三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式 (文)考点

考点13三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系

与诱导公式

1．任意角、弧度制

（1）了解任意角的概念和弧度制的概念. （2）能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数

（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出

，π的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出2sinxtanx. cosxysinx,ycosx,ytanx的图象，了解三角函数的周期性.

（3）理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，

一、角的有关概念 1．定义

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类

（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角． （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．

（3）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合

S{|k·360,kZ}．

3．象限角与轴线角

第一象限角的集合为2kπ2kππ,kZ； 2第二象限角的集合为2kππ2kππ,kZ； 2

1

第三象限角的集合为2kππ2kπ3π,kZ； 2第四象限角的集合为2kπ3π2kπ2π,kZ. 2终边与x轴非负半轴重合的角的集合为

2kπ,kZ； 终边与x轴非正半轴重合的角的集合为2kππ,kZ； 终边与x轴重合的角的集合为kπ,kZ； 终边与y轴非负半轴重合的角的集合为2kππ,kZ； 2终边与y轴非正半轴重合的角的集合为2kππ,kZ； 2终边与y轴重合的角的集合为kππ,kZ； 2kπ,kZ． 终边与坐标轴重合的角的集合为2二、弧度制

1．1弧度的角

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 规定：l,l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度r数为负数，零角的弧度数为零．

2．弧度制

用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值3．弧度与角度的换算

l与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关． rπ180180πrad,1rad=57.3,1=rad． π1804．弧长公式

lr，其中的单位是弧度，l与r的单位要统一.

2

角度制下的弧长公式为：l5．扇形的面积公式

nπr（其中n为扇形圆心角的角度数）. 18011Slrr2.

22nπr2角度制下的扇形面积公式为：S（其中n为扇形圆心角的角度数）.

360三、任意角的三角函数 1．定义

设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，点Px,y是角的终边上任意一点，P到原点的距离OPrr0，那么角的正弦、余弦、正切分别是

sinyxy,cos,tan． rrxπy的定义域是kπ,kZ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R.

2x注意：正切函数tan2．三角函数值在各象限内的符号

三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线

设角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于

x轴于M．由三角函数的定义知，点P的坐标为cos,sin，即Pcos,sin，其中

x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其cosOM,sinMP单位圆与,反向延长线相交于点T，则tanAT．我们把有向线段OM,MP,AT分别叫做的余弦线、正弦线、正切线．

各象限内的三角函数线如下：

3

角所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 图形 4．特殊角的三角函数值

0 30 0 45 60 90 120 135 150 180 270 360 π 61 23 23 3π 42 22 2 1π 33 2π 21 2π 33 23π 42 25π 612 π 3π 22π 0 sin 0 01 cos 1 1 20 123  222 1 01 tan 0 3 不存在3 1 33 0 不存在0 补充：sin15cos756262,sin75cos15, 44tan1523,tan7523.

四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系

sin2cos21．

2．商的关系

sintan． cos3．同角三角函数基本关系式的变形

2222（1）平方关系的变形：sin1cos,cos1sin；

4

（2）商的关系的变形：sintancos,cos（3）

sin； tan1112tan1,1． 222cossintan五、三角函数的诱导公式

公式 一 2kπ+α 角 （k∈Z） 正弦 余弦 正切 sin α cos α tan α −sinα −cosα tanα −sinα cosα −tanα sinα −cosα −tanα π+α −α π−α 二 三 四 五 六 −α 2cosα sinα +α 2cosα −sinα 函数名不变， 口诀 符号看象限 函数名改变， 符号看象限

考向一三角函数的定义

1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．

2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．学科%网 3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin，cos，tan)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.

典例1已知角α的终边落在直线y=x上，求sin α,cos α,tan α的值.

5

【名师点睛】任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．

1．已知角错误！未找到引用源。终边上一点错误！未找到引用源。且sin源。的值.

3y，求错误！未找到引用4考向二象限角和终边相同的角的判断及表示方法

1．已知θ所在的象限，求

n或nθ（nN）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k）表示，

n*

或nθ（nN）所在的象限．

*

然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到2．象限角的判定有两种方法：

一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；

360°二是先将此角化为k·＋α（0°≤α<360°，kZ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．

3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.

