一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1. 下列函数中，y 关于 x 的二次函数是（
）
A．y=ax2+bx+c C．
B．y=x（x﹣1） D．y=（x﹣1）2﹣x2
【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论． 【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数； B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数； C、y=
不是二次函数；
D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数． 故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．
2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（
）
A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA
【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案． 【解答】解：∵∠C=90°，AC=2， ∴cosA= 故 AB=
=，
，
故选项 A，B 错误；
tanA= = ，
则 BC=2tanA，故选项 C 正确； 则选项 D 错误． 故选：C．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键．
3. 如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 的反向延长线上，下面比例
式中，不能判断 ED∥BC 的是（
）
A．
B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A．当
B. 当C. 当D. 当
时，能判断 ED∥BC；
时，能判断 ED∥BC； 时，不能判断 ED∥BC； 时，能判断 ED∥BC；
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边 （或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的
第三边．
4. 已知
，下列说法中，不正确的是（
）
A． C．
B．与方向相同 D．
【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：A、错误．应该是﹣5=； B、正确．因为C、正确．因为D、正确．因为故选：A．
【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量， 也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．
5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是边 AD 上的一点，射线 CF 和 BA 的延长
，所以与的方向相同； ，所以∥； ，所以||=5||；
线交于点 E，如果，那么的值是（ ）
D．
【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可． 【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中， ∴AE∥CD，
A． B． C．
∴△EAF∽△CDF， ∵∴∴
∵AF∥BC， ∴△EAF∽△EBC， ∴
=
，
，
， ，
故选：D．
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．
6. 如图，已知 AB 和 CD 是⊙O 的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点
M、N，BA、DC 的延长线交于点 P，联结 OP．下列四个说法中： ①
；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】如图连接 OB、OD，只要证明 Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌ Rt△OPN 即可解决问题． 【解答】解：如图连接 OB、OD；
∵AB=CD， ∴
=
，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD， ∴AM=MB，CN=ND， ∴BM=DN， ∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND， ∴OM=ON，故②正确， ∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确， ∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确， 故选：D．
【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7． 如 果 = ， 那么 = ．
【分析】利用比例的性质由 =得到 =，则可设 a=2t，b=3t，然后把 a=2t， b=3t 代入
中进行分式的运算即可．
【解答】解：∵=， ∴=， 设 a=2t，b=3t， ∴
=
=．
故答案为．
【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．
8．已知线段 a=4 厘米，b=9 厘米，线段 c 是 线段 a 和线段 b 的比例中项，线段 c 的长度等于 6
厘米．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以 c2=4×9，解得 c=±6（线段是正数，负值舍去）， ∴c=6cm， 故 答案为：6．
【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念， 属于中考常考题型． 9．化简：
= ﹣4 +7 ．
【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可
【解答】解：： 故答案为
；
=﹣4+6=﹣4+7，
【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．
10 .
在直角坐标系平面内，抛物线 y=3x2+2x 在对称轴的左侧部分是 下降 的 （填“上升”或“下降”）
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案． 【解答】解：
∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0， ∴抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的， 故答案为：下降．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．
11 .
二次函数 y=（x﹣1）2﹣3 的图象 与 y 轴的交点坐标是 （0，﹣2） ．
【分析】求自变量为 0 时的函数值即可得到二次函数的图象与 y 轴的交点坐标． 【解答】解：把 x=0 代入 y=（x﹣1）2﹣3 得 y=1﹣3=﹣2， 所以该二次函数的图象与 y 轴的交点坐标为（0，﹣2）， 故答案为（0，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在 y 轴上的点的横坐标为 0．
12 .将抛物线 y=2x2 平移，使顶点移动到点 P（﹣3，1）的位置，那么平移后所
得新抛物线的表达式是 y=2（x+3）2+1 ．
【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1． 故答案为：y=2（x+3）2+1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变， 故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
13 .在直角坐标平面内有一点 A（3，4），点 A 与原点 O 的连线与 x 轴的正半
轴夹角为α，那么角α的余弦值是 ．
【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解． 【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点 A（3，4）， ∴OA= ∴cosα= ． 故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．
14 .
=5，
如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别在边BC、AB 上，且∠ADE= ∠B，如果 DE：AD=2：5，BD=3，那么 AC=
， ．
【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵∠ADE=∠B， ∵∠EAD=∠DAB， ∴△AED∽△ABD， ∴即∴AB=
， ， ，
∵AB=AC， ∴AC=
，
，
故答案为：
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
15 .如图，某水库大坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 AD=6 米，坝高是 20 米，
背水坡 AB 的坡角为 30°，迎水坡 CD 的坡度为 1：2，那么坝底 BC 的长度等于 （46+20 ） 米（结果保留根号）
【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线 AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解 Rt△ABE、Rt△DCF 求得线段 BE、CF 的长，然后与
EF 相加即可求得 BC 的长．
【解答】解：如图，作 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点 E，F，则四边形 ADFE 是矩形．
由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2， 在 Rt△ABE 中，∵∠B=30°， ∴BE=
AE=20
米．
=，
在 Rt△CFD 中，∵∴CF=2DF=40 米， ∴BC=BE+EF+FC=20
+6+40=46+20（米）． ）
所以坝底 BC 的长度等于（46+20米． 故答案为（46+20
）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
16 .已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=
，CD⊥AB，垂足为点 D， 以点 D
为圆心作⊙D，使得点 A 在⊙D 外，且点 B 在⊙D 内．设⊙D 的半径为 r，那么 r 的取值范围是
．
【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，进而得出 CD 的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠ACB=90，AC=3，BC=
，
∴AB= ∵CD⊥AB， ∴CD=
．
=4．
∵AD•BD=CD2， 设 AD=x，BD=4﹣x． 解得 x=
∴点 A 在圆外，点 B 在圆内， r 的范围是故答案为：
， ．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
17 .如图，点 D 在△ABC 的边 BC 上，已知点 E、点 F 分别为△ABD 和△ADC 的重
心，如 果 BC=12，那么两个三角形重心之间的距离 EF 的长等于 4 ．
【分析】连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．
【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H， ∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心， ∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF， ∵BC=12，
∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6， ∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH， ∴△EAF∽△GAH， ∴
=
=，
∴EF=4， 故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍．
18 .如图，△ABC 中，AB=5，AC=6，将△ABC 翻折，使得点 A 落到边 BC 上的
点 A′处，折痕分别交边 AB、AC 于点 E，点 F，如果 A′F∥AB，那么 BE= ．
【分析】设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF ∽△BCA，可得
=
，即
=
，进而得到 BE=
．
【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE， ∵A'F∥AB， ∴∠AEF=∠A'FE， ∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
由折叠可得，AF=A'F，
设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x， ∵A'F∥AB， ∴△A'CF∽△BCA， ∴
=
，即， ，
．
=
，
解得 x=∴BE=
故答案为：
【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称， 折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（10 分）计算：
45°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案 ． 【解答】解：原式==
﹣
﹣ ×
= ．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关
键． 20 ．（10 分）已知一个二次函数的图象经过 A（0，﹣3），B（1，0），C（m， 2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点 C 的坐标． 【分析】设一般式 y=ax2+bx+c，把 A、B、D 点的坐标 代入得
，然
后 解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标． 【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c， 把 A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得
，解
得，
∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，
把 C（m，2m+3）代入得 2m2+m﹣3=2m+3，解得 m1=﹣，m2=2， ∴C 点坐标为（﹣，0）或（2，7）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
21．（10 分）如图，已知⊙O 经过△ABC 的顶点 A、B，交边 BC 于点 D，点
A 恰为
的中点，且 BD=8，AC=9，sinC= ，求⊙O 的半径．
【分析】如图，连接 OA．交 BC 于 H．首先证明 OA⊥BC，在 Rt△ACH 中， 求出 AH，设⊙O 的半径为 r，在 Rt△BOH 中，根据 BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；
【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．
∵点 A 为的中点，
∴OA⊥BD，BH=DH=4， ∴∠AHC=∠BHO=90°， ∵sinC== ∴AH=3，
设⊙O 的半径为 r，
在 Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2， ∴42+（r﹣3）2=r2， ∴r=
，
，AC=9，
∴⊙O 的半径为 ．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 22．（10 分）下面是一位同学的一道作图题： 已知线段 a、b、c（如图），求作线段 x，使 a：b=c：x
他的作法如下：
（1） （2） （3） （4）
、以点 O 为端点画射线 OM，ON． 、在 OM 上依次截取 OA=a，AB=b． 、在 ON 上截取 OC=c．
、联结 AC，过点 B 作 BD∥AC，交 ON 于点D．所
就是所求的线段 x．
以：线段 CD ①试将结论补完整
②这位同学作图的依据是 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例 ③如果 OA=4，AB=5，
．
，试用向量表示向量
【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；
②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得； ③先证△OAC∽△OBD 得
= ，即 BD= AC，从而知
=
=﹣
=﹣
．
【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x， 故答案为：CD；
②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；
故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；
③∵OA=4、AB=5，且 BD∥AC， ∴△OAC∽△OBD， ∴
=
，即=
，
∴BD=AC， ∴
=
=﹣
=﹣
．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．
