金融工程老师划题目的部分答案
1.1请解释远期多头与远期空头的区别。
答：远期多头指交易者协定将来以某一确定价格购入某种资产；远期空头指交易者协定将来以某一确定价格售出某种资产。
1.2请详细解释套期保值、投机与套利的区别。 答：套期保值指交易者采取一定的措施补偿资产的风险暴露；投机不对风险暴露进行补偿，是一种“赌博行为”；套利是采取两种或更多方式锁定利润。
1.8你认为某种股票的价格将要上升。现在该股票价格为$29,3个月期的执行价格为$30的看跌期权的价格为$2.90.你有$5,800资金可以投资。现有两种策略：直接购买股票或投资于期权，请问各自潜在的收益或损失为多少？
答：股票价格低于$29时，购买股票和期权都将损失，前者损失为($5,800/$29)×(29-p),后者损失为$5，800;当股票价格为（29，30），购买股票收益为($5,800/$29)×(p-29),购买期权损失为 $5,800;当股票价格高于$30时，购买股票收益为($5,800/$29)×(p-29)，购买期权收益为$($5,800/$29)×(p-30)-5,800。
2.1请说明未平仓合约数与交易量的区别。 答：未平仓合约数既可以指某一特定时间里多头合约总数，也可以指空头合约总数，而交易量是指在某一特定时间里交易的总和约数。
3.1一家银行给你的报价如下:年利率14％，按季度计复利。问：(a)等价的连续复利利率为多少？(b)按
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年计复利的利率为多少？
解：(a)等价的连续复利为 4ln(1+0.14/4) ＝0.1376 或每年13.76％。
（b）按年计复利的利率为 (1+0.14/4)^4＝0.1475 或每年14.75%。
3.4一种股票指数现为350。无风险年利率为8％（连续复利计息）。指数的红利收益为每年4％。一份四个月期限的期货合约价格为多少？ 解：期货合约价格为 350e^( 0.08-0.04 )＝$354.7
3.8一人现在投资$1,000，一年后收回$1,100，当按以下方式计息时，年收益为多少？ (a)按年计复利 (b)以半年计复利 (c)以月计复利 (d)连续复利
解：（a）按年计复利时收益为 1100/1000－1＝0.1 或每年10%的收益率。
（b）半年计复利的收益率为 1000(1+R/2)＝1100 i.e. 1+2/R=率为9.76%。
=1.0488 所以=0.0976,年收益
(c)以月计复利的为 1000(1+R/12)^12＝1000 i.e. (1+R/12)=1.00797 所以＝0.0957,年收益率为9.57%。
（d） 连续复利为 1000e^R=1100 所以R＝ln1.1=0.0953，即年收益率为9.53%。
3.16瑞士和美国按连续复利计息的两个月期的年利率分别为3％和8％。瑞士法郎即期价格为$0.6500。两个月后交割的合约的期货价格为$0.6600。问存在怎样的套利机会？
解：理论期货价格为 0.65e^0.1667(0.08-0.03)＝0.6554 实际期货价格高估。套利者可以通过借入美元买入瑞士法郎同时卖出瑞士法朗期货合约来套利。
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3.17银的现价为每盎司$9。储存费用为每盎司每年$0.24,每季度支付一次而且要预先支付，假设所有期限的利率均为每年 10％(连续复利计息)，计算九个月到期的银的期货价格？
解：九个月的储存费用为0.06+0.06e^(-0.25*0.1)+0.06e^(-0.5*0.1)=0.176所以期货的价格F0 为(9.000+0.176)e^0.1*0.75=9.89
3.24一种股票预计在两个月后会每股支付$1红利，五个月后再支付一次。股票价格为$50,无风险年利率为8%(对任何到期日连续复利计息)。一位投资者刚刚持有这种股票的六个月远期合约的空头头寸。
解：利用等式（3.7）,六个月的远期合约价格为 150 e^(0.070.032)*0.5=152.88
3.25一家银行让一家公司客户从以下两种方案中选择：按11％的年利率借现金或按2%的年利率借黄金，（如果借黄金，利息及本金要用黄金支付。因此今天借100盎司黄金一年后要支付102盎司的黄金） 。无风险年利率为9.25%,储存费用为每年0.5%。请分析黄金贷款的年利率与现金贷款的年利率相比是太高了还是太低了？其中两个贷款的利率都用年复利表示。无风险利率和储存成本用连续复利表示。
解：黄金年利率为 （102－100）/100=0.02 由式In(1+0.02)=0.0198<<(9.25+0.5)=9.75
3.3得，连续复利为
因此，黄金贷款年利率与现金贷款的年利率相比是太低了。
5.1解：由公式 F=(R2*T2-R1*T1)/(T2-T1)
得： 第二年远期利率 =7.0％ 第三年远期利率＝6.6％ 第四年远期利率 ＝6.4% 第五年远期利率 ＝6.5%
5.2解：当利率期限结构向上时，远期利率>零息票利率>附息票债券利率，即 c>a>b; 当利率期限结构
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向下时，相反：b>a>c.
