等差数列的相关公式(1)三个重要的公式
① 通项公式：递增数列：末项=⾸项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（）递减数列：末项=⾸项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学⽣明⽩ 末项其实就是⾸项加上(末项与⾸项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况⼊⼿．同时还可延伸出来这样⼀个有⽤的公式：n m a a n m d -=-?（），n m>（）
② 项数公式：项数=(末项-⾸项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =
-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有⼀种配组的⽅法，其中运⽤的思想我们是常常⽤到的．譬如：找找下⾯数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，
分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，
那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后⼀组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组⽅法．
③ 求和公式：和=(⾸项+末项)?项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个⽅⾯⼊⼿： (思路1) 1239899100++++++
11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）
101505050=?= (思路2)这道题⽬，还可以这样理解：知识点拨等差数列计算题
23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001=+?÷==
(2) 中项定理：对于任意⼀个项数为奇数的等差数列，中间⼀项的值等于所有项的平均数，也等于⾸项与末项和的⼀半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+?÷=?=（），
题中的等差数列有9项，中间⼀项即第5项的值是20，⽽和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=（），
题中的等差数列有33项，中间⼀项即第17项的值是33，⽽和恰等于3333?．
【例 1】 ⽤等差数列的求和公式会计算下⾯各题吗？⑴3456767778+++++++= ⑵13578799++++++=⑶471013404346+++++++=
【考点】等差数列计算题 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 ⑴根据例1的结果知：算式中的等差数列⼀共有76项，所以：34567677783787623078+++++++=+?÷=（）
⑵算式中的等差数列⼀共有50项，所以：13578799(199)5022500++++++=+?÷= ⑶算式中的等差数列⼀共有15项，所以：471013404346446152375+++++++=+?÷=（）
【答案】⑴3078 ⑵2500 ⑶375
【巩固】 1+2+……+8+9+10+9+8+……+2+1=_____。
【考点】等差数列计算题 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，⼆试【解析】 1+2+3+…+n +…+3+2+1=n ×n ，所以原式=10×10=100 【答案】100【巩固】 1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少?
【考点】等差数列计算题 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，初赛【解析】 1986是这五个数的平均数，所以和＝1986×5＝9930。例题精讲【答案】9930
【巩固】 计算：110＋111＋112＋ (126)
【考点】等差数列计算题 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】⾛美杯，四年级，初赛 【解析】 原式(110126)1722006=+?÷= 【答案】2006【巩固】 计算下⾯结果．⑴481216
323++++++ ⑵65636153++++++⑶34599100+++++
【考点】等差数列计算题 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 根据刚刚学过的求项数以及求和公式，项数=(末项-⾸项)÷公差1+
等差数列的和=（⾸项＋末项）?项数2÷
⑴项数：
364419-÷+=（）； 和：43692180+?÷=（） ⑵项数：
6512133-÷+=（）；和：16533233331089+?÷=?=（） ⑶项数：
10031198-÷+=（）；和：31009825047+?÷=（） 【答案】⑴180 ⑵1089 ⑶5047【巩固】 ⽤等差数列的求和公式会计算下⾯各题吗？⑴3456767778+++++++= ⑵13578799++++++=⑶471013404346+++++++=
【考点】等差数列计算题 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 （1）算式中的等差数列⼀共有76项，所以：34567677783787623078+++++++=+?÷=（）
（2）算式中的等差数列⼀共有50项，所以：13578799(199)5022500++++++=+?÷= （3）算式中的等差数列⼀共有15项，所以：
471013404346446152375+++++++=+?÷=（）【答案】（1）3078 （2）2500 （3）375
【巩固】 计算下列⼀组数的和：105，110，115，120，…，195，200 【考点】等差数列计算题 【难度】2星 【题型】计算【解析】 根据等差数列求和公式，必须知道⾸项、末项和项数，这⾥⾸项是105，末项是200，但项数不知道．若利⽤1(1)n a a n d =+-?，可有1()1n n a a d =-÷+ 据此可先求出项数，再求数列的和． 解：数列的项数1()1n n a a d =-÷+
