乘法算子的Herz型Sobolev范数估计

４３　第２９卷第１期　《新疆师范大学学报》（自然科学版）　Ｖｏｌ＿２９，Ｎｏ．１　２０１０年３月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｘｉｎｊｉａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｍａｒ．２ＯｌＯ　（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　乘法算子的Ｈｅｒｚ型Ｓｏｂｏｌｅｖ　范数估计　熊学亮，　曹勇辉，　江寅生　（新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐８３００４６）　摘　要：文章给出了乘法算子的Ｈｅｒｚ型Ｓｏｂｏｌｅｖ范数的估计。证明中使用了已有的Ｈｅｒ　型空间的一些性质和对偶空间　的性质。证明是在等价范数的意义下进行的，通过对乘法算子进行分解，研究了乘法算子的Ｈｅｒｚ型Ｓｏｂｏｌｅｖ范数的一种估计。　关键　司：Ｈｅｒｚ型Ｓｏｂｏｌｅｖ空间；Ｈｅｒｚ型Ｔｒｉｂｅ１一Ｌｉｚｏｒｋｉｎ空间；Ｈｅｒｚ型Ｂｅｓｓｅｌ位势空间；乘法算子　中图分类号：　Ｏ１７４．４　文献标识码：　Ａ　文章编号：　１００８—９６５９（２０１０）０１—００４３—０４　近几十年来，有关Ｈｅｒｚ型空间的研究已有大量结果。在［２］中，陆善镇和杨大春引进了Ｈｅｒｚ型Ｓｏｂｏｌｅｖ　空间和Ｈｅｒｚ型Ｂｅｓｓｅｌ位势空间，而且给出了它在微分方程中的一些应用．在［３］中，徐景实和杨大春引进了　Ｈｅｒｚ型Ｔｒｉｂｅｌ—Ｌｉｚｏｒｋｉｎ空间，并给出了它们的一些基本性质和应用。众所周知，乘法算子是包含了许多特　殊类算子的重要算子类，而微分算子在Ｆｏｕｒｉｅｒ变换下转化成为乘法算子，因此，这类算子的研究无疑是一项　有意义的工作．在［７］中徐景实证明了乘法算子的Ｈｅｒｚ型Ｂｅｓｏｖ范数的一种估计。对于这种形式的乘法算子　常出现在Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｒｏｋｅｓ方程和各种Ｋｉｎｅｔｉｃ方程中。如Ｋｏｚｏｎｏ和Ｓｈｉｍａｄａ给出了乘法算子在Ｔｒｉｅｂｅｌ—　Ｌｉｚｏｒｋｉｎ空间中的双线性估计后，将其应用在Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程中，得到方程的解的估计。本文研究了乘　法算子的Ｈｅｒｚ型Ｓｏｂｏｌｅｖ范数的估计，这将有助于对微分方程中解的估计的研究。　１　一些记号和定义　首先我们复述一些记号，　表示　维实欧几里得空间。Ｓ（　）表示Ｓｃｈｗａｒｔｚ空间，Ｓ　（　一）表示　一上　的广义函数空间。缓增分布函数厂的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换定义为　（　）一』Ｒ　ｅ一。　‘￣ｆ（ｘ）ｄｘ　齐次Ｈｅｒｚ空间是。　的定义为　ｊ　ＩＩ　一　（∑２Ｋ…　ｂ—Ｉｌ　其中　∈　，０＜Ｐ，ｑ＜。ｏ。　齐次Ｈｅｒｚ型Ｔｒｉｂｅｌ—Ｌｉｚｏｒｋｉｎ空间Ｋ　Ｆ　定义为　ＩＩ厂ＩＩ　ｐ—ＩＩ（∑２　｝　＊，　佃ＩＩ　齐次Ｈｅｒｚ型Ｂｅｓｓｅｌ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ空间Ｋ；：；定义为　ｆ｝厂ｆｌ　Ｋ　一ｌｆ　（（１＋４丌。　