初中数学校本教材

序言

数学是打开知识大门的钥匙，是整个科学的基础知识。创新教学的先行者里斯特伯先生指出：“学生学习数学就是要解决生活问题，只有极少数人才能攻关艰深的高级数学问题，我们不能只为了培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益，所以数学首先应该是生活概念。”在生活中学数学，以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对科学的兴趣。我们选取的都是从学生生活实践中取材，将数学知识巧妙地运用于生活之中，增加了学生对数学的兴趣，实现新课改所倡导的情感体验，培养良好的科学态度和正确价值观的目标。

数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好，又要激发和培养学生新的兴趣和爱好，要要求和鼓励学生投入生活，亲身实践体验。选题要尊重学生的实际、学生的探究本能和兴趣，给与每个学生主体性发挥的广阔空间，从而更好的培养学生提出问题、分析问题、解决问题的素质和能力。使学生成为学习的主人，学有兴趣，习有方法，必有成功。学生的个性在社会活动中得以健康发展，学生的潜能在自学自育中得到充分开发。

课程纲要

一、 课程目标：

以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨，针对数学这门课的特点，从生活中挖掘数学，提高学生应用数学知识解决有关问题的能力，培养学生的观察，分析能力，充分发挥学生的创造性，开发学生自身的潜能，并且加强对学生的动手操作能力的训练，鼓励学生能够展示自己的研究成功，培养学生的成功心态，使学生的心理得到健康的发展，使每位学生的能力得到充分体现。

二、 课程概况：

本课程由八年数学教师具体负责实施。本课程在八年实施。

三、 课程内容与活动安排：

让学生体会数学史可发生在我们的周围，我们的生活空间是无穷的数学世界，在课堂上多设情景，应用数学解决问题，让他们充分发挥自己的创造性，感受到数学的乐趣，在愉快、轻松的学习过程中掌握数学知识，从而培养学生良好的学习习惯，观察事物的能力，形成正确的人生观、价值观。

授课对象：八年学生

授课时间：周四下午第6节

授课地点：各班教室

目录

生活中的数学问题

几何就在你身边

归纳与发现

勾股定理（一）

勾股定理（二）

生活中的纳税问题

生活中的节能问题

镜子改变了什么

第一节 生活中的数学问题

数学来源于生活，同时又服务于生活，例如下面几个问题：

1、钟面上有1、2、3、4、…… 11、12共十二个数。

(1)试在某些数的前面添加负号，使它们的代数和为零。

(2)能否改变钟面上的数，比如只剩下六个偶数，仍按第(1)小题的要求来做;

(3)请试着改变第(1)小题，使它更加有趣一些。如：哪些时间里分针与时针所夹的那些数的前面添加负号，钟面上的各数的代数和就为零;

(4)在解上述各题的过程中，你能总结出一些什么规律

2、1)每位同学发一张８开的白纸，然后叫同学沿纸的长边对折成16开的纸，再将16开纸对折成32开纸，通过测量和计算回答下列问题

Ａ．８开纸和16开纸的形状相关相似吗？

Ｂ．16开纸和32开纸的形状相似吗？

Ｃ．猜想：如果将纸的对折操作继续进行下去，那么得到的16开、32开、64开……、２K开（Ｋ为自然数），纸都相似吗

(2)要使一个矩形纸沿长边对折后仍同原来纸的形状相似，那么该纸的长和宽之比为多少

(3)翻开你手中教材的第一页或最后一页，找出纸张的开数，如“开本787×1024 1／16”或“开本850×1168 1／32”计算纸的长和宽之比，试问

Ａ．纸的长和宽之比是否同很接近并解释误差的原因。

Ｂ．试讨论如此设计纸张大小的好处是什么进而，造纸厂生产纸时，如何设计纸的大小为最优

3、 某顾客有10元钱，第一次在商店买Ｘ件小商品花去Ｙ元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价元，他比第一次多买了10件，花去２元。问他第一次买的小商品是多少件（设Ｘ、Ｙ为整数）。

4、百货公司的一页帐簿上沾了墨，关于1月13日出售气压热水瓶。只知道单价及金额后面的三个数码是，数量与金额前面的三个数码都看不清了，请你帮助查清这笔帐。

月 日 摘要 数量（只） 单价（元） 金额（元） 1 13 气压热水瓶 5、 有一块长4厘米宽3厘米的园地，现要在园地辟一个花坛，使花坛的面积是原园地面积的一半，问如何设计

