数学对应思想及其对解题的指导

２ＯｌＯｇ－ｇ１６，１￣１　／ｔｔ￣￣１　数学ｘ，－Ｉ　应思　想及其对解题的指导　韦安东　（中山市东凤理工学校，广东中山“对应”是现代数学中重要的基本概念之一．它所反映的　是两个集合的元素间的关系。对应思想是许多数学概念与数　学方法的基础。“对应”是一个不加定义的概念。其实，古代数　学中对应的概念已有萌芽，但不明确，主要源于测量或度量。　５２８４２５）　在元素数量互相不同的无限集合？假如后者是正确的，那么　用什么方法可以比较无限集合的元素数量呢？这就需要“一　一对应”的思想。　数学中还有一类非常重要的对应，那就是映射。集合Ａ到　在测量几何的度量问题时，我们用有刻度的尺，量多少就是多　少，刻度尺从某种意义上讲，就蕴涵了“数与点的对应”思想。　求多边形的面积，其实质是在多边形的集合与实数集之间建　立对应。但它不是一一对应。因为两个不同的多边形的面积　可能相等。在数学史上，量长度是在直线上取０为原点，１为单　位长，我们就可以在直线上点出２，３，…，还有“几分之几”，这　实质上是对直线进行坐标化，点与数一一对应起来，这个理　论一直到费马与笛卡尔时代才真正发挥作用，由此建立了解　析几何。　对于两个集合Ｍ与Ｎ。它们的构成一般不同，我们忽略它　们的构成．而考虑一个自然的问题：这两个集合的元素的数量　哪个多哪个少？　集合Ｂ的一个映射是Ａ到Ｂ的满足下列条件的一个对应：对于Ａ　中每一个元素，Ｂ中都有唯一一个元素与之对应。特别地，如果　Ａ中不同的元素对应于Ｂ中的元素也不同，就称为单射，如果Ｂ　中每一个元素都有Ａ中一个元素对应之，则称满射。同时具备　两点的映射称为一一映射。映射是现代数学中一个基本的概　念。数学中的映射主要有以下几种：　①数集到数集里的映射。函数就是这类映射。　②数集到点集的映射。实数集到数轴上的点集的映射，复　数集到平面点集的映射。它是我们实现代数、几何问题互化的　理论根基。　③几何图形集合到数集里的映射。在几何测量中，图形集　合中每一个图形与一个非负实数一这图形的测度相对应。　如果集合Ｍ是有限的，那么它的元素的数量可以由某个　自然数（即其元素的数目）来表达。在这种情形之下，为了比　较集合Ｍ与Ｎ的数量。只要计算一下Ｍ与Ｎ的元素的个数。然后　比较一下所得到的这两个数目大小就可以了。同样，假若集　合Ｍ与Ｎ中．一个是有限的，另一个是无限的，那么很自然地　可以认为无限集合包含着比有限集合更多的元素。然而，如　果两个集合Ｍ与Ｎ都是无限集合，那么用简单地计算元素的个　数的方法是什么也得不到的，所以立刻引起这样的问题，即　是否所有的无限集合的元素的数量都是一样的，或者是否存　三　强化训练、培养思维的敏捷性　思维敏捷性是指思维活动的反应速度和熟练程度，它表　现为思考问题的敏锐快捷反应程度。　１．思维定向训练　④点集到点集里的映射。几何变换就是这种映射。　数（数组）与形的映射对应导致数形结合思想。数和形　（或者说数量关系和空间形式）都是数学的研究对象，并且由　数学中不同的分支学科来研究。１７世纪以后，由于建立了实　数集与直线上点集的一一对应、有序实数对（ｘ，ｙ）的集合与　坐标平面上点集的一一对应，从而在二元方程ｆ（ｘ，ｙ）＝０的集　合与平面曲线集合之间建立了对应关系，实现了数与形的结　合，导致解析几何学的产生．数量关系可以转化为图形性质，　图形性质可以转化为数量关系。几何问题能用代数方法来研　形法则。以及减法作图法则中的三角形法则进行独立训练。　以求学生熟练掌握，只有这样，学生才能在各类向量问题的　作图与证明中通过分析、组合、变异．敏捷地找到解决问题的　正确方法。　３．