。）　乃　［收稿日期］２Ｏ０９一ｌＯ一２８　［基金项目］国家自然科学基金（１０８６１０１０）；新疆大学博士启动基金（ＢＳ０９０１０１）　［作者简介］熊学亮（１９８４一），男，湖北鄂州人，在读硕士研究生，主要从事函数空间上的算子及其应用研究。　４４　新疆师范大学学报（自然科学版）　２０１０矩　其中，１＜ｑ＜ｃｘ３，０＜ａ＜Ｎ（１一ｑ），０＜Ｐ＜ｏ。，卢≥０。　２　主要结果及证明　定理２．１　设ｌ＜　＜。ｏ，ｒ，５∈　，ｎ∈　，使ｒ＜号，ｓ＜　，一　＜ａ＜　一吉　￡一ｒ＋ｓ＞　ｍａｘ｛一ｎ＋ｎ，ｑ户０），（其中　１＋吉一１），若ｐ＞２，且“∈Ｋａ　，　ｐ　∈Ｋ；：　，则ｌｌ删Ｉ１　Ｋａ　，ｃｐ≤ｃ　ｌ｛　‘　：　ＩＩ　ＩＩ　？。　推论２．１　设ｌ＜户＜。。，ｌ＜ｑ＜。。，０＜ａ＜Ｎ（１一ｑ），ｒ，　∈　，ｎ∈Ｎ，使ｒ＜　，ｓ＜　，ｒ＋　＞　ｍａｘ｛一号＋芳，０），若　＞２，且　∈Ｋ；：　，　∈Ｋ；：　，则Ｉｌ“　Ｉ１　Ｋ：：　≤ｌ１　ｌｊ　Ｋ！ｑ，’ｐｓ　ｌＩ　ｌ１　在证明定理前先给出要用到的符号：　设　∈Ｓ，　Ｆ　ｃ　Ｂ（Ｏ，１），且在球Ｂ（０，寺）上　一ｌ。　定义　（ｚ）一２　（２　），志∈　Ｕ｛０）　（ｚ）一　（ｚ）一　１（　），走∈Ｎ　易得　ｓｕｐｐＦ￣　ｃ　Ｂ（Ｏ，２　），足∈　Ｕ｛０）　ｓｕｐｐＦｒＩ）　Ｂ（Ｏ，２　）＼Ｂ（Ｏ，２卜　），忌∈Ｎ　（１）　记　＝回１，　一吼（一　）。　定义Ｓ　（　”）上的线性算子　Ｓ女－厂一　＊厂，△＾，一　＊，，△　，一　Ｉ＊ｆ，是∈　Ｕ｛Ｏ）　∑　＝Ｊ，∑△　—Ｉ　（２）　由文献［３］，存在常数Ａ　，Ａ。，使得对任意的　∈Ｋｏ　，：，有　Ａ　ｌｌ　：　≤　Ｋａ＇ＰＦ￣≤Ａｚ　（３）　引理２．１　设０＜ｎ≤ｂ＜∞，１＜Ｐ之。。，　∈　，假设有一族函数＾，　∈Ｎ，使（２　ｆｋ）ｋ∈Ｋ；一（ｚ。），　ｓｔ‘ｐｐＦ，＾ｃ（　：Ⅱ。　≤Ｉ车Ｉ≤６　｝，则有　∑．　≤Ａ　Ｉ（∑２。吐ｆ　ｆｋ　Ｋ：０　Ｋ一０　证明　取一ｚ∈Ｎ。定义算子△：ｇ一　∑　△卜　ｇ．（△　一０（ｋ＜ｏ））　由Ｍｉｎｋｏｕｓｋｉ不等式和等价范数（３），有　ｌＩ∑２　Ｉ　ｇ　Ｉ　）　ＩＩ　≤ｃ（１＋２ｚ）ｌｌ（∑２一Ｉ△　ｇ】　）　ＩＩ　≤Ｃ　ｌｌ　ｇ　ｌＩ　（４）　选取ｌ使得上＜２　，ｂ＜２Ｈ，存在是，ｊ∈　，使得　＞ｚ，则ｂ・２　＜２州～，所以￣ｐｐＦｇｑ＋ｊ　ｎ　ｐＦ　＝　。同样一　＜一Ｚ，２卜　＜ｎ・２　，ｓｕｐｐＦｇ％－，ｎ￣ｐｐＦｆｋ＝　＾：：＝∑△　ｆ　一∑Ａ　ｆ　一△　＾　｛＜∑　，ｇ）ｌ≤Ｃ　ｌ｝（∑２　Ｉ＾Ｉ　）　ｌＩ　ＩＩ（∑２一ｌ＿ｉｇ　ｌ　）　Ｉｌ　Ｋ＝０　Ｋ＝０　Ｋ　０　≤Ｃ　ＩＩ（∑２。ｋ　１＾　。ＩＩ　Ｉ１　ｇ　ＩＩ　。　Ｋ一０　由此可得结果。　第１期　熊学亮等　乘法算子的Ｈｅｒｚ型Ｓｏｂｏｌｅｖ范数估计　４５　引理２．２　设１＜户＜ｏｏ，且１＜口＜。。，则存在常数Ａ，使得　ＩＩ（∑Ｉ－＾＊　ｌ。）１／ａ　ｌ　・ｌ一≤Ａ　ｌＩ（∑ｌ＾Ｉ。）　ｌ　ｔＩ，　Ｋ＝０　Ｋ＝０　引理２．２的证明可由文献［８］中引理２．１直接得到。　定理２．