典例2 已知sin234,cos,试确定角α是第几象限的角. 525

6

【名师点睛】角若角若角若角若角与所在象限的对应关系： 2是第一象限角，则是第一象限角或第三象限角；

2是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角；

2是第三象限角，则是第二象限角或第四象限角；

2是第四象限角，则是第二象限角或第四象限角．

2

2．如果sincos0，sintan0，那么角A．第一或第三象限 C．第一或第二象限

的终边在 2B．第二或第四象限

D．第三或第四象限

考向三同角三角函数基本关系式的应用

1．利用sin2+cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用

sin tan可以实现角的弦切互化．

cos2．sin,cos的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin,cos的齐次式，或含有sin2,cos2及

sincos的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2+cos21”代换后转化为“切”后求

解.

典例3已知sin β+cos β=

1,且0<β<π. 5（1）求sin βcos β,sin β-cos β的值; （2）求sin β,cos β,tan β的值.

7

∵sin βcos β<0且0<β<π,∴sin β>0,cos β<0. ∴sin β-cos β=

7. 51743和sin β-cos β=,得sin β=,cos β=, 5555（2）由sin β+cos β=

∴tan β=

sin4. cos3

3．已知错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。 A． C．44或0 B．或0 3344 D． 33考向四 诱导公式的应用

1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．

2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似kπ的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； （2）利用公式化成单角三角函数； （3）整理得最简形式．

利用诱导公式化简三角函数式的要求： （1）化简过程是恒等变形；

（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．

8

ππππππ

与，与，与等； 363644π2ππ3π常见的互补关系有与，与等.

3344常见的互余关系有

sin2πtanπtan. 典例4 （1）化简：

cosπtan3π（2）计算：cos25π25π5π25πcostansin. 6346

4．计算下列各题：

（1）已知错误！未找到引用源。是第三象限角，fsinπcos2πtanπ，化简

tansinπ并求f17π的值； 3（2）已知sin(θ＋kπ)＝－2cos(θ＋kπ)，k∈Z，求

4sin2cos.

5cos3sin考向五 同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角形中的应用

与三角形相结合时，诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：学科#网

ABπC,2A2B2π2C，

ABCπ等，于是可得sin(AB)sinC， 22229

cosABCsin等． 22

典例5 在△ABC中，内角错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。所对的边分别是错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。，

Cπ3，错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。______，错误！未找到引用源。________. 【答案】35，错误！未找到引用源。

5．在△ABC中，sinAcosA22，求错误！未找到引用源。的值．

1．错误！未找到引用源。的值是 A．

12B．12 C．32D．32 2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形圆心角的弧度数是 A．1 B．2 C．3

D．4

10

3．已知点P(31,)在角θ的终边上,且[0,2π),则角θ的值为 228π7πB． 5411π5πC．D．

63A．

4．已知sincos,0,π，则错误！未找到引用源。的值为

15434A．或B．

34333C．D．

44A．sin0 C．sin20

5．若tan0，则

B．cos0 D．cos20

6．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则

A．a>b>c C．c>b>a 7．已知cos75B．b>c>a D．c>a>b

1，错误！未找到引用源。为第三象限角，则错误！未找到引用源。=_________. 334,错误！未找到引用源。是第三象限内一558．在平面直角坐标系中,错误！未找到引用源。点的坐标为,点,错误！未找到引用源。,且POQ3π,则错误！未找到引用源。点的横坐标为_________. 49．在△ABC中，3sin(A)3sin(A)，且cos A＝－3 cos（π－B），则C等于． 10．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0.

2

11

11．已知0π2，cos2πsinπ55. （1）求错误！未找到引用源。的值；

cos23π2coscosπ（2）求22的值.

1sin2π2

12．已知向量a（2,sin）与b（1,cos）互相平行，其中θ(0,

2

).

（1）求sinθ和cosθ的值； （2）若sin（θ－φ）＝1010，0<φ<2，求cosφ的值．

1．（2017新课标全国Ⅲ文科）函数f(x)15sin(xππ3)cos(x6)的最大值为

12

A．

6 5

B．1

3C．

51D．

52．（2015福建文科）若sinA．C．

5，且为第四象限角，则tan的值等于 131212B． 5555D． 12123．（2016新课标全国Ⅰ文科）已知θ是第四象限角,且sin(θ+4．（2016四川文科）sin750=.

π3π)=,则tan(θ–)=. 454

变式拓展 1．【解析】sin y3y23y,当错误！未找到引用源。时,错误！未找到引用源。. 4y3y23y,解得错误！未找到引用源。. 4当错误！未找到引用源。时, sin2143373,,r,cos,tan当错误！未找到引用源。时,P； 3343当错误！未找到引用源。时,cos2．【答案】A

37. ,tan43

3．【答案】B

【解析】由题意可得错误！未找到引用源。,两边平方可得错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用

13

源。，则错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。，所以tan4．【解析】（1）由题意可得f4或0. 3sincostancos，

tansin所以f17πππ117πcoscos6πcos. 33332（2）由已知得错误！未找到引用源。，∴错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。， 所以

4sin2cos4tan28210.

5cos3sin53tan56122 ①，∴sinAcosA，即错误！未找到引用源。，∴错误！未找到

225．【解析】∵sinAcosA引用源。．

∵错误！未找到引用源。，∴错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。．∴错误！未找到引用源。． ∵sinAcosA12sinAcosA23，∴错误！未找到引用源。 ②． 2①+②，得sinA26． 426． 4①−②，得cosA∴tanAsinA26423． cosA426考点冲关 1．【答案】D

【解析】sin600sin2360120sin1200 3. 22．【答案】C

R6【解析】设扇形的圆心角的弧度数为，半径为R，由题意，得12，解得3，即该扇形圆

R62

14

心角的弧度数是3，故选C． 3．【答案】C

133131,)在角θ的终边上，由三角函数的定义可知tan θ=2,)【解析】点P(，又点P(222233211π在第四象限,且[0,2π),所以θ=.故选C.

64．【答案】C

5．【答案】C

【解析】由tan0得α是第一、三象限角，若α是第三象限角，则A，B错；由sin22sincos知sin20，C正确；α取6．【答案】C

【解析】∵b＝cos55°＝sin35°>sin33°＝a，∴b>a. 又∵c＝tan35°＝∴c>b>a.故选C. 7．【答案】

π11时，cos22cos212()210，D错．学科%网 322sin35>sin35°＝cos55°＝b，∴c>b.

cos35221 3【解析】∵cos7521，错误！未找到引用源。为第三象限角，∴3221. sin75133则原式cos18075sin75α180cos75sin75221. 38．【答案】72 10【解析】设xOP,则cos

34,sin,错误！未找到引用源。Q点的横坐标为5515

cos3π72410. 9．【答案】

2 10．【解析】∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋

π2(k∈Z)，∴α＝2kπ＋π2－β(k∈Z)． ∴tan(2α＋β)＋tanβtan[2(2kππ2)]tan＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ ＝tan(4kπ＋π－β)＋tanβ＝tan(π－β)＋tanβ＝－tanβ＋tanβ＝0. 11．【解析】（1）化简cos2πsinπ55得错误！未找到引用源。， 两边平方得错误！未找到引用源。=152cossin49512cossin5， 因为0π2,所以错误！未找到引用源。. 因为cossin295,所以cossin355. （2）根据（1）中可得cossin555，则cos5，

cossin355sin255则错误！未找到引用源。，

cos23ππ故22coscos222sin2cossinsin2cossin1sin2π1cos2sin22cos22

16

tan22tan444. 2tan2423

又sin（θ－φ）＝10310，∴cos（θ－φ）＝1sin2()＝， 10102. 2∴cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos（θ－φ）＋sinθsin（θ－φ）=

直通高考 1．【答案】A

ππππcosxcosxsinx【解析】由诱导公式可得， 6332则fx1ππ6πsinxsinxsinx, 53353函数fx的最大值为2．【答案】D

6.所以选A. 5

【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin、cos、tan三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题． 3．【答案】4 33cossin, 4442517

【解析】由题意得sin

因为2k72k2kZ,所以2k2kkZ, 2444444tan,因此．故填． 43453从而sin4．【答案】

1 21. 2【解析】由三角函数的诱导公式得sin750sin(72030)sin30【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解．

18