第七章 空间解析几何学

在中学中，我们曾学过平面解析几何。先建立一个平面直角坐标系，将平面上的点与一个有序数组对应起来；将平面上的一条直线或曲线，与一个代数方程对立起来，这样就可以用代数方法来研究几何问题。而空间解析几何是平面解析几何的进一步，它是在三维空间里进行研究。

一、

第一节 空间直角坐标系

空间点的直角坐标。

在研究空间解析几何的开始，我们首先建立一个空间直角坐标系。 方法：在空间，任意固定一点O，做三条等长经过以O为原点且相互垂直的直线，对于这三条直线，分别选取他们的正向，使他们成为坐标轴OX，OY，OZ。坐标轴OX，OY，OZ是均为原点在O点，长度均选择单位长的数轴。OX轴又称为x轴或横轴，OY轴又称为y轴或纵轴，OZ称为z轴或竖轴，他们统称为坐标轴。习惯上，总把x轴，y轴放在水平面上，z轴放在垂直位置上。那么如何决定x轴，y轴，z轴顺序的相对位置呢？下面介绍两种方法：

其一、课本P.287所叙。他们的正方向符合右手法则，即以右手握住z轴，大拇指方向为z轴的正方向，其余四指从x轴正向旋转900时，所指方向便为y轴正向，这样相对位置便决定好了。

其二、令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

由上述二方法，我们就可以由这三条坐标轴组成一个空间直角坐标系，用Oxyz来表示，如图1：

图中，点O成为坐标原点。在某些书中，这种坐标轴又称为空间直角右手坐标系。因为相应的还有一个左手坐标系，但不常用，在我们这本教材中，里面使用的全部都是右手坐标系。

从上图中，我们可以确定三个坐标平面，即三个坐标面，他们相互垂直，其中，垂直于OX轴的叫做YOZ平面或Oyz平面，其他类似。

三个坐标平面把整个空间分成了八个部分，每个部分叫做卦限，有关八个卦限的排列顺序我们等一下再介绍。

空间直角坐标系建立以后，我们就可以建立空间的点与有序数组之间的对应关系，为此先介绍空间点的坐标。

对于空间任意一点M，过M做三个平面，分别垂直于x轴，y轴和z轴，他们与之的交点分别记做P、Q、R（如图2）。此三个点分别在x轴，y轴和z轴上的坐标依次为x，y，z。这样点M就唯一的确定了一个有序数组（x，y，z），这组数（x，y，z）就叫做M点的坐标，并依次称x，y和z为M点的横坐标，纵坐标和竖坐标，通常记为M（x，y，z）。

倒过来，对任意一个有序数组（x，y，z），空间总有唯一的点M，其坐标就是（x，y，z）。事实上，在x轴上，取坐标为x的点P，在y轴上，取坐标为y的点Q，在z轴上，取坐标为z的点R。经过P、Q、R分别作平行于坐标面YOZ，ZOX，XOY的平面，这三个平面相互垂直，且交于一点M。显然，M点且仅有M点是以有序组（x，y，z）为坐标的点。

从上面两个方面，我们知道，在建立空间直角坐标系后，空间的点M和有序数组（x，y，z）之间建立一个一一对应的关系，这样，说明了（x，y，z）可以叫做M点的直角坐标，根据坐标画点时，可按图2的路线进行。

坐标面和坐标轴上的点，起坐标各有一些特征，很简单，这里就不详写了。下面我们讲卦限划分：各卦限内的点（除去坐标面上的点外）的坐标符号如下：

Ⅰ（+，+，+），Ⅱ（-，+，+），Ⅲ（-，-，+），Ⅳ（+，-，+，）

Ⅴ（+，+，-），Ⅵ（-，+，-），Ⅶ（-，-，-），Ⅷ（+，-，-） 【注】：我们很少用到卦限的概念。

补充画图注意的地方：假定画图用的是方格纸，上面画有一族纵的和一族横的平行线，且行距相等，取任意横线和纵线的交点作为原点O，从O点起向右的平线作为正的y轴，向上的作为正z轴，向左下方的对角线作为正x轴，在纸上令y轴和z轴的单位长相等，但x轴上的单位长度等于那个单位长度的

