巧用构造图形法解题

维普资讯 http://www.cqvip.com ２００６年第４５卷第２期　数学通报　４３　巧用构造图形法解题　任伟芳　（浙江省宁波市鄞州高级中学　３１５１９２）　所谓构造图形法就是把原来图形改变成另一　例１　图１是一个长方体盒　种图形，使改变后的图形更能揭示问题本质，并且　子的展开图（重叠部分不计），尺　能把条件集中起来，从而使问题得到解决．正如Ｇ·　寸如图所示．这个长方体的对角　波利亚在《怎样解题》中所说：“画一个假设图形，假　线长为多少？（２００５年天津高考　设它的各个部分都满足题目条件，也许是迈出解题　模拟试卷）　的重要一步．”普通高中《数学课程标准》（实验）指　分析　由课本例题中可把　出：“人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证　空心“十”字形四面折起变成无　图２　等方法认识和探索几何图形及其性质．”操作确认、　盖长方体的启发，图１虚线右边可以变成无盖长方　图形变形来认识图形就越来越引起专家与老师们　体，左边部分变成上底面和前后两面的一部分，从　的莺视，在近几年的全国卷和各地高考试卷中都涉　而可以折成图２．不难看出该长方体的长、宽、高分　及到这类题目，下面以近几年高考题为例谈谈构造　别为：ｌ０、８、６，因此长方体的对角线长为：　图形的解题方法．　￣／６　＋８２＋ｌＯ２：ｌＯ√芝．　１　寻根索源　新旧对照　从课本例子出发进行类比、联想，由浅入深、循　对于翻折问题、已知展开　序渐进地挖掘图形的内涵．寻根索源，新旧对照，这　图问题常常采用追根索源，把　对学生来说就是一种发现，一种创造．如果我们在　原来图形画出来再与现在图　教学时善于改变图形，借图发挥，在‘变图’中掌握　形进行对照，找出新旧图形中　类题的解法，则会起到克服思路受阻，触类旁通，　不变量，真正能看到“庐山真　图１　事半而功倍的作用．适当地利Ｊｆｊ“变图”手段，适时　面日”，能起到化难为易作用．　地创设新情境，可逐渐培养学生的探索能力和创新　意识、使学生的创造能力逐步得到提高．　ｃ　＋ｃ　＋ｃ　靠　＋＿－·＋ｃ　．　事，也可以分为以下几类：从Ａ中取出０个元素，曰　又（１＋　）　＝ｃ０ｍ＋　＋ｃｌｍ＋，。　＋ｃ　＋　＋　中取出ｋ个元素；从Ａ中取出１个元素，曰中取出ｋ一　ｃ　＋　＋…＋ｃ　＋　＋…＋Ｃ￣ｍ＋ｎｘ　，　１个元素；从　中取出２个元素，　中取出ｋ一２个元　其　项的系数为ｃ　＋　．　素Ｉ．．…·，从　中取出ｋ个元素，曰中取出０个元素．　而（１＋　）　（１＋　）　＝（１＋　）　，　于是共有　ｃ　＋ｃ　＋ｃ　＋…＋ｃ　种取　所以　ｃ　＋ｃｌｍｃ０　＋ｃ２ｍ　＋…＋ｃ　＝　法．因此：ｃｏ　ｃ　＋ｃｌｍｃ　＋ｃ　＋…＋ｃ　＝　ｃ　＋　．　ｃ　＋　．　证法２设集合Ａ＝｛ａｌ，ａ２，…，ｎ　｝，Ｂ＝｛ｂｌ，　ｂ２，…，ｂ　｝＇且Ａ　ｎ　Ｂ＝　，则从Ａ、Ｂ两集合中的ｍ　总之，根据题目中式子特点展开联想，与平时　＋ｎ个元素中取出ｋ个元素的组合个数为　＋　．　学过的定理、公式、公理、【卑Ｊ形有机结合，通过构造　另一方面要完成从Ａ　Ｕ　Ｂ中取出ｋ个元素这件　模型，可迅速找到解题的突破ｉ：１，有助于问题的解　决．　维普资讯 http://www.cqvip.com 数学通报　２００６年第４５卷第２期　２　改头换面　突出本质　辨证思维告诉我们：要透过现象看本质，解决　问题要抓住事物的主要矛盾．因此，对题目图形适　当地改头换面，忽略次要东西，突出本质．