三边的一 2013年9月 ∴ 四边形ADEF是平行四边形 ∴ AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分） 例2 如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点， GEGD1 CEAD3AD、CE相交于 G。 求证： 证明 连结ED ∵ D、E分别是边BC、AB的中点 ∴ DE∥AC， DE1（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半） AC2∴ △ACG∽△DEG GEGDDE1 GCAGAC2GEGD1∴ CEAD3∴ 小结：在图24．4．5中，取AC的中点F，取BC的中点D,假设BF与AD交于G′，那么同理有 所以有 GDGD1，即两图中的点G与G′是重合的。 ADAD31中点的连线的长是对应中线长的。 3GDGF1，ADBF3于是，我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边 ［同步训练］ 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点． 求证：四边形ADEF是菱形。 二、梯形的中位线 由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到: 梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半． 已知： 如图24．4．6所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF． 求证： EF∥BC，EF＝ 分析: 1（AD＋BC）． 2由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延 长线于G，证明的关键在于说明EF为△ABG的中位线。于是本题就转化为证明AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADF≌△GCF．证明略 思考:如图24．4．7，你可能记得梯形的面积公式为S1(l1l2)h．其中l1、l2分别为梯形的两底2边的长，h为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？ 三、小结与作业 第 54 页 共 89 页 2013年9月 (1)、小结：谈一下你有哪些收获？ （2）、作业：Ｐ70：练习；习题24.4 四、反思及感想： 24．5 画相似图形 教学目标：1．会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小。 2．理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画相似的图形。 教学重点：位似的概念以及利用位似将一个图形放大或缩小． 教学难点：比较放大或缩小后的图形与原图形，归纳位似放大或缩小图形的规律． 教学过程 一、复习 1．如图 OA′OB′3A′B′ ＝＝，那么＝？为什么? OAOB2AB 2．已知线段AB，画一线段A′B′，使A′B′＝1.5AB，如何画呢? 11 画法有2：①延长AB至B′，使BB′＝AB，②仿①直线外任取一点O，做射线OA，取AA′＝AO。 22二、新课 相似与轴对称、平移、旋转一样，是图形的一个基本变换。要把一个图形放大或缩小，又要保持其形状不变。就是要画相似图形，现在我们先从画相似多边形开始。 现在要把五边形ABCDE放大1.5倍，即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5。 我们先考虑能否把五边形的一条边放大1.5倍呢?按照问题可以把AB放大1.5倍，同样也可以把其他边也放大，在平面上为端点作射线OA、OB，可以画出线段A′B′，以此类推。 画法是： 第 55 页 共 89 页 (2)中的作法，取一点O，以O 2013年9月 1．在平面上任取一点O。 2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE。 3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、F′使OA′: OA＝ OB′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5 4．连结A′B′，B′C′，D′E′，A′E′. 这样： A′B′B′C′C′D′D′E′A′E′ ＝＝＝＝＝1.5 ABBCCDDEAE 再用量角器量它们的对应角，看看是否相等呢? 也可以用平行线的性质推出各对应角是相等的，所以五边形A′B′C′D′E′就相似于五边形ABCDE。 位似变换的定义：如上面的画法，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似。这点O叫做位似中心。放映电影时，胶片和屏幕上的画面就形成一种位似关系，它们的位似中心是放映机上的灯光的点。 利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小。 位似中心也可以取在多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法。 在画相似多边形的过程中，同学们想一想，是否一定要取OA′: OA＝OB′:OB＝OC′:OC…，这样来取A′B′C′…这些点呢?如果我们只确定一个顶点A′后用其他方法来确定B′、C′……呢? 三、练习:任意画一个五边形，用位似法把它放大3倍。 四、小结:用位似法画相似的多边形，关键在于要确定位似中心，位似中心选在不同的位置，使画相似 的过程的繁简也就不同。 五、作业 :P72 : 习题24．5 六、反思及感想： 第 56 页 共 89 页 2013年9月 24.6 图形与坐标 1、用坐标来确定位置 教学目标：1．会用合适的方法描述物体的位置，用坐标的方法描述图形的运动变换。 2．能运用图形的变换与坐标的内在联系解决一些简单的生活实际问题。 3．经历对日常生活中与位置相关的现象进行观察、分析、欣赏以及动手操作、画图等过程，掌握有关图形运动的操作技巧、发展初步的审美观。 4．让学生体会图形经过平移、旋转、对称、相似等变换的变化情况，达到对图形变换有更深的认识，初步渗透数形结合的思想。 教学重点:用坐标确定位置的两种方法以及图形运动与坐标变换的关系。 教学难点:图形运动与坐标变换的具体应用，通过比较放大或缩小后的图形与原图形，归纳位似放大或 缩小图形的规律． 教学过程： 一、复习 1．什么是平面直角坐标系?建立了直角坐标系后，平面的点可以用什么来描述? 平面上画两条互相垂直的数轴，就组成了平面直角坐标系；坐标平面上的点用有序实数对来描述它的位置，有序实数对就是我们常说的点的坐标。 2．画直角坐标系，并描出点A(1，2)，B(－3， 5)，C(4，5)，D(0，3)的位置。 3．如图四边形ABCD，在方格图中建立适当的直角；坐标系，用点的坐标来表示各点的位置。 注：选择的原点不同，所得到的坐标也不一样。 