22，由于

立体感，直观上会觉得三条轴上的单位长大致相等，画点时可按图1或者图2所示去画。

二、

空间上两点间的距离

在数轴上，M1（x1），M2（x2）两点之间的距离为D=M1M2x1x2(x1x2)。

2在平面上，M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点之间的距离为： D=M1M2(x1x2)(y1y2)。

22那么，在空间上任意两点M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2）之间的距离是多少呢？我们可以证明：D=M1M2(x1x2)(y1y2)(z1z2)。

222事实上，过M1，M2，各作分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以M1，M2，为对角线的长方体（P288，图6-4）。

∴ D2= M1M2 = P1P222M1N22NM222M1P2PN2NM22

Q1Q2R1R2= (x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

∴ D=(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2 这就是空间两点的距离公式。

【特别的】：（1）点M（x，y，z）于坐标原点O（0，0，0）的距离为 d=x2y2z2

（2）M1，M2两点之间的距离等于0 M1=M2，两点重合，也即x1=x2，y1=y2，z1=z2。

（3）M1M2= M2M1

【例1】：已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（-1，3，1）。试证明A角为钝角。

证：AB=(71)2(102)2(33)2100 AC=(11)2(32)2(13)29 BC=(7(1))2(103)2(31)2117

可见，BC>AC+AB由余弦定理，就可知A角为钝角。 【例2】：在z轴上，求与A(-4,1,7)和B(3,5,-2)两点等距离的点。

解：设M为所求的点，因为M在z轴上，故可设M的坐标为：（0，0，z） 根据题意，及(0(4))2(01)2(z7)2=(03)2(05)2(z(2))2 去根号，整理得：z=14/9 ∴ M（0，0，14/9）。

【例3】：试在xoy平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各点的距离相等。

解：设M为所求。故依题意可设M的坐标为（x，y，0），又由题意知： |MA| = |MB| = MC| ，即：

(x1)(y1)(05)(x4)(y6)(01)

4x10y14x16

2x4y12y5222222222222=

(x3)(y4)(04)222=

化简可得∴ 所求的点为M（16，-5，0）。

第二节 向量及其加减法、向量与数量的乘法

一、 向量概念

Def：向量是既有大小（由一个大于等于零的数表示）又有方向的量。 在物理学中，有许多量不仅有大学而且有方向特征。故称之为向量（矢量）。 在数学中，往往用一条有方向的线段，又称有向线段来表示向量。有向线段的长度表示该向量的大小，有向线段的方向表示该向量的方向。以M1为起点，M2为终点的有向线段表示的向量。记为M1M2，有时用一个粗体字母或者上面带有尖头的字母来表示，比如：a，i，j，k或者a，j，k，v等等。

向量大小叫做向量的模。即所有有向线段的长称为其模。向量M1M2，a，a的模依次记做M1M2，a，|a|。

【注】：（1）|·|不是绝对值。

（2）模为1的向量称为单位向量。

（3）模为0的向量称为零向量，记做0，0。零向量的方向可以是任意，

但规定一切零向量都相等。

在直角坐标系中，坐标原点O为始点，M为终点的向量OM，称为点M对点O的向径，由粗体字r表示。

在实际问题中，有的向量与始点无关（比如指南针），而有的与始点有关（比如点的运动速度）。而我们现在只考虑前一种，即与始点无关的向量，并称为自由向量，简称向量。

由于我们不考虑始点的所在位置，因而规定，两个方向相同，长度一样的向量a或b称为相等向量，或a和b相等，记为a=b。又说：如果两个向量经过平行移动后能够完全重合，就称为两个向量相等。