１的证明　设Ｕ∈Ｋ：：　ｎ　Ｋ孑　，　∈Ｋ；：　如果ｒ＞０，　∈ｓ（　）有　ｌＩ　＝ｌＩ　Ｇ，＊（　）Ｉｆ　ｏ　≤ｉＩ　ｉＩ　ｏ。ＩＩ　Ｇｒ＊ｉ　Ｉ　ＩＩ毋・一　≤Ｉ　ＩＩＩ。。ＩＩ“ＩＩ　（５）　根据对偶性质，ｒ＜０时，结果成立。　定理２．１的证明将用到下面几个不等式：　记　：　＊　【Ｉ　ｉＩ。。≤Ｃ・２　ＩＩ　ＩＩ　Ｉｌ　ｑ　ｏ－￣（６）　（７）　（８）　（９）　《－Ｃ・２一巧　≤２叫　ｌｌ　：：　ｌ　ｌＵｊ　Ｉ　一≤Ｃ・２　『Ｉ　：：　≤Ａ　ＩＩ（２　哥Ｉ　Ｉ。）　。ＩＩ七一口．　＝　（６）式可由　的定义直接得到；（７）式由引理２．１　ＩＩ　Ｉ　１Ｃ２一　ＩＩ　ＩＩ　：：；（９）式由可（３）推得。　现在我们对删进行分解：　Ａ・２一巧ｌ　ＩＩ１　Ｉ．・　≤Ｃ－２一　；（８）式Ｉ　Ｕｊ（ｚ）ｌ＝Ｉ（　，　（　一・）＞ｌ≤ＩＩ“Ｉ　：ｌ　ＩＩ　（ｚ一・）ｌ　＿口ｌ　≤　“（　）　（　）＝∑　（　）　（ｚ）＝∑Ｍ什　（　）　（ｚ）＋∑“　（ｚ）　（　）　Ｊ盎ｏ　ｚ一０　ｄ之０　』　０　ｄ＝１　ｊ＝Ｏ　（１０）　对于ｄ＞２，考虑（１Ｏ）式右边的第一项，由于￣ｐｐＦｕｊ＋ｊｖＪ　ｃ｛　：２州（２一一２一　））≤ｌ｝ｌ≤２　（１＋２一　），由　引理２．１　ＩＩ∑　Ｊ＝０　：　≤Ｃ　Ｉ［∑２。ｆ　ｆ　Ｕｊ４－，ｔ￣』ｌ。］ｌ／２　ｌ　ｌＪ＝０　≤Ｃ２一‘ｒ－　【１　Ｉｌ畦　ｌＩ［∑２　ｆ‘　ｌ“　Ｉ。］　／　ｌＩ惩　≤Ｃ２　ｆｆ砖：　训　ｓ—ｔ＝ｎ／ｐ—ｒ＞０，因此最后的估计对ｄ是可和的。（１Ｏ）式右边的第二项同样可得　ｌ　ｌＥ　Ｕｊ　ｉ＋ａ　０　：　≤Ｃ２一‘ｒ－　ｌ　Ｉｌ　：　Ｉ　ｌｌｌ砖：　ｒ一￡＝ｎ／ｐ—ｓ＞０，该估计对ｄ是可和的。　对于ｄ＝０，１，２，（１０）式第一项由（３）得　ｆＩ　，一　≤Ｃ　ｆｆ［∑２。　］Ｉ∑　＊（　ｄ＇Ｏｊ）ｔ　ｚ］ｌ／２　Ｉｌ　ｔ掌０　＝０　。　≤Ｃ　ｌＩｌＩ（∑｛２　＊（　』）Ｉ）　由　夕户Ｆ　州　』ｃ（　：ｆ　ｆ≤２　（２　＋１）），则有　＊（“州　）：０（０≤Ｊ≤曼一３一ｄ）　，Ｉ　ＪＪＩ　：　≤Ｃ　ＩＩＩＩ（∑ｆ　２　＊（　）ｆ）　『Ｉ　≤Ｃ　Ｉ　ＩｆＩ（∑Ｊ　２　＊（　抖抖　抖。）｛）　ＩＩ　ｚ　ｌＩ　．，　≤Ｃ　ＩＩ∑『Ｉ（Ｉ　２　＊（“抖抖　㈣）　一－￣－－ｄ　；　２－ｄ　　ＩＩ［Ｅ２　ｌ。掌０　．＊（　一　）　ｚ　４６　新疆师范大学学报（自然科学版）　２０１０年　２　Ｉ　＊（　ｋ－Ｆｄ＋８　抖　）Ｉ≤２　［　＊Ｉ　Ｕｋ＋￣４　ｌ　ａ（　）］　／“［　＊Ｉ　抖　Ｉ　Ｓ（　）］　２　［　＊ｌ　抖　Ｉ　（ｚ）］　：：＝２　（　（　—　）　）　Ｉ１　抖　Ｉ１　Ｉ　Ｉｖ（ｋ＋　）Ｉ　ｔＩ一）　ＩＩ　Ｈ咕ＩＩ。（。ｂ－　’　≤２　（ＩＩ　ｆ￣（　一｜）Ｉ）ＩＩ　≤Ｃ２‘　‘抖　一　ＩＩ　１　１＝ｒＬ　Ｃ２　‘抖　一　ＩＩ　ＩＩ　（这里１＜ａ，ｂ＜ｏｏ，使得１／ａ＋１／ｂ一１）　由引理２．２得：　∑　Ｉ［∑２。　Ｉ　＊（　ｋ－Ｆｄ＋Ｂ　抖　）Ｉ　２］１／２　ＩＩ　ｋ＝０　≤Ｃ２一　ｌ｛［∑２　ｓ‘抖科　（　＊ｌ　Ｕｋ＋６＋　ｌ　ａ）。　］　Ｉ　，ｌ一ｌｌ　｛ｌ　ｃ２一　一　Ｉ】［∑２　‘抖汁　｛　纠抖　Ｉ。］　。Ｉｆ　，一Ｉ　ＩＩ　Ｉｋ＝０　≤Ｃ２一　一　Ｉ　＿Ｉ　：ｌ：　ｌ　ｌｌＩ　由ｔ＞０，最后一项对　是可和的。这样就有：　＊（　抖抖　抖　）Ｉ。］　。