如以A为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为 y轴，建立以得到点A(0，0)，B(－2，－ 4)，C(2，－5)，D(4，0)。 二、新课讲解 在地图上，应用直角坐标系确定一些建筑物的位置，用坐标来容易地找出目的地。 在一张地图上，画一个直角坐标系，作为定向标记，有四座农舍的坐标是(1，2)，(－3，5)，(4，5)，(0，3)，并且知道目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和第二与第四座农舍的直线的交点，请大家在课本上找出这个目的地所处的位置，你能估计出这个位置的坐标是什么吗? 先确定出四座农舍的位置(即复习中(2)的A、B、C、D四个点)，过A、C作直线，过B、D作直线，两直线的交点P是目的地，确定点P的坐标，过P作x轴垂线，垂足坐标是1、2，过P作y轴垂线，垂 第 57 页 共 89 页 直角坐标系，可 表示，就能比较 2013年9月 足坐标为2.2，所以目的地P的坐标为(1.2、2.2)。 课本第74页中“试一试”，与复习中(3)类似。在方格图中，选定一个确定的点为坐标原点，横线所在直线为x轴，建立直角坐标系，如以王坪村希望小学为原点，则各点位置的坐标是：希望小学的坐标(0，0)、大山镇是(0，3)、＿＿＿乡(2，5)、小学是(4，7)、爱心中学(6，7)、马村是(5，2)、映月湖为(6，1)，同学们互相对照一下，建立的直角坐标系是否相同呢?选定的坐标单位会一样吗?各点的坐标是否一样?有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置，平面直角坐标系中，用一对有顺序关系实数来描述一个点的位置，在现实生活中，我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置、电影院的座号用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示，横条用数字表示等。 除了用坐标形式表示物体的位置之外，我们还经常用到的还有用一个方向的角度和距离来表示一个点的位置。 如小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道，“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此地3千米的地方，根据这个角度和距离，我们可以画出这个工厂与现在所处位置的图形。 以小明现在的位置为O，东西方向线是水平的，南北方向线一般画竖直方向，画出北偏东30°的方向线，在这方向线(射线帜)上，按比例尺的要求确定出“悠悠日用化工品厂”所处的位置点A。 同学们也按此方法，在同图中确定出“明天调味品厂”的位置 B，“321号水库”的位置。 三、练习 ：P76 练习 四、小结: 建立直角坐标系后，平面上的点可以用坐标来描述，在平面上由于建立的坐标系不同，单位 长度选定不同，所以同一个点描述的坐标也可能不同。平面上的点也可以用一个角度来描述其位置。 五、作业:P78:习题24.6： 第1题 六、反思及感想： 2．图形的运动与坐标 教学目标:1．在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴对称放大或缩小的变换之后，点 的坐标相应发生变化。 2．探索图形平移、轴对称、放大或缩小的变换中，它们点的坐标变化规律。 教学重点:图形运动与坐标变换的关系。 第 58 页 共 89 页 2013年9月 教学难点:图形运动与坐标变换的具体应用，通过比较放大或缩小后的图形与原图形，归纳位似放大或 缩小图形的规律． 教学过程 一、复习 1．△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC＝5，建立直角坐标系，写出各顶点的坐标。 2．你能画与△ABC成轴对称的三角形吗?请画一个以直线BG为对称轴的三角形。 二、新课讲解 如果以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，上述(1)的各顶点坐标为多少?(画成与厚纸片相符) 1．把厚纸片的三角形向右边移动3个单位，问： (1)这时三角形的位置发生了什么变化? 向右平移3个单位。 (2)这时三角形三个顶点的坐标有什么变化，写出它们这个位置时三个顶点坐标。 (3)比较相应顶点的坐标，它们之间存在什么相同之处? 相应顶点的横坐标都增加了3个单位，而纵坐标都不变。 2．把纸片三角形向左平移4个单位，后以同样的问题回答。 发现相应顶点横坐标有变化，减少了4个单位，纵坐标不变。 3．把纸片三角形再变换一个位置后，向左、右两边平移，观察各对应顶点的坐标的变化。 问：由上述的几个变换过程，可以得到一个图形沿x轴左、右平移，它们的纵坐标，横坐标各有什么变化? 它们的纵坐标都不变，横坐标有变化。向右平移几个单位，横坐标就增加几个单位；向左平移几个单位，横坐标就减少几个单位。 4．若把这个三角形沿y轴上、下平移呢? 思考：△AOB关于x轴的轴对称图形△OA′B，对应顶点的坐标有什么变化呢? 关于x轴对称，由于O、B在对称轴上，其坐标不变，那么点 A与对称点A′关于x轴对称，它们的横坐标相同，纵坐标是互为相反数，这就得出关于x轴对称的对称点的坐标的特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 △AOB关于y轴的轴对称图形△AlOBl，对应顶点的坐标有什么变化? 得出关于x轴或y轴成对称的对应点的坐标的关系： 关于x轴对称的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。 第 59 页 共 89 页 2013年9月 关于y轴对称的对称点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。 课本78面图24.6.7，△AOB的各顶点坐标是什么?0(0，0)，A(2，4)，B(4，0)，缩小后得到的△COD，各顶点的坐标是什么呢?O(0，0)，C(1，2)，D(2，0)，比较各对应顶点的坐标有什么呢?它们的横纵坐标都按比例缩小，这种变化与它们的相似比有什么关系呢? 三、练习：1.线段AB的两端点A(1，3)，B(2，－5)。 (1)把线段AB向左平移2个单位，则点A、B的坐标为：A＿＿B＿＿。 (2)线段AB关于x轴对称的线段A′B′,则其坐标为：A′＿，B′＿。 (3)把线段AB向上平移2个单位得线段A1Bl，AlBl关于y轴对称的线段A2B2，那么点A2的坐 标为＿＿＿，点B2的坐标为＿＿＿。 2．课本第77页“试一试”。 四、小结：在同一直角坐标系中，图形经过平移、轴对称、放大、缩小的变化，其对应顶点的坐标也发 生了变化，它们的变化是有规律的，要按照变化的情况，同学观察、总结会得出变化规律(由同学说出变化规律)。 五、作业：P78：习题24.6 ： 第2题 六、反思及感想： 第24章复习课 回顾与思考 教学目标：1．能理清本章的知识及其联系，画出知识结构图。 2．会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算，提高解决实际 问题的能力，培养应用数学知识的意识。 3．