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一次函数与四边形存在性问题

2023-11-16 来源:步旅网
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一次函数与四边形综合专题

1.如图,将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中,其中A(1,0),C(0,1),P为AB边上一个动点,折叠该纸片,使O点与P点重合,折痕l与OP交于点M,与 对角线AC交于Q点

(Ⅰ)若点P的坐标为(1,),求点M的坐标; (Ⅱ)若点P的坐标为(1,t)

①求点M的坐标(用含t的式子表示)(直接写出答案) ②求点Q的坐标(用含t的式子表示)(直接写出答案)

(Ⅲ)当点P在边AB上移动时,∠QOP的度数是否发生变化?如果你认为不发生变化,写出它的角度的大小.并说明理由;如果你认为发生变化,也说明理由.

2.如图,△OAB的一边OB在x轴的正半轴上,点A的坐标为(6,8),OA=OB,

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点P在线段OB上,点Q在y轴的正半轴上,OP=2OQ,过点Q作x轴的平行线分别交OA,AB于点E,F. (1)求直线AB的解析式;

(2)若四边形POEF是平行四边形,求点P的坐标;

(3)是否存在点P,使△PEF为直角三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

3.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A(

,0)、B(

,2),∠CAO=30°.

(1)求对角线AC所在的直线的函数表达式;

(2)把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折,点O落在平面上的点D处,求点D的坐标;

(3)在平面内是否存在点P,使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

4.如图,直线l与坐标轴分别交于A、B两点,∠BAO=45°,点A坐标为(8,0).动

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点P从点O出发,沿折线段OBA运动,到点A停止;同时动点Q也从点O出发,沿线段OA运动,到点A停止;它们的运动速度均为每秒1个单位长度. (1)求直线AB的函数关系式;

(2)若点A、B、O与平面内点E组成的图形是平行四边形,请直接写出点E的坐标;

(3)在运动过程中,当P、Q的距离为2时,求点P的坐标.

5.在平面直角坐标系xOy中,过原点O及点A(0,2)、C(6,0)作矩形OABC,∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发,以每秒

个单位长度的速度沿

射线OD方向移动;同时点Q从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒.

(1)当点P移动到点D时,t= 秒; (2)连接点A,C,求直线AC的解析式;

(3)若点M是直线AC上第一象限内一点,是否存在某一时刻,使得四边形OPMQ为平行四边形?若存在,请直接写出t的值及点M的坐标;若不存在,请说明理由.

6.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线

交y轴于点A,交x轴于

点B,以线段AB为边作菱形ABCD(点C、D在第一象限),且点D的纵坐标为9.

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(1)求点A、点B的坐标; (2)求直线DC的解析式;

(3)除点C外,在平面直角坐标系xOy中是否还存在点P,使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

7.如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的AB边在x轴上,AB=3,AD=2,经过点C的直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F. (1)求:①点D的坐标;

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②经过点D,且与直线FC平行的直线的函数表达式;

(2)直线y=x﹣2上是否存在点P,使得△PDC为等腰直角三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)在平面直角坐标系内确定点M,使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点M的坐标.

8.已知:如图1,图2,在平面直角坐标系xOy中,A(0,4),B(0,2),点C在x轴的正半轴上,点D为OC的中点. (1)求证:BD∥AC;

(2)如果OE⊥AC于点E,OE=2时,求点C的坐标;

(3)如果OE⊥AC于点E,当四边形ABDE为平行四边形时,求直线AC的解析式.

9.如图,已知直线l:y=﹣x+b与x轴、y轴分别交于点A,B,直线l1:y=x+1与y轴交于点C,设直线l与直线l1的交点为E (1)如图1,若点E的横坐标为2,求点A的坐标;

(2)在(1)的前提下,D(a,0)为x轴上的一点,过点D作x轴的垂线,分

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别交直线l与直线l1于点M、N,若以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形,求a的值;

(3)如图2,设直线l与直线l2:y=﹣x﹣3的交点为F,问是否存在点B,使BE=BF,若存在,求出直线l的解析式,若不存在,请说明理由.

10.已知,如图,平面直角坐标系xOy中,线段AB∥y轴,点B在x轴正半轴上,点A在第一象限,AB=10.点P是线段AB上的一动点,当点P在线段AB上从点A向点B开始运动时,点B同时在x轴上从点C(4,0)向点O运动,点P、点B运动的速度都是每秒1个单位,设运动的时间为t(0<t<4).

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(1)用含有t的式子表示点P的坐标;

(2)当点P恰好在直线y=3x上时,求线段AP的长;

(3)在(2)的条件下,直角坐标平面内是否存在点D,使以O、P、A、D为顶点的四边形是等腰梯形.如果存在,请直接写出点D的坐标;如果不存在,请简单说明理由.

11.在直角坐标系中,点A的坐标是(3,0),点P在第一象限内的直线y=﹣x+4上.设点P的坐标为(x,y).

(1)求△POA的面积S与自变量x的函数关系式及x的取值范围; (2)当S=时,求点P的位置;

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(3)在(2)的条件下,若以P、O、A、Q为顶点构成平行四边形,请直接写出第四个顶点Q的坐标.

12.已知函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A(12,0)、点B,与函数y=x的图象交于点E,点E的横坐标为3,求: (1)直线AB的解析式;

(2)在x轴有一点F(a,0).过点F作x轴的垂线,分别交函数y=kx+b和函数y=x于点C、D,若以点B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形,求a的值.

13.如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(﹣4,4),点B的坐标为(0,2).

(1)求直线AB的解析式;

(2)以点A为直角顶点作∠CAD=90°,射线AC交x轴的负半轴于点C,射线AD交y轴的负半轴于点D.当∠CAD绕着点A旋转时,OC﹣OD的值是否发生变化?

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若不变,求出它的值;若变化,求出它的变化范围;

(3)如图2,点M(﹣4,0)是x轴上的一个点,点P是坐标平面内一点.若A、B、M、P四点能构成平行四边形,请写出满足条件的所有点P的坐标。

14.如图,已知直线y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,过点C的直线y=﹣x+b与x轴交于点B. (1)b的值为 ;

(2)若点D的坐标为(0,﹣1),将△BCD沿直线BC对折后,点D落到第一象限的点E处,求证:四边形ABEC是平行四边形;

(3)在直线BC上是否存在点P,使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

15.如图1,已知直线y=﹣3x+6与x轴、y轴交于A、B两点,点C在x轴负半轴上,S△BOC=3S△BOA

(1)求直线BC的函数表达式;

(2)如图2,一条直线y=mx经过原点,与直线AB,BC分别交于点E、F,若S△

BOE

=S△BOF,求m的值;

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(3)如图3,将(2)中直线EF向上平行移动后经过点B,与x轴交于点G,设H为线段BG上一点(含端点),连接AH,一动点M从点A出发,沿线段AH运动到H,再沿线段HB运动到B后停止,若点M在AH上的速度为每秒1个单位,在HB上的速度为每秒用时最少?

个单位,当点H的坐标是多少时,点M在整个运动过程中

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