ＩＩ　，一≤Ｃ２一　一“ＩＩ甜Ｉ　譬ＩＩ　ＩＩＩ　：　于是就可以得到定理的结论。　参考文献：　［１］Ｔｒｉｅｂｅｌ　Ｈ．Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｓｐａｃｅｓ．Ｂａｓｅｌ：ＢｉｒｋｈＳｕｓｅｒ，１９８３．　［２３　Ｌｕ　Ｓ　ｚ，ｒａｎｇ　Ｄ　Ｃ．Ｈｅｒｚ—ｔｙｐｅ　Ｓｏｂｏｌｅｖ　ａｎｄ　Ｂｅｓｓｅｌ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｓｐａｃｅｓ　ａｎｄ　ｔｈｅｉｒ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｓｃｉ　ｉｎ　Ｃｈｉｎａ（Ｓｅｔ　１），１９９７，４０（２）：１１３—１２９．　Ｅ３３　Ｘｕ　Ｊ　Ｓ，Ｙａｎｇ　Ｄ　Ｃ．Ｈｅｒｚ—ｔｙｐｅ　Ｔｒｉｅｂｅｌ－－Ｌｉｚｏｒｋｉｎ　ｓｐａｃｅｓ，Ｉ．Ａｃｔａ　Ｍａｔｈ　Ｓｉｎｉｃａ（Ｅｎｇｌ　Ｓｅｒ）（ｔｏ　ａｐｐｅａｒ），２００５，２１（３）：６４３—６５４．　［４］Ｊｏｓｉｐ　Ｔａｍｂａｌａ．Ｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｓｏｂｏｌｅｖ　Ｎｏｒｍ　ｏｆ　ａ　Ｐｒｏｄｕｃｔ　ｏｆ　Ｔｗｏ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　２００１　（２５５）ｌ１３７－－１４６．　［５３　Ｍ．Ｔ．Ｌａｃｅｙ。Ｓｈａｒｐ　ｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｓｏｂｏｌｅｖ　ｎｏｌＴｎ　ｏｆ　Ｕ　ｔｉｍｅｓ　ｔｈｅ　ｇｒａｄｉｅｎｔ　ｖ，Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａ１．Ａｐｐ１．１９９７，（２０５）：５５４－－５５９．　［６３　Ｄ．Ｒ．Ａｄａｍｓ　ａｎｄ　Ｌ．Ｉ．Ｈｅｄｂｅｒｇ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｓｐａｃｅｓ　ａｎｄ　Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　Ｔｈｅｏｒｙ．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－－Ｖｅｒｌａｇ，Ｂｅｒｌｉｎ／Ｈｅｉｄｅｌｂ　ｅｒｇ，１９９６．　［７］Ｘｕ　Ｊ　Ｓ．Ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ　Ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒｓ　ｏｆ　Ｈｅｒｚ—ｔｙｐｅ　Ｂｅｓｏｖ　Ｓｐａｃｅｓ　ａｎｄ　ｔｈｅｉｒ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　Ａｐｐｌｉｃａｔａ，２００４，１７（１）：１１５—１２１．　［８３　Ｘｕ　Ｊ　Ｓ．