能用坐标来表示物体的位置，感受点的坐标由于图形的变化而相应地也发生变化，让学生体会到数与形之间的关系。 教学重点：相似三角形的特征，相似三角形的判定方法的应用。 第 60 页 共 89 页 2013年9月 教学难点：相似的灵活应用，比法。 教学过程： 一、知识结构： 二、讲解例题巩固知识 1、如图所示的两个矩形会相似吗？请说明理由。 目的：复习多边形相似的定义，理解平常说的相像与数有一点区别的，必须是对应的角相等，对应的边成比例的两似的。 2．判断下列各组中的两个三角形是否相似，并简单说明理由： (1)△ABC中，∠A＝28°，∠C是直角，△A′B′C′中，∠B′＝62°，∠C是直角。 图形的判定方法例式的转换方 学中的相似还是个多边形才是相 (2)△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，△A′B′C′中，A′B′=16。B′C′=14，A′C′＝10。 (3)△ABC和△A′B′C′中，AB＝4.5，AC＝6，∠B＝∠B′＝50°，A′B′＝6，A′C′＝9。 (4)如图DB，EC交于A，AB＝3，AC＝4.5，AD＝2，AE＝3。 目的：复习识别三角形相似的三种方法，特别是方法(2)：相等的角要看看是否它们的夹角。 3．小黄同学在公路上测得一条高为6米的电线杆的影子长为8米，此时路旁有一棵树的影子长为12米，那么这棵树有多高? DE 4．在△ABC中，如果DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及EC的长。 BC 4题图 5题图 6题图 两边对应成比例， 5．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD。 第 61 页 共 89 页 2013年9月 目的：这三题都是复习相似三角形的识别方法及其性质应用，用对应边成比例计算某一边长时，要注意对应边的位置。(4)中所求的是EC，并不是三角形的边，因此由比例式先求出AC的长，再计算AC－AE。 6．将下图分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图相似，应怎样分? 把整个图形分割成若干个小方形，缺口也补上成为一个完整的正方形，完整正方形分成16个小正方形，原 图形有12个小正方形，要分成四小块，每一小块要3个小正方形。 7．在直角坐标系中△ABC的三个顶点坐标为：A(3，0)，B(－ 1，2)，C(4，5)。 (1)把△ABC沿x轴向右平移3个单位得△A′B′C′，求各顶点的坐标。 (2)如果△A′B′C′的顶点坐标为A′(3，0)，B′(－2，4)，C′(8，l0)，那么△A′B′ C′是△ABC如何变换以后得到的。 8．下面是某市旅游景点的示意图，试建立直角坐标系，景点的位置。 如果以角度和距离来表示，碑林在中心广场的什么位千米) 碑林在中心广场的北偏东45°方向上(或东北方向)，距中心广场约57千米的地方。 目的：复习图形与坐标这部分知识，理解在同一坐标系内图标变化的情况，解题时要画出图形，增强数形结合的思想。 三、练习：1.课本第80页复习题。 2．补充练习:△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∠ACB＝90°， D是AB中点，点P形变化其顶点坐置?(一格表示10用坐标表示各个 由C沿CD方向运动，每秒钟移1个单位，若△APD的面积为y，点P移动时间为x秒，求y与x之间的函数关系式，多少秒钟后△APD的面积为2.4? 四、小结: 通过复习，比较系统地理清本章知识，进一步灵活运用相似三角形的有关知识。 五、作业 :1．P80 :复习题Ａ组。 2．学有余力的学生可选作P81 : B组。 六、反思及感想： 25.1 测 量 教学目标 1、在探索基础上掌握测量。 2、掌握利用相似三角形的知识 教学重难点 重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。 第 62 页 共 89 页 2013年9月 难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 教学过程 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题． 如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度． 如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识． 试一试 如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？ 图25.1.1 实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容． 练习 1． 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 2． 请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度． 习题25．1 1． 如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米） 图25.1.2 （第1题） （第3题） 第 63 页 共 89 页 2013年9月 2． 在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 3． 如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度． 小结与作业: 小结本节内容:利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边 作业:一课一练 25.2 锐角三角函数 教学目标 3、正弦、余弦、正切、余切的定义。 4、正弦、余弦、正切、余切的应用 教学重难点 重点：正弦、余弦、正切、余切。 难点：正弦、余弦、正切、余切的应用。 教学过程 第一节.锐角三角函数 在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即 △ABC∽△A′B′C′． 1的比例，就一定有 500BCAC1， BCAC5001就是它们的相似比． 500BCBC当然也有． ACAC按 我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分 别为∠A的对边与邻边，用a、b表示（如图25．2．1）． 图25.2.1 前面的结论告诉我们，在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值． 第 64 页 共 89 页 2013年9月 思考 一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？ 图25.2.2 观察图25．2．2中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知 Rt△AB1C1∽Rt△_________∽Rt△________， 所以 B1C1＝_________＝____________． AC1可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的． 