九章算术与几何原本思想方法特点和意义的比较

一、思想方法特点

《九章算术》 内容极为丰富， 是从春秋至秦汉千年时间内社会生 产发展过程中各方面积累的数学知识的总汇集。 全书 246 题，包含有 方田、黍米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章， 基本上包含当时所有数学分支的内容， 涉及了相当多的社会问题， 举 凡算术、代数、 几何以及某些数论知识全包括在内，近乎是那个时代 的数学百科全书。 其中算术和代数水平最高， 几何方面的水平也不低， 特别是有些复杂的体积计算法则是《几何原本》中所没有的，如对一 些楔形体体积的计算。但在数论方面水平不如《几何原本》高，不过 内容也有涉及《几何原本》主要讲几何问题，但其中七、八、九三卷 讲数论问题， 如求两数的最大公约数的方法、 素数的个数为无限的证 法等。此外也讲到了比例理论、正方形的对角线和一边不可公度等。 值得一提的是，在《九章算术》中，几何方面也颇有建树，但其解决 方法与《几何原本》的截然不同。前者是几何代数化，即用计算的方 式解决几何方面的问题， 这或许就是代数法解几何问题的先例， 笔者 以为这一点对笛卡尔创建解析几何或许产生了一定的影响， 或是不同 文化背景下的殊途同归； 后者是代数几何化， 其中的数论题都是通过 严格的逻辑得以解决， 几何问题更是如此。 整体上看，两书各有长短。 《九章算术》以实用性、计算性和丰富性优于《几何原本》 ，而《几 何原本》则以几何、数论和逻辑性超过《九章算术》 。《九章算术》与

《几何原本》互为长短。这既是两书的特点，也大体代表了古代东西 方数学的

特色。

二、意义

1. 数学教育观

数学教育观是对数学教育整体的、 系统化的看法， 分为数学观和 教育观。其中数学观又有动态和静态之分，教育观也是如此。动态的 数学观认为数学是一项人类活动， 是一个有内部联系的、 动态发展的 学科；静态的数学观认为数学是定理、公式的静态积累，是一个永恒 不变的学科； 动态的教育观认为学生不是空着脑袋进教室的， 教学活 动的开展要建直在学生原有认知发展水平及已有知识经验基础之上， 学生主体，教师主导，笔者认为，这实际 L 是建构主义教育观；静态 的教育观认为教学活动是一种程序化的过程即概念一定理一例题一 练习，学生被动地接受教师传授的知识，是一种传统的教育观。执此 以 19 世纪以前的中同的数学教育观，其深受《九章算术》的影响， 认为数学是来源于生活实际并服务于生产发展的， 具有浓厚的实用及 功利色彩。《九章算术》虽然逻辑性不强，但是其内容丰富，结构严 谨，层次分明，各数学知识之间紧密联系。从隋时期，一直为我国学 生学习数学的教材之一。 学生学习数学是为解决生活实际中碰到的问 题，学生能将所学知识运用到实践中去， 数学教育实际上成为一种技 术教育， 在调动学生的积极性方面表现一定的作用， 因而此时的数学 教育呈现出动态的数学教育观。然而，到了 19 世纪，《几何原本》开 始传人我国， 并在相当长的时间里占据我国课堂， 我们开始接触片逐 渐深入学习演绎式的数学知识体系， 《九章算术》动态式的数学教育 观被逐渐淡化，以至于在学习《几何原本》时，过分地追求形式化，

忽视数学内在的本质，只是将现成的公式、定理等灌输给学生，致使 大多学生、教师认为数学是一些公式、定理等的堆积，数学是一成小 变的，静态的数学教育观慢慢地占据了统治地位。所以，笔者认为， 我们应该树立动态的数学教育观，但这并非意味着简单回归 19 世纪 以前的数学教育， 而是对其进行理性地超越。 我们不仅要认识到数学 源于现实，更要认识到数学并非是从现实中提炼的数学知识的简单积 累，而是一个内部联系紧密， 逻辑性很强的学科。 所以在教学数学时， 我们应该教授学生有联系的数学， 应该从数学与它所依附的学生亲身 体验的现实之间寻找这种联系，实现基于学生现实情境的数学化。