教学思想方法教学　数学教学不仅要教给学生以数学知识，而且要教给学　生获得这些知识的方法和过程，掌握并熟练应用数学思想　方法解决问题是思维敏捷的一种重要表现形式，重视数学　思维定向训练．就是要训练学生在遇到问题时善于识别　各类问题的特征，准确地将其归结于某种数学模型，以便尽　快形成明确的解题思路。因此在教学中，教师应注意对知识　及解题经验的积累和总结．要重视对通用思想方法的理解和　掌握。　例如在解排列组合问题时，我们常常遇到各种不同对象　的排列问题，如不同颜色的球、演出节目、课表等，虽然它们的　具体形式不一样，但问题的实质是一样的。因此，我们学习时　往往先对具体问题进行直观分析，然后在此基础上进行抽象，　思想方法的教学就是要增强学生的数形转换、分类讨论、　建模等意识．通过数学思想方法的应用以提高学生的思维　效率。　数形结合是数学中广为运用的十分重要的思维方法，利　用数形结合解决问题能起到由难化易，由繁化简的目的。　例如：设ａ，ｂ、ｃ都是正数，ａＺ＋ｂＺ＝ｃ‘求兰　的最大值。　，建立问题的解答模型。又如在解多元方程时，虽有不同的方　法．但其实质就是消元法。再如在解高次不等式时，其常用方　法就是“穿线法”。等等。　２．数学技能训练　Ｃ　分析：把ａ、ｂ、ｃ看作是Ｒｔ△的三边，且设ａ＝ｃｓｉｎｅｔ，ｂ＝ｅｃｏｓｅｔ，　．１　训练学生的数学技能，就是训练学生在紧扣题意的条件　Ｃ：９０￣．则求一ａ－ｔ一－ｌ￣的最大值就转化为求ｓｉｎＡ￣ｃｏｓＢ的最大值。这　Ｃ　．　下，善于观察问题的特点、结构，善于从多种方法中进行取舍、　分析、组合、变异，从而找出解决问题的最佳方法。　例如在解选择题时有直接法、筛选法、特例法、数形结合　法、验证法、估算法、特征分析法等。在教学时，教师就必须让　学生对以上各法都进行充分训练．以便学生在解题时能根据　题目的特点进行迅速的分析与取舍。又如在向量作图运算　时．应充分对向量加法作图法则中的平行四边形法则、三角　８８　样问题就迎刃而解。　以上几方面的品质仅是思维品质的一部分，思维广阔性　的培养是对学生进行思维训练的基础与前提。思维深刻性培　养是对学生思维训练的深入，思维敏捷性的培养是对学生思　维训练的发展。只有想得多，才能用得活；只有想得深，才能用　得准；只有想得巧．才能用得妙。所以思维品质的培养对学生　数学学习具有极其重要的作用。　试周刊２０１０年第１６期　例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用　缪同祥　（金湖县枫叶国际学校，江苏金湖２１１６００）　摘要：分类讨论思想是初中数学的一种重要思想方法。　意．认真分析可能产生不同影响的因素，明确讨论对象。其次　本文首先强调了分类思想的重要性与运用时的注意点，然后　还要确定分类标准，每一次讨论只能按一个标准来分类，分类　分别从绝对值、方程和不等式、函数、几何图形，以及数学应用　不重不漏。另外还要逐一讨论，认真解答。　题等方面举例讲述了怎样用分类讨论思想解初中数学题。　下面我就结合平时的教学实践，用具体的例子来谈一谈　关键词：分类讨论初中　数学　应用　分类讨论思想在解初中数学题中的应用，供大家参考。　一、绝对值的分类讨论　“物以类聚．人以群分”。日常生活中人们习惯于把各种事　ｆｘ（ｘ＞０）　物进行分类．以简化问题、解决问题。我们在平时解决数学问　（一）数的绝对值的定义：Ｉｘｌ＝｛０（ｘ＝０）。　题时．经常会碰到这样的情况：当问题解到某一步后，我们所　【一ｘ（ｘ＜０）　研究的对象．需要按一定的标准分成若干个子问题来讨论，这　这个定义本身就要分类讨论，因此处理含有绝对值的代　种处理问题的方法实际上就是分类讨论的思想方法，它是中　数式时分类讨论是关键。　学数学一种常用的数学思想方法。　