6、 缝纫师傅想用一块三角形的布料剪出一块面积最大的正方形方巾，现在他手中只有一把剪刀，问他应该如何剪

7、 小王年初向建设银行贷款2万元用于购房，商定年利率为10%，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），若这笔借款分15次等额归还，每年1次，15年还清，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少钱（精确到1元）8、 一张纸片，第一次将其撕成四片，以后，每次将其中的一片撕成更小的四片。

如此进行下去，试问（10撕5次，共有多少张纸片（2）撕8次、10次各有多少张纸片（3）撕n次，共有多少张纸片（4）撕成22张，需撕几次（5）能否将纸片撕成1993片为什么

9、在一条直线的流水线上，依次在A1、A2、A3、A4、A5有5个机器人在工作，现欲设一零件供应点，问应设于何处，可使5个机器人与它的距离总和为最小。如果是6个机器人，则怎样一般地，n个机器人的情况下，又应如何设置

| | | |

A1 A2 A3 A4 A5

10、 2006年暑假，小明每天在家都看电视，周一至周五每天看3小时，周六、周日每天看5小时。（暑假是从7月21日正式开始。）

（1）请问小明八月份这个月里共看了多少时间的电视（大家都知道新学期上学的这一天9月1日是星期五，八月份有31天。）

（2）如果小明每天睡觉时间为8小时，并且睡觉比看电视所多出来的时间正好是小明在八月里学习所用的时间。小明在假期里学习，有时一天4小时，有时一天5小时，请问小明一天学5小时的天数共有多少天

（3）请同学们结合上面的问题再编写出其它问题。

第二节 几何就在你的身边

初学几何时，你往往会感到这门学科枯燥乏味，有的知识似曾相识，似懂非懂；有的知识则似乎很“玄”，离我们很远!其实，日常生活中有几何，几何就在你的身边。

当你骑自行车时，想过自行车的轮子为什么是圆形的，而不能是“鸡蛋形”的呢因为“圆”形的特性可以使自行车平稳地前进；自行车的轮于有大有小，可供人们选择；两个 轮子装的位置必须装得恰当，骑时会感到方便。这说明：物体的形状、大小、位置关系与日常生活有着紧密的联系，这也正是几何这门学科所要研究的。

当你把一张长方形的纸裁成一个正方形时，你想过这里面有几何知识吗

图 1 图 2 图 3

几何中叫“比较线段的大小；把阴影部分裁去，可以看成在“长”上截取一段，使它等于“宽”，这就是几何中的“线段作图”；长方形的长与宽相等时，就是正方形，这更是几何中的一个重要结论。

如果把正方形折成相等的两部分，除了图2中所示的四种折法外，你还能想到其他的折法吗不妨试试：过四条折痕相交的那个点“· ”，任意地折一条线，看看这样把正方形分成的两部分也一样吗

当你走进用砖块铺地的房间时，你注意到这些砖块的形状吗有的是等边三角形的，有的是长方形或正方形的。

其实，任意形状的四边形砖块也能把地面拼得没有缝隙，请看图3 。

这又将告诉我们几何中的一个重要结论(四边形的四个角的大小之和恰好等于360度)，这个结论，与小学数学里学过的“三角形的三个角之和等于180度°又有着紧密的联系。

如果有兴趣的话，请你剪两块同样的直角三角形纸片，然后把两块纸片拼合成一个图形，你能拼出6种不同的图形吗这里又包含了许许多多的几何知识。比如，当你拼成一个等腰三角形时，就不难知道：等腰三角形可以分成两个同样的直角三角形，中间的那条线位置很特殊，今后研究等腰三角形时常常要用到它！

第三节 归纳与发现

归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．

例1 如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点这个点阵共有多少个点

分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数． 第一层有点数：1；

第二层有点数：1×6；

第三层有点数：2×6；

第四层有点数：3×6；

……

第n层有点数：(n-1)×6.

因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为

例2 在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：

(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域

(2)这n个圆共有多少个交点

分析与解 (1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个为此，我们列出表18．1．

由表18．1易知

S2-S1=2，

S3-S2＝3，

S4-S3＝4，

S5-S4＝5，

……

由此，不难推测

Sn-Sn-1＝n．

把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋…＋n，

因为S1=2，所以

面对Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明．

下

因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．

由表18．2容易发现

a1＝1，

a2-a1＝1，

a3-a2＝2，

a4-a3＝3，

a5-a4＝4，

……

an-1-an-2＝n-2，

an-an-1＝n-1．

n个式子相加

注意 请读者说明an=an-1＋(n-1)的正确性．

例3 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个

分析与解 我们先来研究一些特殊情况：

(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，…．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a

＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．

(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．

这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．

(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．

这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．

通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，…，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，…，n＋k-1)．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

例4 设1×2×3×…×n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n.

