2018-2019学年九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题选对得4分，本大题共48分. 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A．（x+1）＝2（x+1） C．ax+bx+c＝0
2
2
B．
2
2
D．x+2x＝x﹣1
2．在下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．
2
D．
3．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax+c的图象大致为（ ）
A． B．
C．
2
D．
4．某同学在用描点法画二次函数y＝ax+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x y … … ﹣2 ﹣11 ﹣1 ﹣2 0 1 1 ﹣2 2 ﹣5 … … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ） A．﹣11
B．﹣5
C．2
2
D．﹣2
5．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x+2x+c的图象上，则y1，
y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1
B．y3＞y1＝y2
2
C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3
6．如图，将函数y＝（x﹣2）+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点
A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图
中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
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A．C．
B．D．
7．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是（ ）
A．55°
2
B．60° C．65° D．70°
8．抛物线y＝x﹣8x+m的顶点在x轴上，则m等于（ ） A．﹣16
B．﹣4
C．8
D．16
9．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染人的个数为（ ） A．10
2
B．11 C．60 D．12
10．关于抛物线y＝x﹣2x+1，下列说法错误的是（ ） A．开口向上
B．与x轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
11．抛物线y＝﹣x+6x﹣9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是（ ） A．（﹣6，0）
B．（6，0）
2
2
C．（﹣9，0） D．（9，0）
12．如图是抛物线y1＝ax+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x2 / 23
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轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③b2﹣4ac＞0；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1； 其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①③⑤
D．②④⑤
二、填空题：本大题共6小题，每小题答对得4分，共24分
13．将抛物线y＝2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线 ． 14．直角坐标系内的点P（x﹣3x，4）与另一点Q（x﹣8，y）关于原点对称，则x+y＝ ． 15．关于x的一元二次方程x+5x+2＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ ． 16．如图，某大学的校门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽为8m，两侧距地面4m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高为 m（精确到0.1m，水泥建筑物厚度忽略不计）．
22
2
17．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，运动时间t＝ 秒时四边形EFGH的面积最小．
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18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称：第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称：…照此规律重复下去，则点P2018的坐标为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共78分 19．解方程：
（1）2x﹣4x+1＝0； （2）2（x+2）＝x（x+2）．
20．如图在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣1，2），C（﹣2，1）
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1、C1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标．
2
2
21．已知x+（a+3）x+a+1＝0是关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
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（2）若方程的一个实数根为1，求实数a的值和另一个实数根．
22．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），求抛物线的解析式； （2）求支柱EF的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
23．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
24．如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm．
（1）底面的长AB＝ cm，宽BC＝ cm（用含x的代数式表示） （2）当做成盒子的底面积为300cm时，求该盒子的容积．
（3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．
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25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D （1）求出点A，C，D的坐标；
（2）如图（1），在抛物线对称轴上找一点E，使得△CBE的周长最小，求点E的坐标； （3）如图（2），作垂直x轴的直线，在第二象限交直线AC于点M，交抛物线于点N，求当MN有最大值时N点坐标？并求出MN最大值是多少？
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参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A．（x+1）＝2（x+1） C．ax+bx+c＝0
2
2
B．
2
2
D．x+2x＝x﹣1
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）＝2（x+1）， 故选：A．
2．在下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
2
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解． 【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax+c的图象大致为（ ）