23．（12 分）已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相 交于点E，AD=DC，
DC2=DE•DB，求证：
（1） △BCE∽△ADE； （2） AB•BC=BD•BE．
【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE． （2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA， 利用相似三角形的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵AD=DC， ∴∠DAC=∠DCA， ∵DC2=DE•DB， ∴
=
，∵∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BDC， ∴∠DCE=∠DBC， ∴∠DAE=∠EBC， ∵∠AED=∠BEC， ∴△BCE∽△ADE， （2）∵DC2=DE•DB，AD=DC ∴AD2=DE•DB，
同法可得△ADE∽△BDA， ∴∠DAE=∠ABD=∠EBC， ∵△BCE∽△ADE， ∴∠ADE=∠BCE， ∴△BCE∽△BDA，
∴ = ， ∴AB•BC=BD•BE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
24．（12 分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+2ax+c（其中 a、c 为常数，且 a＜0）与 x 轴交于点 A，它的坐标是（﹣3，0），与 y轴交于点 B，此抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4
（1） 求抛物线的表达式； （2） 求∠CAB 的正切值；
（3） 如果点 P 是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点 P 的坐标．
【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得 a 的值即可；
（2） 先求得 A、B、C 的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到 BC、AB、
AC 的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；
（3） 记抛物线与 x 轴的另一个交点为 D．先求得 D（1，0），然后再证明∠DBO=
∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠ CAO；当点 P 在 AB 的上时．过点 P 作 PE∥AO，过点 B 作 BF∥AO，则 PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则 tan∠EPB=，设 BE=t，则 PE=3t， P（﹣3t，3+t），将 P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得 t 的值，从而可得到点 P 的坐标．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为 x=﹣∵a＜0，
∴抛物线开口向下． 又∵抛物线与 x 轴有交点， ∴C 在 x 轴的上方，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．
设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，
∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．
（2） 将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=3，
=﹣1．
∴B（0，3）．
∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0）， ∴BC=
，AB=3
，AC=2
，
∴BC2+AB2=AC2， ∴∠ABC=90°． ∴tan∠CAB=
= ．
（3） 如图 1 所示：记抛物线与 x 轴的另一个交点为 D．
∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称， ∴D（1，0）． ∴tan∠DBO= ．
又∵由（2）可知：tan∠CAB=． ∴∠DBO=∠CAB． 又∵OB=OA=3， ∴∠BAO=∠ABO． ∴∠CAO=∠ABD．
∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO， ∴P （1，0）．
如图 2 所示：当点 P 在 AB 的上时．过点P 作 PE∥AO，过点 B 作 BF∥AO， 则 PE∥BF．
∵BF∥AO，
∴∠BAO=∠FBA． 又∵∠CAO=∠ABP， ∴∠PBF=∠
CAB． 又∵PE∥BF， ∴∠EPB=∠PBF， ∴∠EPB=∠CAB． ∴tan∠EPB= ．
设 BE=t，则 PE=3t，P（﹣3t，3+t）．
将 P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3 得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得 t=0（舍去）或 t=． ∴P（﹣，
）．
）．
综上所述，点 P 的坐标为 P（1，0）或 P（﹣，
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应 用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键． 25．（14 分）如图 1，∠BAC 的余切值为 2，AB=2
，点 D 是线段 AB 上的一
动点（点 D 不与点 A、B 重合），以点 D 为顶点的正方形 DEFG 的另两个顶点 E、F 都在射线 AC 上，且点 F 在点 E 的右侧，联结 BG，并延长 BG， 交射线 EC 于点 P．
（1） 点 D 在运动时， 下列的线段和角中， ④⑤ 是始终保持不变的量（填
序号）；
①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；
（2） 设正方形的边长为 x，线段 AP 的长为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，
并写出定义域；
（3） 如果△PFG 与△AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．
【分析】（1）作 BM⊥AC 于 M，交 DG 于 N，如图，利用三角函数的定义得到
=2，设 BM=t，则 AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2
）2，解得
t=2，即 BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，则 AE=2x，AF=3x，由于 tan∠GAF=
=，则可判断∠GAF 为定值；再利用 DG∥AP 得到∠BDG=
∠BAC，则可判断∠BDG 为定值；在 Rt△BMP 中，利用勾股定理和三角函数可判断 PB 在变化，∠BPM 在变化，PF 在变化；
（2） 易得四边形DEMN 为矩形，则 NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比
可得到 y 与 x 的关系式；
（3） 由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG 与△AFG 相似，且面积不相等，利用
相似比得到 PF=x，讨论：当点 P 在点 F 点右侧时，则 AP=
=
x，当点 P 在点 F 点左侧时，则 AP= x，所以
x，所以
= x，然后分
别解方程即可得到正方形的边长．
【解答】解：（1）作 BM⊥AC 于 M，交 DG 于 N，如图 ，在 Rt△ABM 中，∵cot∠BAC=设 BM=t，则 AM=2t， ∵AM2+BM2=AB2， ∴（2t）2+t2=（2
）2，解得 t=2，
=2，
∴BM=2，AM=4， 设正方形的边长为 x， 在 Rt△ADE 中，∵cot∠DAE=∴AE=2x， ∴AF=3x，
在 Rt△GAF 中，tan∠GAF=∴∠GAF 为 定值； ∵DG∥AP， ∴∠BDG=∠BAC， ∴∠BDG 为定值； 在 Rt△BMP 中，PB=而 PM 在变化，
∴PB 在变化，∠BPM 在变化， ∴PF 在变化，
所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量； 故答案为④⑤；
（2） 易得四边形 DEMN 为矩形，则 NM=DE=x，
=2，
== ，
，
∵DG∥AP， ∴△BDG∽△BAP， ∴即=∴y=
=
， ，
（1≤x＜2）
（3） ∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG 与△AFG 相似，且面积不相等，
∴=，即= ，
∴PF=x，
当点 P 在点 F 点右侧时，AP=∴
=
x，
x，
解得 x=，
当点 P 在点 F 点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x= x， ∴
=x，
解得 x=，
综上所 述，正方形的边长为或．
【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．
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