这样把我　们不熟悉的图形转化为熟悉的图形，从而达到解决　复杂问题的目的，这也是“化归”的数学思想．改头　换面，突出本质常常会使解题思路通畅，解题速度　加快，自信心增强．　例２某城市在中心广场　建造一个花圃，花圃分为６个　部分（如图３）．现要栽种４种　不同颜色的花，每部分栽种一　图３　种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种　方法有种．（以数字作答）．（２００３年全国高　考题）　解法１　在不改变原题条件　的前提下，可将花圃“改建”为图　４的形状，将“栽花”改为“涂色”　问题．先在４种颜色中任取１种涂　１号区域，有４种涂法；其余的５个　区域必须且只能用３种颜色来　涂，这３种颜色分布有１、２，２，即　图４　有１个区域涂１种颜色，另两对区域分别涂两种颜　色；在５个区域中任取１个有５种取法，将这１个区域　与另两对区域看成３个元素，那么共有Ａ；种涂法．　由乘法原理得：共有４×５×Ａ；种＝１２０种涂法（即　栽法）．　解法２先排ｌ区，有４种广＿Ｔ—ｒ］—Ｔ］　方法，把其余五个区视为一个圆——　环（如图４），沿着圆环的一个边　图ｓ　界剪开并把圆环拉直，得到如图５的五个空格，在五　个空格中放３种不同元素，并且满足两个条件：①相　同元素不能相邻；②两端元素不能相同．可以画树形　图共有３０种不同方法，然后再把图５沾成圆形即可．　从例２可以看到图形的样子改变了而本质未　变，新图形更容易分析和解决问题．这样可以培养　学生的创新意识和探索精神，发展创造性思维能　力．在倡导积极主动、勇于探索的学习方式的今天，　我们教师更需要把例２这种类型的题目作为良好素　材加以引用．　３偷梁换柱　原形毕露　对不规则图形中的某些点、线、面换成另一些　点、线、面，使条件集中起来，构成特殊图形如直角　三角形、等边三角形等等，使之原形毕露，在“山穷　水尽疑无路”时，找到了“又一村”．　例３　已知长方形的四个顶点Ａ（０，０）、Ｂ（２，　０）、Ｃ（２，１）和Ｄ（Ｏ，１），一质点从Ａ　的中点Ｐｎ沿与　ＡＢ夹角为　的方向射到ＢＣ上的点Ｐ，后，依次反射　到ｃＤ、　和Ａ　上的点Ｐ２、Ｐ３和Ｐ４（入射角等于反　射角）．设Ｐ４的坐标为（　４，０）．若１＜　４＜２，则ｔａｎ０　的取值范围是（　）　Ａ．（了１１）　Ｂ．（了１，了２）　ｃ．（了２１）　Ｄ．（了２，了２）（２００３年全国高考题）　Ｊ　ｙ　／　／　Ｄ　Ｃ号　＜＞　Ｄ　Ｐｏ　Ｂ　Ｇ　Ｆ】　图６　分析　把点Ｐ２、Ｐ３、Ｐ４换成点Ｐ　２、Ｐ　３、Ｐ　４，即　把长方形ＡＢＣＤ向右翻折、向上翻折再向右翻折得　到如图６所示．则Ｐ０、Ｐ１、Ｐ　２、Ｐ　３、Ｐ　４在同一直线　上．　因为ｌ＜　４＜２　所以４＜ＰｏＧ＜５．　，　Ｄ，　＾　在ＲｔＬＸ　ＧＰ＇４Ｐｏ中，ｔａｎ０＝　，则　＜ｔａｎＯ＜　ＵＶ　’　一’　１　一’　专，即寺＜ｔａｎ０＜专，因此选（ｃ）．　构造法是数学的一种重要思想方法，通过构造　函数、构造方程等来解题已司空见惯．而通过构造　图形帮助解决问题却不多见，本文略举几例，希望　能引起大家的重视．改变原来图形构造新图形来解　题的关键是能找到和原来图形本质不变的新图形，　对于新图形寻找一般没有固定的模式．本文归纳了　几种常用的方法，仅起到抛砖引玉的作用，更多的　是需要“有某种美的号召力”（波利亚语），即凭借美　感直觉，充分领会面对的图形所显露的美（简洁性、　全等性、统一ｌ生和奇特性等），并以此为思维的突破　口，树立创新意识，找到替换的新图形，使问题化难　为易，灵活巧妙得到解决．