若向量a，b，长度相等，方向相反，就称为它们互为负向量，用a= -b或者b= -a表示；若a，b方向相同或者相反，则称a，b为平行向量，记为a // b。

二、 向量的加减法

在研究物体受力时，作用于一个质点的两个力可以看作两个向量。而它的合力就是以这个力作为边的平行四边形的对角线上的向量。我们现在讨论向量的加法就是对合力这个概念在数学上的抽象和概括。

向量的加法：设已知向量a，b，以任意点

O为始点〖一般讲，任意二向量未

必同始点，但是利用自由向量的特点可以做到同一始点〗，且分别以A，B为终点，

a=OA，b=OB，再以OA，OB为边作平行四边形OACB，对角线的向量OC=c，

这就是a，b之和，记做a+b=c（如图3）

由a，b求a+b的过程叫做向量的加法，上述利用平行四边形的对角线上向量

来规定两向量之和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。若两个向量a，b在同

一直线上（或者平行），则他们的和规定为：

（1）若a，b同向，其和向量的方向就是a和b的模之和。

（2）若a，b反向，其和向量的方向为aa，b中较大的模与较小的模之差。

，b中较长的向量的方向，其模为，b的共同方向，其模为a的模

除了向量加法的平行四边形法则外，还有一种向量加法的三角形法则：

设已知向量a，b，现在以任意点

O

为始点，做a=OA，再以a的终点A为

始点，做

AC=b，连接

OC，且令OC=c，即得a+b=c。

）=0；a+0=0+a=a

对于任意向量a，我们有：a+（-a向量的加法满足：

（1）交换律：a+b=b+a （图4）

aa （2）结合律：（+b）+c=+（b+c）（图5）

由于向量的加法满足结合律，三个向量a，b，c之和就可以简单地记为：

a+b+c，，其次序可以任意颠倒。一般地，对于n个向量a1,a2,a3,…,an,它们的

和可记做a1+a2+a3+…+an。它们之间不须加括号，各向量次序可以任意颠倒。

N个向量a1,a2,a3,…,an相加的作图法，可由三角形法则推广如下：由空间任

一点O到OA1=a1，由A1到A2做A1A2=a2，…，最后由an1的终点An-1到An

作

An1An=an得到一系列折线O A1AA2…An-1 An ，连接O An ，得： OA=a1+a2+a3+…+an

aaaaaa 向量的减法：我们规定-b=+（-b）。由此立即推得：-=+（-）。现在我们给出a-b的作图法（如图6），由图可见，a-b是平行四边形另一对角线上

的向量。

三、 向量与数量的乘法

设是一个数量，向量a与的乘积a规定为：

aaa（1）当>0时，表示一向量，其方向与方向相同，其模为

的 倍，即aa。

（2）当=0时，a为零向量，即a0

a表示一向量，（3）当<0时，其方向与a方向相反，其模为a的 倍，即aa。

特别的：当=-1时，（-1）a与a互为负向量，故有（-1）a=a。 ．．．

数量和向量的乘积满足下列运算规则：

（1）结合律：(a)(a)a

（2）分配律：()aaa (ab)ab

证明从略

根据向量和数量的乘积规定，可推广得：如果当1a2b0时，（数量1、2，使得1a2b0，（1、2不能同时为零）。即：

1a2b0a// b

i

为数量，i=1，2），即a，b为平行向量；反之，如果a，b平行，那么必存在一

【注】：当b0时，aba// b 设a0表示非零向量a同向的单位向量，显然，

a01，由于a0与a同向，且a0a0，所以存在一个为数量，使得

a0，且>0；现在

0aa我们决定这个，在的两边同时取模，

00aaaa1，

∴0aaa=a，即得：

1a/a现在规定，当0时，

∴ 向量。

a=a/a0；即一非零向量除以以其模便得到一个与其同向的单位

【例1】 已知平行四边形两邻边向量OA为M，求OM,MA,MB

a，OBb，其对角线交点

解：

如图7所示， 显然OC2OM，又OCab

ab∴ 2OMab  OM

2又∵OMMAOAa

1即(ab)MAa 211∴ MAa(ab)(ab)