5.3解：考虑面值为＄100 的债券，它的价格是对各期现金流的现值和，贴现率既可选择债券的收益率，也可选择各期的即期利率。这里已知债券的年收益率为 10.4％，半年为 5.2％，用它作为贴现率计算价格： 4/1.052+4/1.052^2+4/1.052^3=96.74得到价格后，又可转而计算即期利率，已知半年和一年的即期利率为 10%,设 18 个月的即期利率为 R，则： 4/1.05+4/1.05^2+4/(1+R/2)^3=96.74解得 R＝10.42％。
5.5解：因为短期国债报价＝360/90*（100-现金价格）＝10 解得该短期国债的现金价格为 97.5。
按连续复利计算的 90 天收益率为：365/90*㏑（1+2.5/97.5）＝10.27％。
6.1解：公司 A 在固定利率借款上有比较优势而需要浮动利率借款，公司 B 在浮动利率借款上有比较优势而需要固定利率借款，因此，存在互换的基础。固定利率的差值为 1.4％，浮动利率的差值为 0.5％，因此总的获利为 0.9％。已知金融机构获利 0.1％，则公司 A、B 各获利 0.4％。则公司 A 实际上以 LIBOR－0.3％借浮动借款，公司实际上 B 以 13.0％借固定利率借款。互换如下图所示：
6.8 解：公司 X 的比较优势在浮动利率投资，而需要的是固定利率投资；公司 Y 的比较优势在固定利率投资，而需要的是浮动利率投资，因此存在互换的基础。固定利率差为 0.8％，浮动利率差为 0，因此互换总的获利为 0.8％。已知银行获利 0.2％，则两公司各获利 0.3％。即公司 X实际上以 8.3％的固定利率投资，Y 实际上以 LIBOR+0.3％的浮动利率投资。互换安排如下图：
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6.11
8.10一个期限为 4 个月的无红利支付股票的欧式看涨期权现价为$5，股票价格为$64，执行价格为$60，1个月后发红利$0.08。对所有期限的无风险年利率为 12％。对套利者而言存在什么样的机会。
解：执行价格现值为 60e^0.3333*0.12=57.65，红利现值为0.8e^(-0.00833*0.12)=0.79。因为，5<64-57.65，所以，应买看涨期权的同时卖空股票，则无论如何，均将获利。 1）如果股价降到低于$60，套利者将在期权损失$5，但从空头股票上至少可获得64-57.65-0.79=5.56（现值）利润。 2）如果到期日股价高于$60，套利者可获 5.56－5.00＝$0.56(现值)利润。
9.19三种同一股票看跌期权有相同的到期日。执行价格为$55、$60和$65，市场价格分别为$3、$5 和
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$8。解释如何构造蝶式价差期权。做出表格说明这种策略带来的赢利性。请问：股票价格在什么范围时，蝶式价差期权将导致损失呢？ 解：蝶式价差期权可通过分别买入 1 份执行价格为$55 和$65，同时卖空 2 份执
行价格为$60 的看跌期权构造。其收益状况如下：
股价 蝶式价差期权损益
St >=65 －1
60< = St <65 64－
55<= St <60 －56
St <55 －1 所以，当 St>64 或St <56 时，蝶式价差期权将导致损失。
9.21有如下四种有价证券组合。画出简图说明投资者收益和损失随最终股票价格的变化情况。 (a)一份股票和一份看涨期权的空头 (b)两份股票和一份看涨期权的空头 (c)一份股票和两份看涨期权的空头 (d)一份股票和四份看涨期权的空头 每种情况中，假设看涨期权的执行价格等于目前股票价格。
解：(a)该组合等价于一份固定收益债券多头，其损益V =St+C ，不随股票价格变化。（V为组合损益，C为期权费，下同）如图8.2：
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(b)该组合等价于一份股票多头与一份固定收益债券多头， 其损益为V=St+C，与股价同向同幅度变动。（为最终股票价格，下同）如图 8.3
(c)该组合等价于一份固定收益债券多头与一份看涨期权空头，其损益为V=2C-max（St-S0，0），与股价变动方向相反。 （ 为期权执行价格，即股票目前价格，下同）如图 8.4
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(d)该组合等价于一份固定收益债券多头与三份看涨期权空头，其损益为V=4C-3max(St-S0,0) 与股价变动方向相反。如图 8.5
10.1 股票现价为$40。已知在一个月后股价为$42 或$38。无风险年利率为 8％（连续复利）。执行价格为$39 的 1 个月期欧式看涨期权的价值为多少？
解：考虑一资产组合：卖空 1 份看涨期权；买入 Δ 份股票。
若股价为$42，组合价值则为 42Δ－3；若股价为$38，组合价值则为 38Δ
当 42Δ－3＝38Δ，即 Δ＝0.75 时，
组合价值在任何情况下均为$28.5，其现值为： ， 28.5 e^(-0.08*0.08333)= 28.31
即：－f＋40Δ＝28.31 其中 f为看涨期权价格。 所以，f＝40×0.75－28.31＝$1.69
10.13某个股票的现价为$25。已知2 个月后，股价会变为$23 或$27。无风险年利率为 10％（连续复利）。设为 2 个月后的股票价格。在这时收益为的衍生证券的价值为多少？
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解：2 个月后，衍生证券的价值将为 529（当股价为$23 时）或 729（当股价为$27 时）。考虑如下资产组合：
＋Δ 份股票
－1 份衍生证券
2 个月后，该资产组合的价值将为 23Δ－529 或 27Δ－729。当 23Δ－529＝27Δ－729，即 Δ＝50 时，
无论股价如何变化，该资产组合价值均将为$621；此时组合的 Δ 值是无风险的。组合的现值为： 50×25－f 其中f 是衍生资产的价值。因为该资产组合是无风险的，则有： (50*25-f)e^0.10*0.16667=621即: f =639.3 此外，也可直接利用公式（9.2）及（9.3）计算。由题意可得，U=1.08,a=0.92
则有：p=（e^0.10*0.16667-0.92）/(1.08-.92)=0.6050
得： f= e^(-0.10*1.6667)* (0.6050*729+0.3950*529)=639.3
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