我们同样可以发现，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的． 因此这几个比值都是锐角A的函数，记作sinA、cosA、tanA、cotA，即 sinA＝ A的对边A的邻边，cosA＝， 斜边斜边A的对边A的邻边，cotA＝． A的邻边A的对边tanA＝ 分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数． 显然，锐角三角函数值都是正实数，并且 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1． 根据三角函数的定义，我们还可得出 sin2Acos2A＝1， tanA·cotA＝1． 图25.2.3 例1 解 sinA＝ 求出图25．2．3所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值． ABBC2AC228917， BC8AC15， ，cosA＝AB17AB17BC8AC15，cotA＝． tanA＝ AC15BC8练习:P76.1.2. 小结本节内容: 正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数 第 65 页 共 89 页 2013年9月 作业:一课一练 第二课时 教学目标 1、探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。 2、掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。 3、掌握三角函数定义式：sin A= A的对边A的邻边, cos A=, 斜边斜边tan A= A的对边A的邻边, cot A= A的邻边A的对边教学重难点 重点：三角函数定义的理解。 难点：掌握三角函数定义式。 教学过程 探索 根据三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少． 通过计算，我们可以得出 图25.2.4 sin30°＝ 对边1， 斜边2即斜边等于对边的2倍．因此我们可以得到： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 思考 上述结论还可通过逻辑推理得到．如图25．2．4，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作∠BCD＝60°，点D位于斜边AB上，容易证明△BCD是正三角形，△DAC是等腰三角形，从而得出上述结论． 做一做 在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列∠A的四个三角函数值： （1） ∠A＝30°；（2） ∠A＝60°；（3） ∠A＝45°． 第 66 页 共 89 页 2013年9月 为了便于记忆，我们把30°、45°、60°角的三角函数值列表如下： α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 cotα 1 1 2 1 2 练习 求值： 2cos60°＋2sin30°＋4tan45°． 四、学习小结:记忆特殊角的函数值 五、布置作业 习题：1 第 67 页 共 89 页 2013年9月 第三课时 教学目标 1、进一步复习直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。 2、进一步掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。 3、掌握三角函数定义式：sin A= A的对边A的邻边, cos A=, 斜边斜边tan A= A的对边A的邻边, cot A= A的邻边A的对边教学重难点 重点：三角函数定义的理解。 难点：掌握三角函数定义式。 教学过程 例1 求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90°）中∠D的四个三角函数值． sin30゜是一个常数.用刻度尺量出你所用的含30゜的三角尺中，30゜所对的直角边与斜边的长，sin30゜= 对边1＝ 斜边2 （第2题） 即斜边等于对边的2倍.因此我们还可以得到： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 做一做 在Rt△ABC中，∠C＝90゜，借助于你常用的两块三角尺，根据锐角三角函数定义求出∠A的四个三角函数值： （1）∠A＝30゜ （2）∠A＝60゜ （3）∠A＝45゜. 为了便于记忆，我们把30゜、45゜、60゜的三角函数值列表如下.（请填出空白处的值） 课堂练习 第 68 页 共 89 页 2013年9月 1. 如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜. ∠P的对边是__________,∠P的邻边是_______________; ∠M的对边是__________,∠M的邻边是_______________; （第1题） （第2题） 2. 求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90゜）中∠D的四个三角函数值. 3. 设Rt△ABC中，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B的四个三角函数值. （1）a=3,b=4; （2）a=6,c=10. 4. 求值：2cos60゜+2sin30゜+4tan45゜. 学习小结: 记忆特殊角的函数值 布置作业 习题：练习册习题：2 第 69 页 共 89 页 2013年9月 2.用计算器求锐角三角函数值 教学目标 学会计算器求任意角的三角函数值。 教学重难点 重点：用计算器求任意角的三角函数值。 难点：实际运用。 教学过程 拿出计算器，熟悉计算器的用法。 下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角. （1） 求已知锐角的三角函数值. 3、求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001） 解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”： 显示 再按下列顺序依次按键： 显示结果为0.897 859 012. 所以 sin63゜52′41″≈0.8979 例3 求cot70゜45′的值.（精确到0.0001） 解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出键： ），按下列顺序依次按 显示结果为0.349 215 633. 所以 cot70゜45′≈0.3492. （2） 由锐角三角函数值求锐角 例4 已知tan x=0.7410,求锐角x.