分析与解 先观察特殊情况：

(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.

下面我们证明这个猜想的正确性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+…+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+…+n！×n

=2！+2！×2＋3！×3＋…+n！×n

=2！×3+3！×3+…＋n！×n

=3！+3！×3+…+n！×n＝…

=n！+n！×n=(n＋1)！，

所以原式=(n+1)！-1.

例5 设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．

分析与解 本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有

x3＜x2+x+2．①

设x=10，则有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

设x=100，则有x3＞x2+x+2．

观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．

那么自然会想到：当x=时，x3=x2+x+2呢如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．为此，设x3=x2＋x＋2，则

x3-x2-x-2＝0，

(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，

(x-2)(x2+x+1)=0．

因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样

(1)当x=2时，x=x+x+2；

32

(2)当0＜x＜2时，因为

x-2＜0，x2+x+2＞0，

所以 (x-2)(x2＋x+2)＜0，

即

x3-(x2＋x+2)＜0，

所以 x3＜x2＋x＋2.

(3)当x＞2时，因为

x-2＞0，x2+x+2＞0，

所以 (x-2)(x2+x+2)＞0，

即

x3-(x2＋x＋2)＞0，

所以 x3＞x2＋x＋2．

综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答．

练习七

1．试证明例7中：

2．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：

(1)这n条直线共有多少个交点

(2)这n条直线把平面分割为多少块区域

然后做出证明.)

3．求适合x5=8的整数x．

(提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：505＜8＜605，所以502＜x＜602．)

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11a2b24abc24ab22， 整理得 a2b2c2.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直

1ab2角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使

A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点

DbcGaCbcFbccEbaB在一条直线上.

aH∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

Aa∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.

∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.

又∵ ∠GHE = 90o,

∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.

2ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

∴

ab241abc22222. ∴ abc.

【证法3】（赵爽证明）

cAaDbGHFEC以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三

B角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，

∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,

∠HEF = 90o.

2ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

124abbac2∴ 2.

222∴ abc.

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个

1ab直角三角形的面积等于2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使

A、E、B三点在一条直线上.

CD∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

aAcbEcabB∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.

∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.

∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

12c2它的面积等于.

又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,

∴ AD∥BC.

1ab2∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2. 1ab221ab1c222. ∴ 2222∴ abc.

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.

过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.

即 ∠CBD= 90o.

又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，

FbaGcEPbbcCcaHaDbaAcB

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

1c2S2ab2,

222 ∴ abc.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

EbacAPbcMNQcBcaCF作FN⊥PQ，垂足为N.

F∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC，

∴ ∠MPC = 90o，

∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90o，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o，

∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

HaFG交AB于点M，交DE于点

CaAbMBbKL.

∵ AF = AC，AB = AD，

c∠FAB = ∠GAD，

DLcE∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

12a2∵ ΔFAB的面积等于，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =a.

2同理可证，矩形MLEB的面积 =b.

2∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

222222∴ cab ，即 abc.

【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，

aACb∠CAD = ∠BAC，

DcB∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB，

2即 ACAD•AB.

2同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BCBD•AB.

222222∴ ACBCADDB•ABAB，即 abc.

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥

AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o，

∴ ∠DAH = ∠BAC.

又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o，

AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ DH = BC = a，AH = AC = b.

由作法可知， PBCA 是一个矩形，

所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =

CA = b，AP= a，从而PH = b―a.

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .GaDcb9c21F8RHPAT3456ccbQE7BaC

又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o，

∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.

用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

c2S1S2S3S4S5 ①

∵

S8S3S41bba•abab21ab22， =

S5S8S9，

1S3S4b2abS8b2SS18 . ② 2∴ =

把②代入①，得

222b= S2S9 = ba.

222∴ abc.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

T8bD3M4E5QB2C61RaAc∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o，

∴ ∠TBH = ∠ABE.

HGF7又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，

BT = BE = b，

∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.

∴ HT = AE = a.

