最全正余弦定理题型归纳

正弦定理和余弦定理

一、题型归纳

<一>利用正余弦定理解三角形

【例1】在△ABC中，已知a=

【例2】设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b2+3c2-3a2=42bc .

3,b=

2,B=45°,求A、C和c.

2sin(A)sin(BC)44的(Ⅰ) 求sinA的值； (Ⅱ)求

1cos2A值.

π

【练习1】 (2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，

4则sin A＝________；a＝________.

cos B【练习2】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

cos C精彩文档

实用标准文案

＝－.

2a＋c(1)求角B的大小；

(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．

b<二>利用正余弦定理判断三角形的形状

【例3】1、在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，试判断△ABC的形状．

2、在△ABC中，在ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，bcosA＝acosB，则ABC三角形的形状为__________________

cosA

3、在△ABC中，在ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，若 cosBb＝ ， a

则ABC三角形的形状为___________________

2【练习】1、在△ABC中，cosAbc(a,b,c分别为角A,B,C的对边)，22c则△ABC的形状为( )

A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形

精彩文档

实用标准文案

22xxcosAcosB2sin2、已知关于x的方程

C0的两根之和等2于两根之积的一半，则ABC一定是（ ）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

22223、在△ABC中，(ab)sin(AB)(ab)sin(AB)，则△ABC的形状为__________

4、在△ABC中，若＝＝；则△ABC是( )．

cos Acos Bcos CA．直角三角形 C．钝角三角形

B．等边三角形 D．等腰直角三角形

abc<三>正余弦定理与三角形的面积

a,b,c分别为A,B,C的对边.如果2bac，【例4】△ABC中，

3B30°，△ABC的面积为，那么b2（ ）

32A、132 B、13 C、2 D、23

【练习】已知△ABC的周长为21，且sinAsinB2sinC． （1）求边AB的长； （2）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．

AB【例5】设O是锐角ABC的外心，若C75，且O16，OBC，COA的面积满足关系：SAOBSBOC3SCOA,求A

精彩文档

实用标准文案

【练习】已知O是锐角三角形ABC的外心，△BOC，△COA，△AOB的面积满足关系：

SAOBSBOC2SCOA

（1）推算tanAtanC是否为定值？说明理由；

（2）求证：tanA，tanB，tanC也满足关系：tanAtanC2tanB

<四>利用正余弦定理解决最值问题

【例6】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S32ab2c2 4（1）求角C的大小； （2）求sinA+sinB的最大值．

精彩文档

实用标准文案

【练习】1、已知锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且

tanB3ac；

a2c2b2B1求；

2求函数

f(

x)sxinB x0,2的最大值x12、设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosCcb.

2（1）求角A的大小；

（2）若a1，求ABC的周长l的取值范围.

<五>正余弦定理与向量的运算

【例

7】已知向量a(sixn,b1),1x(,3函c数os2,)f(x)(ab). a(1)求函数f(x)的最小正周期T;

(2)已知a、b、c分别为ABC内角A、B、C的对边, 其中A为锐

精彩文档

实用标准文案

角,a23,c4,且f(A)1,求A,b和ABC的面积S.

【练习】1、在ABC中，已知ABAC3BABC． （1）求证：tanB3tanA； （2）若cosC值．

2、在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos5，求A的5A25，25ABAC3．

（I）求ABC的面积； （II）若c1，求a的值．

精彩文档

实用标准文案

二、课后作业：

1、在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．

2222、在△ABC中，sinAsinBsinC2sinBsinC，则A等于（ ） A、60

B、45 C、120 D、135°

3、若(abc)(bc—a)=3bc，且sinA2sinBcosC, 那么ΔABC是_____________.

4、在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则取值范围为________

ACcosA的值等于______，AC的

35osC的值为_________ABC5、在ABC中，若sinA,cosB，则c513的形状为_____

6、ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA (1)求ABAC。 (2)若cb1，求a的值。

12。 13精彩文档