（精确到1′） 解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出 ），按下列顺序依次按键： 显示结果为36.538 445 77. 再按键： 显示结果为36゜32′18.4. 所以，x≈36゜32′. 例5 已知cot x=0.1950,求锐角x.（精确到1′） 第 70 页 共 89 页 2013年9月 分析 根据tan x＝ 1，可以求出tan x的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x的值. cotx四、课堂练习 1. 使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001） sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′,cot70゜. 2. 已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a.（精确到1′） （1）sin a=0.2476; （2）cos a=0.4174; （3）tan a=0.1890; （4）cot a=1.3773. 五、学习小结 内容总结 不同计算器操作不同，按键定义也不一样。 同一锐角的正切值与余切值互为倒数。 在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的保管与使用。 方法归纳 在解决直角三角形的相关问题时，常常使用计算器帮助我们处理比较复杂的计算。 一、布置作业 习题：3，4，5；练习册 第 71 页 共 89 页 2013年9月 25.3 解直角三角形 教学目标 1、巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理。 2、学会运用三角函数解直角三角形。 3、掌握解直角三角形的几种情况。 教学重难点 重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。 难点：运用三角函数解直角三角形。 教学过程 我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具. 例1 如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？ 解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为 10224226 26＋10＝36（米）. 所以，大树在折断之前高为36米. 在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 例2 如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米） 解 在Rt△ABC中，因为 第 72 页 共 89 页 2013年9月 ∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜， BC＝tan∠CAB, AB所以 BC＝AB•tan∠CAB =2000×tan50゜≈2384(米). AB又因为 cos50， ACAB2000所以 AC＝3111(米) cos50cos50答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米. 在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′. 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角 课堂练习 1. 在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？ 2. 海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里） 学习小结 布置作业 习题：1；练习册 第 73 页 共 89 页 2013年9月 25.3 解直角三角形 第二课时 教学目标 1、巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。 2、学会运用三角函数解直角三角形。 3、掌握解直角三角形的几种情况。 4、学习仰角与俯角。 教学重难点： 重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。 难点：运用三角函数解直角三角形。 教学过程 一、情境导入 读一读 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 二、合作探究 图 例3 如图4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米） 解 在Rt△BDE中， BE＝DE×tan a ＝AC×tan a ＝22.7×tan 22° ≈9.17， 所以AB＝BE＋AE 4 ＝BE＋CD ＝9.17＋1.20≈10.4（米）． 答： 电线杆的高度约为10.4米． 三、课堂练习 1. 如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角a＝16゜31′，求飞机A到控制点B的距离.（精确到1米） 2. 两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50.4米，从AB的顶 第 74 页 共 89 页 （第1题） 点B测得CD的顶部D （第2题） 2013年9月 的仰角β＝25゜，测得其底部C的俯角a＝50゜，求两座建筑物AB及CD的高.（精确到0.1米） 四、学习小结 内容总结 仰角是视线方向在水平线上方，这时视线与水平线的夹角。 俯角是视线方向在水平线下方，这时视线与水平线的夹角。 梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）来处理。 方法归纳 认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题。把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决。 五、布置作业 习题：2，3；练习册 第 75 页 共 89 页 2013年9月 25.3 解直角三角形 第三课时 教学目标 1、巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。 2、学会运用三角函数解直角三角形。 3、掌握解直角三角形的几种情况。 4、学习仰角与俯角。 教学重难点 重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。 难点：灵活的运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形。 教学过程 一、情境导入 读一读 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 如图5，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡 h比）.