2
A． B．
C． D．
2
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax+c的图象相比较看是否一致．反之也可．
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【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0 c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相矛盾；
B、由一次函数的图象可知a＜0 c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相吻合； C、由一次函数的图象可知a＜0 c＜0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾； D、由一次函数的图象可知a＜0 c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾．
故选：B．
4．某同学在用描点法画二次函数y＝ax+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
2
x y … … ﹣2 ﹣11 ﹣1 ﹣2 0 1 1 ﹣2 2 ﹣5 … … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ） A．﹣11
B．﹣5
C．2
D．﹣2
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质可知x＝0、x＝1、x＝﹣1对应的函数值是正确的，从而可以求得二次函数的解析式，再将x＝2和x＝﹣2代入解析式，即可判断哪个y值是错误的，本题得以解决． 【解答】解：由表格可得，
该二次函数的对称轴是直线x＝0，经过点（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）， ∴
，
解得，
2
，
∴y＝﹣3x+1，
当x＝﹣2时，y＝﹣11， 当x＝2时，y＝﹣11， 故选：B．
5．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x+2x+c的图象上，则y1，
2
y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1
B．y3＞y1＝y2
C．y1＞y2＞y3
D．y1＝y2＞y3
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称
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轴对称，可判断y1＝y2＞y3． 【解答】解：∵y＝﹣x+2x+c， ∴对称轴为x＝1，
2
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5， ∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称， 故y1＝y2＞y3， 故选：D．
6．如图，将函数y＝（x﹣2）+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点
2
A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图
中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A．C．
B．D．
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC＝4﹣1＝3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′＝3，然后根据平移规律即可求解． 【解答】解：∵函数y＝（x﹣2）+1的图象过点A（1，m），B（4，n）， ∴m＝（1﹣2）+1＝1，n＝（4﹣2）+1＝3， ∴A（1，1），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1）， ∴AC＝4﹣1＝3，
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∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分）， ∴AC•AA′＝3AA′＝9， ∴AA′＝3，
即将函数y＝（x﹣2）+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象， ∴新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）+4． 故选：D．
2
2
7．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是（ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
【分析】根据旋转的性质可得AC＝A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′＝45°，再根据三角形的内角和定理可得结果． 【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C， ∴AC＝A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CA′A＝45°，∠CA′B′＝20°＝∠BAC ∴∠BAA′＝180°﹣70°﹣45°＝65°， 故选：C．
8．抛物线y＝x﹣8x+m的顶点在x轴上，则m等于（ ） A．﹣16
B．﹣4
C．8 10 / 23
D．16
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【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．根据顶点公式即可求得m的值． 【解答】解：抛物线的顶点纵坐标是：得到：
＝0，
，则
解得m＝16． 故选：D．
9．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染人的个数为（ ） A．10
B．11
C．60
D．12
【分析】设每轮传染中平均一人传染x人，那么经过第一轮传染后有x人被感染，那么经过两轮传染后有x（x+1）+x+1人感染，又知经过两轮传染后新增120个人患了流感，即共有121人患了流感，以经过两轮传染后被传染的人数相等的等量关系，列出方程求解．
【解答】解：设每轮传染中平均一人传染x人，由题意得：
x（x+1）+x+1＝121，
（1+x）＝121， ∵1+x＞0， ∴1+x＝11，
2
x＝10．
答：每轮传染中平均一人传染10人． 故选：A．
10．关于抛物线y＝x﹣2x+1，下列说法错误的是（ ） A．开口向上
B．与x轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【分析】利用配方法求出顶点坐标即可判断； 【解答】解：∵y＝x﹣2x+1＝（x﹣1）， ∴顶点坐标（1，0），对称轴x＝1， ∵a＝1＞0，
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∴开口向上，抛物线的顶点在x轴上， ∴A、B、C正确， 故选：D．
11．抛物线y＝﹣x+6x﹣9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是（ ） A．（﹣6，0）
B．（6，0）
C．（﹣9，0）
D．（9，0）
2
【分析】首先确定顶点坐标A和与y轴的交点坐标，然后根据抛物线的对称性确定点C的坐标，从而确定点D的坐标． 【解答】解：∵令x＝0得y＝﹣9， ∴点B的坐标为（0，﹣9）， ∵y＝﹣x+6x﹣9＝﹣（x﹣3），
∴点A的坐标为（3，0），对称轴为x＝3， ∵点C在抛物线上，且四边形ABCD是平行四边形， ∴点C的坐标为（6，﹣9）， ∴CD＝6， ∴AB＝6，
∴点D的坐标为（9，0）， 故选：D．
12．如图是抛物线y1＝ax+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③b2﹣4ac＞0；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1； 其中正确的是（ ）