2. 数学教育目的 基于以上对两书的分析，我们不难看出《九章算术》注重

数学与 数学以外的世界的联系， 折射出的中国古代数学教育注重现实性及功 利性，注重数学教育与生产实践的紧密结合， 注重培养学生应具备的 数学解决实际问题的意识和能力， 彰显数学服务于实践的本质。 这种 数学教育是一种实用技术育， 虽有利于数学与实践的紧密联系， 但却 阻碍自然科学在古代中同的发展， 理性精神也因此没有发展起来。《几 何原本》极度关注数学内部的逻辑结构， 具有高度的严密性和抽象性， 由此而反映出的占希腊数学教育注重培养学生思维的逻辑性、 严密性 和表达方式的简洁性； 培养学生善于用数学的眼光看问题、 抽象问题； 将数学与哲学联系起来，通过数学理解世界的本质。受《几何原本》 的影响， 19 世纪以来，我国的数学教育由注重实用性转向过多地强 调空间想象能力、 基本运算能力和逻辑推理能力的培养， 忽视了数学 应用意识和能力的培养。我们知道，对整个科学技术 （尤其是高新科 技）水平的推进与提高，对科技人才的培养和滋润，对经济建设的繁

荣，对全体人民的科学思维与文化素质的哺育， 数学都发挥着不可替 代的作朋。然而，数学教育有别于应用数学及基础数学等数学学科， 它不能像应用数学或基础数学那样对社会产生直接的效益。 对此，我 们的数学教育应该何为 《? 普通高中数学课程标准 （实验稿 ）》中指出“数 学教育在学校教育中占有特殊的地位， 它使学生掌握数学的基础知识、 基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实 事求足的态度、 锲而不舍的精神， 使学生学会用数学的思考方式解决 问题、认识世界”。显然，《九章算术》与《几何原本》的精神已渗透 其中，而且学生态度等非认知因素也得到了重视， 我国的数学教育逐 渐趋于完善。然而，笔者认为，在某些方面仍有不足之处。 《几何原 本》折射出的古希腊数学教育将数学与哲学联系起来， 通过数学理解 世界的本质。 我国的数学教育虽然提到了 “用数学的思考方式解决问 题、认识世界”，但充其量只是将数学当作认识和手段。德国哲学家 海德格尔曾说过“语言是存在的家” ，把语言从一种手段提升到一种 目的，实现了从手段论到本体论的飞跃。数学也是一种语言，不仅是 一种服务于生活实际的工具， 更应是立足于现实生活的一种存在， 笔 者认为在某种意义上数学语言是数学与哲学联系的桥梁。 基于此，笔 者认为， 我同的数学教育应该当作数学语言的使用， 但不能仅局限于 使用数学交流， 当然这也不是指对单个数学词语的理解和使用， 而是 通过数学教会一个人： 如何正确掌握数学的含义， 如何避免循环定义， 如何正确运用语言构造命题。

3. 数学教材

《九章算术》不仅是作为一部数学专著在长久的历史时期中成了 中国数

学家著书立说的典范， 而且在数学教育方面还是一部重要的教 科书。自我国隋唐时期数学教育制度建立以来， 《九章算术》就成为 国家统一审定的数学课程之一，并形成了以《九章算术》为中心的古 代数学课程体系。 直到 19 世纪，《几何原本》作为传播初等几何的教 科书逐渐进入中同课堂，逐渐打破《九章算术》式的课程体系，致使 我国的数学课程过分地追求形式化， 忽视数学内在的本质， 使数学与 实际问题相脱节。 值得一提的是， 多次数学课程改荸都在平面几何方 面大做文章，曾认为关于几何知识的实用价值不大而建议削弱甚至取 消几何课程。 几何是集知识形态与理性思维于一身的， 所以几何课程 是不可能被取消的， 只能是从处理方式上加以完善， 以适合中小学的 教学。我们已经意识到这种数学课程的缺陷， 并由此进行一轮又一轮 的课程改革。 数学课程改革是一个循序渐进的过程， 我们要避免一刀 切。在教材的编写上，一方面我们要借签《几何原本》的逻辑体系， 以其彰显数学内部的逻辑结构，揭示数学知识的本质；另一方面，我 们应该反思本土文化，认真解读《九章算术》的编写精神，把数学与 现实生活有机地联系起来， 这并非是将数学简单地同归现实生活， 而 是超越、引导现实生活， 结合学生的心理特点以及各数学知识之间的