2211又MBMAa(ab)(ba)

22【例2】：设已知立方体三边上的向量a，b，c（大写表示向量），A、B、C、D、E、F为各边的中点，求证：AB，CD，EF组成一个三角形。

证明。如图8

第五节 平面方程

一、 点法式方程 法向量及点法式方程。

设平面的法向量为n={A，B，C}，而平面经过点P0(x0，y0，z0)。 则称A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0为平面的点法式方程。

【例1】：已知平面上一点P1(a，0，0)，P2(0，b，0)，P3(0，0，c)。若：abc0，求平面的方程：

解：P1P2={-a，b，0}，P1P3={-a，0，c}

则n=P1P2*P1P3=aijb0k0=bciacjabk

ac则：bc（x-a）+ac（y-0）+ab（z-0）=0 同除以abc则

xaybzc1

其中a，b，c称为平面方程在x轴，y轴，z轴上的截距。 二、 平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0

〖讨论〗：（1）D=0  平面经过原点

（2）A=O  平面// y轴 （3）A=D=0  平面过x轴 A=B=0  平面// XOY平面

三、 两平面的夹角

0，为两平面法向量的夹角。

xz0【例2】设平面过P(1，0，1)，且垂直于直线，求平面的方程。

xyz0解：设平面的法向量为n，而其余两平面的法向量依次记做：n1，n2

i nn1n211j01k1i2jk 1 则：平面的方程：（x-1）-2（y-0）+z-1=0。

【1996-2-Ⅱ】：设平面过原点以及点（6，-3，2），且与平面4x-y+2z=8垂直，求平面的方程。

解：〖法一〗：由于平面过原点，所以可设平面的方程为：Ax+By+Cz=0。

6A3B2C04AB2C032则 ，上面两式相减得A=B，C=B，任取B=2，A=B=2，C=-3

∴ 平面的方程的为：2x+2y-3z=0

〖法二〗设平面的法向量为n，而其余两平面的法向量依次记做：n1，n2。且n1={6，-3，2}，n2={4，-1，2}

i∴ nn1n264j31k24i4j6k 2∴ 平面的方程的为2(x-0)+2(y-0)+3(z-0)=0.

【例3】：设点P1(x1，y1，z1)为平面：Ax+By+Cz+D=0外的一点。求点P1到平面的距离d。

解 设P0(x0，y0，z0)为平面上的任意一点。又设设平面的法向量为n，而直线P0P1的方向向量为a：

∵ d=P0P1cos(a,n)P0P1A(x1x0)B(y1y0)C(z1z0)P0P1AB22

C2 又∵ Ax0+By0+Cz0=-D ∴ d=

Ax1By1Cz1DAB22

C2 如：P1(-1，1，2)到平面：3x-2y+z-1=0的距离为d=

414

第六节 直线方程

一、 空间直线的对称式方程和点向式方程 设空间直线的方向向量为sm,n,p

点向式（参数式）：

xx0myy0nzz0p（=t）

zz0yy0p， 【注】当m=0时，则方程的点向式记为：nxx0其他类似。

二、 一般方程。

已知任意两个不平行，不重合的平面必定相交于一条直线。 A1xB1yC1zD1∴ 直线的一般方程为

AxByCzD2222化一般式方程为点向式方程。

2x3yz7求直线l:  的点向式方程。

3x2yz13yz52yz4【例1】

解：令x=1，得到，则y=-1，z=2。

所以：P0(1，-1，2)在所求直线l上。 又∵ 直线l要经过两个平面，

∴ 假设两平面的法向量依次记做：n1、n2，而直线l的方向向量为：s

则：sn1n2i5j13k

∴ 直线l的点向式方程为：

三、 两直线的夹角

x11y15z213。

定义：两直线的夹角为直线方向向量的夹角。

x11y52z81【1993-1】设直线l1 :