(200105)51=-÷+ 9551=÷+ 20=．故数列的和是：1()2n S a a n =+?÷(105
200)20=+?÷ 305202=?÷ 3050=【答案】3050
【巩固】 聪明的⼩朋友们，PK ⼀下吧．⑴481216
323++++++ ⑵65636153++++++ 【考点】等差数列计算题 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 根据刚刚学过的求项数以及求和公式，项数=(末项-⾸项)÷公差1+等差数列的和=（⾸项＋末项）?项数2÷⑴项数：
364419-÷+=（）； 和：43692180+?÷=（）； ⑵项数：
6512133-÷+=（）；和：16533233331089+?÷=?=（）． 【答案】⑴180 ⑵1089【巩固】 巧算下题：⑴500024698100-----⑵1357199519971999+++++++
【考点】等差数列计算题 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 ⑴原式50002469810050002100502500025502450=-
+++++=-+?÷=-=（）（）
⑵这⼀串加数可以组成⾸项为1、末项为1999，公差为2的等差数列， 项数199********=-÷+=（），原式11999100022000100021000000=+?÷=?÷=（） 【答案】⑴2450 ⑵1000000【巩固】
(123200720082007321)2008+++?++++?+++÷= 【考点】等差数列计算题 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】⾛美杯，四年级，初赛
【解析】 观察原式可知，1、2、3…2007分别可与2007、2006、2005…1组成2008，于是括号中有2008个2008，故原式结果为2008。【答案】2008【巩固】
=÷++++++2008)2011201020092008200720062005(__________ 【考点】等差数列计算题 【难度】2星 【题型】计算【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】根据中项定理知: 2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=2008×7,所以原式= 2008×7÷2008=7 【答案】7【巩固】计算：1÷50+2÷50+……+98÷50+99÷50=【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】原式=()()+++++++÷=+?÷÷=L
123459899501999925099【答案】99【例 2】计算：
⑴1351997199924619961998（）-（）++++++++++⑵40005101595100------⑶99198297396495594693792891990+++++++++
【考点】等差数列计算题【难度】3星【题型】计算
【解析】⑴（⽅法⼀）第⼀个数列的项数1000，第⼆个数列的项数为999，利⽤求和公式得：（）（）．
11999100022199899921000+?÷-+?÷=
（⽅法⼆）第⼀个括号内共有1000个数，第⼆个括号内有999个数．把1除外，第⼀个括号内的各数依次⽐第⼆个括号⾥相应的数⼤1，因此可简捷求和．
原式1325419991998111（）（）（）(共1000个1)1000=
=+-+-++-=++++l
⑵通过观察可知，题⽬中的减数可以组成等差数列，所以，可先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和．
（）（）（）400051015951004000510159510040005100202 ------=-+++++=-+?÷=-=．当⼀个数连续减去⼏个数，这些减数能组成等差数列时，可以先求这些400010502950
减数的和，再从被减数中减去这个和．⑶99198297396495594693792891990+++++++++100120023003100=-+-+-++-（）
100200300100012310=++++-++++（）（）
1001000102110102=+?÷-+?÷=-550055=5445
【答案】⑴1000⑵2950⑶5445
【巩固】计算246198419861988135198319851987（）（）++++++-++++++
【考点】等差数列计算题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 根据求项数公式可知两个括号内的算式都各有994项原式21432143(19881987)=-+-++-+-+
++（）（）（）（）11111994++++=994个【答案】994
【巩固】 计算：20072006200520042003200254321-+-+-++-+-+ 【考点】等差数列计算题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】⾛美杯，3年级，决赛 【解析】 找规律并分组计算如下：20072006200520042003200254321-+-+-++-+-+()()()()()20031
=20072006200520042003200254321=1+1++1+1=2004-+-+-++-+-+个【答案】2004
【巩固】 计算：⑴ 2469698100135959799++++++-++++++（）（）⑵ 13467910121366676970+++++++++++++；
⑶ 1000999998997996995106105104103102101+-++-+++-++-． ⑷ 616926993699946999956999996+++++ 【考点】等差数列计算题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴ 和式2498100++++，1359799+++
++中的项成等差数列，从⽽可能想到先求和，再
做减法．这样做，很⾃然，也⽐较简便，有其他更为简便的解法吗?再看题，你会冒出⼀个好想法：运⽤加减运算性质先做减法：21-，43-，65-，
，10099-，它们的差都等于1，