∴ GH = GT―HT = b―a.

又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o，

∴ ∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB―ED = b―a，

∠HGF = ∠BDC = 90o，

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S7S2.

过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE

= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌

RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S8S5.

由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.

∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE，

∴ ∠FQM = ∠CAR.

又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a，

∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S4S6.

222cSSSSSaSSb1234516∵ ，，S3S7S8，

又∵ S7S2，S8S5，S4S6，

22abS1S6S3S7S8 ∴

=S1S4S3S2S5

=c，

2222即 abc.

【证法11】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

aCbacDA=ABBEABBD =caca

EaB22= ca，

222即bca，

222∴ abc.

【证法12】（利用多列米定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

AB•DCAD•BCAC•BD，

∵ AB = DC = c，AD = BC = a，

DacbcbBaCAC = BD = b，

A222222∴ ABBCAC，即 cab，

222∴ abc.

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

∴ ACBCABAECEBDCDAFBF

= CECD= r + r = 2r,

即 abc2r，

cAb∴ ab2rc.

BF∴ ab22rc，

2aDrrOrEC2222即 ab2ab4rrcc，

∵

SABC1ab2，

∴ 2ab4SABC，

1111abcrcrarbrSAOC = 222 = 2

又∵ SABCSAOBSBOC12rccr22= = rrc，

24rrc4SABC， ∴

24rrc2ab， ∴

222222∴ ab2ab2abc， ∴ abc.

【证法14】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

222222假设abc，即假设 ACBCAB，则由

AB2AB•AB=ABADBD=AB•ADAB•BD

22可知 ACAB•AD，或者 BCAB•BD. 即 AD：AC≠AC：AB，或者

BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠A = ∠A，

∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则

∠ADC≠∠ACB.

在ΔCDB和ΔACB中，

∵ ∠B = ∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，则

∠CDB≠∠ACB.

又∵ ∠ACB = 90o，

∴ ∠ADC≠90o，∠CDB≠90o.

CabADcB222这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，ACBCAB的假设不能成立.

222∴ abc.

【证法15】（辛卜松证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，

2ab则正方形ABCD的面积为

a2b22ab；把正方形ABCD划分成上

方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 =2abc.

2ab241abc22

222∴ ab2ab2abc,

222∴ abc.

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，

则 AD = c.

cAbB5F4c∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a， ∴ DM = EM―ED = ba―a = b.

又∵ ∠CMD = 90o，CM = a，

∠AED = 90o， AE = b，

∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.

∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.

∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o，

∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o，

∴ ∠ADC = 90o.

∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.

∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o，

∴ ∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，

∴ ΔABF ≌ ΔADE.

∴ ∠AFB = ∠AED = 90o，BF = DE = a.

∴ 点B、F、G、H在一条直线上.

在RtΔABF和RtΔBCG中，

∵ AB = BC = c，BF = CG = a，

∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.

∵ c2S2S3S24S5， bS1S2S6， S1S5S4S6S7，

∴

a2b2S3S7S1S2S6 =S2S3S1S6S7

=S2S3S4S5

=c2

∴ a2b2c2.

第六节 生活中的纳税问题

a2S3S7，

纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分按国家规定纳税外，个人劳务增收也应纳税．现行劳务报酬纳税办法有三种：

(1)每次取得劳务报酬不超过1000元的(包括1000元)，预扣率为3％，全额计税．

(2)每次取得劳务报酬1000元以上、4000元以下，减除费用800元后的余额，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

(3)每次取得劳务报酬4000元以上的，减除20％的费用后，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

每次取得劳务报酬超过20000元的(暂略)．

由(1)，(2)，(3)的规定，我们如果设个人每次劳务报酬为x元，y为相应的纳税金额(元)，那么，我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数：

例5 小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000元，已知小王的报酬是小张的2倍多，两人共缴纳个人所得税1560元，问小王和小张各得劳务报酬多少元

解 根据劳务报酬所得税计算方法(见函数①)，从已知条件分析可知小王的收入超过4000元，而小张的收入在1000～4000之间，如果设小王的收入为x元，小张的收入为y元，则有方程组：