2
2
2
A．①②③
B．①③④
C．①③⑤
D．②④⑤
【分析】①利用对称轴x＝1判定即可；
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②根据图象确定a、b、c的符号即可； ③根据抛物线与x轴交点的个数确定即可； ④根据抛物线的对称性判断即可；
⑤由图象得出，在1＜x＜4时，抛物线总在直线的上面，则y2＜y1问题得解． 【解答】解：①因为抛物线的顶点坐标A（1，3），所以对称轴为：x＝1，则﹣2a+b＝0，故①正确； ②∵抛物线开口向下， ∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧， ∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故②不正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b﹣4ac＞0， 故③正确；
④因为抛物线对称轴是：x＝1，B（4，0）， 所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）， 故④不正确；
⑤由图象得：当1＜x＜4时，有y2＜y1；故⑤正确； ⑥∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴方程ax+bx+c＝3有两个相等的实数根是x＝1， 故⑥正确；
则其中正确的有：①③⑤； 故选：C．
二．填空题（共5小题）
13．将抛物线y＝2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线 y＝2（x﹣4）
2
2
2
2
＝1，
+3 ．
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【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将抛物线y＝2x向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是：y＝2x+3；
再向右平移4个单位得到的抛物线是：y＝2（x﹣4）+3． 故答案是：y＝2（x﹣4）+3．
14．直角坐标系内的点P（x﹣3x，4）与另一点Q（x﹣8，y）关于原点对称，则x+y＝ 0或﹣6 ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得y＝﹣4，x﹣3x＝8﹣x，再解出x的值，进而可得x+y的值．
【解答】解：由题意得：y＝﹣4，x﹣3x＝8﹣x， 解得：x1＝4，x2＝﹣2， 当x＝4，y＝﹣4时，x+y＝0， 当x＝﹣2，y＝﹣4时，x+y＝﹣6， 故答案为：0或﹣6．
15．关于x的一元二次方程x+5x+2＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ ﹣5 ． 【分析】根据根与系数的关系直接得出答案即可．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x+5x+2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣5； 故答案为：﹣5．
16．如图，某大学的校门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽为8m，两侧距地面4m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高为 9.1 m（精确到0.1m，水泥建筑物厚度忽略不计）．
2
2
2
2
22
2
2
2
【分析】由题意可知，以地面为x轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，抛物线过（0，0）、（8，0）、（1、4）、（7、4），运用待定系数法求出解析式后，求函
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数值的最大值即可．
【解答】解：以地面为x轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系， 则抛物线过（0，0）、（8，0）、（1、4）、（7、4）四点， 设该抛物线解析式为：y＝ax+bx+c， ∴由题意得到方程组：
，
2
解方程组得：，
该抛物线解析式为：y＝﹣x+则校门的高为
2
x，顶点坐标为（4，），
m≈9.1m．
17．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，运动时间t＝ 3 秒时四边形EFGH的面积最小．
【分析】根据题意和图形可以得到四边形EFGH的面积与运动时间t的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可解答本题．
【解答】解：设点E运动的时间为t秒，EFGH的面积为Scm，则AE＝t，EB＝6﹣t，
2
S＝6﹣
2
×4＝36+2（t﹣3）﹣18＝2（t﹣3）+18
22
∴当t＝3时，S取得最小值，此时S＝18， 故答案为：3．
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18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称：第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称：…照此规律重复下去，则点P2018的坐标为 （﹣2，2） ．
【分析】根据中心对称的性质找出部分Pn的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：观察，发现规律：P0（0，0），P1（2，0），P2（﹣2，2），P3（0，﹣2），P4（2，2），P5（﹣2，0），P6（0，0），P7（2，0），…，
∴P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n为自然数）． ∵2018＝6×336+2， ∴P2018（﹣2，2）． 故答案为：（﹣2，2）． 三．解答题（共7小题） 19．解方程：
（1）2x﹣4x+1＝0； （2）2（x+2）＝x（x+2）．
【分析】（1）根据配方法，可得答案； （2）根据因式分解法，可得答案． 【解答】解：（1）2x﹣4x+1＝0，
2
2
2
x﹣2x＝﹣，
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x﹣2x+1＝﹣+1，即（x﹣1）＝
∴x﹣1＝±解得x1＝1+
，x2＝1﹣
2
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；
（4）2（x+2）＝x（x+2）， 2（x+2）﹣x（x+2）＝0， （x+2）[2（x+2）﹣x]＝0 于是，得
2
x+2＝0或x+4＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝﹣4．
20．如图在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣1，2），C（﹣2，1）
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1、C1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标．
【分析】（1）分别作出点A、点B、点C关于原点的对称点，顺次连接即可得； （2）分别作出点A、点B、点C绕原点O顺时针方向旋转90°得到的对应点，顺次连接即可得．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，A1（4，﹣3），B1（1，﹣2），C1（2，﹣1）．
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山东省德州九中2018-2019年九年级（上）第一次月考数学试卷（解析版）
（2）△A2B2C2如图所示，A2（3，4），B2（2，1），C2（1，2）． 21．已知x+（a+3）x+a+1＝0是关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个实数根为1，求实数a的值和另一个实数根． 【分析】（1）求出判别式△＝（a+1）+4＞0，据此可得答案；