然后，计算等于1的差数有多少个．由于题中1⾄100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减(以⼤减⼩)，共得50个差数1，从⽽， 原式214398*********=-+-++-+-=（）（）（）（）．
⑵ 以把这个数列拆分为两个数列14710136770+++++++和369126669++++++，对
它们分别求和：原式1702423692321680=
+?÷++?÷=（）（）； ⑶ 本题也可以按照上题的⽅法做，但还有更简便的办法，把式⼦中的减法都计算出来可以得到下式：10001997110611031++++++++．
这是1000997106103++
++和1111++++的组合，分别计算结果即可：原式100010330021300165750=
+?÷+?=（） ⑷ 原式709700870007700006700000570000004=-+-+-+-+-+-（）（）（）（）（）（）77777709876547777731=-+++++=（）【答案】⑴50 ⑵1680 ⑶165750 ⑷7777731
【巩固】 计算：13520092462008++++-++++（）（）
【考点】等差数列计算题 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 ⽅法⼀：让学⽣⽤等差数列求和公式分别计算前后两部分，然后讲⽅法⼆，这样可以让学⽣体会观察数列规律，动脑思考的重要性．原式120091005222008100421005=
+?÷-+?÷=（）（） ⽅法⼆：把括号去掉，两两结合，简便计算．原式10051
13254200920081111111005=+-+-++-=+++++=个（）（）（）【答案】1005
【巩固】 计算：24620081352007++++-++++（）（）．【考点】等差数列计算题 【难度】3星 【题型】计算【解析】 ⽅法⼀：等差数列求和．原式220081004212007100421004=
+?÷-+?÷=（）（）． ⽅法⼆：把括号去掉，两两结合，简便计算．原式10041
2143200820071111111004=-+-++-=+++++=个（）（）（）．【答案】1004【巩固】 计算：
200820072006200520042003200220014321+--++--+++--．
【考点】等差数列计算题 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 ⽅法⼀：原式200820072006200520042003200220014321=+--++--+++--（）（）（）5024
44445022008=+++=?=个
⽅法⼆：原式20082007200620052004200320022001200054=+---+---+--+（）（）（）（）（） 321200811111112008--=+-+-+-+-=（）
⽅法三：20082006200720052004200242312-=-=-==-=-=，观察到这⼀点就好办了，
改变原来的运算顺序不难发现每两个数放在⼀起就是2，就等于说每⼀个数都看成1就⾏了，原式有2008项，所以最后答案就是2008．（让学⽣体会观察数列规律动脑思考的重要性．）【答案】2008
【巩固】 计算：123456789979899+-++-++-+++-．
【考点】等差数列计算题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式123456789979899=
+-++-++-+++-（）（）（）（）036996
396[96331]21584=++++
+=+?-÷+÷=（）（）【答案】1584
【例 3】 计算： 1.1 3.3 5.57.79.911.1113.1315.1517.1719.19+++++++++． 【考点】等差数列计算题 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】第⼗三届，迎春杯，试题【解析】 原式 5.5515.155=?+?5.515.15520.565103.25=+?=?=（）【答案】103.25【例 4】 计算12319901990199019901990+++=______
【考点】等差数列计算题 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式12319901990++++=(11990)199021990+?÷=19952=【答案】19952
【巩固】 ⑴计算468103436++++++ ⑵以质数71做分母的最简真分数有123,,......,7171716970,;7171
求这列数的和 ⑶计算：56789101113579111313131313131313++++++
【考点】等差数列计算题 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 ⑴这是⼀个等差数列，根据等差数列求和公式计算得：(436)172340+?÷=
⑵⽅法⼀：将这列数的分⼦从左往右排起来是1，2，3，4…69，70．可以发现这是⼀个等差数列，⾸项是1，末项是70，项数是70．我们可以⽤等差数列求和公式“和=(⾸项+末项)?项数2÷”求出分⼦相加的和，再求出以质数71做分母的最简真分数的和．
12346970......7171717171711234.....6970(170)7027135
++++++++++++=+?÷==
⽅法⼆：将这列数排列起来，可以发现：第⼆项⽐第⼀项多171，
第三项⽐第⼆项多171，
第四项⽐第三项多171， …………
因此，可以直接使⽤等差数列求和公式求和．12346970 (717171717171170702)717135++++++??
=+?÷ = ⑶带分数加法，我们先计算整数部分，再计算分数部分，认真观察我们发现整数部分和分数部分都可以利⽤等差数列求和公式进⾏计算.5678910111
3579111313131313131313567891011(135791113)()13131313131313(511)72(113)7213449413453
13++++++=++++++++++++++?÷=+?÷+=+=【答案】⑴340 ⑵35 ⑶45313
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