由①得y=10000-x，将之代入②得

x(1-20％)20％+(10000-x-800)20％=1560，

化简、整理得，

所以=280，x=7000(元)．

则 y=10000-7000=3000(元)．

所以

答 小王收入7000元，小张收入3000元．

例6 如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是

其中y(x)表示稿费为x元应缴纳的税额．

那么若小红的爸爸取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到6216元，问这笔稿费是多少元

解 设这笔稿费为x元，由于x＞4000，所以，根据相应的纳税规定，有方程

x(1-20％)· 20％×(1-30％)=x-6216，

化简、整理得

=x-6216，

所以 =6216，

所以 x=7000(元)．

答 这笔稿费是7000元．

练习六

1．按下列三种方法，将100元存入银行，10年后的本利和各是多少(设1年期、3年期、5年期的年利率分别为％，％，％保持不变)

(1)定期1年，每存满1年，将本利和自动转存下一年，共续存10年；

(2)先连续存三个3年期，9年后将本利和转存1年期，合计共存10年；

(3)连续存二个5年期．

2．李光购买了25000元某公司5年期的债券，5年后得到本利和为40000元，问这种债券的年利率是多少

3．王芳取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到2580元，问这笔稿费是多少元

4．把本金5000元存入银行，年利率为，几年后本利和为6566元(单利法)

第七节 生活中的节能问题

在炎炎夏日里，同学们遇到的难事就是饮水问题，为了使同学们过一个卫生清洁的夏季，班级决定出钱买一台饮水机，而每人又应出多少钱呢即使买了饮水机，是否比过去每个学生每天买矿泉水更节省、更实惠下面就来解答这个问题。

一、学生矿泉水费用支出

温州市景山中学共有37个班级，假设每班学生平均为60人，那么全校就有60×37=2220（人）。一年中，学生在校的时间（除去寒暑假双休日）大约为240天，设春季、夏季、秋季、冬季、各为60天，在班级没有购买饮水机时，学生解渴一般买矿泉水，设矿泉水每瓶为一元，学生春秋季每人二天1瓶矿泉水，则总共为60瓶。夏季每人每天1瓶，则

总共也为60瓶，冬季每人每4天1瓶，总共为15瓶，则全年平均每名学生矿泉水费支出：

60+60+（60÷4）×1=135(元)； 全班学生矿泉水费用：135×60=8100(元)； 全校学生矿泉水费用 ：8100×37=299700(元)； 二、使用饮水机费用

一台冷热饮水机的价格约为750元，1字牌大桶矿泉水为每桶10元，现每班都配备饮水机。设每班春、季两季、每2天1桶，则需60桶，夏季每天2桶，则需120桶，冬季每6天1桶，则每班需20桶，则

一学年每班需要“60+120+20=200（桶），

一学生每班水费为200×10=2000元。电费折合为每学年每班为300元。则一学年配置饮水机每班水电费2300元。

所以，一学年每班饮水机等合计约为：2300+750÷3=2550元；

每个学生平均一学年的水电费为：2500÷60=元；

景山中学全校全年饮水机等费用约为：37×2550=94350元；

显然，通过计算，比较两项开支费用，各班购买一台饮水机要经济

实惠得多，一学年每个学生可以节省：=元；

每个班一学年可节省： ×60=5550元； 全校一学年可节省： 5550×37=205350元。

205350元，一个了不起的数据，而我们每天又可以喝上卫生清洁、冷暖皆宜的饮水机的矿泉水，等我们毕业时还可以把饮水机赠给下届同学，何乐而不为呢我向温州小学提出倡议：在每个教室里配一台饮水机。

第八节 镜子改变了什么

一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把2+3=8变成一个真正的等式”，很长时间没有人答出，小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这道题，你知道为什么吗

问题的提出：“小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现“ ”的样子，请你判断这个英文单词是什么假若不能利用手中的小镜子，只利用小卡片，如何把镜中的字母还原分组讨论，比一比那一组的结论最好

与同伴交流，一个汽车车牌在水中的倒影是“”，你

能确定该车的车牌号码吗（利用手中的小卡片，并说出倒影与车牌的位置关系）小结：当垂直于镜面摆放时，镜面会改变它的上下方向，所以可以把影象写在卡片上，向上翻转九十度背面所看到的就是本题的答案。 【试一试】:

取一枚图章，在纸上改一个清晰的印记，分析印章上的图案有什么异

同，你能利用萝卜块或橡皮刻字，使其印在纸上的图案是你的姓名。

总结：

当正对镜面摆放时，镜面会改变它的左右方向；当垂直于镜面摆放时，镜面会改变它的上下方向；如果是轴对称图形，当对称轴于镜面平行时，其镜中影象与原图一样。