记作i,即i=. l坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6. 图5 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有 hi＝=tan a l显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡. 二、课前热身 分组练习，互问互答，巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容，掌握仰角与俯角等概念。 三、合作探究 例4 如图6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的 倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到 0.1米） 解 作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知 DE＝CF＝4.2（米）， CD＝EF＝12.51（米）． 在Rt△ADE中，因为 DE4.2itan32 AEAE图6 所以 4.2AE6.72(米)tan32 在Rt△BCF中，同理可得 4.2BF7.90(米) tan28因此 AB＝AE＋EF＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）． 答： 路基下底的宽约为27.13米． 三、课堂练习 第 76 页 共 89 页 2013年9月 一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡AB的坡度i1＝1∶3，斜坡CD的坡度i2=1∶2.5.求： （1）斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0.1米） （2）斜坡CD的坡角α.（精确到1°） 四、学习小结 内容总结 坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。 h坡角与坡度之间的关系是：i＝=tan a。 l坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。 方法归纳 在涉及梯形问题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形、平行四边形，再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。 五、布置作业 习题：4；练习册 小结与复习1 教学目标 1、了解本章的知识结构。 2、回顾勾股定理的证明 教学重难点 重点：勾股定理。 难点：选择适当的知识解决具体问题。 教学过程 一、情境导入 通过本章的学习，你学到了哪些知识？你有哪些收获？ 二、课前热身 同学们交流、讨论、概括出本章所学的主要内容。 三、合作探究知识结构 第 77 页 共 89 页 2013年9月 概括 1. 了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程； 2. 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系； 3. 能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题． 课堂练习 1. 求下列阴影部分的面积： 2. （1）阴影部分是正方形； （2）阴影部分是长方形； （3）阴影部分是半圆 3. 4. （第1题） 5. 如图，以Rt△ABC的三边向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 6. 7. 8. 9. 已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长． 求下列各式的值． （1） 2cos 30°＋cot 60°－2tan 45°; （2） sin2 45°＋cos2 60°; 22（第2题） tan26010. （3） sin30cos30 . 2cot60学习小结 内容总结 本节课主要复习了两个部分的内容：一部分是本章的知识结构；另一部分是直角三角形中勾股定理及锐角三角函数定义。 方法归纳 在测量时，要以构造直角三角形在实际生活中应用的实例，至少一个。 布置作业 习题：10，11；练习册 第 78 页 共 89 页 2013年9月 小结与复习2 教学目标 1、通过复习，进一步理解勾股定理及三角函数的意义。 2、通过复习，进一步掌握直角三角形的解法。 3、学会运用勾股定理和三角函数解决简单的实际问题。 教学重难点 重点：灵活运用解直角三角形知识解决问题。 难点：选择恰当知识解决具体问题。 教学过程 一、情境导入 三角函数是怎样定义的？如何把梯形分解成三角形？ 二、课前热身 学生交流、讨论上述问题。 三、课堂练习 5. 求下列各直角三角形中字母的值． （第5题） 6. 小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（精确到1米） 7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠A平分线AM的长为15 cm，求直角边AC和斜边AB 的长． 8. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC是直角边BC的2倍，求∠B的四个三角函数值． 9. 如图，在直角坐标平面中，P是第一象限的点，其坐标是（3，y），且OP与x轴的正半轴的夹角a 4的正切值是，求： 3（1） y的值； （2） 角a的正弦值． （第10题） 12. 一架25米的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物7米．如果梯子的顶部滑下4米，梯子的底部滑开多远？ 13. 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角a和坝底宽AD．（i＝CE∶ED，单位米，结果保留根号） （第9题） 第 79 页 共 89 页 2013年9月 14. 如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角a＝30°，测得点C的俯角b＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（结果保留根号） （第13题） （第14题） 四、学习小结 五、布置作业 习题：15，16，17； 数学 备课组集体备课 课 时 教 案 学年第 一 学期 学科 备课组员 课题 数学 年级 §26.1 概率的预测—1.什么是概率（1） 初三 备课主笔 课时 课型 第 1 课时 新授课 1． 理解概率的含义及概率的取值范围； 教学2． 用实验的方法分析随机事件的概率； 目的 3． 会用数学语言表示概率。 教学重点： 会分析实验结果，会用概率表示实验结果。 重点难点 难点： 概率值的正确含义 教学方法实验、自主探索 手段 第 80 页 共 89 页 2013年9月 教 学 过 程 设 计 一、复习引入 1． 