联系，某些数学内容要适时地、有选择性地反映数学知识发生、发展 的过程，通过观察、分析、归纳、最终概括出抽象的结论，正确把握 教材中形式化与非形式化的辩证关系。 不管是作为教材的《九章算术》， 还是作为传播初等几何教科书的 《几何原本》，其本身都是不完全的， 是有缺陷的，但绝非是过时的。我们应该对其认真分析，相互借鉴， 取其成功之处， 来指导数学课程的改革。 正如各国数学教育不是孰优 孰劣的问题，而是相互借鉴，取长补短

的问题。只有这样，我们的数 学课程乃至数学教育才能立于不败之地。

4. 数学文化

《九章算术》 与《几何原本》的差异之所以如此之大， 笔者认为， 根本原因是由于中西方文化的不同， 尤其是传统文化的不同而形成的 数学文化的不同。 数学文化是在一定历史发展阶段， 由数学共同体在 从事数学实践活动过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。 物质 财富以物质形式存在，如数学教学的教具、数学实验设备等；精神财 富以精神形式存在，如数学思想方法、数学家的探索精神、理性精神 等。在精神财富层面上， 《九章算术》体现的是观察一实验一归纳一 分析一概括的数学研究方式， 形成了以归纳体系为主的数学思想方法 体系，这样势必形成技艺实用而非理性思辨的数学文化观念。 《几何 原本》呈现定义一公理一定理一例题的数学研究方式， 形成了数学知 识的演绎体系， 这就孕育了西方数学纯理性的特征。 在物质财富层面 上，由于中暇方在人类文明发展的进程中所创造的物质财富有一定的 相似性，有时由于技术条件的限制，出现的时间不同而已。鉴于此， 笔者认为，两书的差异主要体现在数学文化的精神层面。 《普通高巾 数学课程标准 （实验稿 ）》明确指出“数学是人类文化的重要组成部分， 数学课程中要体现数学的文化价值。 ”这说明对数学文化的重视已成 为数学教育作者的共识。 在新课程中也设有有关数学文化的选题及其 相关的要求和教学建议，增强数学文化教学的可操作性。然而，笔者 基于对《九章算术》与《几何原本》的比较，认为数学文化选题在内 容上比较单一，而且有所偏重，选题内容大多是西方数学的成就，很 少涉及我国在数学上的成就，如《九章算术》与《几何原本》几乎

是 同时代的数学典范，选题却只涉及《几何原本》及其公理化思想；平 面解析几何、微积分、非欧几何等都是西方数学的成就。鉴于此，笔 者认为，应该增加我国在数学上的成就以及我国一些数学家的精神和 思想，尤其是《九章算术》 及其归纳一概括思想。 此外，笔者还发现， 数学文化教学存在这样的现象： 只在教学过程中加入数学史的一些小 故事或在数学内容上硬加一些一般性的思想方法， 仅立足于学生学习 数学兴趣的提高。 教师对数学文化的教学自觉性不高。 数学教育应该 是数学文化的教育，数学不仅是学科，更是一种文化形态。数学文化 的学习是潜移默化、耳濡目染的过程。所以笔者认为，我们应该重视 教师自身的感染力量和示范作用， 教师应该引导学生尽力去体验和领 悟数学本身所具有的文化底蕴， 在过程中渗透数学思想方法、 数学意 识、数学精神等的教育，欣赏数学形式和实质的美，领略数学的无穷 魅力。

参考文献

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