高数2007工-2期末考试试-A卷(工)-答案

北京工业大学2006─2007学年第二学期

“高等数学(工)”期末试卷 (A)

一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。

1．假定函数f (x,,y)在点(x0,y0)处取得极大值，此时下列结论正确的是 【 D 】 （A）f(x,y0)在xx0处导数等于零. （B）f(x,y0)在xx0处导数大于零. （C）f(x,y0)在xx0处导数小于零. （D）f(x,y0)在xx0处导数未必存在.

zln(x2y2z2)2222． 2(其中为 xyz2)的值等于 【 C 】dxdydz22xyz1（A） 2 （B） 1 （C） 0 （D） -1 3．级数

(1)nn21 的敛散情况是 【 A 】 lnn（A） 条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不能确定 4．将三重积分I(x2y2z2)dv，其中:x2y2z21，化为球面坐标下的三

次积分为 【 C 】

（A） （C）

202dddr （B） 0012020ddrdr

010ddr4sindr （D） 00120ddr2sindr

0015．定义在[,]上的函数f(x)|x|展开为以2为周期的傅立叶级数，其和函数记为

S(x)，则S() 【 B 】

（A）0 (B)  （C） （D）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上. 6．曲线xt,yt,zt在点P(1,1,1,)处的切线方程为

23 2x1y1z1， 123法平面方程为x2y3z60. 7．设为球面xyza的表面,则

2222(x2y2z2)dS=4a4.

1x48．函数f(x)的麦克劳林级数的第5项为5，收敛域为(4,4).

x449．已知函数f(x,y)2x3yxayb（其中a,b是大于1的实数）,有一个极值点(1,1)，

则a2,b3， 此时函数f(x,y) 的极大值为_ 3 _.

10．z33xyzxyz确定了隐函数zz(x,y)，则zz(x,y)在点(0,0,1)处的全微分为 dz

三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题9分，共54分. 解答应写出主要过程或演算步骤.

11dxdy . 22z2z11．设函数zfyx,ye，其中f具有二阶连续偏导数，求，．

xxyx解：设 uyx,vyex， 则

zfu'yexfv' x2z''''fu'yexfv'fuuexfuvxyy''''yex(fvuexfvv)exfv'''''''fuuexy1fuvye2xfvvexfv'

12．计算二次积分I(a)解：

a0dxeydy,其中实数a0，并求极限 limI(a)

aax2a0dxeaa0xy2dydxe0xaay2dydye00ayy2dx

yey221dyea1.2 从而 limI(a)a1。 22

13．利用高斯公式计算曲面积分 I其中是锥面zydydzxdzdxzdxdy,

x2y2介于平面z0与平面z3之间部分的外侧.

22解：补平面1:z3,(xy9)上侧。

I2zdv9dxdy

1Dxy 

302z3dz8181. 214．已知曲线积分 Ix,y(x,y)(0,0)

其中(x)是e(x)ydx(x)dy与积分路径无关，

x二阶可导函数，且(0)0，(0)0. 1.求(x)；2.求I(1,1).

(x)解：1. (x)ex.

YC1sinxC2cosx.

1xe. 21x 通解yC1sinxC2cosxe.

211(0)C20,C2.

2211111(0)C10,C1. (x)sinxcosxex.

22222(1,1)111111xx2. I(1,1)[esinxcosx]ydx[cosxsinxe]dy

(0,0)2222221111111[cos1sin1e]dycos1sin1e.

0222222

y*Aex，代入方程得y*nn1nn115． 求（1）幂级数nx的收敛域；（2）幂级数nx的和函数；（3）级数

n12n12(1)n1nn的和. n2nn1x收敛半径为 r2， 收敛区间为 (-2， 2) . nn12解： (1)

(2)

xn1容易知道 S(x)n，

x2n012两边求导有得

1nn1的和函数为 x2n2n1x212 （3） 利用 （2） 有

(1)n1nn2. n29

16．函数f(x)具有连续的导数，满足f(x)eaxx 求a)2a，f(at)dtaex1，且f(00的值及函数f(x).

解： 首先由关系式有 f(0)a1， 由此可以得到 a1同时 f(0)2 由 f(x)exx0f(t)dtaex1， 我们有

exf(x)x0f(t)dt1ex

两边同时对x求导化简得： f'(x)(ex1)f(x)1 利用常数变易法可得 f(x)ceexxe2exx

再由f(0)2得 c2ee1， 从而得到 f(x)(2ee1)eexxe2exx

四、 证明题: 本题共1题，6分. 17. 已知无穷级数

ulnnn满足 un1其中实数a0, n2x2nx2y2dxdy, y2a2级数

un 当a1时收敛; 当a1时发散, 但

n2(1)nun 总收敛.

n2证明：u1lnny22ndxdy1(1na2)na

x2nx2y2a2所以 u1n1nnn2n2na2，

(1)u(1)n2， 由有关判别法易知。

n2n2na

证明: