2019高中数学 第二章2.2.2 对数函数及其性质 第2课时 对数函数及其性质的应用学案 1

第2课时 对数函数及其性质的应用

学习目标：1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点)2.通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．(重点)

[合 作 探 究·攻 重 难]

比较对数值的大小

比较下列各组值的大小． 34

(1)log5与log5；

43(2)log12与log12； 35(3)log23与log54.

【导学号：37102296】

3434

[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5434334

法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，

4334

所以log511

(2)由于log12＝，log12＝.

113log25log235

又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， 1111

且>，所以0>log2>log2， 353511所以<，所以log12因为log23>log22＝1＝log55>log54， 所以log23>log54.

[规律方法] 比较对数值大小的常用方法 同底数的利用对数函数的单调性 同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化 底数和真数都不同，找中间量 提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或的大小

2019年

[跟踪训练]

1．比较下列各组值的大小： (1)log20.5，log20.6.

33(2)log1.51.6，log1.51.4. (3)log0.57，log0.67. (4)log3π，log20.8.

[解] (1)因为函数y＝log2x是减函数，且0.5<0.6，所以log20.5>log20.6.

333(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4. (3)因为0>log70.6>log70.5， 11

所以<，

log70.6log70.5即log0.67(4)因为log3π>log31＝0，log20.8log20.8.

解对数不等式

已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)． (1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域； (2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．

思路探究：(1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合； (2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．

x－1>0，

[解] (1)由

6－2x>0，

解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．

(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，

1①当a＞1时，不等式等价于

x－1≤6－2x，

7

解得13

1②当0＜a＜1时，不等式等价于

x－1≥6－2x，

7

解得≤x<3.

3

7综上可得，当a＞1时，不等式的解集为1，； 37当0＜a＜1，不等式的解集为，3. 3

[规律方法] 常见的对数不等式有三种类型： 形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； 形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解； 2019年 形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解. [跟踪训练]

1

2．(1)已知loga>1，求a的取值范围；

2

(2)已知log0.7(2x)【导学号：37102297】

11

[解] (1)由loga>1得loga>logaa.

221

①当a>1时，有a<，此时无解．

211

②当022

1所以a的取值范围是，1. 2

(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数， 2x>0，

所以由log0.72x0，

2x>x－1，即x的取值范围是(1，＋∞)．

对数函数性质的综合应用 [探究问题]

1．函数f(x)＝log1(2x－1)的单调性如何？求出其单调区间．

2

解得x>1.

1提示：函数f(x)＝log1(2x－1)的定义域为，＋∞，因为函数y＝log1x是减函数，函数y＝2x－1是增函数，2

2211所以f(x)＝log1(2x－1)是，＋∞上的减函数，其单调递减区间是，＋∞.

22

2

2．如何求形如y＝logaf(x)的值域？

提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)>0，在此基础上，分a>1和0(1)已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为( )

【导学号：37102298】

A．(0,1) C．(0,2)

2

B．(1,2) D．[2，＋∞)

(2)函数f(x)＝log1(x＋2x＋3)的值域是________．

2

思路探究：(1)结合对数函数及y＝2－ax的单调性，构造关于a的不等式组，解不等式组可得．

2019年

(2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．

(1)B (2)(－∞，－1] [(1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，

＞ff∴

a>1，loga2＞loga即

a>1，

2

，

－a，

a>1，

∴

2－a>0，

∴1＜a＜2.

(2)f(x)＝log1(x＋2x＋3)＝log1[(x＋1)＋2]，

22因为(x＋1)＋2≥2，

所以log1[(x＋1)＋2]≤log12＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．] 22母题探究：1.求本例(2)的函数f(x)在[－3,1]上的值域． [解] ∵x∈[－3,1]， ∴2≤x＋2x＋3≤6， ∴log16≤log1(x＋2x＋3)≤log22， 22即－log26≤f(x)≤1， ∴f(x)的值域为[－log26,1]． 2．若本例(2)中的函数在(－∞，a]上单调递增，求a的取值范围． [解] 由复合函数的单调性可知， 函数g(x)＝x＋2x＋3在(－∞，a]上单调递减，所以a≤－1，即实数a的取值范围为(－∞，－1]． [规律方法] ．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． ．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解． [当 堂 达 标·固 双 基]

1．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( ) A．a>c>b C．c>b>a

B．b>c>a D．c>a>b

2222

2

2

D [a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log52x2．函数y＝log1(2＋1)的值域为________.

2

【导学号：37102299】

x(－∞，0) [∵2＋1>1，函数y＝log1x是(0，＋∞)上的减函数，

2x∴log1(2＋1)22

3．若函数f(x)＝log2(ax＋1)在[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围是________．

2019年

a>0，

(0，＋∞) [由题意得

a×0＋1>0，

解得a>0.]

4．函数f(x)＝log2(1＋2x)的单调增区间是______．

－1，＋∞ [易知函数f(x)的定义域为－1，＋∞，

所以f(x)22又因为函数y＝log2x和y＝1＋2x都是增函数，

1的单调增区间是－，＋∞.]

2

5．已知a＞0且满足不等式2(1)求实数a的取值范围；

(2)求不等式loga(3x＋1)(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值.

【导学号：37102300】

[解] (1)∵2

2a＋1

2a＋1

＞2

5a－2

.

＞2

5a－2

，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.

(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)0，

∴7－5x>0，3x＋1>7－5x，

7即x<，

53x>4，

x>－，13

37解得37即不等式的解集为，. 45

(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－15－2

2，∴a＝2＝5，解得a＝.

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