Ａ　Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ　Ｏｆ　Ｈｅｒｚ—ｔｙｐｅ　Ｔｒｉｅｂｅｌ－－Ｌｉａｏｒｋｉｎ　Ｓｐａｃｅｓ　Ａｎｄ　Ｉｔｓ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００４，２４Ｂ（３）：４１２—４２０．　Ｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ｏｆ　Ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｗｉｔｈ　Ｈｅｒｚ—ｔｙｐｅ　Ｓｏｂｏｌｅｖ　Ｎｏｒｍ　ＸＩＯＮＧ　Ｘｕｅｌ　ｉａｎｇ，　ＯＡＯ　Ｙｏｎｇｈｕｉ，　ＪＩＡＮＧ　Ｙｉｎｓｈｅｎｇ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｙｓｔｅｒｍ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｘｉ　ｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｕｒｕｍｑｉ　Ｘｉｎｊｉａｎｇ　８３００４６）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｇｉｖｅ　ｔｈｅ　ｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ｏｆ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｗｉｔｈ　ｓｏｂｏｌｅｖ　ｎｏｒｍ．Ｉｎ　ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｗｅ　ｕｓｅ　ｓｏｍｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｎ　ｈｅｒｚ—ｔｙｐｅ　ｓｐａｃｅｓ　ａｎｄ　ｄｕａｌ　ｓｐａｃｅｓ．Ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｉｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｍｅａｎｉｎｇ　ｏｆ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｎｏｒｍｓ．Ｗｅ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ｏｆ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ｗｉｔｈ　ｈｅｒｚ－－ｔｙｐｅ　ｓｏｂｏｌｅｖ　ｎｏｒｍ　ｂｙ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｎｇ　ｉｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｈｅｒｚ－－ｔｙｐｅ　Ｓｏｂｏｌｅｖ　ｓｐａｃｅ；Ｈｅｒｚ—ｔｙｐｅ　Ｔｒｉｂｅｌ—Ｌｉｚｏｒｋｉｎ　ｓｐａｃｅ；ＨｅｒｚＴｙｐｅ　Ｂｅｓｓｅｌ　ｐｏｔｅｎ—　ｔｉａｌ　ｓｐａｃｅ；Ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