,直线l2 : xy62yz3求两直线的夹角。

解：两直线的方向向量分别为：s1{1,2,1}，s2n1n2{1,1,2}  其中n1，n2分别为l2所对应的两平面的法向量。 s1s21∴ 两直线的夹角：cos，

s1s22∴ arccos123。

四、 直线与平面的夹角

定义：称直线l与其在平面上的投影直线l的夹角为直线l与平面的夹角。【注】

02。如图所示：

由图可知直线l方向向量与平面法向量的夹角（n,s）=

2

又∵sin0

∴ sinsin((n,s))cos(n,s)2cAB22C2m2np22

其中{A，B，C}为平面的法向量，{m，n，p}为直线的方向向量。 【注】 当直线l// 平面,则AmBnCp=0;

当直线l平面，则有

AmBnCp.

x3y2z10【1995-1】设有直线l ：，且有平面：4x2yz0。

2xy10z30则直线l（ ）

（A） 平行平面 （C）在平面上 （B） 垂直平面 （D） 与平面斜交 解：直线l的方向向量s是：

is12j31k21028i14j7k{28,14,7}

∴ s={4,-2,1}

又∵ 平面的法向量：{4，-2，1}

∴ 直线l与平面垂直，故选（B）。

ll五、 本节综合习题

【例】：求过点P（2，-1，3）且与直线l1：

x3y75z22垂直相交的直线l的方程。

解：不妨设两直线交点为M（x0，y0，z0）,

x03t由于M在l1上，故：y05t7，其中t为参变量。

z2t20由于直线l与直线其中直线

1

1

垂直：

的方向向量为s1{3,5,2}，而直线l的方向向量为：

s{x02,y01,z03}{3t2,5t6,2t1}

∴ ss13(3t2)5(5t6)2(2t1)0

∴ t=1

从而M点坐标为（3，-2，4），则s{1,1,1}

x21y11z31则直线l的方程：。

z31【例】：设平面过直线l1：

x22x11y20z1，

且平行直线l2：

y11，求平面的方程。

解：两直线的方向向量分别为：s1{1,0,1}，s2{2,1,1}  则平面的法向量ns1s2{1,3,1}。

故可假设平面的方程为：x-3yzD0 代入（1，2，3），得D=2

所以：平面的方程为：x-3yz20

【例】：求过点P0（1，2，1）和直线l：xz6x2y3z0的平面方程。

解：由于P0不在平面xz6上，故平面xz6不是所求平面。 通过直线l的全体平面可表示为： x2y3zt(xz6)0

由于直线l在所求平面上，故代入上式可得t= -1 从而得所求平面为：yz3。

第七节 曲面与曲线方程

一、 曲面方程

1、 曲面的概念

定义1：如果曲面(S)上所有的点都满足方程F(x,y,z)0，且不在曲面(S)上的任何点都不满足方程F(x,y,z)0。则称方程F(x,y,z)0为曲面(S)的方程，而称(S)为F(x,y,z)0的图象。