（2）将x＝1代入方程，求出a的值，据此得出方程，再利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）∵△＝（a+3）﹣4（a+1） ＝a+6a+9﹣4a﹣4 ＝a+2a+5 ＝（a+1）+4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）将x＝1代入方程，得：1+a+3+a+1＝0， 解得a＝﹣，
则方程为x+x﹣＝0， ∴（x﹣1）（2x+3）＝0， 则x﹣1＝0或2x+3＝0， 解得x＝1或x＝﹣．
22．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），求抛物线的解析式；
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（2）求支柱EF的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
【分析】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设F点的坐标为（5，yF）可求出支柱MN的长度．
（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解． 【解答】解：（1）根据题目条件A，B，C的坐标分别是（﹣10，0），（10，0），（0，6）， 设抛物线的解析式为y＝ax+c， 将B，C的坐标代入y＝ax+c， 得
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解得．
2
所以抛物线的表达式y＝﹣
（2）可设F（5，yF），于是
x+6．
yF＝﹣×5+6＝4.5
2
从而支柱EF的长度是10﹣4.5＝5.5米．
（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和， 则G点坐标是（7，0）．
过G点作GH垂直AB交抛物线于H， 则yH＝﹣
×7+6＝3.06＞3．
2
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
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23．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y＝300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；
（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；
（3）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w＝（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x＝52时w最大，从而计算出x＝52时对应的w的值即可．
【解答】解：（1）y＝300﹣10（x﹣44）， 即y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400， 解得x1＝50，x2＝64（舍去），
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元； （3）w＝（x﹣40）（﹣10x+740） ＝﹣10x+1140x﹣29600 ＝﹣10（x﹣57）+2890，
当x＜57时，w随x的增大而增大， 而44≤x≤52，
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所以当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）+2890＝2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
24．如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm．
（1）底面的长AB＝ 50﹣2x cm，宽BC＝ 30﹣2x cm（用含x的代数式表示） （2）当做成盒子的底面积为300cm时，求该盒子的容积．
（3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．
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【分析】（1）利用长方形的长与宽以及在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，得出
AB与BC的长即可；
（2）利用（1）中长与宽以及盒子的底面积为300cm时得出x的值，即可的求出盒子的容积；
（3）利用盒子侧面积为：S＝2x（50﹣2x）+2x（30﹣2x）进而利用配方法求出最值即可． 【解答】解：（1）∵用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，在铁片的四个角截去四个相同的小正方形， 设小正方形的边长为xcm，
∴底面的长AB＝（50﹣2x）cm，宽BC＝（30﹣2x）cm， 故答案为：50﹣2x，30﹣2x；
（2）依题意，得： （50﹣2x）（30﹣2x）＝300 整理，得：x﹣40x+300＝0
解得：x1＝10，x2＝30（不符合题意，舍去）
当x1＝10时，盒子容积＝（50﹣20）（30﹣20）×10＝3000（cm）；
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（3）盒子的侧面积为：
S＝2x（50﹣2x）+2x（30﹣2x）
＝100x﹣4x+60x﹣4x ＝﹣8x+160x＝﹣8（x﹣20x） ＝﹣8[（x﹣10）﹣100] ＝﹣8（x﹣10）+800 ∵﹣8（x﹣10）≤0， ∴﹣8（x﹣10）+800≤800，
∴当x＝10时，S有最大值，最大值为800．
25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D （1）求出点A，C，D的坐标；
（2）如图（1），在抛物线对称轴上找一点E，使得△CBE的周长最小，求点E的坐标； （3）如图（2），作垂直x轴的直线，在第二象限交直线AC于点M，交抛物线于点N，求当MN有最大值时N点坐标？并求出MN最大值是多少？
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【分析】（1）y＝﹣x﹣2x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3或1，即可求解； （2）作点C关于函数对称轴的对称点M，连接MB，交抛物线的对称轴于点E，点E为所求点，此时△CBE的周长＝BC+EC+EB＝BC+BE+EM＝MB+BC，即可求解；
（3）设点N（x，﹣x﹣2x+3），则点M（x，x+3），则MN＝﹣x﹣2x+3﹣x﹣3＝﹣x﹣3x，即可求解．
【解答】解：（1）y＝﹣x﹣2x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3或1， 故点A、B、C的坐标为（﹣3，0）、（1，0）、（0，3）， 函数的对称轴为：x＝﹣1，故顶点D（﹣1，4）；
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（2）作点C关于函数对称轴的对称点M，连接MB，交抛物线的对称轴于点E，点E为所求点，
此时△CBE的周长＝BC+EC+EB＝BC+BE+EM＝MB+BC，
∵BC是常数，M、E、B共线，故此时△CBE的周长＝MB+BC最小， 点M（﹣2，3），将点B、M的坐标代入一次函数表达式得：故直线BM的函数表达式为：y＝﹣x+1， 当x＝﹣1时，y＝2，故点E（﹣1，2）；
（3）将点A、C的坐标代入一次函数表达式， 同理可得：直线AC的函数表达式为：y＝x+3， 设点N（x，﹣x﹣2x+3），则点M（x，x+3）， 则MN＝﹣x﹣2x+3﹣x﹣3＝﹣x﹣3x， ∵﹣1＜0，故MN有最大值，此时x＝﹣， 故点N（﹣，
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，解得：，
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