事件 教学反思 确定的事件 不必 可然能 事事件 件 2． 3． 4． 不确定的事件 公平的游戏 机会的均等与不等 不公平的游戏 频率会趋于稳定 用平稳时的频率估计机会的大小（约等于概率） 称那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定 会发生的事件为必然事件（Certain Event），称那些在每一次实 验中都一定不会发生的事件为不可能事件（Impossible Event）， 这两种事件在实验中是否发生都是我们能够预先确定的，所以统 称为确定事件。 像这样无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件，我们称它 们为不确定事件或随机事件（Chance Event）。 在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的5个红球、3 个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了。请判断下面哪 些是不可能事件，哪些是必然事件，哪些是随机事件，并说明理教学反由。 思 第 81 页 共 89 页 2013年9月 教 学 过 程 设 计 从口袋中任意取出1个球，是一个白球； 从口袋中一次任意取出5个球，全是蓝球； 从口袋中一次任意取出5个球，只是蓝球和白球，没有红球； 从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了； e) 从口袋中一次任意取出9个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了； 分析：有底纹字句的作用是什么？（说明机会均等） 答案：（随机事件）（不可能事件）（随机事件）（随机事件）（必然事件） 二、新课讲解 1． 给5分钟学生默读课文P106-107“问题1”之前。然后提问以下三个问题，让学生尝试找出答案。 （1）概率的概念：表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率（probability）。 （2）概率的表示方法：P（关注的结果）=数（这个数在0与1之间） （3）求概率值的方法：a.通过重复实验、观察频率的稳定值；b.通过分析可能发生的结果，计算出来：关注的结果发生的个数÷所有机会均等的结果发生的个数 2． 表26．1．1做过的几个实验及其实验结果 实验 抛掷一枚硬币 抛掷两枚硬币 关注的结果 正面 两个正面 频率稳定值 0．5左右 0．25左右 所有机会均等的结果 正面；反面 两个正面；两个反面；先正后反；先反后正 关注结果发生的概率 a) b) c) d) 1 21 4投掷一枚四面体骰子 投掷一枚六面体骰子 从一副没有大小王的扑克牌中随机地抽一张 掷得“4” 0．25左右 数字：“1”；1 “2”；“3”；4“4” 掷得“6” 黑桃 0．167左右 0．25左右 3． 指导学生分析“所有机会均等的结果”，完成表26.1.1的第四列填空。 4． 指导学生计算概率，完成表26.1.1的第五列填空，并对比第三列的对应值。 5． 重点分析第三行：关注的结果个数为 1 ，所有机会均等的结果个数为 4 ，而不要错误理解“两个正面”为结果个数是 2 ，错误理解“两个正面；两个反面；先正后反；先反后正”为结果个数是 6 。第 82 页 共 89 页 2013年9月 “一正一反”的说法包括“先正后反”和“先反后正”两个结果。 6． 重点分析第四行：关注的结果个数为 1 ，所有机会均等的结果个数为 4 ，而不要错误理解“掷得‘4’”为结果个数是 4 ，“4”是一个事件而不是结果的个数。 7． P（掷得“6”）＝ 概率值的解释 1． 掷得“6”的概率等于11，读作： 掷得“6”的概率等于。 661表示什么意思？让学生充分讨论。 62． 学生讨论后，把学生的主要意见板书于黑板，然后让学生做投掷骰子实验，一旦掷到“6”，就算完成了1次实验。每位学生做一次，然后把结果记录下来，模仿表16.1.2做好实验记录。（实验在课前完成） 3． 把全班学生的实验结果汇总到一张表上，然后计算实验的平均值，看看平均几次才有1次掷得“6”？ 4． 对比实验结果，公布概率的正确含义，并分析学生先前的意见。 5． 掷得“6”的概率等于1表示：如果掷很多很多次的话，那么平均6每6次有1次掷出“6”．注意前提是：掷很多很多次，也就是说，实验的次数要足够多，要重复实验取稳定频率。在回答这类问题时，必须加上这句话，否则表达就不够准确。 6． 思考 1． ）已知掷得“6”的概率等于1，那么不是“6”（也就是1~5）61也表示： 如果重复投6的概率等于多少呢？这个概率值又表示什么意思？ 2． ）我们知道，掷得“6”的概率等于掷骰子很多很多次的话，那么实验中掷得“6”的频率会逐渐稳1附近．这与“平均每6次有1次掷出‘6’”互相矛盾吗？ 65 答案：1）P（不是“6”）=，这个概率值表示：如果掷很多很多次6定到的话，那么平均每6次有5次掷得不是“6”． 2）不矛盾，这两种说法是一回事。 三、巩固练习 P114，习题26.1： 你同意以下说法吗？请说明理由． （1） “从布袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思就是： 肯定会取出一只红球，因为概率已经很大了； （2） “从布袋中取出一只红球的概率是0”，这句话的意思就是： 取出一只红球的可能性很小； （3） 布袋中有红、白、黑三种颜色的球，这些球除颜色外没有任何其他区别．因为我对取出一只红球没有把握，所以我就说“从布袋中取出一只红球的概率是50%”； 第 83 页 共 89 页 2013年9月 （4） “从布袋中取出一只红球的概率是0．1%”，这句话的意思就是说话的人认为一定取不到红球 P109，练习：投掷一个均匀的正八面体骰子，每个面上依次标有1、2、3、4、5、6、7和8． （1） 掷得“7”的概率等于多少？这个数表示什么意思？ （2） 掷得的数不是“7”的概率等于多少？这个数表示什么意思？ （3） 掷得的数小于或等于“6”的概率等于多少？这个数表示什么意思？ 四、小结 1． 事件分为确定事件与不确定事件（随机事件），概率一般研究随机事件。确定事件的概率已经很明确，P（必然事件）=1，P（不可能事件）=0。0 < P（随机事件）< 1。 2． 会分析关注的结果以及所有机会均等的结果； 3． 会表达概率值的含义。 作业布置 完成《同步导学》P87：基础训练1 1．什么是概率 概率： 概率的表示： 求概率值的方法： 概率值的含义： 实验分析过程 概率含义分析过程 投影：实验结果表格 草稿 板书设计 备课组长签名 教导处检查盖章 数学 备课组集体备课 课 时 教 案 学年第 一 学期 学科 数学 年级 初三 备课主笔 第 84 页 共 89 页 2013年9月 备课组员 课题 §26.1.1 什么是概率（2） 课时 课型 第 2、3 课时 新授课 1. 会预测较简单的问题的概率； 教学2. 能规范求概率的书写格式； 目的 3. 弄清楚部分与整体的比例及预测对象。 教学重点： 会用预测的方法解简单的概率问题。 