【例】求球心在M0（a，b，c），半径为r的球的方程。

解：由球的定义和点之间距离公式可知，球的方程为：

(xa)(yb)(zc)222r2

2、 柱面方程

定义2：空间给定一条动直线l与定曲线，移动直线l沿曲线做平行于某定直线

L的移动，形成的曲面称为柱面，称为曲线柱面的准线，动直线l称为柱面的母线。如图：〖上图中，L为z轴〗

【例】：设：(x,y)0z0，求以作为准线，母线平行于z轴的柱面方程。

解：在柱面上任意取一点M(x0，y0，z0)，则M必在某条母线上，它与的

交点为M1(x0，y0，0)（如下图），从而有(x0,y0)0，故曲面上任一点都满足

(x,y)0；

另一方面：若M(x0，y0，z0)满足(x0,y0)0，则M必在经过C(x0，y0，

0)的母线上，且z=0。

故所求柱面方程为(x,y)0。 【注】此表达式中，缺z。

(x,z)0y0同理：以，(y,z)0x0为准线，母线分别平行于y，z轴的柱

面方程分别为(x,z)0，(y,z)0。

22其中，yz2代表母线平行于x轴的圆柱面；

xz20代表母线平行于z轴的抛物柱面。图形分别如下：

2

3、 旋转曲面

f(y,z)0【例】求曲线：绕z邂逅旋转一周所得的曲面方程。

x0解：在曲面上任取一点P（x，y，z），过P点作平行于XOY面的平面，与曲

线交点M（0，y1，z），则f(y1,z)0，

由于平面与曲面交线是以O1（0，0，z）为圆心的圆周，故： PO1O1M，即：

xy22y1，从而：

f(xy,z)0。如图：

22

f(y,z)0若：绕y轴旋转一周，所得曲面方程为：f(y,x0xz)0。

222x2z222xyz2211。 如：a绕x轴旋转一周所得曲面方程为：2c2acy0绕z轴旋转一周所得曲面方程为

y2xa22zc221。

【例】求对称轴为z轴，半顶角为的锥面方程。

解：如图 设锥面由zyctgxo

绕z轴旋转而成

故锥面方程为：zx2y2ctg 即：z2x2y2ctg 当等于

4时，z2x2y2。

二、曲线方程 1、 曲线的一般方程

空间中的任何曲线可以看成是两个曲面的交线。

设曲线是曲面1：F(x,y,z)0与曲面2：G(x,y,z)0的交线，则曲线方程为

F(x,y,z)0，称该方程为曲线的一般方程。 G(x,y,z)0【例】：求球心在（1，2，3），半径为3的球面与平面z=5的交线方程。 解：球面方程为：

(x1)(y2)(z3)32222

(x1)2(y2)2(z3)29 即：的方程为：

z52、 曲面的参数方程

xx(t)xx(t)如果曲线上的点的直角坐标系可表示为：yy(t) ，t。则称yy(t)，

zz(t)zz(t)t为曲线的参数方程。

【例】：求螺旋曲线（动点M在圆柱面x2y2a2上以均匀角速度运动，同时以线速度v沿平行于z轴正向的方向上升，M点的运动轨迹就是螺旋曲线）方程，图形如下：

解：设时间t刻，M点的坐标为（x，y，z）。显然，zvt

而M点又落在曲面x2y2a2上，且做均匀角速度的旋转，转动的角度为t，

过M点做直线平行于z轴，交XOY平面于（x，y，0）。

从而可以得到xacostyasint，所以M点的坐标为：(acost,asint,vt)

xacost 所以由曲线的定义可知，曲线的方程：yasint

zvt三、空间曲线在坐标面上的投影 已知：曲线： F(x,y,z)0G(x,y,z)0，求曲线在XOY面上的投影曲线。

H(x,y)0 〖方法〗：就曲线的方程，消去z，得到方程H(x,y)0，称方程：为

z0曲线在XOY面上的投影曲线方程。

【注】：同理：消去x，得到在YOZ上曲线的投影方程。 消去y，得到在XOZ上曲线的投影方程。

2222xyzR【例子】：求在三个坐标面上的投影曲线。

222xyz2Rz3222xyR 解：1、消去z得：在XOY上的曲线方程； 4z0R3zR，在YOZ上的曲线方程； 2、消去x得：2，y2x0R3z 3、 消去y得：R在XOZ上的曲线方程。 2，x2y0第八节 二次曲面

一、椭球面方程：

xa22yb22zc221；

二、抛物面：

x22py22q（p，q同号）。 z，

三、双曲面：

xaxa22ybyb22zczc221，单叶双曲面；

222222 1，双叶双曲面。