（二）若Ｉｘｌ＝ａ，则Ｉｘ—ａｌ＝。　在近几年的中考中，有关分类讨论的试题也不少，其主要　导析：由Ｉｘｌ＝ａ可知，ａ≥０，则ｘ：±ａ，将其代人Ｉｘ—ａｌ可得　是为了考查学生分析问题和解决问题的能力。然而，许多学生　结果。　因分类讨论的意识不强等原因，导致结果不完整，失分比较　（三）若ｌａｌ＝３，Ｉｂｌ＝２，ｌａ＋ｂｌ＝。　多。我认为，运用分类讨论思想处理数学问题时首先要审清题　导析：由ｌａｌ＝３，Ｉｂｌ＝２可知，ａ＝±３，ｂ＝±２，所以ｌａ＋ｂｌ的值有四　究．代数由于运用几何模型而具有鲜明的直观性。正如戈丁　分析：所谓的最近走法，就是只按两个方向走：向下（记　所说：“解析几何是下面的事实的系统应用：在实数与直线上　作Ｉ）、向左（记作一）。显然一种走法就对应着“一一一一Ｉ　ｌｌ　的点之间。在实数与平面上的点之间，以及在实数三元组与　Ｉ”的一个排列。而它们的一个排列也同样对应着一种走法，是　空间中的点之间，都存在着自然的对应。于是数的计算可以　一个一一对应。而排列的条件是８个位置选出４个（不区分）位　用几何的方式来解释，而几何问题可以重新表述为代数问　置放“一＂，剩下的安排“　共Ｃ　４种。　题。”例如。常常用线段图使数量关系形象化，其实质就是用　线段的长短表示数量的大小，借助线段长度的和、差、倍、分　Ａ　关系表示数量关系。由于蕴涵在题意中的数量关系直观地表　示出来了，因而能调动学生的形象思维，以支持他们的逻辑　思维活动．这样就有利于分析题意，从而找到解题途径。数形　结合对于初步认识分数几乎是不可缺少的，可让学生对分数　有直观感受。　形与形的映射对应导致变换思想。变换思想主要有数的　Ｂ　变换、式的变换、名数的变换与形的变换等。例如，分数与小　数、百分数的互化，假分数与带分数或整数的互化，都是数的　图１　变换。式的变换的目的是为了简便计算，它是以运算律、运算　例３：集合ｓ＝｛１，２，…，１６Ｊ的五元子集Ｓ１＝｛ａ。，ａ２，ａ３，ａ４，ａ５｝　性质作为变换的依据。名数的变换反映了用不同的计量单位　中。任何两元素之差不为１，这样的子集Ｓ，有多少个？　量同一个量时得到的形式上不同的结果。形的变换有分割、拼　分析：由于Ｓ　中的每个元素都在Ｓ中且任两个之差不为１，　合、对称、旋转、平移等。　不妨设ａ　，ａ　，ａ３，ａ　，ａ５为上升排列，作子集Ｓ　＝｛ａ。，ａ２－１，ａ３—２，ａ　一　利用对应思想可以实现转换而有效解决一些看上去不易　３，ａ　一４｝，则Ｓ　－ｑｓ．一一对应，而Ｓ　是｛１，２，…，１２｝的五元子集，故　解决的问题。　例１：有４０支乒乓球队参加比赛。比赛采用淘汰制，最后产　共有Ｃ．　个。　生冠军队。共需赛多少场？　实际上，此问题等价于：有１６名学生，其中女生５名，要排　分析：每赛一场淘汰一支球队，每淘汰一支球队就得赛一　成一排，其中任何两名女生不得相邻，问共有多少种不同的　场。这样，就可以在安排的赛场集合和被淘汰的球队集合之间　排法？　建立一一对应。因此，这两个有限集的元素个数相等。为了产　对应是人的思维对两个集合间联系的把握，对应将各种　生１个冠军队，４０支球队需要淘汰４０—１＝３９支球队。因此，也就　类别、各种层次的对象联系起来，呈现出它们之间某些相似或　需要安排３９场比赛。　相同的属性，使各种数学对象能够相互结合、转化。学生学习　在这里．由于我们发现了两个有限集之间的一一对应关　数学应该掌握对应思想。　系，使得我们有可能将求一个有限集的元素个数问题转化为　求与之对等的另一个有限集元素的个数。　参考文献：　例２：如图１，是一个城区的街道示意图，问从ＡＮＢ最近路　［１］邵光华．作为教育任务的数学思想与方法［Ｍ］．上海教　线有几种走法？　育出版社．２００９．