重点难点 难点： 放回抽取与不放回抽取 教学方法讲解、讨论 手段 教 学 过 程 设 计 一、情境导入 初二上学期末我们初二级教师组织了一次活动，其中有一个环节是抽奖。其中一等奖两名，二等奖三名，三等奖四名。开奖结果是：中奖的全是女老师。男体育老师有点不服气地说：“有没有搞错，全是女老师中奖，到底有没有把男老师的名字卡片放进去的啊？”主持人把剩下没中奖的名字卡片拿起来一看：里面的确有全部男老师的名字卡片和几位没中奖的女老师的名字卡片，而且卡片都一样大小，没有任何标记。也就是说，这次抽奖是公平游戏。同学们，你们能为男体育老师解疑惑吗？ 原来啊，初二上学期末我们初二级教师中只有4名男老师，有14位女老师。同学们想到答案了吗？学习了本节课，你们就更明白啦。 二、例题讲解 例1 班级里有20个女同学，22个男同学，班上每个同学的名字都各自写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀．如果老师闭上眼睛随便从盒中取出一张纸条，那么抽到男同学名字的概率大还是抽到女同学名字的概率大？ 分析 全班42个学生名字被抽到的机会是均等的． 解 教学反思 教学反思 2211＝， 4221201011P（抽到女同学名字）＝＝＜， 422121P（抽到男同学名字）＝所以抽到男同学名字的概率大． 现在，会解决体育教师的疑惑了吗？ 第 85 页 共 89 页 2013年9月 教 学 过 程 设 计 42 P（抽到男老师名字）＝＝， 1891472 P（抽到女老师名字）＝＝>， 1899所以抽到女老师名字的概率大． 思考 11 1． 抽到男同学名字的概率是表示什么意思？ 212． P（抽到女同学名字）＋P（抽到男同学名字）＝100%吗？如果改变男 女生的人数，这个关系还成立吗？ 3． 下面两种说法你同意吗？如果不同意，想一想可以采用哪些办法来说 服这些同学． 1 （1） 有同学说： 抽到男同学名字的概率应该是，因为“抽到男 2同学名字”与“抽到女同学名字”这两个结果发生的机会相同． （2） 有同学说： 虽然抽到男同学名字的概率略大，但是，只抽一 张纸条的话，概率实际上还是一样大的． 关键： 1． ）弄清所关注的结果在所有机会均等的结果中占了多在的比例。 2． ）用“部分与全部之比”来表示概率。 例2 一只口袋中放着8只红球和16只黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．袋中的球已经搅匀．蒙上眼睛从口袋中取一只球，取出黑球与红球的概率分别是多少？ 解 P（取出黑球）＝解：全初二级18位老师的名字被抽到的机会是均等的。 162＝， 2431， 381还可以这样求：P（取出红球）＝＝ 24321所以，取出黑球的概率是，取出红球的概率是． 33P（取出红球）＝1－P（取出黑球）＝如果所有机会均等的结果中存在对立的关系，即事件A与事件B对立，那么，P（A）=1-P（B）。 放回抽取：如果第一次抽到黑球后放回袋中，再继续抽第二个球，第二个球抽到是黑球的概率是多少？ 不放回抽取：如果第一次抽到黑球后放在桌子上，再从余下的球中抽第二个球，第二个球抽到是黑球的概率是多少？ 例3 甲袋中放着22只红球和8只黑球，乙袋中则放着200只红球、80只黑球和10只白球，这三种球除了颜色以外没有任何其他区别．两袋中的球都已经各自搅匀．蒙上眼睛从口袋中取1只球，如果你想取出1只黑球，你选哪个口袋成功的机会大呢？ 第 86 页 共 89 页 2013年9月 思考 小明认为选甲袋好，因为里面的球比较少，容易取到黑球；小红认为选乙袋好，因为里面的球比较多，成功的机会也比较大；小丽则认为都一样，因为只摸1次，谁也无法预测会取出什么颜色的球． 你觉得他们说得有道理吗？ 解 在甲袋中，P（取出黑球）＝48＝， 30158808在乙袋中，P（取出黑球）＝＝＞， 2902930所以，选乙袋成功的机会大． 三、巩固练习 P111，练习 四、小结 1． 求概率值的两种方法：a.通过大量重复实验，通过观察到的频率来估计概率（无法预测，实验之后才知道）；b.用部分与全部之比表示概率（可预测，在实验之前知道） 2． 弄清关注结果（部分）与所有机会均等的结果（全部）。 3． 不要混淆预测对象，一次的实验结果是无法预测的，而是每个结果在实验中的频繁程度可以预测，或者说每个结果在每次实验中发生的概率是可以预测的。 作业布置 P115，2，3 预测概率 1． 用部分与整体之比表示 概率； 解题过程 2． 对立事件：P（A）=1-P（B） 3． 放回抽取与不放回抽取 分析 草稿 板书设计 备课组长签名 教导处检查盖章 数学 备课组集体备课 课 时 教 案 学年第 一 学期 学科 数学 年级 初三 备课主笔 第 87 页 共 89 页 2013年9月 备课组员 课题 1. 教学2. 目的 3. 4. §26.2.1用替代物做模拟实验 课时 课型 第 1-2 课时 新授课 会找替代物做模拟实验； 寻找替代物时会抓住替代物与原物的“同一性”； 能保持实验操作的一致性，避免影响实验结果； 培养学生的想象力和逻辑思维能力。 教学重点： 找替代物做模拟实验 重点难点 难点： 如何寻找合适的替代物 教学方法探索、讨论 手段 教 学 过 程 设 计 （1） 一、问题导入 （1） 在“抛掷一枚均匀硬币”的实验中，如果没有硬币，该怎么办？ （2） 在“投掷一颗均匀骰子”的实验中，如果没有骰子，该怎么办？ （3） 抽屉里有尺码相同的3双黑袜子和1双白袜子，混放在一起，在夜晚不开灯的情况下，你随意拿出2只，怎样用实验估计它们恰好是一双的概率？你打算如何进行实验？如果手边没有袜子应该怎么办？ 二、探索 请把你能想到的替代物填入表26．2．1中． 问题中的实物 模拟实验中的替代物 1 2 3 4 教学反思 教学反思 两张扑克， “黑桃”代一枚均匀硬币 表“正面”， “红桃”代表“反面”． 一颗均匀骰子 3双黑袜子 1双白袜子 （2） （3） 要分析学生的替代物是否合适。 思考 第 88 页 共 89 页 2013年9月 教 学 过 程 设 计 作业布置 假设用小球模拟问题1中的问题（3）的实验过程，用6个黑球代替3双黑袜子，用2个白球代替1双白袜子． （1） 有一次摸出了2个白球，但之后一直忘了把它们放回去，这会影响实验结果吗？（会影响实验结果，因为实验要重复好多次得出的稳定比值才是概率，此实验属放回实验，如果忘记把2个白球放时去，变成了不放回实验，改变了所有机会均等的结果。） （2） 如果不小心把颜色弄错了，用了2个黑球和6个白球进行实验，结果又会怎样？（关注的结果的概率相同，因为关注的结果是“一对”，没有说明是一对白还是一对黑。） 点拔：合适的替代物要与原物有同一性：关注结果个数同相，所有机会均等的结果个数相同。 三、巩固练习 在下列实验中，如果没有相应的实物，该怎么办？尽可能多地说说你的方法． （1） “抛掷两枚均匀硬币”的实验； （2） “投掷两颗均匀骰子”的实验． 四、小结 1． 会用替代物做模拟实验； 2． 寻找替代物时要抓住“同一性”； 3． 操作过程必须一致，否则影响实验结果。 同步导学相应练习。 §26.2.1用替代物做模拟实验 1． 替代物的“同一性”： 2． 操作过程必须一致。 分析过程 投影 表格 板书设计 备课组长签名 教导处检查盖章 第 89 页 共 89 页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容